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Full text of "Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de Madrid"

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EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES 


TOMO X.—NUÚMS. 1,2 Y 8. 


; Julio, Agosto y Septiembre 


ESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO Y EDITORIAL 


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“de 1911. 


MADRID 


CALLE DE PONTEJOS, NÚM. 8. 
1911 


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ADVERTENCIA 


Los originales para la Revista de la Academia 
se han de entregar completos, en la Secretaría de 
la Corporación, antes del día 20 de cada mes, 
pues de otro modo quedará su publicación para 
ol mes siguiente. : 


REVISTA 


DE LA 


REAL ACADEMIA DE CIENCIAS 


EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID 


ART. 117 DE LOS ESTATUTOS DE LA ACADEMIA 
«La Academia no adopta n LS, é 
las opiniones de sus individuos; cada 
autor es responsable de lo que con 


tengan sus escritos.» 


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REAL ACADEMIA DE CIENCIAS 


EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES 


DE 


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MADRID 
ESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO Y EDITORIAL 


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REAL ACADEMIA DE CIENCIAS 


EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID 


ACADÉMICOS DE NÚMERO 


Excmo. Sr. D. José Echegaray, Presidente. 
Zurbano, 56. 


Excmo. Sr. D. Eduardo Saavedra, Vicepresidente. 


Fuencarral, 74. 

Sr. D. Joaquín González Hidalgo. 
Fuentes, 9. 

Excmo. Sr. D. Daniel de Cortázar. 


Velázquez, 16. 


Excmo. Sr. D. José Rodríguez Carracido, Bibliotecario. 


Orellana, 10. 


Excmo. Sr. D. Francisco de P. Arrillaga, Secretario, 


Valverde, 26. 

Excmo. Sr. D. Julián Calleja y Sánchez, Tesorero. 
Argensola, 6. 

Ilmo. Sr. D. Eduardo Torroja y Caballé, Contador. 
Requena, 9. 

Excmo. Sr. D. Amós Salvador y Rodrigáñez. 
Carrera de San Jerónimo, 53- 

Excmo. Sr. D. Juan Navarro-Reverter. 
Barquillo, 15. 

Excmo. Sr. D. Lucas Mallada. 
Atocha, 118. ' 

Excmo. Sr. D. Santiago Ramón y Cajal. 
Príncipe, 49- 

Ilmo. Sr. D. Pedro Palacios. 
Monte Esquinza, 9. 

Sr. D. Blas Lázaro é Ibiza. 


Palafox, 19. 


Excmo. Sr. D. José Muñoz del Castillo. 


Quintana, 38. 


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Excmo, Sr. D. Leonardo de Torres y Quevedo. 
Válgame Dios, 3. 


Sr. D. José María de Madariaga, Vicesecretario. 


Zurbano, 18. 

Ilmo. Sr, D. José Rodríguez Mourelo. 
Piamonte, 14. 

Excmo. Sr, D. José Marvá y Mayer. 

, Campomanes, 8. 

Ilmo. Sr. D. Rafael Sánchez Lozano. 
Génova, 17. 

Sr. D. José Gómez Ocaña. 
Atocha, 127 dupdo. 

Sr. D. Vicente Ventosa y Martínez de Velasco. 
Amnistía, 10. 

Sr. D. Nicolás de Ugarte y Gutiérrez. 


Cervantes, 3. — Alcalá de Henares. 


Excmo. Sr. D. Gustavo Fernández y Rodríguez. 


Fuencarral, 51. 


Ilmo. Sr. D. Vicente de Garcini. 


Alarcón , 1. 


Sr. D. Miguel Vegas. 


Bezis 


Ilmo. Sr. D. Juan Fages y Virgili. 


San Bernardo, 18. 


Sr. D. Blas Cabrera. 


Paseo de Martínez Campos. 1. 


Sr. D, Enrique Hauser. 
Zorrilla, 33, 


Ilmo. Sr. D. Eduardo Mier y Miura. 


Serrano, 29. 


ACADÉMICOS ELECTOS 


Ilmo. Sr. D, Ignacio Bolívar. 


Paseo de Martínez Campos, 17.- 


Ilmo. Sr. D. Bernardo Mateo Sagasta. 


Casa de Oficios. —Moncloa. 


Ilmo. Sr. D, Pedro de Avila y Zumarán. 


Travesía de la Ballesta, 8, 


La ME 


Sr. D. Ignacio González Martí. 


Hernán Cortés, 7.+ 


Excmo. Sr. D. Manuel Benítez y Parodi. 


Plaza de la Lealtad, 4. 


Sr. D. Eduardo León y Ortiz. 


Fuencarral, 19 y 21. 


La Academia está constituida en tres Secciones: 


1.2 CIENCIAS EXACTAS.—Sres. Saavedra, Presidente, 
Vegas, Secretario; Arrillaga, Torroja, Navarro-Reverter, 
Torres Quevedo, Ventosa, Ugarte, Fernández y Rodrí- 
guez y Garcini. 

2.2 CIENCIAS FÍSICAS.— Sres. Carracido, Presidente; 
Mourelo, Secretario; Echegaray, Salvador, Muñoz del Cas- 
tillo, Madariaga, Marvá, Fages, Cabrera, Hauser y Mier. 

3.2 CIENCIAS NATURALES.— Sres. Hidalgo, Presidente; 
Gómez Ocaña, Secretario; Cortázar, Calleja, Mallada, 
Cajal, Palacios, Lázaro y Sánchez Lozano. 


ACADÉMICOS CORRESPONSALES NAGIONALES 


Sr. D. Andrés Poey. París, 

Sr. D. Eduardo Boscá y Casanoves. Valencia. 

Ilmo. Sr. D. Luis Mariano Vidal. Barcelona. 

Excmo. Sr. D. Leopoldo Martínez Reguera. Madrid. 
Excmo. Sr. D. Rogelio de Inchaurrandieta. Madrid. 
Sr. D. Ramón de Manjarrés y de Bofarull. Sevilla. 
Excmo. Sr. D. Modesto Domínguez Hervella. Madrid. 
Sr. D. Salvador Calderón y Arana. Madrid, 

Ilmo. Sr. D. Ricardo Vázquez-IIlá y Martínez. Valladolid. 
Sr. D. Zoel García de Galdeano. Zaragoza. 

Sr, D. Eduardo J. Navarro. Málaga. 

Ilmo. Sr. D. José María Escribano y Pérez. Murcia. 
Sr. D. Lauro Clariana y Ricart. Barcelona. 

Excmo. Sr. D. Rafael Breñosa y Tejada. Segovia. 


Edo 


Excmo. Sr. D. Joaquín María de Castellarnáu y Lleopart. 
Segovia. 

Excmo. Sr. D. Juan Bautista Viniegra y Mendoza, Conde 
de Villamar, Almirante de la Armada. 

Excmo. Sr. D, Rafael Pardo de Figueroa. Puerto Real. 

Sr. D. Juan Vilaró Díaz. Habana. 

Excmo. Sr. D. Pablo Alzola y Minondo. Bilbao. 

Excmo, Sr, D. Joaquín de Vargas y Aguirre. Salamanca. 

Excmo. Sr. D. José J. Landerer. Valencta. 

Sr. D, José Eugenio Ribera. Madrid. 

Sr. D. Tomás Escriche y Mieg. Barcelona. 

Sr. D. Eugenio Mascareñas. Barcelona. 

Sr, D, Juan J. Durán Loriga. Coruña. 

Sr. D. Bernabé Dorronsoro. Granada, 

Sr. D. Esteban Terradas. Barcelona, 

Sr. D. Ventura Reyes Prosper. Toledo. 


ACADÉMICOS CORRESPONSALES EXTRANJEROS 


Anguiano (A.). Méjico. 

Lemoine (V.). Reims (?). 

Collignon (E.). París. 

Barrois (Ch.). Lille. 

Hoonholtz, Barón de Teffé (A. L. de). Río de Janeiro (?). 
Gomes Teixeira (F.). Porto. 

Príncipe de Mónaco (S. A. el). Mónaco. 
Choffat (P.). Lisboa. 

Arata (P. N.). Buenos Altres. 

Carvallo (M.). Paris. 

Enestróm (G.). Estocolmo. 

Ferreira da Silva (A. J.). Porto. 

Pina Vidal (A. A, de). Lisboa. 

Brocard (H.). Bar-le-Duc. 

Ocagne (M. d”). París. 

Romiti (G..). Pisa. 

Wettstein Ritter von Westersheim (R.). Viena. 


Engler (A.). Berlin. 

Guedes de Queiróz, Conde de Foz (G.). Lisboa. 

Rayleigh (Lord). Salisbury. 

Arrhenius. (S.). Estocolmo. 

Ramsay (G.). Londres. 

Castanheira das Neves (J.). Lisboa. 

Pilsbry (E.). Filadelfia. 

Porter (C. E.). Santiago de Chale. 

Herrero Ducloux (E.). La Plata (República Argentina). 

Chervin (A.). París, 

Urbain (G.). Paris. 

Moureu (C.). Paris. 

Sarasin (E.). Ginebra. 

Guye (F. A.). Ginebra. 

Guimaráes (R.). Lisboa. 

Capellini (J.). Bolonia. 

Academia Mejicana de Ciencias Exactas, Físicas y Natu- 
rales. Méjico. 


Pr e PE 


I— Conferencias sobre Fisica matemática. 
Teoría de los torbellinos. 


POR JosÉ ECHEGARAY. 
Conferencia décimoquinta. 


SEÑORES: 


En la confusión del movimiento de un sistema compuesto 
de muchos puntos materiales, ya sea un sistema discontinuo, 
ya sea un sistema continuo, como es el que consideramos 
al estudiar el de un flúido continuo y perfecto, la manera de 
darnos cuenta de lo que tal movimiento pueda ser, y de 
construir en cierto modo su imagen, es, como hemos dicho en 
alguna de las conferencias anteriores, considerar en la masa 
flúida un sistema de líneas y particularizar el movimiento 
general en cada una de ellas. 

Estas líneas pueden ser de muchas clases, y vamos á se- 
ñalar algunas de ellas, á las que ya hemos hecho referencias 
repetidas en las conferencias precedentes. 


1.” Las trayectorías.—Podemos escoger en el flúido, en 
un instante cualquiera, que no hay inconveniente en consi- 
derar como el instante inicial, y aun en corresponder al tiem- 
po t=0, puesto que el origen del tiempo es arbitrario; po- 
demos, repito, escoger un punto a y seguirlo en su movi- 
miento, y determinar su trayectoría y las magnitudes mecá- 
nicas que á esta trayectoría se refieren, 


o 0 


Esto ya lo hemos explicado en otras conferencias. Hemos 
supuesto que el punto no era un punto geométrico, sino un 
elemento de flúido, y al acompañarle en su marcha, hemos 
seguido su movimiento de traslación, hemos observado la 
torsión, por decirlo de este modo, del filete flúido, que esla 
que constituye en cada instante un elemento de torbellino, y 
por último hemos hecho notar la expansión ó contracción 
de dicho filete tlúido. 

Y de tal estudio dedujimos dos clases de movimiento: el 
rotacional y el irrotacional. ; 

2. Una curva cualquiera.—Podemos considerar en un 
instante determinado, no un punto, sino una línea, que para 
más sencillez podemos suponer cerrada; línea que marchará 
con el flúido, como si fuera un hilo de elementos infinita- 
mente pequeño. | 

Y demostramos que, dada la definición del flúido perfecto 
y la continuidad y uniformidad de las integrales de Lagran- 
ge, este hilo flúido conservaba, si se nos permite la palabra, 
su personalidad, por más que sea palabra atrevida en este 
caso. 

Podrá variar la forma de su curva, pero siempre estará 
compuesta de los mismos elementos flúidos, condensados ó 
dilatados, trazando sus trayectorías propias y girando ó no 
girando, según sea el movimiento rotacional ó irrotacional. 

Con la imaginación podemos suponer, que acompañamos 
al punto cuando se trata de una trayectoría; ó á todos los 
puntos de la línea, que ahora consideramos, y á un conjunto 
de rectas con orientaciones determinadas en cada instante, 
que serán los ejes de otros tantos elementos de torbellinos. 

Más aún, demostramos en otra conferencia, que para estas 
curvas cerradas no sólo persistía en cada curva la materia 
del fiúido, sino cierta magnitud dinámica á que dábamos el 
nombre de circulación, y que podíamos asemejar al trabajo 
de las velocidades de sus diferentes puntos, consideradas 
como fuerzas á lo largo de dichas curvas. 


AI 


Era el alma dinámica, y valga la imagen, de la línea, y se 
conservaba integra, mientras el cuerpo variaba de forma, 
aunque conservando siempre su materia tlúida. 

Claro es que éstas son imágenes, analogias, semejanzas, 
acaso fórmulas nemotécnicas del fenómeno físico, y nada más. 

En esta clase no podemos dar otra transcendencia á cier- 
tas analogías. 

Y por de contado, no debe olvidarse, una vez más lo re- 
petimos, que se trata de un caso ideal y de condiciones é 
hipótesis, que algunas veces podrán verificarse con cierta 
aproximación, pero que en la realidad compleja de los tenó- 
menos á otros fenómenos, se enlazan; y en ellos veremos 
rotas estas curvas, dispersos sus elementos y cambiando á 
cada instante la supuesta constancia de la circulación. 

La viscosidad, el rozamiento, todos estos fenómenos toda- 
vía no bastante estudiados, vienen á quebrantar las condi- 
ciones del flúido perfecto y del problema ideal que ahora 
estudiamos. 

3.2 Línea de corriente. —Para nuestro caso aún hay otra 
clase de curvas más importantes que las que acabamos de 
señalar, que son las líneas de corriente. 

Fijemos bien las ideas, porque vamos penetrando cada 
vez más en la materia propia de este curso, y no quisiera ni 
por un momento perder la claridad y la precisión posibles á 
que aspiro. 

Imaginemos el sistema de Euler. 

Consideremos un instante determinado del tiempo f. 

Cada punto del flúido ocupará una posición determinada 
del espacio, y al pasar por este punto tendrá una velocidad 
determinada V cuyas tres componentes hemos designado 
siempre por 1, v, w. 

Sea, pues, la figura 36. 

Sean A un punto del flúido en dicho instante, y V la velo- 
cidad de ese punto ó elemento del flúido al pasar por la po- 
sición A. 


A 


En el intervalo df, el punto A con la velocidad V habrá 
descrito un elemento infinitamente pequeño de su trayectoría 


AB =V di 


y habrá venido á parar á la posición B. 


Pigura 36. 


En ese mismo instante f, pasará por B otro elemento de 
fluido con una velocidad V” que diferirá de V en una canti- 
dad infinitamente pequeña. 

Mientras el elemento que estaba en A pasa de A á B, el 
elemento correspondiente á B pasará de B á C. 

Y el elemento flúido que en el instante f estaba en C, des- 
cribirá en el intervalo dt otro elemento CD con la velo- 
cidad V”. 

Y así sucesivamente. 

De este modo podemos imaginar una línea flúida A, B, C, 
DA correspondiente al instante f y al intervalo d!. 

Pasando al límite, este polígono infinitesimal se conver- 
tirá en una curva MABCDN, en todos los puntos de la 
cual la tangente coincidirá con la velocidad del elemento 


E 


fltido que en el mismo instante t pasa por dicho punto. 
| Será, pues, una envolvente de velocidades para el ins- 
tante f. 

Y como esta línea, es fácil trazar otras infinitas en el flúi- 
do para el instante considerado f. 

Podemos designarlas con el no.nbre de líneas de corriente 
para un instante determinado ?. 

Para otro instante, el sistema de estas líneas en general 
será distinto, á menos que el movimiento no sea permanente. 

Claro es que cada elemento AB es un elemento de trayec- 
toría: de la trayectoría que pasa por A; pero, en general, la 
línea ABC ....., que hemos llamado de corriente, no coinci- 
dirá con ninguna trayectoría. 

Este punto lo aclararemos después. 

4.0 Línea de torbellinos.—Lo que hemos explicado para 
un instante cualquiera sobre las líneas de corriente, ó envol- 
ventes de velocidades, podemos repetir casi palabra por 
palabra, para las líneas de torbellinos, y la misma figura 36 
puede servirnos. 

Supongamos el mismo instante t. 

El elemento flúido que pasa por A, en el movimiento fo- 
tacional tendrá tendencia á girar, y ejecutará un giro infini- 
tamente pequeño, que si el vector de giro es G, tendrá por 
valor 

Got, 

Sea AG dicho eje. 

Tomemos sobre él un elemento infinitamente pequeño 
A a, y repitamos para el elemento que pasa por a lo mismo 
que hemos dicho para el elemento que pasa por A. 

Este elemento flúido que pasa por a tenderá también á 
girar con una velocidad G” distinta de la anterior. Sea a G' 
dicho eje de rotación. : 

Tomemos sobre él la magnitud ab, también infinitamente 
pequeña, y repitamos para el punto b lo dicho para A y a. 

De este modo tendremos un poligono mabc ....., que en 


E aa 


el límite se convertirá en una curva su Aaben, que tendrá 
esta propiedad. La tangente en todos sus puntos será el eje 
de rotación, es decir, el eje del torbellino infinitamente pe- 
queño que pasa por dicho punto. 

Como la curva anterior ABC ..... era la envolvente de 
las velocidades para el instante £, la curva Aabc..... será la 
envolvente de los ejes de los torbellinos de todos sus puntos. 

Le daremos el nombre de línea ó filete de torbellinos. 


Hemos señalado cuatro clases de curvas: Las trayec- 
rías; una curva cualquiera; las líneas de corriente y las líneas 
de torbellinos. 

Hablemos ahora de su expresión analítica, es decir, de 
sus ecuaciones; aunque ya sobre esto hemos dicho algo, que 
repetiremos en forma sucinta. 

En cuanto á las ecuaciones de las trayectorias resultan de 
integrar las ecuaciones del movimiento expresadas en las 
variables de Lagrange. 

Hemos dicho que, sia, b, c son las coordenadas de un 
punto inicial, dichas integrales tendrán la forma 


Xx =f, (a, b, C, 1), 
y =f, (a, DC; t) 
z= e (OAUNENA 
y que las ecuaciones ordinarias de la trayectoria correspon- j 
diente al punto (a, b, c) se obtendrán eliminando f entre las 


tres ecuaciones anteriores, con lo cual obtendremos en ge- 
neral dos ecuaciones en x, y, Z. 


F, (Ya a, E) = 0 
ESOS y, 2) 4/00) = 0; 


que serán las ecuaciones ordinarias de dicha curva. 


NT 


También dijimos que se podían obtener en el sistema 
de Euler. AE 

Sobre esto insistiremos en breve. 

De todas maneras, estas trayectorias en general no pue- 
den conocerse sin integrar las ecuaciones diferenciales, salvo 


en casos particulares de la práctica. 


Cuando consideramos una curva arbitraria en el instante 
inicial, el problema que se nos plantea es el siguiente: cono- 
cer las ecuaciones de dicha curva en un instante cualquiera. 

También hemos resuelto ya este problema. 

Si las ecuaciones de la curva en el momento inicial son: 


1 (a, b, c) O, 
Pa (a, b, c) 10; 


uniendo á estas dos ecuaciones las integrales generales de 
Lagrange antes escritas, 


> OA) 
y = fa (a, b, C, t), 
ES = fa (a, b, C, t), 


para un instante cualquiera f, no habrá más que eliminar 
entre las cinco ecuaciones precedentes a, b, c y tendremos 
dos ecuaciones en x, y, 2, É 


dy (x, y, 2, t) — 0, 
da (x, y, 2, t) == 0, 


que serán las ecuaciones ordinarias de la curva en el ins- 
tante f que se considera. 


Rxuv, AcAD. Dx Ciencias. —X.—Julio, Agosto y Septiembre 1911. 2 


HE IA 


Claro es que f en ambas ecuaciones debe considerarse 
como un parámetro, es decir, como una constante que mar- 
ca el momento para el cual queremos determinar la forma y 
la posición que ha tomado la curva inicial. 

Las únicas variables serán Xx, y, z 


| 1 
1 Y 


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H Eo EH ES * 
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Y 5 y 
A Á : ] 
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A, 
: A NO BN 


Figura 37. 


Con igual facilidad podríamos resolver el problema ha- 
biendo elegido las variables de Euler. 


E 
+ E 


Pasemos á las curvas envolventes de velocidades en un 

instante cualquiera f; es decir, que cada curva ha de a 
- de esta propiedad. 

En el instante £, si a (fig. 37) es un punto de dicha curva 
AB, la tangente en a debe tener la dirección de la veloci- 
dad V para dicho punto a. 

Si ab es el elemento infinitamente pequeño ds de la cur- 
va, y sus componentes son dx, dy, dz, como puede supo- 
nerse que este elemento ab coincide en dirección con V, los 

“tres puntos a,b, V estarán en línea recta, y tendremos evi- 
dentemente, como se ve en la figura, que las tres compo- 


> O) > 


-nentes de ds serán proporcionales á las tres componentes 
de V siempre para el tiempo ?. 
De modo que deberemos tener 


Ó expresando que UV, w dependen, en el sistema de Euler, 
de x, y, z y del tiempo, 


Xx E 9y pio! 92 
ESA ACA IA O EA O 


que son dos ecuaciones diferenciales en x, y, z. En estas 
ecuaciones, f es una constante, es el valor del tiempo para 
el instante que se considera. 

Tales ecuaciones expresan, pues, una propiedad carac- 
terística de estas curvas envolventes de velocidades ó curvas 
de corriente, según las hemos llamado. 

Como es propiedad de todas las curvas de corriente, 
claro es que no caracterizan dichas ecuaciones ninguna de 
ellas, sino que las comprenden á todas; como sucede con 
todas las ecuaciones diferenciales que expresan una propie- 
dad de toda una familia de curvas, superficies ó sistemas. 

La integración de las ecuaciones anteriores, ó, si se quie- 
re, de estas dos, que son equivalentes, | 


Ao E) 
Na ld) 


dará dos ecuaciones con dos. constantes arbitrarias AUS 
ecuaciones que podremos representar por 


EOS Y, Ly == C, 
Es (0,2, = Cal 


ases HEN) ui 


Esta será la forma general de todas las curvas de co- 
rriente. 

Si queremos caracterizar una, la que pasa, por ejemplo, 
por el punto cuyas coordenadas sean Xo, Yo, Zo, no tendre- 
mos más que substituir estos valores en vez de x, y, z, y de 
este modo obtendremos los valores de C, y C,, es decir: 


F, (Xo, Yo» Zo» 1 e 
F, (CA Co. 


Con lo cual, las ecuaciones para el punto (Xo, Yo, Zo) en 
el instante f serán: 


1 (0552; t) =F, Vos t), 
F, (68 y, 2, t) = F, (Xo, Yo, 20» £). 


Es decir, dos ecuaciones con tres variables, que son las 
que en el sistema ordinario definen una curva. 

Ocurre preguntar: 

Y si las funciones F tienen más de una determinación, 
¿cuál de ésta representará los valores de C, y C,? 

En el problema analítico esto dependería de las integra- 
les generales de las ecuaciones del movimiento, y además 
de la integración de las dos últimas ecuaciones á que veni- 
mos refiriéndonos; pero en el problema mecánico, ó mejor 
dicho, en la práctica, esta indeterminación no cabe, porque el 
fltido no puede moverse en un instante más que de una 
sola manera. 

En todo caso, el armonizar el problema analítico con el 
problema mecánico, es punto digno de consideración, pero 
en que por ahora no podemos fijarnos. 

Por lo demás, debemos repetir aquí lo que hemos dicho 
varias veces: para la determinación de todas estas curvas, 
hemos de suponer integradas las ecuaciones diferenciales del 
movimiento, ya en las variables de Lagrange, ya en las va- 


E 


riables de Euler; porque de otro modo, y viniendo á las cur- 
vas de corriente, no conoceremos la forma analítica de las 
tres funciones 


CSI bd ME td) 


y no podremos integrar las dos últimas ecuaciones que he- 
mos escrito. 

Todos estos son estudios interesantes, pueden enseñarnos 
propiedades del tlúido en movimiento; mas para la integra- 
ción de las ecuaciones de éste, al menos por el pronto, no 
pueden servirnos. 

La forma de las dos ecuaciones diferenciales últimas será 
la misma para todas las curvas de corriente y para todos los 
instantes, mas para cada instante C, y C, serán diversas 
en cada curva, según hemos indicado. Y como de un ins- 
tante á otro varía £, la magnitud y la posición de las curvas 
de corriente variará también. 

Si se nos permite una imagen que materialice el movi- 
miento del flúido, podemos decir que en cada momento el 
flúido se compone de infinitos rios infinitamente estrechos y 
en contacto continuo. 

Pero de un instante á otro, en el espacio, el cauce de cada 
río cambia, las líneas de corriente son otras. 

Los puntos que constituyen cada línea de corriente segui- 
rán formando una línea continua, como demostramos en otra 
conferencia; pero ya esa línea no será una línea de corriente, 
envolvente de velocidades, sino que cada punto formará 
parte de otro río, siguiendo otro cauce instantáneo en el es- 
pacio. 

Permítaseme otra observación más para concluir este 
punto. | 

Al integrar las dos ecuaciones precedentes hemos dicho 
que de un momento á otro varía f, que es el tiempo, y que 
como fentra en las ecuaciones, las curvas de corriente va- 


riarán de un instante á otro; pero si £ no entrase en dichas: 
ecuaciones diferenciales, sus integrales serían las mismas 
para todos los instantes y las curvas de corriente serían in- 
variables también. Y esos infinitos ríos, infinitamente estre- 
chos, á que antes nos referíamos, tampoco cambiarían con 
el tiempo, siempre irían por el mismo cauce; puede decirse 
que la forma del movimiento sería permanente, Y este es. 
precisamente el nombre que se da al movimiento” en- -estos : 
casos:.movimiento permanente. 

Esta condición especial de dicho movimiento simplifica: 
mucho el problema, y su estudio forma un capítulo impor- 
tantísimo de la hidrodinámica; pero es Eo en que no 
podemos detenernos. 


Antes de pasar adelante, para evitar confusiones á: los 
alumnos, debemos insistir sobre: un punto, que no Ao de 
tener importancia. | : 

Si en un instante £, y para un punto a, dicho punto a reco- 
rre, en el intervalo df, el elemento infinitesimal ab corres - 
pondiente á la línea de corriente A B, en tal instante es evi- 
dente que el elemento ab también pertenecerá á la trayecto- 
ría que pasa por a; de modo que en ese instante ó en ese 
intervalo, la línea de corriente AB y la trayectoría a T, que 
pasa por a, estas dos líneas, repetimos, serán tangentes en 
a, Ó si se quiere, tendrán el elemento común ab. 

Pero no hay que creer por eso que ambas líneas se con- 
funden. 

La línea de corriente es AabB, y la ie del punto a 
será otra línea distinta abT, tangente en a á la primera. 

Sólo se confundirían en el caso del movimiento perma-' 
nente, porque en este caso cada línea de corriente es una 
trayectoría, como vamos á demostrar desde luego, y conto 
geométricamente más que se demuestra se ve por intuición. 


Si acudimos á la representación analítica, la misma duda; 
aparece al pronto, y del mismo modo se desvanece, como 
pasamos á indicar. 

Para el punto a, el elemento ab es El mismo en la línea de 
corriente y en la trayectoría, y por lo tanto, la misma pro- 
porcionalidad existirá, ya se considere una ú otra de ambas 
líneas, según se ve en la figura, entre las componentes 9x, 
dy, 92 de ds y las componentes u, v, w de la velocidad V. 

De modo que, al parecer, para la trayectoría a T tendre- 
mos las mismas ecuaciones diferenciales que para la línea de 
corriente aB, á saber: las que teníamos antes: 


ny si las ecuaciones diferenciales son las mismas, las mis- 
mas parece que deben ser las integrales. | 

Pero este razonamiento es falso, porque en las ecuaciones 
precedentes 


A A NAT 9Z 
n(xy, 2,8) (VE Do w(x,y, 2,1) 


aplicadas á la línea de corriente AB, el tiempo es una cons- 
tante; las únicas variables de la integración son x, y, z 

Y en estas ecuaciones aplicadas á la trayectoría, el tiempo 
es una variable. Es la variable independiente de la integra- 
ción, y hay que obtener, no dos funciones en Xx, y, z, sino 
tres ecuaciones que nos den x, y, z, en función de f. Es 
volver á las variables de Lagrange partiendo de la notación 
de Euler. 

Como que, en Higos; las ecuaciones que tenemos que in= 
tegrar son 


9X dy OZ 


fs E e A E 
it MOS ZE) MOS) 2,1) 


porque, evidentemente, 


9 9 | 
LEA de 
u Y w 
toda vez que 
IX ME 9y e 22 ES 
IT A AAA 


de donde se deducen las anteriores. 

De modo que, como hemos dicho, no son dos ecuaciones 
diferenciales, sino tres, con tres funciones X, y, Z, y una va- 
riable independiente f. 

Al paso que para la linea de corriente tenemos que inte- 
grar dos ecuaciones diferenciales que han de darnos, por 
ejemplo, dos funciones y, z, en valores de una variable in- 
dependiente x. Como que se trata de una curva indepen- 
diente del tiempo: la curva AB. 

Para otro instante £, la trayectoría del punto a siempre 
será 4 T, como se ve en la figura; el elemento ab en este 
caso será el a” b”, y la curva de corriente será A' B”, que no 
será la transformada de AB. 

Esta se habrá transformado en otra curva continua que pa- 
sará por a”, por ejemplo, la A, B,. 

De modo que ni siquiera el elemento a'b” será la trans- 
formación de ab. 

Este alemento a” b” substituirá, como antes decíamos, en 
el contacto con la trayectoría al elemento ab, pero no estará 
formado de los mismos elementos flúidos que éste. 

Todas estas son consideraciones elementales, sencillísi- 
mas, pero son puntos sobre los que conviene llamar la aten- 
ción de los principiantes, siquiera sean completamente ocio- 
sas, no ya para los maestros, sino para los que están versa 
dos en estos problemas. 


A 


Y pasemos ya á las líneas de torbellino, que en la figura 
36 representábamos por Aabcn. Es decir, era esta línea una 
de las líneas de torbellino, la que en el instante f pasaba por 
el punto A. 

Tanto la definición geométrica de esta línea de torbelli- 
nos, como de la línea de corriente MN, en la misma figura, si 
hemos de decir lo cierto, dejaban bastante que desear. Eran 
más bien intuiciones que definiciones exactas; porque para 
definirlas era forzoso demostrar que, respecto á la línea de 
corriente, sea cual fuere la ley de los elementos AB, BE: 
CD....., al tender éstos á O, nos ibamos á encontrar con una 
línea límite independiente de aquella ley de decrecimiento; y 
otro tanto podemos decir y aún con más razón respecto á la 
línea de torbellino mn; porque aún más arbitraria parece la 
ley de los elementos Aa, ab, bc.....: Al fin, en la línea de co- 
rriente, los elementos eran caminos recorridos por un ele- 
mento flúido en intervalos iguales df. Aquí ni aun eso, 
porque estos elementos son direcciones de ejeces sucesivos 
de giro. 

Pero así como hemos dado rigor analítico á la definición 
de las líneas de corriente, podemos dar rigor analítico á la 
definición de las líneas de torbellino. 

Y la definición será enteramente análoga; diremos que 
una línea de torbellino, en un instante dado, es aquella en 
que la tangente en cualquier punto á dicha línea es precisa- 
mente el eje del torbellino infinitesimal que corresponde al ex- 
presado punto. Es decir, la recta alrededor de la cual el ele- 
mento de flútido tiende á girar, Ó como decíamos, el filete 
flúido tiende á retorcerse. 

Si aún queremos más clarídad, podemos decir que la lí- 
nea de torbellino tiende á retorcerse alrededor de sí misma, 
es decir, de sus propias tangentes. 

Las ecuaciones diferenciales de las líneas de torbellino 
las encontraremos del mismo modo que hemos encontrado 
las ecuaciones diferenciales de las líneas de corriente, y 


e A 


análoga á la figura 37 será la figura 38, de que vamos á ser- 
virnos ahora. : 
Sea un punto a del tlúido, y vamos á determinar la línea 
de torbellino mn, que pasa por dicho punto. 13 
El elemento ab de dicha línea debe coincidir en direc- 
ción, según lo dicho, con el eje del torbellino ó vector-torbe- 


z 


Figura 38. 


llino correspondiente á dicho punto a, eje que hemos na 
sentado por a G. 

O de otro modo, la tangente en a á la línea mn debe ser 
el eje del torbellino en a. 

Puesto que los tres puntos a, b, G están en línea recta, 
sus coordenadas deben ser proporcionales si se refieren al 
punto a como origen. 

O si se quiere decir de otro modo, las componentes de 
ab = ds que son dx, dy, dz deben ser proporcionales á las 
componentes del eje del torbellino a G que hemos AE 
por £, n, .¿ Tendremos, pues, 


= Mi = 


y sustituyendo por £, 1, $ sus valores 


* 9w dv du 9w 9v du 
8 = —= = —, M= TT IT == — — — 
9y 90Z 90Z IX 9X 9y 
resultarán 
9X dy hatá Do 
3w OE dw  — 93y du * 
9y A II AX 9y 


Como suponemos para la aplicación de estas ecuacio- 
nes, que el problema está resuelto y que conocemos en un 
instante cualquiera £, los valores de 1, v, w. en función de 
x, y, z, £, claro es que los denominadores de las ecuaciones: 
precedentes serán funciones perfectamente conocidas de x, 
y, 2, t; bastará derivar con relación á x, y, z los valores co-; 
nocidos de u, v, w, y hecha la substitución de las derivadas 
que entren en los denominadores, tendremos las ecuaciones 
diferenciales 


EA dy el 92 
My (26, y, 2, £) IN CARA AN 


Estas serán las ecuaciones diferenciales de las líneas de 
torbellino, é integradas darán las dos ecuaciones con dos 
constantes arbitrarias que definirán dichas líneas. 

Y podemos repetir palabra por palabra todo lo que diji- 
mos en las líneas de corriente. 

Así, por ejemplo, para cada punto del flitido (Xo, Yo» Zo) 
en un instante £,, substituyendo las coordenadas de dicho 
punto en ambas ecuaciones, que podemos representar por 


Ty (x, y, 2, t) Sn Ci, 
va (X, J, Z, t) e Ca; 


O 
tendremos 


+1 (co Yo» Z0> lo) = Cu 
*3 (o, Yo» Z0> 1) E Cas 


que nos darán los valores C,, C, de dichas constantes. 
Y las ecuaciones de la línea de torbellino que pasa por 
(Xo, Yo» 20) SErán 


Ty (x, y, Z; to) = sy (ac Yo» 20» 0) 
- Ta (X, Y, 2 Lo) = +2 (Mor ¡Pos Zo» Lo) 


Esto nos prueba, suponiendo, como decíamos antes, que 
las funciones 7 no tengan más que una determinación, ó que 
se puede escoger una sin ambigiiedad, que por cada punto 
del ilúido, en cada instante, no pasa más que una línea de 
torbellino. 


Todo ello supone que el problema ha sido resuelto, es 
decir, que las ecuaciones diferenciales del movimiento se 
han integrado, y que se conocen las expresiones de 1, V, W 
en funciones de las variables de Euler x, y, 2, f. 

De no ser así, ni conoceremos las funciones A, puesto 
que no conocemos las funciones u, v, w; ni podremos inte- 
erar las dos ecuaciones diferenciales, ni podremos hallar las 
funciones 7 tampoco; pero sabremos que existen aunque no 
las conozcamos, y que expresan propiedades perfectamente 
definidas del movimiento del flúido, y podremos construir 
toda una teoría de las líneas de torbellino, que es precisa- 
mente lo que vamos á hacer en las conferencias siguientes. 

Por eso llamábamos la atención de nuestros lectores 
diciéndoles: Sin integrar las ecuaciones difrenciales de un 
sistema, fundándonos sólo en esas ecuaciones diferenciales, 


OA 


se puede construir, si vale la palabra, toda una teoría de 
muchas de las propiedades del sistema, que las ecuaciones 
diferenciales representan. 

Este es precisamente el caso de la célebre teoría de los 
torbeilinos de Helmholtz y Thonsom; porque, como vere- 
mos en la conferencia próxima, vamos á partir, para estable- 
cer esta teoría del teorema de Helmholtz, que ya hemos de- 
mostrado, á saber: toda línea flúida, cerrada, se conserva en 
el movimiento del flúido, aunque variando de forma y posi- 
ción, como nueva línea flúida cerrada; los mismos elementos 
de flúido entran en una que en otra, su individualidad es 
permanente, y además la cantidad, á que hemos dado el 
nombre de circulación de la línea, conserva tanibién un valor 
numérico constante. 

¿Y cómo demostramos este teorema? 

Sin integrar las ecuaciones diferenciales fundamentales. 
Diferenciando, con relación al tiempo, la circulación, que 
representábamos por /, y sustituyendo, en vez de 


21 9v 90w 
o 


sus valores, deducidos de dichas ecuaciones diferenciales. 

De las ecuaciones diferenciales nos servíamos directa- 
mente. 

Si esto pudiera hacerse siempre y para todas las propie- 
dades de un sistema, el cálculo integral habría llegado á su 
perfección. 

Mejor dicho, el cálculo integral seria inútil, porque de las 
ecuaciones diferenciales deduciríamos todas las propiedades 
de las ecuaciones finitas; pero esto requiere estudio más de- 
tenido, porque ocurre esta pregunta: 

Las ecuaetones diferenciales por el pronto sólo expresan 
una propiedad del sistema finito; ¿estarán todas escritas en 
esta propiedad única? 


NAS 1 a 


Pretender contestar á la pregunta precedente sería sepa- 
rarnos por completo de la materia de estas conferencias, y 
aun del objeto de esta asignatura, que no es de cálculo di- 
ferencial é integral, sino de Física matemática. Advirtamos, 
sin embargo, de paso, que las propiedades dependientes del 
valor de las constantes arbitrarias no pueden estar esplícita- 
mente expresadas en las ecuaciones diferenciales. 

Volvamos, pues, á la teoría de los torbellinos, y no nos 
dejemos arrastrar por el torbellino de nuestro propio pensa- 
miento. | 

Pero son tantos los problemas de análisis que nos van 
saliendo y que han de salirnos al encuentro, que con toda 
sinceridad hemos de confesar que la tentación es muy fuerte. 

Resistámosla y volvamos al objeto principal de este curso. 


31 — 


IL— Conferencias sobre Fisica matemática. 
Teoría de los torbellinos. 


Por José ECHEGARAY 
Conferencia décimosexta. 


SEÑORES: 


Los hechos aislados, por numerosos que sean, jamás lle- 
ean á constituir una ciencia, como muchas piedras sueltas 
en un solar no constituyen un edificio. 

Para constituir éste es preciso agrupar las piedras dentro 

.de una unidad arquitectónica. 

Para formar una ciencia es preciso reunir los hechos en 
-una ó en varias unidades. 

Esta es la labor de la intelectualidad; por qué la ciencia 
es de fabricación humana. | 

En rigor es un gran simbolismo intelectual de fenómenos 
exteriores, que serán lo que fueren, pero en cuyo fondo ja- 
más podemos penetrar. 

Estas grandes unidades, en que los hechos van poco á 
poco fundiéndose, forman las pequeñas leyes Ó las grandes 
leyes de la ciencia humana. : 

La ley supone algo constante, invariable y en muestro len- 
guaje, tan pobre, como soberbio, algo eterno. 

Las leyes son, si se nos permite emplear el lenguaje mo- 
'derno, las invariantés de los fenómenos. 

Y apliquemos estas ideas generales y que á decir verdad, 
-de puro sabidas, son ya vulgarísimas; apliquemos estas 


0 a 


ideas, repito, al problema general de la hidrodinámica y al 
problema particular de los torbellinos en que venimos ocu- 
pándonos en esta nueva serie de conferencias. 


Buscábamos una representación material, ó al menos, re- 
presentaciones parciales, del problema del movimiento á que 
se vea sujeta, por la acción de fuerzas determinadas, una 
masa finita Ó infinita del flúido, que designábamos con el 
nombre de flúido perfecto. 

Y en la variedad confusa, y dado lo imperfecto de nues- 
tros sentidos, podemos decir caótica, de los diferentes ele- 
mentos de tlúido, habíamos ido poniendo cierto orden; y en 
la confusa variedad nos empeñábamos en ir marcando algo 
constante é invariable. 

Y decíamos: una línea fluida, es decir, compuesta de ele- 
mentos flúidos infinitamente pequeños, durante todo el mo- 
-vimiento estará siempre compuesta de los mismos elementos 
flúidos: conservará, digámoslo así, su individualidad. 

Entiéndase bien; sucederá esto en las hipótesis estableci- 
das respecto á la naturaleza de dicho tlúido y de las fuerzas 
que sobre él actúan; en el problema general de la hidrodi- 
námica esto no sucederá. 

Y lo que hemos dicho de una línea flúida, pero con las 
mismas hipotéticas restricciones, sucederá con una superfi- 
cie flúida. 

También la superficie cambia de un momento á otro de 
posición, de forma, y de velocidad cambian sus diferentes 
puntos; pero en todos estos diferentes estados la superficie 
estará formada de los mismos elementos flúidos que en el 
primer instante. 

Y sigamos resumiendo: el teorema de Helmholtz que de- 


pi ea 


mostramos en una de las conferencias precedentes, es el teo- 
rema fundamental de la teoría de los torbellinos. 

Una línea flúida, cerrada, no sólo conserva en el movi- 
miento todos sus elementos flúidos, sino que conserva cons- 


DD 


Figura 39. 


tante cierta magnitud determinada, que es la integral á lo 
largo de dicha línea 


rey + 
G 


y que hemos representado por /. 

Estos principios generales los hemos aplicado, después 
de decir algo sobre las trayectorías de los diferentes puntos, 
á las líneas de velocidades ó lineas de corriente y á las líneas 
de torbellino. 

Mas, entre uno y otro caso, hay una diferencia fundamental. 

Sea (fig. 39) AB una línea de velocidades ó línea de co- 
rriente; es decir, una línea que en el instante f, que conside- 


Rry. AcaD. DE CiENCcIAS, —X.—Julio, Agosto y Septiembre, torr. 3 


ds PU Má 


ramos, sea la envolvente de las velocidades del tlúido en sus 
diferentes puntos a, b.... De modo que la velocidad del flíi- 
do en a sea aV, tangente en a á AB; la velocidad en b será 
bV”, tangente en bá la misma línea A B, y así sucesivamente. 

Si del instante £ pasamos al instante f, la línea de co- 
rriente A B, conservando su individualidad, como antes de- 
ciamos, habrá pasado á la posición 4'B”. Los elementos de 
ésta serán los mismos elementos flúidos de AB, por ejem- 
plo: el elemento a” será el elemento a, el b' será el b, y así 
sucesivamente. 

Estos elementos se habrán condensado ó dilatado, según 
cierta ley que supondremos continua; pero, si la línea de 
corriente AB se ha transformado en la A*B”, no conservará 
la propiedad en esta transformación de ser línea de corriente. 
Las velocidades en el nuevo instante f” no serán tangentes 
á A'B' como lo eran á AB. 

Por ejemplo: la velocidad a” será V, que forma un ángu- 
lo finito con la tangente en a”. 

De igual modo la velocidad en b', á saber, V,' tampoco 

será tangente á A”B” en dicho punto b”, sino que formará 
cierto ángulo con esta última tangente. ] 
¿En suma, la línea de corriente, al pasar del tiempo f al 
tiempo f”, conserva sus elementos tlúidos :-pero no conserva 
su propiedad “de ser línea de corriente; esta es propiedad 
de un instante; la pierde en el movimiento. 

¿Sucede lo mismo con la línea de torbellino? 

Esto es lo que vamos á ver. 


Sea (fig. 40) A B una línea de torbellino. 
. Los ejes para los diferentes puntos a, b, ..... de esta línea 
serán las tangentes 4G,bG,, á la línea AB en los puntos 
a, b, porque ya sabemos, por definición, que las. líneas de 


Mo Ria 


torbellino son las envolventes de los ejes de giro de cada 
elemento flúido. | 

Cuando el tiempo varía y pasa del instante definido por f 
á otro instante cualquiera £', la línea A B, como línea flúida, 
vendrá á tener la forma y ocupar la posición A“B”. 


Figura 40. 


El punto a, vendrá á ocupar la posición a”; el b, la posi- 
ción b”, y asi sucesivamente, y se plantea el mismo problema 
que en las líneas de corriente. 

¿Cuál será el eje de torbellino para el punto a”, para el b' 
y para todos los demás? 

¿Serán las tangentes en a”, b”, ó formarán ángulo finito con 
dichas tangentes? 

Vamos á demostrar desde luego, que se verifica la primera 
de dichas hipótesis, es decir, que los nuevos ejes de torbelli- 
no a” G”, b' G/.... son precisamente las tangentes en a, b'.... 

De suerte que las líneas de torbellino en el movimiento, 
se conservan como tales líneas de torbellino, lo contrario de 
lo que sucedería con las líneas de corriente. 


pl ls 


Esta circunstancia es la que da importancia extraordinaria 
al movimiento rotacional y á las líneas que en los diferentes 
instantes lo representan, y es lo que viene á constituir en su 
desarrollo la teoría de los torbellinos. 

Hay varias demostraciones; pero la que podemos llamar 
demostración clásica, aunque á decir verdad no es una de- 
mostración directa, porque hay, en cierto modo, que dar un 
rodeo, es sumamente sencilla y sumamente ingeniosa. 

Necesitamos, para desarrollarla, explicar un nuevo con- 
cepto, de esta serie de movimientos del flúido que conside- 
ramos. 


Necesitamos definir lo que se entiende por superficie de 
torbellinos en un instante dado. 

Se llama en un instante £ superficie de torbellinos una su- 
perficie tal, que si en ella se toma un punto cualquiera y se 
traza para este punto el eje del torbellino que le correspon- 
de, este eje es siempre tangente á la superficie. 

Para imaginar una de estas superficies de torbellinos, su- 
pongamos en el instante £ una curva cualquiera, AB (fig. 41). 

Y por todos los puntos de esta línea a, b, C, ....., hagamos 
pasar en el titido, otras tantas líneas de torbellino ad, bb, 


Esto es posible: 

1.2 Porque estamos suponiendo que existe en la región 
del flúido que se considera, el movimiento que hemos lla- 
mado rotacional. 

2.2 Porque por cada punto del flúido en cada instante 
pasa una línea de torbellino, y una sola. 

Pero dada la ley de continuidad que suponemos, el con- 
junto de líneas aa”, bÚ' ....., constituirán evidentemente una 
superficie S¿, que será una superficie de torbellinos tal como 
la hemos definido. 


7 en 


Porque cualquier punto a, de esta superficie estará sobre 
una línea de torbellino a a”, y el eje correspondiente á a,, 
por ser la línea a a”, un? línea de torbellino será tangente 
á dicha línea: y como la línea está sobre la superficie, a, G 
será tangente la superficie. 

Como esta propiedad subsiste para todos los puntos de la 


Figura 4l. 


superficie S¿, dicha superficie será, según definición, una 
superficie de torbellinos. 

Y recíprocamente, toda superficie de torbellinos la podre- 
mos considerar en general de este modo, como se compren- 
de inmediatamente. 

Ahora bien; esta superficie de torbellinos tiene una pro- 
piedad importantísima que la define en forma muy senci- 
lla, y de la que se deducen otras propiedades muy impor- 
tantes. 

Tracemos en la superficie de torbellinos S, una línea cerra- 


da BO 


da cualquiera L, y determinemos, siempre para el instante £, 
el valor 7 de la circulación sobre dicha línea, es decir, 


1 all (1Ix + VIY + w92) 
l£s 


en que 4, v, w, serán las componentes de la velocidad para 
los diferentes puntos de dicha línea L; por eso en la expre- 
sión anterior ponemos £ como determinando la línea de in- 
tegración. 

La propiedad á que nos referimos, y que es fundamental, 
es la siguiente: 

En una superficie de torbellino S¿ para toda línea cerra- 
da L que en ella se trace, el valor de la circulación es nulo, 


es decir, 
1: =,0. 


Y recíprocamente, si para toda línea cerrada, que en una 
superficie se trace, el valor de la circulación es nulo, la su- 
perficie es una superficie de torbellinos. 

Vamos á demostrar primero la proposición directa. 

Hemos demostrado, aplicando el teorema de Stokes, que 
el valor de la circulación en una línea es igual al flujo del 
vector de torbellino, que pasa por el interior de dicha 
línea. 

Si consideramos la linea cerrada L, trazada sobre una su- 
perficie de torbellino, el valor 7 de la circulación sobre dicha 
línea será igual al flujo del vector torbellino sobre una su- 
perficie cualquiera que pase por L , y podemos suponer que 
esta superficie es la misma superficie torbellino S,. Es de- 
cir, el flujo, á través de dicha superficie, de todos los vecto- 
res torbellinos de, d'g”..... de los diferentes puntos d, d”...., 
comprendidos en L; pero todos estos vectores dy, d'g”..... 
son tangentes á la superficie por definición de ésta; luego 
sus componentes normales serán nulas, y, por lo tanto, el 
flujo en cuestión será nulo también, y nula será la circula- 


AE ¡e 


ción / sobre la línea L. Con lo cual queda demostrada la 
proposición directa, á saber: la circulación, vara todas y 
cada una de las líneas cerradas que se tracen en una super- 
ficie de torbellino, es nula. 

Pasemos á la demostración de la proposición inversa. 

Si una superficie S¿, siempre en un momento determina- 
do, es tal que la circulación de cualquier línea L trazada so- 
bre esta superficie es nula, la superficie es una superficie 
torbellino. 

En efecto, puesto que la línea L es arbitraria, podemos 
suponer que es infinitamente pequeña, y alrededor de cada 
punto d podemos suponer un contorno infinitamente peque- 
ño que tienda á confundirse con dicho punto. 

Pero la circulación, en este circuito infinitamente peque- 
ño, es nulo por hipótesis: no infinitamente pequeño, sino 
nulo en absoluto; luego el flujo del área que comprende 
será, no infinitamente pequeña, sino nula. 

Por fin, la componente normal del torbellino medio corres- 
pondiente á esta área, será igual á cero, lo que nos demues- 
tra que el torbellino será perpendicular á la normal. Es de- 
cir, tangente á la superficie. 

Queda, pues, demostrada la proporción inversa puesto 
que, en todos los puntos el torbellino es tangente á la su- 
perficie y esta es la definición de la superficie de torbellinos. 


Una supertficie-torbellino se conserva como superficie flúi- 
da en los diferentes instantes del movimiento; pero además, 
y esto es importantísimo, se conserva como superficie de 
torbellinos. | 

En efecto, sea (fig. 42) S una superficie de torbellino co- 
rrespondíente al instante f. 


Mae 


En otro instante £” todos los elementos del flúido que 
constituian S constituirán otra superficie tlúida S”. 

Pero esta superficie continuará siendo una superficie de 
torbellinos en el nuevo instante f. 

Y la demostración es bien sencillla. Toda línea cerrada s 
trazada en la superficie S, por ser esta una superficie de tor- 


Z 


Figura 42. 


bellinos, tiene una circulación nula. Es decir, que si repre- 
sentamos el valor de esta circulación por /, tendremos 


== 05 


La línea s, como está sobre la superficie S, se transforma- 
rá en el movimiento en otra línea cerrada s”, que estará evi- 
dentemente sobre la superficie S”, transformada de S. 

Pero sabemos, por el teorema de Helmholtz, que la circu- 
lación de toda línea cerrada en su movimiento, es constante. 

Luego la circulación de s”, transformada de s, será nula 
como la circulación en ésta. 

Llamándola /s», tendremos 


Lo = 0. 


IA 


Pero la línea s” es arbitraria en la superficie S”, porque la 
slo es en S; por lo tanto, la superficie S” cumple con esta 
condición: que la circulación de toda línea s* trazada en ella 
es nula, de donde resulta que la superficie S” es una super- 
ficie-torbellino. 

En suma, las superficies de torbellinos conservan este ca- 
rácter en todas sus transformaciones durante el movimiento. 

Podemos decir, por modo abreviado y por analogía, que 
toda superficie-torbellino es una invariante respecto á dicha 
propiedad. 

Y fundándonos en esta propiedad de toda superficie-tor- 
bellino,podemos demostrar otra propiedad análoga respecto 
á toda línea-torbellino. 


FA 
+ * 


Sea S (fig. 43) una superficie torbellino en un instante 


Figura 43. 


dado, y sea en el mismo instante S, otra superficie-torbelli- 
no: supongamos que se cortan según la línea A B. 


Lo Y 


Decimos que. esta linea 4.B será una línea-torbellino. - 
En efecto; tomemos (fig. 43) un punto:a de dicha línea 
AB, é imaginemos el eje torbellino ag, correspondiente á 
este punto a. 
Por ser la superficie S una superficie-torbellino, el vectot 
torbellino as estará en el plano tangente á S en el punto a. 
Pero como podemos repetir el mismo razonamiento res- 
pecto á la superficie S,, resulta que ag también estará en 
el plano tangente á S, en a, y si está en los dos planos tan- 
gentes será su intersección, la cual es, como se sabe, la tan- 
gente en a de la intersección AB de las dos superficies. | 
Luego, en todos los putos dela línea 4 B, la tangente ' 
coincide con el vector torbellino, y por lo tanto, la línea AB 
es una línea-torbellino. 
Queda, pues, demostrada esta proporción que antes enun- 
ciamos: la intersección de dos superficies de torbellinos es una 
línea-torbellino. 


Consideremos ahora otro instante f' y supongamos que en 
este instante la superficie flúida S se ha convertido en la 
superficie S”, y la S, en la S”,. 

Si estas dos superficies se cortan según A” B”, evidente- 
mente A'B' será la transformada en el movimiento de A B. 

Esto es evidente: todo punto de A B, por estar en S en el 
instante £, estará en S” en el instante £”; y por estar en $, en 
aquel primer instante, estará en S”, en el segundo instante; 
y si está en S” y en S”,, estará en su intersección 4"B'. 

De modo que todo punto de AB viene á parar á un punto 
de A'B', ó si se quiere, esta última es, en el movimiento, la 
transformada de AB. 

Ahora bien, siendo S* y S”, superficies de torbellinos, su 
intersección, según hemos demostrado, será una línea de 
torbellino; luego A“B* lo es. 


EMO 


Y por fin, la transformada de 4B, que es 4'B', es una 
línea-torbellino. 

Queda, pues, demostrada la proposición que habíamos 
enunciado al empezar este análisis: Toda línea de torbellino 
conserva este carácter en su movimiento. 


Hemos definido lo que se entiende por superficie de torbe- 
llino. En la figura 41 estudiamos esta clase de superficies 


Figura 44. 


flúidas; pero en esta figura A B era una línea cualquiera, ce- 
rrada ó no cerrada. 

Ahora vamos á estudiar un caso particular, pero impor- 
tantísimo, fundamental pudiéramos decir, de las superficies 
de torbellinos. 

Sea A B (fig. 44) una línea cerrada cualquiera; por sus di- 


se Y e 


ferentes puntos A, B .... hagamos pasar, como antes hacía- 
mos, una serie continua de líneas de torbellino A4', BB'..... 

Estas líneas 44”, BB'....., como la AB es cerrada, for- 
marán una especie de tubo AB A'B”, cuyas generatrices se- 
rán todas, líneas de torbellino. 

La superficie así formada, por su figura especial, recibe 
precisamente este nombre, y se 
llama tubo de torbellino Ó abrevia- 
damente ¿ubo-torbellino. 

Claro es, que en el flúido, ó al 
menos en la región de éste, en que 
el movimiento es rotacional, se 
pueden formar infinitos tubos de 
torbellinos, tantos como líneas ce- 
rradas AB puedan imaginarse. 

Tendremos, pues, en una región 
de movimiento rotacional, infinitos 
tubos de torbellinos: en tubos de 

de Ss torbellinos puede descomponerse 
dicha región. 

En general, no podrán cortarse unos con otros; porque de 
lo contrario, por cada punto de intersección pasarían dos 
líneas de torbellino, la de uno y la de otro tubo, lo cual, 
dadas las hipótesis establecidas, es imposible; pues por 
cada punto sólo puede pasar una línea de torbellino. 

Si se cortan, las intersecciones serán líneas de torbellino, 
como indica, por ejemplo, la figura 45, en que los dos tubos 
de torbellino se cortan según ab, Ab"; pero estas son dos 
líneas de torbellino, y la contradicción que antes señalába- 
mos desaparece. 

Volvamos á la figura 44 y vamos á demostrar una pro- 
piedad importantísima de los tubos de torbellinos. 

Consideremos dos líneas cualesquiera bd, b'd' rodeando 
ambas por completo, en curva Cerrada, el tubo en cuestión 
ABA'B:. 


NS me 


Interrumpamos por un pequeñísimo intervalo ae la línea 
bd, y por otro intervalo muy pequeño también a'e' la lí- 
nea b'd'. Por último, unamos los puntos a, a”; e, e” por dos 
líneas cualesquiera fnfinitamente próximas aa”, ee. 

Habremos formado así una línea continua aa b'de' e dba 
que podemos suponer que se recorre, por ejemplo, en el 
sentido de las flechas. 

Esta línea, trazada toda ella sobre la superficie del tubo, 
constituye, como vemos, una línea cerrada. 

Luego. su circulación [ será, como antes demostramos, 
igual á cero. 

Es decir, 


circulación (aa'bd'Y e edba) = 0. 


O descomponiendo en partes y escribiendo / en vez de 
la palabra circulación: 


I(ada)+1(ab'd'e) + 1(e'e) + I(edba=0. 


Observemos ahora que, como las dos líneas aa”, ee” es- 
tán infinitamente próximas, y en el límite se confunden, y 
para medir la circulación en cada una hay que tener en cuen- 
ta que están recorridas en sentido contrario, según las fle- 
chas marcan, los elementos de ambas integrales / serán 
iguales y de signos contrarios. Siendo como siempre u, V, w 
las componentes de la velocidad del punto flúido, serán am- 
bos elementos ñ 


el de aa .....49x + vIy + w9z 
y el de e"8..... —49dx — V0y —WO9z 


iguales y de signos contrarios, de modo que en la ecuación 
precedente 


1 (aa) +1 (e e) 


= AG = 
se destruirán y la ecuación quedará reducida á 


I(4b' de) + I(edba) =0 
Ó bien 
I(ab'd'e)= -—I(edba) 


Pero si invertimos el sentido de la circulación en el se- 
gundo miembro, esto equivale, como dijimos en momento 
oportuno, á cambiar el signo de la integral; luego tendre- 
mos, por último, 


I(a'v'd'e)=1(abde) 


ó representando, para abreviar, cada curva por solo dos le- 
tras y teniendo en cuenta que el límite los intervalos ae, 
a' e”, desaparecen y las curvas quedan cerradas, 


I(bd) =1(0'd. 


De donde resulta este teorema, que es capital en la teoría 
de los torbellinos: 

Dado un tubo de torbellinos cualquiera, todas las curvas 
cerradas que lo abarquen bd, b' d'..... á manera, por decirlo 
así, de cinturón, tienen ¿gual circulación flúida. | 

La circulación alrededor de todas estas líneas es constan- 
te para todo el tubo; es, en cierto modo, una constante del 
tubo, una invariante, pudiéramos decir también. 


Pero hay más, y aquí los teoremos se van generalizando: 

Todo lo que hemos dicho se refiere á un momento deter- 
minado f. Si consideramos otro instante cualquiera f', el 
tubo podrá tener otra posición y otra forma, pero obser- 
vemos: 


A 


1.2 Que continuará siendo un tubo, porque su directriz 
AB era cerrada y cerrada será en otro momento cualquiera. 

2.” Que las generatrices del tubo (curvilíneas en general) 
serán generatrices del tubo transformado, y como eran lí- 
neas de torbellino en el instante £, seguirán siendo líneas de 
torbellino en el instante £. 

3.” Que por lo tanto, el tubo de torbellino primitivo con- 
tinuará siendo tubo de torbellino. 

Y 4.” Y esto es muy digno de consideración: Que el va- 
lor de la circulación del primer tubo, será el mismo para el 
segundo. Es decir, para el instante f'. 

En efecto, cualquier curva de circuito bd, del primer tubo, 
se convertirá, en el instante £f”, en curva de circuito del nue- 
vo tubo torbellino. Pero sabemos, que la circulación de una 
curva cerrada conserva un valor constante en el movimien- 
to; luego la curva de circuito de dicho segundo tubo tendrá 
el mismo valor para su circulación que la del primero, y 
como esta es la que mide la circulación del nuevo tubo, am- 
bos tendrán el mismo valor 1. 

Si para abreviar las explicaciones llamamos momento del 
tubo á la circulación l para una de sus curvas de circuito, 
que será el mismo que para otra cualquiera, podremos de- 
cir que el movimiento no altera el valor del momento de un 
tubo torbellino y resulta esta proporción importantisima y 
curiosa: Que un tubo torbellino, en el movimiento de un flúi- 
do perfecto, se conserva como tubo-torbellino y conserva «el 
valor de su momento. 


Entre los tubos torbellinos hay una clase muy importante 
que son los que podemos llamar infinitamente estrechos, los 
que llamaba Helmholtz «Wirbelfaden», verdaderos filetes de. 
torbellino, que se pueden aproximar tanto como se quiera á 
una línea torbellino. 


E O e 


A éstos se les puede aplicar todo lo que hemos dicho para 
el tubo torbellino de sección finita. 

Sea AB (fig. 46) un tubo torbellino infinitamente estrecho. 

Las generatrices, por decirlo así, ac, bd..... del tubo serán 
liíneas-torbellinos. Es decir, que si trazamos en a, por ejem- 
plo, el eje ag del torbellino correspondiente al punto a, esta 


pa dé 


Figura 46. 


línea será tangente á la línea ac, y lo mismo podremos decir 
para otro punto cualquiera de la superficie del tubo. 

Supongamos que se traza por a un plano perpendicular á 
as, el cual determinará una sección ab del tubo torbellino 
infinitamente estrecho. La llamaremos sección recta del tubo, 
y como el tubo es infinitamente estrecho y los ejes de los 
torbellinos varían por la ley de continuidad, todos los ejes 
de torbellinos de los diferentes puntos de la sección ab se- 
rán próximamente paralelos al elemento ac. 

Por eso podemos decir que esta sección es la sección recta 
del tubo. | 


o OA 


Como en el caso general, la circulación del tubo, ó el mo- 
mento del tubo, 6 la intensidad del tubo, que todos estos 
nombres recibe la cantidad á que nos referimos, estará re- 
presentada por el valor / de la circulación medida en la cur- 
va ab, la cual, como sabemos, tiene el mismo valor para 
otra sección oblicua cualquiera Ó para otra curva de doble 
curvatura, con tal que forme circuito cerrado alrededor del 
tubo. 

Aquí, como en el caso general, este momento ó intensidad 
puede medirse, según el teorema de Stokes, de dos modos: 
ó por la circulación I de la curva ab, ó por el flujo de torbe- 
“Ilinos sobre los puntos de la superficie ab. 

Llamando Y, á la proyección normal del eje-torbellino de 
cualquier punto de ab sobre la normal á esta sección, y lla- 
mando 2; al área de la sección recta ab, tendremos: 


alle Q, 90. 
ad 


Mas para todos los puntos de la sección ab, los ejes tor- 
bellinos son próximamente iguales y paralelos, y además 
normales á dicha sección ab; luego, tomando el eje Q corres- 
pondiente á un punto interior o de ab, la integral doble pue- 
de sustituirse por el área multiplicada por este valor medio 
del eje torbellino. En suma, el momento del tubo infinita- 
mente estrecho será: 


1=20095. 


Es decir; que el momento ó la intensidad de un filetc torbe- 
llino, es igual á dos veces el área de su sección recta por el 
valor del eje-torbellino de un punto cualquiera o del filete, 
que puede estar dentro del mismo ó en la superficie, toman- 
do, por de contado, este punto o en dicha sección recta. Y 
resulta esta propiedad importantísima: Como en otra sección 
cualquiera cd, la medida del momento del tubo debe ser 


Rev. Acap. Ciencias.-—X.—Julio, Agosto y Septiembre, 1911. 4 


a: 


siempre la misma, y para dicha sección. llamando 95, al 
área y Q, al torbellino, su valor es 


Q,95, 
tendremos 
L=035=0 097 


Es decir, que en un tubo torbellino infinitamente estrecho 
el producto del área de cualquier sección recta por el eje del 
torbellino que le corresponde, es una cantidad constante, 
característica, por decirlo así, del tubo torbellino. 

Si el tubo estrecha y la sección recta disminuye, aumenta 
el valor del eje del torbellino. 

Si la sección ensancha, el valor del eje disminuye para 
que el producto quede invariable. 

Es lo mismo, y valga esta imagen, que si el tubo fuese 
una cañería sin rozamiento y por ella circulase con movi- 
miento permanente un líquido sin viscosidad. La continuidad 
del flúido exigirá que el producto de la sección por la velo- 
cidad fuese constante. 

Este tubo, infinitamente estrecho, sigue al tlúido en su mo- 
vimiento. Si en el instante ¿era AB, en el instante 2” será 
A'B'; continuará siendo tubo de torbellino, continuará sien- 
do infinitamente estrecho y su intensidad Ó momento que- 
dará invariable. 

Puede decirse que 

005 


conserva el mismo valor en todos los puntos del tubo y en 
todas las posiciones de éste. 


+ 


De aquí se deducen algunas consecuencias importantes 
en las que sin embargo no podemos detenernos. 


A e 


Diremos tan solo que los tubos de torbellinos, de sección 
finita Ó infinitemente estrecha no pueden terminar brusca- 
- mente en el interior del flúido, sino que, Ó bien terminan 
en las superficies límites, ó vienen á cerrarse formando una 
línea continua. 

Porque en efecto, si han llegado á un punto A y para 
fijar las ideas suponemos que se trata de un tubo infinita- 
mente estrecho, como los ejes de los torbellinos son conti- 
nuos en valor y dirección, más allá del punto A, en la masa 
flúida habrá un eje de torbellino que se enlazará con el del 
punto A, y á él corresponderá una sección determinada que 
satisfaga á la ecuación que antes establecimos. 

Basta para nuestro propósito esta indicación general, de 
la que se deduce que el área del torbellino no puede anu- 


larse, única manera de que el torbellino se interrumpiera: 
para que en 


095 = Q, 95,, UE MI 


sería preciso que tuviésemos Q, = oo y puesto que las dos 
secciones están infinitamente próximas, dada la continuidad 
de los ejes de torbellino, no puede ser 2 finito y Q, infinito. 

En la conferencia próxima continuaremos estudiando es- 
tos movimientos singularísimos de un flúido perfecto que, á 
decirverdad, no sabemos si en la Naturaleza se realizaran, y 
en cambio sabemos, que en la mayor parte de los casos que 
tenemos á la vista, no se realizan; pero que aproximada- 
mente pueden realizarse y aun se han ideado experiencias 
para conseguirlo. 


MM. — Conferencias sobre Fisica matemática. 
Teoría de los torbellinos. 


Por JosÉ ECHEGARAY 


Conferencia décimoséptima. 


SEÑORES: 


La ciencia, como tantas veces hemos dicho, no es un con- 
junto de hechos, una especie de almoneda del Cosmos, si 
se nos permite expresarnos de esta manera. 

Por los hechos empieza; pero, buscando analogías y re- 
laciones y rasgos comunes de familia, si vale la palabra, los 
agrupa y clasifica, y este agrupamiento, y esta clasificación 
constituyen un primer esfuerzo de la ciencia para formarse 
como tal ciencia; porque si varios hechos se agrupan bajo 
una rúbrica común, será porque en todos ellos se encuen- 
tra algo que á todos pertenece, y de este modo empieza á 
dibujarse la unidad sobre la variedad. 

Y de este modo, repetimos, empiezan á dibujarse las le- 
yes de la Naturaleza; que después de todo, las leyes natu- 
rales vienen á expresar lo constante en lo variable, lo uno 
en lo múltiple, la unidad en la variedad, como antes de- 
cíamos. 

Al principio, estas leyes son un tanto vagas; son, en 
cierto modo, leyes de la cualidad; pero luego se hacen más 
precisas, y en las ciencias superiores, quiero decir, en las 
ciencias más perfectas, se convierten en leyes matemáticas. 
Leyes de la cantidad, leyes del orden, y, á veces, leyes de 


E > E 


la distribución geométrica, que todas ellas, á las leyes nu- 
méricas pueden referirse por procedimientos matemáticos. 

Y como decíamos en una de las conferencias anteriores, 
si para ciertas escuelas se ha llegado á la perfección única 
accesible, cuando los fenómenos se han expresado por 
fórmulas matemáticas, para otras escuelas más exigentes, con 
las fórmulas matemáticas no basta; son precisas las repre- 
sentaciones sensibles de los fenómenos. 

Para unos, las fórmulas. 

Para otros, las fórmulas y la representación plástica y 
sensible. 


Las ideas que preceden nos han guiado, en las conteren- 
cias anteriores, al estudiar el problema del movimiento de 
un tlúido perfecto. 

En la confusión del movímiento buscábamos, en primer 
lugar, la ley del fenómeno; y nos daba esta ley la aplica- 
ción de la hipótesis mecánica, ó sea de la mecánica racional 
al equilibrio y al movimiento del flúido en cuestión. 

Y la aplicación de la mecánica clásica nos procuraba la 
ley suprema del movimiento del flúido; es decir, nos ofrecía 
la solución del problema. Y esta solución la podíamos ex- 
presar de dos modos, según las variables que escogíamos. 

Si escogíamos las variables de Lagrange, teníamos un 
sistema de ecuaciones, de las que podíamos deducir las 
coordenadas x, y, z de cualquier punto en función de las 
coordenadas a, b, c de este punto en el origen del movi- 
miento, de las velocidades iniciales y del tiempo como única 
variable independiente para cada sistema de a, b, c. 

Si escogíamos las variables de Euler, los principios de la 
mecánica racional nos daban todavía otro sistema de ecua- 
ciones, de las que era posible deducir las componentes 
u, v, w de la velocidad, en función de las coordenadas x, y 
z de cada punto y además del tiempo. 


A AU 


Uno ú otro grupo de ecuaciones expresan la ley del fenó- 
meno. 

Pero, obedeciendo á la segunda de las dos tendencias 
que antes indicábamos, al deseo de buscar representaciones 
materiales, al afán de ir penetrando en el movimiento del 
flúido, para ver si en la variedad del movimiento hay algo 
constante y permanente, formas ó magnitudes, emprendimos 
el estudio, no ya de las integrales, sino de ciertas propieda- 
des deducidas de las mismas ecuaciones diferenciales; y lle- 
samos á una serie de consecuencias, que se traducen por 
algo permanente en la variabilidad, al parecer confusa, de 
los movimientos del flúido. 

Y antes de seguir adelante corriendo el peligro de que se 
nos acuse de pesadez, vamos á hacer el resumen de las con- 
secuencias obtenidas hasta ahora. 

No; en el movimiento del flúido perfecto, v dentro de las 
hipótesis establecidas y tantas veces recordadas, no todo es 
confusión, no se mezclan caprichosamente los elementos del 
flúido; bien, al contrario, guardan cierto orden y cierta for- 
mación, como ejército bien disciplinado, si no es exceso de 
retórica expresarnos de este modo. 


1.2 Cuando en un momento cualquiera varios elementos 
flúidos, infinitamente pequeños, forman una línea, en el res- 
to del movimiento la línea flúida camina y se deforma, pero 
no se deshace, ni los elementos flúidos se dispersan, destru- 
yendo la continuidad. 

Podemos decir que hay conservación de líneas. 

Así una línea cerrada continúa siendo una línea cerrada. 

2.2 Cuando en un momento dado, para un valor £ del 
tiempo, diferentes elementos infinitamente pequeños del 1lúi- 
do, constituyen lo que podemos llamar una superficie flúi- 


A 


da, y si se tratara, por ejemplo, de un líquido, podríamos de- 
cir una superfie líquida, esta superficie en el resto del movi- 
miento cambiará en general de posición, de forma, de mag- 
nitud, pero se conservará como superticie flúida y estará for= 
mada por los mismos elementos flúidos que al principio. 

Lo que decíamos de la conservación de la línea, pode- 
mos decir de la conservación de la superficie. 

No se desgarrará, no se deshará, no se pulverizará en 
polvo ilúido. 

Si era, por ejemplo, una superficie cerrada, continuará 
siendo cerrada y los elementos flúidos que estaban dentro 
de ella, dentro de ella seguirán y no penetrarán los que es- 
taban fuera. 

Y así en el fiúido perfecto y en las hipótesis particularísi- 
mas que estamos considerando, se ve desde luego, que en 
el sistema hay cierta especie de organización y cierto esfuer- 
zo de la Naturaleza hipotética, que hemos forjado, al esta- 
blecer las condiciones de flúido perfecto, cierto esfuerzo, re- 
petimos, á procurar la conservación de algo: hasta aquí una 
especie de conservación geométrica. 

3.2 Una línea cerrada, no sólo conserva su substancia 
fiñida, la misma siempre, y siempre bajo forma de línea ce- 
rrada, sino que lleva consigo, por decirlo de este modo, á 
través del movimiento, una constante numérica á que se da 
el nombre de circulación y que se obtiene, como hemos ex- 
plicado, determinando algo así como el trabajo de las velo- 
cidades de sus diferentes puntos á lo largo de la expresada 
línea. 

Conserva ésta, si la imagen vale, el cuerpo, que es el 
fiúido, el alma, que es el valor de la circulación. 

4.2 Sila línea que consideramos no es una línea cual- 
quiera, sino una /ínea-torbellino, no sólo se conserva en el 
movimiento como línea flúida en que permanecen todos los 
elementos de dicho flúido, sino que se conserva siempre 
como línea-torbellino. Es constante la substancia y es cons- 


de 


tante la propiedad de la rotación alrededor de sus tan- 
gentes. 

5." De una propiedad análoga goza toda superficie-torbe- 
llino, y ya sabemos lo que dicha denominación significa: para 
cada punto de la superficie el eje torbellino es tangente á la 
misma. 

Pues bien, tal superficie flúida se conserva en el movi- 
miento como superficie flúida, compuesta siempre de los 
mismos elementos del flúido y siempre como superficie- 
torbellino. 

Podemos repetir lo que hemos dicho hace un momento: 
se conserva la materia, se conserva la forma superficial y se 
conserva la propiedad que constituye el movimiento llamado 
rotacional. 

6.” La intersección de dos superficies de torbellinos es 
una línea-torbellino, y cuando las superficies se mueven, su 
intersección representa el movimiento de la intersección pri- 
mitiva, siempre con el carácter de línea-torbellino. 

7." Un tubo torbellino estará definido por una serie con- 
tínua de líneas de torbellinos que se apoyan sobre una línea 
cerrada. 

Sobre un tube torbellino, todas las líneas cerradas que lo 
abarcan como cinturón dan un valor único á la circulación 
de dichas líneas. Es en cierto modo un número característico 
del tubo, y en el movimiento del flúido todo tubo se conser- 
va como tubo-torbellino y su momento ó intensidad se con- 
serva constante. 

Podíamos repetir, empleando la imagen que antes empleá- 
bamos, que en el tubo torbellino hay algo así como un prin- 
cipio de organización hidrodinámica, á saber: que en su 
movimiento como flúido conserva la forma general de su or- 
ganismo; hace más que los seres vivos, porque conserva la 
substancia tlúida que lo constituye y conserva lo que pu- 
diéramos llamar su alma, que es su momento ó intensidad, Ó 
sea la circulación de cualquier circuito que lo abarque. 


ps e 


8... Lo que hemos dicho de un tubo cualquiera podríamos 
repetir de un tubo infinitamente estrecho. 

El momento en este caso tiene otra expresión más sencilla 
que para los tubos de dimensiones finitas. 

Dicho momento ó intensidad, es el producto del área 
de cualquier sección recta, por el eje del torbellino corres- 
pondiente á cualquier punto de esta sección recta; por ejem- 
plo, de un punto central. 

9.” Finalmente, es propiedad muy importante, que estos 
tubos no pueden terminar bruscamente en el interior del 
ilúido: ó han de llegar á los límites de la masa flúida, ó han 
de cerrarse en sí mismos. 

Hemos hecho el resumen de las principales propiedades, 
las más elementales de la teoría de los torbellinos, esco- 
siendo las demostraciones más sencillas y, por decirlo así, 
más plásticas; pero hay otros métodos analíticos de demos- 
tración por todo extremo elegantes; por ejemplo, las demos- 
traciones de Kirchhoff, Helmholtz y Cauchy. 

Los que quieran ampliar las ideas Ó nociones que hemos 
expuesto, pueden consultar las obras que en otras conferen- 
cias citamos, y sobre todo la de Poincaré y la mecánica de 
Appell. 

Todo lo que hemos dicho se aplica al flúido perfecto en 
general, pero los resultados obtenidos se simplifican notable- 
mente en el caso particular de que sea permanente el movi- 
miento. 


Del movimiento rotacional en el caso del movimiento per- 
manente.—Supongo que mis alumnos por el estudio de los 
flúidos, enla Mecánica racional, saben lo que se entiende 
por movimiento permanente. Además, aunque de paso, lo 
hemos definido en otra conferencia, y es tan sencillo, que en 
cualquier momento puede definirse. El nombre lo indica; 


de 


es un movimiento, que en cualquier instante es igual á sí 
mismo, es lo que era en todos los instantes anteriores. 

Si se nos permite la imagen, podremos decir: que toman- 
do dos instantes 1 y £”, los dos movimientos pueden super- 
ponerse y coinciden matemáticamente. 

En cada punto la velocidad es siempre la misma, en mag- 
nitud y en dirección, aunque será distinta de un punto á 
otro. Las mismas son las aceleraciones, las mismas cada 
línea-torbellino, cada superficie-torbellino y cada tubo. 

Un río de régimen permanente, con la misma forma, las 
mismas orillas, las mismas líneas de corriente, las mismas 
velocidades, nos da una imagen, aunque imperfecta, del 
movimiento permanente. 


Una circunstancia importantísima encontramos en este 
movimiento, que no encontrábamos en el movimiento ge- 
neral. 

A saber, que las trayectorias y las líneas de corriente coín- 
ciden; lo mismo da decir línea de corriente para un momen- 
to dado, que trayectoria. 

Y esto se desprende de la definición analítica del movi- 
miento permanente. 

Porque la definición analítica sería esta: que para cada 
punto de coordenadas x, y, z, las componentes de la veloci- 
dad son independientes del tiempo. 

El tiempo no influye sobre el movimiento permanente. 

En el movimiento general u, v, w, son funciones de x, 


IZ, 
ZE) 
v =%,(x, y, 2,1) (movimiento general). 


w=09s (%, Y) 2 l) 


EA 


En el movimiento permanente la £ no entra en estas ecua- 
ciones; y tenemos 


uU= Q1 (x, y, 2) 
v =0w,(x, y, 2) (movimiento permanente). 


W= Y (x, y, z) 


Así es, que las ecuaciones diferenciales de corriente, que 
como vimos en otra conferencia eran 


AFA EUSaea e BR UEBIO tn 10 
el (x, y, 2, t) 142 (x, y. 2, t) Ps ES Y, 2, t) 


en que debíamos considerar á f como una constante, en este 
caso son las mismas, pero no contienen f. 

Y del mismo modo las ecuaciones de las trayectorias, sien- 
do las trayectorias independientes de f, porque siempre son 
las mismas, coinciden con las anteriores. : 

A este resultado podemos llegar, por consideraciones geo- 
métricas, acaso no tan rigurosas en el concepto de algunos, 
como las consideraciones analíticas; pero con mucha más 
claridad plástica. 

En efecto. 

Sea (fig. 47), un punto A del flúido en un instante f. 

El elemento flúido que pasa por este punto, tendrá deter- 
minada velocidad V, y en un intervalo de tiempo infinita- 
mente pequeño df, describirá un elemento 


AB =Vat, 


que será evidentemente un elemento de su trayectoria. 
Pero aquí se presentan dos casos, según sea el movimien- 
to general, ó sea el movimiento permanente. 
1.2 Si el movimiento es general, AB será evidentemen- 
te un elemento de la trayectoria que pasa por A; pero en el 


punto B se separarán la línea de corriente BCD y la trayec- 
toria, B GD: 

Porque, en efecto, en el instante £, si para el punto A la 
dirección de la velocidad es AB y la dirección de la veloci- 
dad en este instante para el punto B, es BC, la línea de co- 
rriente, ó dos elementos consecutivos de ella serán AB, BC, 


E 


Figura 47. 


Pero como el elemento flúido llega á B en el instante 
it + dt, la velocidad del elemento que pasa por B habrá 
cambiado de dirección y no será BC sino BC”. 

Era BC en el instante +. Es BC” en el intante t + dí y 
precisamente para este momento BC” es el camino que sigue 
la partícula fiúida que partió de A en dicho instante +; como 
antes decíamos, ABC era la corriente del flúido, es decir, la 
corriente de velocidades para el instante 7 y ABC” esla tra- 
yectoria. 

2.” Pero si el movimiento es permanente, la dirección de 
la velocidad en B es siempre BC, lo mismo en el instante f 
que en el instante f£+- dE. | 

De modo que, BC” coincide con BC, y ABC es al mis- 
mo tiempo la línea de corriente Ó de velocidades, que pasa 


A UTE 


por A, y la trayectoria del elemento flítido que pasa por este 
punto A. 

Estas consideraciones simplifican los resultados que antes 
obtuvimos, y nos suministran un nuevo concepto geométri- 
co, el de superficies de corriente y de torbellino al mismo 
tiempo, Ó, si se quiere, de corriente, de trayectoria y de tor- 
bellino. 


Sea (fig. 48) 44,437 una línea de torbellido en un ins- 
tante dado f. 


Figura 48. 


Tomemos en esta línea una serie de puntos, tantos como 
se quieran, A, Ay, As ..... y pasemos del instante fá una se- 
rie de instantes sucesivos Í + d f..... 

El punto A en esta serie de instantes seguirá su trayecto- 


O 


ría, que representaremos por A C, y que, como el movi- 
miento es permanente, será la línea de corriente ó de velo- 
cidades que pasa por el punto A. Si se nos permite la com- 
paración, A C, será como una cañería por donde el flúido 
circula constantemente. 

El elemento flúido, situado en A, nunca abandona esta 
cañería; lo que hace es pasar de AáByáC..... 

Y como el movimiento es permanente, mientras el ele- 
mento que estaba en B pasa á C, el que estaba en A pasa 
á B, y otro elemento de la cañería viene á A en sustitución 
del que ha pasado á B. 

Si pudiéramos con la vista seguir al flúido en esta cañe- 
ría, hasta podríamos creer que dicho flúido estaba inmóvil. 

Lo que hemos dícho para el punto A podemos repetir 
para el punto A;,, trazando la trayectoria Ó línea de veloci- 
dades ó cañería infinitamente estrecha A, B, C.. 

Y otro tanto puede repetirse para el punto A, ó elemento 
que en él se encuentre en el instante f; y en suma, para todos 
los puntos de la línea de torbellino A 7. 

Ahora bien, el lugar geométrico de todas las líneas A C, 
A, C;,, Az Co» ....., que á la vez son lineas de corriente y tra- 
yectorias, forman una superficie S, que es en cierto modo 
una hoja fiúida del movimiento, y para abreviar, este nom- 
bre podemos darle: hoja flúida del movimiento permanente. 

Ahora bien, como para el instante £ + d £ el punto A vie- 
ne á B, el A, al B,, el A, al B, y así sucesivamente, la lí- 
nea de torbellino 7 se habrá transportado á B T,, y en el 
instante siguiente se transportará á C T,; siempre apoyán- 
dose sobre laslineas EC. O Cs 

En resumen, sobre cada hoja flúida, según el nombre que 
les hemos dado, están las diversas posiciones de la línea de 
torbellino T, que ha servido de directriz á la superficie S, 
las lífieas ¡de icorriente ¿CNELICOS cum. y las trayectorias de 
los diferentes puntos de la linea de torbellino, que son estas 
mismas líneas de corriente. 


RE 


El flúido que en un instante se encuentra en una hoja 
fiúida, no la abandona nunca. 

Y si consideramos una serie de hojas flúidas análogas á la 
aten 0), e podemos decir, que el movimiento per- 
manente se realiza por hojas flúidas de líneas de torbe- 
llino. 

La hoja S siempre se conserva ella misma, sin que el 
fido que está en ella pase á S,, S) ..... 

Veamos ahora cuál será la ecuación de dichas hojas flúi- 
das, que representan un papel importante en estas cues- 
tiones. 


o 
ES 


Recordemos las ecuaciones generales del movimiento de 
un flúido en el sistema de Euler, que eran las siguientes: 


Linea a e 
2 dx dx d y azi Nat: 
os Mi Eo Cel A 
p dy dx dy dz dt 
DI E AE A A 
aa dx d y dz dt 
¿== (0), 

de d (pu) d (p v) d (2 w) 

—— Ye ALA A E AL = 0, 

dí E ao A d y A da 


Estas ecuaciones tienen, como dijimos en otra ocasión, 
forma regular para ser integradas. 

Las funciones desconocidas son 4, V,w, p, e, y no entran 
en dichas ecuaciones más que estas cantidades como funcio- 
nes desconocidas. 

Además las variables independientes x, y, z, y por fin, las 
derivadas de aquellas funciones con relación á estas varia- 
bles independientes. 


e Ge 


Fácilmente se pueden poner bajo otra forma que tiene im- 
portancia para nuestro objeto. 

Si representamos, siguiendo en este caso, y en otros mu- 
chos, las notaciones de Mr. Appell en su Mecánica racio- 
nal, por W la velocidad del elemento de flúido que ocupa en 
el instante £ el punto (x y,z), como las componentes de 
esta velocidad las hemos representado por u, v, w, tendremos 
evidentemente: 


W? = u? — Y? + w?, 


ó también 


De aquí se deduce una identidad, restando de 


d d el 
Aaa + y lo el primer lugar d -=——= y 
dz dx 


als d y 


du dv dw 
después su igual uy —— V— +Ww-—--,á Saber: 
a s OSE Al 0408 de 0453 


sE 


y simplificando 


U—— + V —— +W— = 
den Pel dos Du) da deal mad 
du d v du dw 
vV (| —— == — w| — —= — 
mo a EE) (7 a, 


pero los paréntesis del último miembro, según la notación 
adoptada para los torbellinos, son precisamente — 2 É Zi 
luego tendremos por último, 


d E 
du du du 2 


UU —— PV =—— + W — = ————— + 2 (8, w—£E0v), 
ON dy dz dx 39 rá ) 


y sustituyendo este valor en la primera de las cinco ecuacio- 
nes del movimiento, resultará 


4 W? 200 


Repitiendo los mismos cálculos para las otras dos ecuacio- 
nes del movimiento, obtendremos 


po dy d y 
el de d o 


o dz OR dz 


Todo esto que hemos explicado, son puras transforma- 
ciones analíticas, en que no hemos hecho otra cosa, que in- 
troducir nuevas cantidades W, (, 1, £, enlazadas con U,V, W 
por ecuaciones de forma conocida. 

Pero hemos de aplicar estas ecuaciones al caso de los tor- 
bellinos, y este caso depende de varias hipótesis, que vamos 


REV. ACAD. DE CIENCIAS. —X.—Julio, BSO y Septiembre, 1911, 5 


a 5 UNÍA 


á suponer satisfechas para las fórmulas precedentes, con lo 
cual aquellas fórmulas generales serán aplicables á la teoría 
de los torbellinos que vamos estudiando. 

En primer lugar, admitíamos que para las fuerzas que ac- 
tuaban sobre el flúido existía una función de fuerzas, que 
llamábamos U; de modo que tendremos 


a 
dx d y dz 
Además, dentro de la misma teoría de los torbellinos, con- 
siderábamos el caso particular del movimiento permanente, 
de modo que u, v, w eran funciones de x, y, 2, pero inde- 
pendientes del tiempo; de donde resulta 


Más aún, como prescindimos de la temperatura, puesto 
que la consideramos constante, ó mejor dicho, igual Á cero, 
para no complicar el movimiento general del fiúido con los 
supuestos movimientos vibratorios del calor, la ecuación 


e =$ (9) 


nos permite simplificar los primeros miembros de las tres 
primeras ecuaciones del movimiento, según ya hemos hecho 
en otra ocasión. 

Porque en efecto tendremos, representando por P la in- 


tegral 
p=/. dp pis P dp 
ao P, F(p) 


Ó llamando f, (p) á la integral en p 
P= f. (Pp) —f (P.). 


a 0 


Ahora bien, p es función sólo de x, y, z, y no de £, porque 
el movimiento es permanente; luego por las reglas de la di- 
ferenciación resultará 


AP _dhi(p) dp AP _df(p) dp 4P_ df( dp 
dx dp aba ay do dy: dz AO E 


toda vez que f,(p,) es una constante. 
Y como evidentemente, según resulta de la integral primi- 


tiva, la derivada de P con relación á p es Ó bien da 
P 
tendremos 
df, (p) AN 
dp e 


y las tres ecuaciones anteriores se convertirán en 


de el aledpsd da da PO) ap 


O ar 


Introduciendo todas estas modificaciones en las tres pri- 
meras ecuaciones generales del movimiento, se transforma- 
rán éstas en las siguientes: 


dp dU al w) 
KT == —— — MA — 2 (nw — Ev) 
a dx ar 


¡Emi AENOR Debe 


dime dl) 
a a NE NE 1, 8). 


GS 


Aa EUA 
RI Mi A 


ax dx alos 
dp dU e E 
A A A E SEL == 2 (¿E w — $01) 
dy d y d y 
dp dU a w:) 

>= — Ll — —_————— =2 nua— V). 
dz EZ diz Un 21) 


Las tres cantidades P, U, > W? están diferenciadas en 


los primeros miembros de las tres ecuaciones, respectiva- 
mente, con relación á x, y, 2; luego podemos escribir 


d(P + W-=8) 


=2 ((1—71W), 
dx S e) 
diia, 
2 E 
2(<w—¿u) 
aya 
a(P4>3 WU) 
= 2 (94€ v). 
dz E ) 


Y si representamos por una letra la cantidad comprendida 
dentro del paréntesis en los primeros miembros, habremos 
reducido las tres primeras ecuaciones del movimiento á una 
forma sencillísima. 

Haciendo, pues 


P4 WU =H 


00 


resultará 
dH 
=—— =2(6vV—0“qw 
po (E 1, W) 
dH 
A ; 
y = 26910 0 
o o 0) 
dz , 


No olvidemos que H es una función de x, y, z en que no 
entra el tiempo. 

Y si el problema estuviera resuelto sería una función co- 
nocida de estas tres variables x, y, 2, porque, en efecto, 


P es f a y por lo tanto, una función de p, la cual, re- 
J) JD 


suelto el problema, es una función conocida de Xx, y, 2. 

W es la velocidad en cada punto, y será también una 
función de x, y, z sin que entre el tiempo ni en p ni en u, v, 
w, pues el movimiento es permanente. 

Por último, U es la función de fuerzas, que por definición 
es función de las tres variables independientes X, y, 2. 

Y no olvidemos tampoco, y esto es importantísimo, que 
las tres ecuaciones anteriores, que son las tres primeras del 
movimiento, se refieren á un caso particular, cuyas condi- 
ciones hemos fijado y eran: 

1.2 Que las fuerzas tenían una potencial. 

2.2 Que p era función de p. 

3. Que el movimiento era permanente. 


* 
- 


Y ahora volvamos á nuestro objeto y á la figura 48. 
Recordemos, ante todo, que hemos considerado dividida 
la masa fiúida en hojas ó superficies S, S,, S3..... en cada 


0) es 


una de las que se encuentran situadas las líneas de torbelli- 
nos T, T,, T,..... para los diferentes instantes del tiempo. 

Más claro; la línea de torbellino T, que corresponde al 
instante f, se mueve en la superficie S ocupando las posicio- 
nes T,, T3..... Cuando 7, pasa á T, es sustituida por T y 
ésta por otra anterior. 

Para un observador que pudiera distinguir estas diver- 
sas líneas de torbellino, todas parecerían inmóviles, porque 
cuando una abandona su posición es sustituida idéntica- 
mente por otra. y | 

Además, las líneas de velocidades, ó sean las trayectorias, 
también se encuentran sobre dicha superficie $; por lo tanto, 
estas superficies son fijas en el espacio y el movimiento se 
verifica sobre cada superficie sin salir de ella, y gráficamen- 
te puede representarse este movimiento por el de las líneas 
de torbellino que se sustituyen unas á otras. 

Lo mismo puede repetirse para las demás superficies ú 
hojas flúidas S,, S»....., que son otras tantas superficies de 
movimiento, en las cuales el flúido se desliza. 

Ahora bien, al empezar esta digresión dijimos, que nues- 
tro objeto era determinar la ecuación de las superficies $. 

Precisamente vamos á demostrar que la ecuación de cual- 
quiera de estas superficies es 


HE CS 


siendo C una constante arbitraria, distinta para cada supei- 
ficie S, S,, S,, y que por su valor en cierto modo las carac- 
teriza. 

Ya sabemos que si el problema estuviera resuelto, H se- 
ría una función de x, y, z que se podría conocer sin difi- 
cultad, bien acudiendo á la expresión de H, que es función 
de u, v, w, de p y de U; ya, si se quiere, al segundo miem- 
bro, que si se expresa en función de x, y, z poniendo por 
u, v, w, £, 1, € sus valores en x, y, z, se convertirá en una 


Eo A 


función de estas variables, idéntica á la del primer miembro, 

Pero la torma de las ecuaciones (1), nos demuestran in- 
mediatamente cuál sea la ecuación de las superficies $. 

Y llegamos á esta demostración sin pasar por las inte- 
orales del problema, con sólo poner las tres primeras ecua- 
ciones diferenciales bajo dicha forma (1). : 

He aquí la demostración: 

Vamos á demostrar, primero: que todas las líneas de tor- 
bellino están sobre la superficie H == C. 

Partamos del punto A y recorramos un arco infinitamente 
pequeño A A, sobre la linea-torbellino. 

Las componentes de este arco serán las que se deducen 
de las ecuaciones diferenciales de la línea-torbellino 


dx d dz 


EIN E NN 


€ 7 d 


p) 


en que llamamos 4 al valor común de los tres quebrados, así, 
pues, 
de ME ay Mins 6 0 MS: 


Por otra parte, si en la ecuación 4H = C damos á la cons- 
tante C, lo cual siempre es posible, un valor tal que la su- 
perficie determinada por dicha ecuación pase por el punto 
A, diferenciando H, es decir, pasando en la superficie 
H=C del punto A á otro infinitamente próximo, ten- 
dremos: 

dH dH dH 
dE dx + dy dy + dE dias 


Y sustituyendo en vez de las dx, dy, dz, de esta última 
ecuación, los tres valores antes escritos, que corresponden al 
punto A,, resultará 

dH Ent dH 


d H 
=— -— m2. + 5), 
dx r d y o pea 


e Ta 


ó bien 


MA 
(Bios dy dz 


Pero esta expresión, vamos á demostrar, que resulta igual 
á cero, lo cual nos probará que el punto 4, se encuentra 
en la superficie A= C, y que, por lo tanto, el elemento 
A A, está todo él en dicha superficie. 

Y como partiendo del punto A,, podemos demostrar que 
el punto A, se encuentra en la superficie de que se trata, y 
así sucesivamente habremos probado que toda la línea de 
torbellino 7, se encuentra en la superficie H= C que pasa 
por el punto A. 

Sólo nos queda por demostrar, que la última expresión, ó 
lo que es lo mismo, su paréntesis, es igual á cero. Para ello 
multipliquemos las ecuaciones (I) por £, 1, €, y sumemos: 
resultará, 

dH dH dH 


E Edo 


= 2 (Ev — Enw + aw — n£u + Enu — E Ev), 


en que el segundo miembro se reduce idénticamente á cero. 
Tendremos, pues, lo que nos proponíamos demostrar: 


dA 


0 
o 


dH a A 

dx E dy EE 

Lo mismo que hemos demostrado, que la línea-torbellino 

T, está contenida en la superficie H = C, correspondiente 

al punto A, podemos demostrar, que la trayectoria A C, Ó 

línea de corriente, está situada en dicha superficie. Basta 
para ello ver que sustituyendo en la diferencial de A, 


Cunas di 


dH 
— q — dz, 
dx d y 0 dz 


PEA 


en vez de dx, dy, dz, los valores del punto B, esta expre- 
sión se reduce á cero. Pero las ecuaciones de la línea de co- 
rriente, ó de la trayectoria, sabemos que son 


siendo 7 el valor común de los tres quebrados. 
Y de aquí se deduce 


MA O A E 


que sustituidos en la diferencial de A dan 


dH dH dH 
-—— pu UV --—— po, 
A OS 
Ó bien 
e dH dH 
, A 
dx dy dy 


Todo queda reducido á demostrar que esta expresión, ó el 
paréntesis, se reduce idénticamente á cero; porque esto nos 
demostrará que los incrementos infinitamente pequeños, á 
partir de A, en la línea de corriente A C, es decir, las com- 
ponentes del elemento AB, satisfacen á la ecuación diferen- 
cial de H= C; es decir, que son incrementos de las coor- 
denadas de A en esta superficie. Y así en esta superficie 
estará el punto B y el elemento AB. 

Partiendo de B, demostrariamos que el elemento BC es- 
taba todo él en dicha superficie, y continuando de este 
modo resultaría que toda la línea de corriente A C estaría en 
la superficie H = C que pasa por el punto A. 


e 


Vamos á demostrar ahora, partiendo de las ecuaciones (1), 
que 


es igual á cero. E 
Basta para ello multiplicar las ecuaciones (Í) por 4, v, w y 
sumar. Tendremos: 


dH el dH 
— u wW 
dx d y dz 


(vu — qwu + £wv— Luv + qwua — ¿vw); 
, 


pero el segundo miembro es idénticamente nulo porque se 
destruyen sus términos dos á dos; luego resultará 


ae ón CA 
ales dy az 


que es precisamente lo que nos proponíamos probar. 

Tendremos, pues, que el punto B estará en la superficie 
HA = C que pasa por el punto A y como otro tanto podria- 
mos demostrar para el punto C y para todos los puntos de 
esta línea de corriente, resulta demostrado que dicha línea 
AC está por completo en la superficie H = C perteneciente 
al punto A. 

En suma; en dicha superficie se encuentran la línea de 
torbellino A T y la línea de corriente A C. 

Si repetimos la demostración partiendo de los puntos 
A,, A»..... de AT, que todos están en la superficie A == C del 
punto A, demostraremos que todas las líneas de corriente 
AGB As Bois. están en dicha superficie. 

Y si se repite todavía esta misma demostración, partiendo 
de los puntos B, C..... veríamos del mismo modo, que en la 


E AN 


misma superficie se encuentran todas las líneas de torbelli- 
AS E AN 

Resulta, pues, en resumen, que H = C es la ecuación de 
cualquiera de las hojas S, S,, $; ..... 

A cada hoja corresponderá un valor determinado de la 
constante C. 

Si el problema estuviera resuelto, como H no contiene 
más que las componentes de la velocidad, la presión p y la 
potencial U, que son funciones de x, y, z el primer miembro 
sería la ecuación de dichas hojas en las coordenadas ordi- 
narias. 

Y con esto damos por terminado el estudio preparatorio 


de los torbellinos, ó sea de los movimientos rotacionales, 
sin perjuicio de ampliarlo más adelante. 


de O 


IV.— Conferencias sobre Fisica matemática. 


Teoría de los torbellinos. 


Por JosÉ ECHEGARAY 


Conferencia décimooctava. 


SEÑORES: 


En las últimas conferencias hemos demostrado ciertas pro- 
piedades fundamentales y verdaderamente muy curiosas de 
la teoría de los torbellinos, ó sea del movimiento rotacio- 
nal de un flúido perfecto. 

Esta idea del flúido perfecto es una creación ideal del ma- 
temático: en la Naturaleza no conocemos ningún flúido per- 
fecto; de modo que las consecuencias á que hemos llegado, 
son puramente hipotéticas y al venir á la realidad, ó no se 
verificarán, Ó sólo se verificarán de una manera aproximada. 

Sucede, con la teoría de los torbellinos, lo que con tantas 
otras teorías de la ciencia, empezando por las Matemáticas 
puras, con la Mecánica racional y con casi todas las teorías 
de la Física Matemática. 

La inteligencia humana, apoyándose en la lógica y sir- 
viéndose de la imaginación, crea mundos especiales dota- 
dos de ciertas leyes; mundos que el sabio hace brotar de la 
nada, en las regiones, en los dominios, pudiéramos decir, de 
su cerebro. 

Y desarrolla esos mundos ideales de su propia creación, 
y les aplica las matemáticas, y obtiene fenómenos diversos. 

Y luego, cuando cree tener bastante avanzada su Obra, 


Le E 


aplica esta creación ideal con todas sus leyes y todos sus 
accidentes, á los fenómenos del mundo real, para ver si el 
mundo ideal, que ha creado, se ajusta más ó menos íntima- 
mente al mundo de la realidad, ó á algún pedazo de esto que 
llamamos Naturaleza. 

Y sino hay tal ajuste, si no hay coincidencia, ó por lo 
menos paralelismo entre ambos órdenes de fenómenos, si al 
determinar las constantes del mundo ideal, para que se aco- 
mode al mundo de la realidad, es imposible obtener de una 
manera concordante los coeficientes de las fórmulas mate- 
máticas, el trabajo será perdido, al menos para la práctica, 
la teoría inútil, el esfuerzo pura gimnasia del entendimiento 
y de la imaginación. Pero esta gimnasia tiene su utilidad, no 
lo olvidemos. 

Mas si, por el contrario, la creación ideal se ajusta á los 
hechos reales y cada combinación de estos últimos tiene un 
simbolismo propio y adecuado en una combinación de los 
primeros, si por diversos caminos se llega á los mismos 
coeficientes numéricos, y aplicando las fórmulas matemáticas 
se consigue prever nuevos hechos y nuevos fenómenos, 
antes jamás observados, entonces la teoría es buena, legiti- 
ma y fecunda. Y puede creerse, que durará mucho tiempo, 
hasta que la realidad inagotable del Cosmos se desborde y 
se aleje de aquel símbolo científico, como una curva se des- 
borda y separa del círculo osculador, que en buena parte 
del curso de la primera á ella puede sustituirse con venta- 
ja, y que siempre quedará como aproximación de una ley 
más complicada, como primer grupo, si se nos permite la 
imagen, de varios términos de una serie convergente. 

Y así, viniendo á nuestro objeto, decimos una vez más, 
que aun cuando la teoría de los torbellinos suponga cier- 
tas hipótesis y sea, en toda su pureza, una teoría ideal, aun 
con estas restricciones puede tener y tiene verdadera impor- 
tancia én el estudio de la hidrodinámica Ó, mejor dicho, de 
los flúidos reales. 


Las curvas, filetes, ondas y remolinos, que forma un ci- 
garro al arder, .y que se elevan por el espacio, no son, se- 
guramente, torbellinos de la teoría ideal; pero cierta tenden- 
cia hay en ellos á esta creación idealista. 

Y otro tanto podemos decir de las burbujas de hidrógeno 
sulfurado, al estallar y elevarse en anillos por el espacio. Y 
aparatos se han construído para expulsar, de una caja llena 
de humo, algo así como anillos que representan, hasta cier- 
to punto, curvas cerradas de torbellino. 

Aun en las teorías del éter, á veces, asalta la tentación de 
imaginar, que está poblado de torbellinos de diversas for- 
mas y, por fin, no hace muchos años que la estabilidad de 
los átomos de la Química se asemejaba á la estabilidad de 
los tubos y anillos, que para los torbellinos demostrábamos 
en las últimas conferencias. 


Las condiciones, que definían el flúido perfecto, eran apli- 
cables al movimiento más general de esta substancia, así 
como á la naturaleza de las fuerzas que sobre él debieran 
actuar; mas al estudiar la teoría de los torbellinos, aún pre- 
cisábamos más aquellas condiciones á que acabamos de re- 
ferirnos. 

Decíamos, por ejemplo, que las fuerzas X, Y, Z, habían 
de tener una potencial U; y aún debíamos agregar que esta 
función había de ser uniforme y continua. Todo ello para 
que de este modo las aceleraciones tuvieran una potencial, 
es decir, para que las tres primeras ecuaciones del movi- 
«miento se expresasen de este modo: 


dol dO AMO daa 
di? ax are A eN dz 


JUN YO MA 


Expresiones en las que O pudiera considerarse como una 
función uniforme y continua de X, y, Z. | 

Decimos que pudiera considerarse y nada más, porque en 
general dicha función Q será desconocida para nosotros, á 
menos que no hayamos de antemano resuelto el problema. 

Pero, aun sin resolverlo, si Q puede considerarse como 
tal función uniforme y continua de x, y, z, f, sin necesidad 
de pasar por la integración podemos demostrar, como he- 
mos demostrado, muchas propiedades de los torbellinos. 

Todo esto, que vamos indicando con cierta vaguedad, se 
refiere á cuestiones muy delicadas; pero en que no pode- 
mos detenernos, porque sería alejarnos á gran distancia de 
nuestro objeto. : 

Agreguemos, sin embargo, á lo dicho, alguna otra nueva 
observación. 


Decíamos en otra conferencia, que había tres problemas 
entre los que existían grandes analogías analíticas: 

El de transformación de figuras. 

El de deformaciones de sistemas elásticos. 

Y el de movimientos de flúidos. 

En todos ellos se pasaba de un sistema de puntos á otro. 
Ya sean estos sistemas, puntos de una figura, ya elementos 
de un sólido elástico, ya elementos tlúidos del tlúido en mo- 
vimiento. 

Y de un sistema se pasaba á otro por tres ecuaciones, que 
expresaban las coordenadas del segundo sistema en función 
de las coordenadas del primero, según explicábamos deta- 
lladamente en otra ocasión. 

Si, por eiemplo, a, b, c, eranlas coordenadas de un pun- 
to de la primera figura, y Xx, y, z las del punto correspon- 
diente á éste, en la figura transformada, las fórmulas de 
transformación serían, 


e 


x=fx (a, b, c), 
y=f, (a, b, E), (1) 
Z =f2 (a, b, c). 


Y en el caso del movimiento de un flúido podríamos repe- 
tir otro tanto, sólo que, en el segundo miembro, debería en- 
trar el tiempo f como una constante, que por su valor deter- 
mina el momento á que se refiere el segundo sistema, es decir, 


E) 
y=f, ds b, C, 1) (2) 
2 Y OO Ce 


Claro es que, tanto en el grupo (1) como en el grupo (2), 
á cada punto a, b, c, corresponde un punto x, y, z; y claro 
es todavía que, tanto en el sistema (1) como en el siste- 
ma (2), es decir, en los dos problemas de transformación de 
figuras y de movimiento de un flúido, las fórmulas de trans- 
formación son las mismas para todos los puntos. 

En el grupo (1) por definición del problema, porque 
todos los puntos se transforman por la misma ley analítica. 
En el grupo (2), porque son las integrales de Lagrange y to- 
das las trayectorías están dentro de estas fórmulas, sin más 
que variar para cada instante las coordenadas iniciales a, b, c. 

Pero hay algo sobre lo cual llamamos la atención de 
nuestros alumnos en otra conferencia y que ahora debemos 
recordar, toda vez que se ha de enlazar con lo que dijimos 
al principio de ésta. 

En el grupo (1), cuando sólo se trata de transformación 
de figuras y es un problema que nosotros planteamos, por 
decirlo de este modo, con entera libertad, con entera liber- 
tad podemos escoger la forma de las funciones f, y podemos 
establecer la siguiente condición fundamental: 

Que x, y, z, sean uniformes,.con relación á a,b, c, y re- 
ciprocamente, que si del grupo (1) despejásemos a, b,c, en 


AED" PAGADA 


función de x, y, z, fuesen a, b, c, uniformes, con relación 
á Xx, y, z, también. 

Más claro: que á un punto de la segunda figura, sólo co- 
rresponde un punto de la primera, y que á un punto de la 
primera, sólo corresponde un punto de la segunda. Se co- 
rresponden, pues, por manera unívoca. 

Pero en el grupo (2), las funciones /, no dependen de 
nuestra voluntad, son integrales que se deducen de las ecua- 
ciones diferenciales, que hemos establecido. 

Y estas diferenciales y estas integrales, contienen fuerzas 
que en el problema general pueden ser cualesquiera y cabe 
esta duda: ¿Las funciones f del grupo (2) serán uniformes, 
es decir, á cada sistema a, b, c, sólo corresponderá un sis- 
tema Xx, y, z, y recíprocamente? 

Y si esto no siempre sucede, ¿qué condiciones deberán 
verificarse para que tal uniformidad recíproca subsista? 

Este es un problema de análisis, que no podemos tratar 
aquí; pero que debíamos recordar, y aun más, que debíamos 
recomendar á nuestros alumnos. 

Es problema, que depende de la teoría general de la inte- 
gración deecuaciones diferenciales, y sobre el cual, prescin- 
diendo de trabajos especiales y ateniéndonos á la teoría or- 
dinaria, debemos recordar los métodos, tan generales como 
profundos de Cauchy, que los aficionados á estas materias 
de la ciencia pura, pueden encontrar en varias obras de las 
que no citaré más que tres: 

El cálculo diferencial é integral de Humbert. 

El de Jordán y el de Coursat, que ya he citado en otras 
Ocasiones. 

Allí verán los teoremas que se llaman de existencia de las 
integrales, y cuando son holomorfas, y cómo pueden ob- 
tenerse series convergentes que las expresen, y cómo se pro- 
cura extender la serie de Taylor. 

Pero todo esto, con ser de suma importancia para nuestro 
caso, por su extensión, porque son problemas que no de- 


Rev. ACAD. DE Ciencias. —X,—Julio, Agosto y Sepfiembre, 1911» Ei 


ero, A 


ben tratarse á la ligera y por ser materia que corresponde á 
otra asignatura, no puede ser desarrollado en estas confe- 
rencias. 

Demos, por supuesto, que se verifican las condiciones in- 
dispensables para que los teoremas, relativos á la teoría de 
los torbellinos que hemos citado, sean rigurosamente exac- 
tos, y continuemos nuestra tarea. 


Dos clases de movimientos, según hemos dicho, pueden 
presentarse en el movimiento de un flúido perfecto. 

Los movimientos rotacionales, en que cada elemento del 
fiñido gira, en un intervalo di, un ángulo infinitamente pe- 
queño. 

Y movimientos ¿rrotacionales en que los movimientos de 
rotación desaparecen y los elementos del flúido sólo expe- 
rimentan movimientos de traslación, y contracciones Ó ex- 
pansiones, paralelamente á los tres ejes de un elipsoide, de- 
terminado en cada instante para cada punto. 

Los primeros movimientos, es decir, los rotacionales, se 
presentan y, como hemos visto, subsisten, cuando los tres 
binomios, ó por lo menos uno, 4 


AE du dw dv du 


dy az eos dy 


tienen valores finitos, porque entonces la rotación, por uni- 
dad de tiempo, será finita también. 

El movimiento irrotacional se presenta cuando los tres bi- 
nomios anteriores son nulos y, por lo tanto, 


de 


de dudo dy 
dy dao az de a dy 


Ar A 


En todo punto, ó en toda extensión, en que los valores 
de u, v, w, en función de x, y, z, satisfagan idénticamente 
_álas tres condiciones anteriores, el movimiento del flúido 
será irrotacional. 

- En un flúido, ¿pueden presentarse, á la vez, ambos mo- 
vimientos ? 

Una región del flúido, ¿puede estar sujeta á movimiento 
rotacional, es decir, que todos sus elementos giren y otra 
porción del ilúido á movimiento irrotacional? 

Parece que sí, y que esto depende de las condiciones ini- 
ciales; porque si en el instante inicial,  = o, en ciertas re- 
giones del flúido, se verifican las condiciones precedentes, 
que son las que expresan que la velocidad tiene una poten- 
cial; esta condición subsistirá en todo el movimiento que 
emana de dicha región, y esta porción del flúido conservará 
constantemente su movimiento irrotacional. 

Y si en el resto del flúido los binomios anteriores tienen un 
valor finito, el movimiento en toda esta región será rotacio- 
nal en cierto instante y continuará siéndolo para tal porción 
del fiúido durante todo su movimiento; entiéndase que nos 
referimos al flítido, no al espacio geométrico. 

Lo hemos demostrado; los movimientos rotacionales, en 
las condiciones tantas veces explicadas, ni se crean ni se 
anulan: sería preciso, por ejemplo, someter de nuevo al sis- 
tema á fuerzas que no tuvieran una potencial. 

Sería preciso, y valga este caso, que apareciesen roza- 
mientos ó viscosidades. 

Pero sobre todo esto, si tenemos tiempo, algo diremos en 
otra ocasión. 

Por ahora, admitiremos la posibilidad de la coexistencia 
en un flúido de los movimientos rotacionales € irrotaciona- 
les, merced á las condiciones iniciales del sistema. 

Cierto es, que aquí aparece como la sómbra de una duda; 
porque para dicho instante inicial, aunque las velocidades 
sean continuas y, por lo tanto, lo sean sus componentes u, 


pS Ss A 


v, W, y aunque sean continuas sus derivadas, con relación 
á x, y, z, una discontinuidad aparece, que no deja de infun- 
dir cierta inquietud en el ánimo, del que aspira á la cleridadr 
absoluta en todas estas materias. 

Los binomios citados, que expresan cantidades propot- 
cionales á las componentes £, z, € de la rotación, en un 
dominio del flúido, tienen valores finitos, y de pronto, Ó 
lentamente, se anulan y se conservan nulos en todo el resto 
de la masa ilúida. 

Esta discontinuidad claro es que se explica en parte 
por discontinuidad en las fuerzas iniciales; pero parece 
que exigiría más amplias explicaciones, siquiera tales dis- 
continuidades se presenten en otros muchos problemas de 
la Física matemática, como tendremos ocasión de observar. 

Sin ir más lejos, en la Electroestática y aun en la Hidrodi- 
námica, el movimiento de las ondas presenta problemas 
análogos. 

Las observaciones que preceden nos deca á dividir 
este estudio elemental, que estamos haciendo, de la Hidro- 
dinámica en tres grupos ó partes distintas: 

Primero. Estudio del movimiento rotacional. 

Segundo. Estudio del movimiento irrotacional. 

Tercero. Caso en que, en un mismo flúido, existen estos 
dos movimientos. 

Este caso, que es el más general, es importantísimo, y no 
sé si en el curso presente podremos estudiarlo, al menos en 
su parte elemental, ó si nos veremos obligados á dejarlo 
para el curso inmediato. 

De los movimientos rotacionales de las líneas, tubos y su- 
perficies de torbellino, ya hemos dicho algo, al menos lo 
más esencial. 

Debemos ahora hacer un estudio, siquiera sea muy rápi- 
do, de los movimientos irrotacionales. 


e POE 


Movimientos irrotacionales de un flúido perfecto.—Vamos 
á empezar del mismo modo que empezamos en los movi- 
mientos rotacionales. Por el movimiento de una curva cerra- 
da y por el estudio de su circulación. 

Sea (fig. 49) un espacio E del flido que consideramos, en 
que el movimiento es irrotacional. 


Figura 49. 


E imaginemos en este espacio una curva cerrada C. 

Si para diferentes puntos de esta curva a, b, c....., las velo- 
cidades de los elementos flúidos infinitamente pequeños que 
ocupan dichas posiciones a, b, c.... tienen en un instante ?, 
las velocidades V, V”, V”....., sabemos que se llama circu- 
lación, en el instante f, de la curva C, la integral relativa á 
toda la extensión de la curva de los productos de cada ve- 
locidad V, proyectada sobre el elemento a b, por la longitud 
de dicho elemento. 

Así, que si llamamos « al ángulo V a b, tendremos 


circulación de C en el instante £ = Ñ V cos ads. 
JC 


SO 


De suerte, que considerando á V como una fuerza, esta 
integral representaría el trabajo de las fuerzas V á lo largo 
de la curva C. 

Y como sabemos, que el trabajo de una resultante es igual 
á la suma de los trabajos de las componentes, llaman- 
do u, v, w, las componentes de V, y dx, dy, dz, á las com- 
ponentes de a b = (s, también podremos escribir la expre- 
sión anterior en esta forma: 


Ele C= [((uax + vay 4 wd) 
HE 


que es la que hemos empleado en conferencias anteriores. 

El teorema de Helmholtz nos demuestra que, si el movi- 
miento es rotacional, la expresión anterior es constante para 
todos los instantes. 

Y ahora vamos á demostrar, que en el movimiento irrota- 
cional dicha integral es nula, aunque sólo en ciertos casos, 
que esto luego lo explanaremos. 

Así, pues, el valor de la circulación caracteriza y distin- 
gue unos movimientos de otros. 

Para los rotacionales es constante en cualquier momento. 

Para los irrotacionales también es constante; pero su valor 
es nulo. 

Vamos á demostrar el terorema para este último caso y 
podemos darle una forma más precisa; según hace monsieur 
Appell. 

Si la curva cerrada C se contrae según C”*, C”, hasta con- 
densarse en un punto P y si la superficie, que engendra en 
este movimiento, está toda ella en el espacio irrotacional, sin 
salirse nunca de él, todo esto, en un instante determinado £, 
para ese instante, la circulación en la línea C, será igual á 
cero. 

La demostración es bien sencilla. 

Y al principio parece inmediata. 


ad SA, E 


Porque, en efecto, como el movimiento es irrotacional, 
para todos los puntos de la curva C, debemos tener 


du _ de due _dw dv _dw 
dy ala dx Waz dy 


luego udx + vdy + wdz es una diferencial exacta de x; y, Z. 
Si representamos esta función por e (x, y, 2) tendremos 
audx + vdy + wdz =d0(x,y,2). 
Por consiguiente, el valor de la circulación sobre la curva 
C, será 


cit Ci fcuax+ vay +wdo)= | d9(x,9,2) 
.) C y C 


y como la integral de la diferencial de una función, es esta 
función, entre los límites que marca la integral, suponiendo 
que el origen de la integral sobre la curva es a, resultará: 


cir. C=[0(x, y, 2)]c 


Si tomamos dos puntos infinitamente próximos: a que es 
el origen de la curva y cuyas coordenadas representaremos 
por Xx, y, z; y a, que supondremos, que es el último punto 
de la curva C al cerrarse, de modo que en el límite a, se 
confunde con a, y designamos por X., Y», Z2 las coordena- 
das de a, podremos escribir 


(051 


A O E E y,2)| 0d 6 (Xo, Ya» 22) FO (X1, Yi, 21). 


a 


Pero en el límite, a, coincide con a; luego la expresión 
anterior se reduce á la siguiente 


C= E E EAN 


que parece ser siempre igual á cero, con lo cual quedaría 


A 


demostrado el teorema; pero la demostración no es correcta 
y el teorema no queda demostrado en general. 

Si la función + fuese uniforme, es decir, si no tuviera más 
que un valor para cada sistema de valores de x, y, z, co- 
rrecta sería la demostración, porque al tender x,, y», Za, ha- 
cia Xx,, Y,, 21, la función e tendería hacia el mismo valor que 
tuvo en el punto de partida. 

Pero el estudio de las funciones demuestra, que no todas 
las funciones son uniformes, y la verdad es que no sabemos 
si la función o lo es. 

Debemos, pues, desechar esta demostración ilusoria y 
acudir á otra que sea correcta y en que se salve este caso de 
excepción. 1 

Suponiendo, que la superficie engendrada por la curva C, 
según hemos dicho, al contraerse por ley de continuidad y 
reducirse á un punto P, está toda ella comprendida en la 
parte irrotacional del tlúido, para toda ella, es decir, para to- 
dos los puntos de esta superficie, el eje del torbellino y su 
proyección sobre la normal serán nulos. 

Ahora bien; el teorema de Stokes nos ha demostrado que, 
en general, la circulación sobre la curva C es igual al doble 
del flujo del torbellino. 


Representando por Q,, la proyección del eje de torbellino, 


tendremos: 
CIA > 0,du 
o NS) 


Mas acabamos de decir que Q,, es nula en toda la superti- 
cie S, porque toda ella está en la región irrotacional; luego 
todos los elementos de la integral se reducirán á cero, y ten- 
dremos 

ci (COS 


que es precisamente lo que queríamos demostrar. 


La condición de que la superficie $ esté toda ella dentro 
de la región irrotacional es importantísima, mejor dicho, es 
“esencial, como vamos á ver, profundizando más en el pro- 
blema; porque en este caso, por la demostración anterior, 
resulta que la función « es uniforme. 

Pero si la condición no se cumpliera, podría no serlo, y 
entonces la circulación no sería nula, puesto que la función y 
para el punto a y para el punto a,, tendría valores no infini- 
tamente próximos, sino distintos. 

Mas para comprenderlo bien, necesitamos entrar en algu- 
nas consideraciones sobre las diferentes clases de espacios 
que pueden considerarse en este orden de problemas que 
estudiamos. 


1.2 Se dice que un volumen ó espacio es simplemente 
conexo cuando toda línea cerrada, que se trace en este volu- 
men ó espacio, puede reducirse á un punto por continuidad, 
sin salir de dicho espacio. 

Por ejemplo, una esfera ó un elipsoide es un volumen 
simplemente conexo. Así vemos en la figura 49, que toda 
línea C trazada en el interior del volumen E, recogiéndose 
por la ley de continuidad, pasa de Cá C* yá C”, hasta 
anularse en el punto P. 

En cambio, el volumen que se designa con el nombre de 
toro, no es una superficie simplemente conexa. 

En efecto, en la figura 50 y en el volumen E, engendra- 
do, como se sabe, por un círculo proyectado en e y que gira 
alrededor de una recta proyectada er O, es decir, en dicho 
volumen podemos trazar una serie de líneas C que, por con- 
tinuidad, puedan confundirse en un punto P; pero pueden 
trazarse otras infinitas C”, que dentro del toro dan vuelta al 
eje O, ias cuales no pueden anularse sin salirse del expre- 
sado volumen, como vemos en Cy transformada de C”. 


En suma, que el foro, como antes decíamos, no es un vo- 
lumen simplemente conexo. 
2.2 Un volumen es doblemente conexo cuando no es sín- 


Figura 50. 


plemente conexo, como antes explicábamos; pero que por 
medio de una sección Ó corte, á modo de muro ó tabique de 


ama 


Fiaura 5l. 


separación, puede convertirse en volumen simplemente 
conexo. 

El foro se encuentra en este caso. 

Así vemos en la figura 51, que representa un foro, que 
dando un corte, según ab, que para más claridad desdobla- 
remos en dos secciones infinitamente próximas: la una ab, 


pair Amo 


para cerrar el volumen por la izquierda; la otra, a” b”, para 
cerrar el volumen por la derecha; el volumen que de este 
modo resulta es simplemente conexo. 


Figura 52. 


Toda línea que se trace en el interior de ab c“b* a” c, por 
ejemplo, la línea e, podrá, por continuidad y sin salir del ex- 
presado volumen, recogerse y anularse en un punto P. 


Figura 52 bis. 


3.2 Asimismo, un volumen ó espacio será triplemente 
conexo, cuando por un corte ó sección se convierta en un 
espacio doblemente conexo, y por dos secciones en un es- 
pacio simplemente conexo. 


De este modo, en la figura 52, si imaginamos un tubo a b 


BO 


que viene á enlazar dos partes a, b, de un toro1T, el espa- 
cio será triplemente conexo; porque cortando el tubo a b por 
una sección c d, resulta un toro con dos apéndices (figu- 


Figura 52 tercera. 


ra 52 bis), que es como el foro primitivo, el cual es doble- 
mente conexo. 


Figura 53. 


Y cortando, además, por cd” (fig. 52) resulta (fig. 52 ter 
cera) un volumen simplemente conexo. 

Toda línea e puede condensarse en un punto P sin salir 
del espacio que recubre. 

4.7 En general, un espacio ó volumen es n veces coñe- 
xo, cuando por una sección se convierte en un volumen 
n — 1 veces conexo y por n — 1 secciones se convierte en 
un volumen simplemente conexo. 


Oy 


Por ejemplo, la figura 53, que es un toro T con dos tubos 
ab, a b',es un volumen conexo de cuarto orden, porque 
necesita tres secciones, Ss, s”, s””, para convertirse en supet- 
ficie simplemente conexa (fig. 53 bis). 

Todas estas consideraciones son puramente geométricas, 
independientes de la teoría de los torbellinos y de toda otra 
teoría mecánica ó de Física matemática, así es que muchas 
veces tendremos que acudir á la anterior clasificación; pero 


Figura 53 bis, 


se aplica también á los movimientos irrofacionales de un 
fiúido y dan sentido riguroso á teoremas, que de otro modo 
quedarían en cierta vaguedad, y cuyos enunciados aún po- 
drían ser inexactos. 


Dijimos que la circulación, es decir, el coeficiente numé- 
rico que la representa, para una curva cerrada cualquiera, 
que trazásemos en un volumen ó espacio lleno de tlúido 
sin movimiento rotacional, era ¡gual á cero. Es decir, 


$] cuax 4 vay q vaz = O 
y E 


EP O LEN 


lo contrario de lo que sucedía, cuando el flúido en la región 
considerada estaba dotado de movimiento rotacional. 

Pero este teorema, así expresado, es falso en unos casos, 
aunque para otros sea exacto. 

La circulación de una curva cerrada en un espacio irrota- 
cional, démosle este nombre, para abreviar la explicación, 
puede no ser igual á cero. 

Depende, como vamos á ver, de la naturaleza del espacio. 

Si el espacio ó volumen es simplemente conexo, el teorema 
es rigurosamente exacto dentro de las hipótesis: la circu- 
lación de la curva cerrada es nula. 

Por eso dimos rigor al enunciado, diciendo: que era pre- 
ciso que se tratase de una curva que, recogiéndose por la ley 
de continuidad, pudiera reducirse á un punto, sin salir del 
espacio considerado. 

Vamos á precisar más estas ideas. 


Tomemos, para fijar los conceptos, una superficie doble- 
mente conexa. El foro, por ejemplo. 

Ya hemos dicho, que en este volumen, ó espacio, con esta 
forma determinada, es decir, en su interior, pueden trazarse 
dos clases de líneas, unas como C (fig. 54), que por conti- 
nuidad y sin salir del volumen pueden recogerse y anularse 
en un punto o. 

Para estas líneas, la circulación es nula, porque en todos 
los puntos del interior del toro, suponemos que el movi- 
miento del fltido que lo rellena es irrotacional; así es que, 
la curva C, al recogerse en un punto o, va trazando una su- 
perficie que está toda ella, en el instante que se considera, 
sumergida, por decirlo así, en un movimiento irrotacional, 
y como no hay rotación para ninguno de sus puntos, el eje 
del torbellino es constantemente nulo, y es nulo el flujo de 


e er PUE 


los torbellinos á través de dicha superficie, con lo cual, se- 
gún el teorema de Stokes, es nula la circulación. La demos- 
tración que dimos es rigurosa. 


Figura 54. 


Pero hemos visto, que en el interior del foro se pueden 
trazar (fig. 55) otras líneas L que envuelvan el eje del toro A. 


Figura 55. 


Y para estas líneas L, la demostración es de todo punto 
inaceptable. 

En efecto, sea la línea L (fig. 55) trazada en el interior del 
toro T. 


Pod 


Para calcular la circulación de dicha línea L será preciso, 
como antes hacíamos, recoger dicha línea, hasta que se con- 
centre en un punto y aplicar á ella y á la superficie que 
traza el teorema de Stokes. 

Y la circulación que buscamos, para dicha línea L, será 
igual al flujo á través de la superficie. 

Mientras L se mueve en la zona a b c, que está dentro 
del espacio en que el movimiento es irrotacional, el flujo 
es nulo. 

Pero al continuar la línea su transformación y penetrar en 
el espacio A, no sucederá lo mismo. 

Porque no ha de olvidarse que suponemos que en el in- 
terior del foro T, el movimiento es irrotacional. Pero fuera 
del foro, en A y 5, es rotacional el movimiento del flúido. 

Por eso, al transformarse la línea L en a” b” c', ya no 
puede decirse que el flujo es nulo, porque para el espacio A 
no es nulo el eje del torbellino en cada punto. 

Luego lo natural es que á la superficie engendrada por la 
línea L corresponda un flujo finito, que será precisamente la 
circulación de la línea propuesta £. 

Más adelante precisaremos esto mismo por medio de un 
ejemplo. 

Deducimos de lo dicho, y volviendo á la figura 54, que 
en el toro, espacio ó volumen doblemente conexo, hay dos 
clases de líneas: la línea C, cuya circulación es nula, y la 
línea £ (fig. 54), que da vuelta al eje del foro y que en ge- 
neral tendrá un valor determinado, que representaremos 
por p. 

Mas aquí debemos consignar un teorema importante. 

Todas las líneas de esta segunda categoría, £, £” ....., que 
dan vuelta al eje del foro una sola vez, y que quedan cerra- 
das con esta sola vuelta, tienen el mismo valor para su cit- 
culación (fig. 54 y 56). 

Si la circulación de L es y, la circulación de otra cual- 
quiera L” será y. 


a 


La demostración es bien sencilla. 

Demos al foro (tig. 56) una sección A B, que es la mis- 
ma de la figura 54. 

Interrumpamos la línea £ (fig. 56) en los puntos a, a' infi- 
nitamente próximos á la sección A B, é interrumpamos asi- 
mismo otra línea cualquiera de esta misma clase Z' en los 
puntos b, b”, también infinitamente próximos á dicha sec- 
ción A B. 


Figura 56. 


Unamos por una línea los puntos a, b, por otra los a” db”, 
y Observemos: 

1." Que la sección A B, como ya hemos explicado otras 
veces, convierte al foro, espacio de doble conexión, en un 
espacio de conexión sencilla, como se ve desde luego en la 
figura 54. 

2... Que rebajado el grado de conexion del toro, la línea 
aL a'b'L'baes una línea cerrada de primera especie, ó 
mejor dicho, una línea trazada en un espacio de conexión 
sencilla. 

Luego, según lo demostrado, la circulación, á lo largo de 
esta línea cerrada en cualquier sentido, por ejemplo, en el 
que marca la flecha, será nula, y tendremos: 


y cit (alba Liba)= 0: 


Rgv. AcaD. DE Crirncias.—X.— Juliv, Agosto y Septiembre, 1911. 


=] 


OS 
Y descomponiendo en varias partes 


cir. (aLa') + cir. (ab) + cir. (b"L*b) + cir. (ba)=0. 


Pero cir. (a*b”) y cir. (ba) son cantidades iguales y de 
signos contrarios, porque ab y a'b' son dos líneas infinita- 
mente próximas que casi coinciden, y que en el límite coin- 
cidirían por completo. 

Y además, como indican las flechas de la figura 56, el pun- 
to móvil las recorre en sentido contrario; luego las dos inte- 
erales, circuculación (a*b”) y cir. (ba) Ó 


[¡uax+ro wan y | (dx + vay + vda 
.Ja'b' ) ba 


= [| (udx vay waz) 
«) ab 


serán iguales y de signo contrario y se destruirán. 
La circulación á lo largo de la línea que consideramos que- 
dará reducida á 


cir. (aLa") +cir. (b"L'b) =0, 
Ó bien 
cir. (aLa*) =— cir. (9'L'b). 


Y como cambiando el sentido del movimiento se cambia 
el signo á la integral, cambiando la flecha de b” L” b, con lo 
cual el sentido será el mismo en a £L a' que en b L/ b”, ten- 
dremos: 

caia) CUENTE 0!) 


Ó abreviadamente: 


CC 


En suma: todas las líneas cerradas, que dan una sola vuel- 


o O ÑÁ 


ta al eje del toro, tienen el mismo valor para su circulación, 
que es un módulo constante y. para todas ellas. 

Claro es que si dan dos vueltas, como en la segunda, se 
repiten los mismos incrementos de la integral acumulados al 
resultado de la primera vuelta, el valor de la circulación 
será 2 y. Si dan tres vueltas, la circulación será 3 , y en 
general, para n vueltas, el valor de la circulación será n po. 

Como cambiando el sentido de la circulación, ó sea el 
movimiento del punto que recorre la línea, (dx, dy, dz) 
cambian de signo, los elementos de la integral cambiarán de 
signo también y cambiará de signo el valor de la circulación. 

Así, si el módulo es y y el punto recorre m veces la línea 
en el sentido directo, que es el que nos ha servido para cal- 
cular y, y n en sentido contrario, el valor de la circula- 
ción será 

Mp=N y =(mM—H) y. 


Todos estos resultados pueden generalizarse, como vere- 
mos en la conferencia próxima. 


AS 


V—El Profesor D. Juan Fages. 


Por JosÉ RODRÍGUEZ MOURELO. 


Apenas pasa año sin que la muerte deje claros en la hueste 
de los cultivadores de las ciencias en España, y es el presen- 
te señalado, hasta el momento actual, por cruel y sañudo, 
como si el destino se complaciera en arrebatar á la vida las 
inteligencias llegadas apenas á la plenitud de su desarrollo, 
cuando más sazonados y maduros frutos podían dar, en el 
momento que por el trabajo realizaban cumplidamente las 
esperanzas puestas en ellas y alcanzaban aquellos ideales 
alentadores de sus anhelos de saber y de camino la perso- 
nalidad científica del investigador original en las materias de 
las ciencias positivas. Llegaron á tanto, cada uno por su vía, 
los dos Profesores de la Universidad de Madrid D. Salvador 
Calderón y Arana, que lo fué de Mineralogía, y D. Juan Fa- 
ges y Virgili, de Análisis Químico, fallecidos con cortos días 
de intervalo y bien poco después de haber publicado sus 
mejores obras; Calderón, la magnífica descripción de Los 
Minerales de España; Fages, el capital estudio de Los Mé- 
todos indirectos de la Quimica analítica, muy pronto tradu- 
cido en lengua alemana y en todas partes celebrado. 

Mas ni al uno ni al otro fueles dado gozar las alegrías del 
vencimiento, ni aun saborear el triunfo de tantos años de an- 
siedades y de labor incesante, sólo para conseguir aquella 
cortísima porción de gloria correspondiente á su meritísimo 
esfuerzo; parece como si las cosas estuviesen arregladas para 
arrebatarlos á la vida al llegar su entendimiento á la pleni- 
tud del vigor, cuando, ya hecho y afianzado, podía entre- 
garse á la producción científica. Fueron dos adalides de la 
verdad y por ella trabajaron con el mayor desinterés, ansio- 
sos tan sólo de alcanzarla y que los suaves resplandores de 


= MUl == 


su pura llama iluminasen aquellas inteligencias tan bien cul- 
tivadas, mostrándose á ellas, en regiones ya más superio- 
res, vestida de luz, para indicarles nuevos caminos y hori- 
zontes sin fin, tan claros y hermosos, cuanto hermosa y clara 
es la ciencia. 

Bastantes puntos de contacto pudieran notarse en la res- 
pectiva labor científica de los profesores Calderón y Fages, 
aun cuando los aparten la diversidad de las aptitudes y de las 
aficiones. Llevóle al primero su vocación por los campos de 
la Geología, y consagró su vida y su actividad á los estu- 
dios petrográficos, en los cuales fué excelente investigador, 
capaz de estudiar los pormenores de menos bulto, como de 
elevarse á los conceptos de orden muy superior, relativos á 
la formación de los complejos agregados constitutivos de las 
rocas. Dedicóse el segundo á la Química, y fué consumado 
analista, de una elegancia y pulcritud en el trabajo, de tan 
rigurosa escrupulosidad en las determinaciones cuantitativas, 
que nadie podía superarle; bien es cierto que su investiga - 
ción analítica iba guiada por el más perfecto y acabado co- 
nocimiento de las doctrinas generales de la ciencia y de sus 
principios, desde donde bajaba hasta las operaciones pecu- 
liares del análisis, y no hubo quien mejor se diese cuenta de 
ellas, ni con mayor acierto supiese considerarlas aplicación 
de leyes superiores, explicándolas y mostrándolas conse- 
cuencia suya, sujetas á ellas y no rutinarias prácticas mecá- 
nicas, auxiliares y no principales en cuanto atañe á la carac- 
terización de las especies químicas. 

No están tan separados como á primera vista parece el 
análisis petrográfico y el análisis químico, antes bien, en va- 
rias cosas se asemejan en esta nota fundamental común: 
ambos son trabajo de diferenciación metódica en cuanto á su 
tin y también en cuanto á su procedimiento. Se investiga en 
ambas disciplinas partiendo de las leyes y de los principios 
generales de la ciencia, y los datos adquiridos en la paciente 
labor del petrógrafo y del analista, sirven á su vez de apoyo 


— 102 — 


y primera materia de las grandes hipótesis y de las teorías 
más transcendentales, y el haberlo así entendido y tomado 
por norma de sus investigaciones, es lo que tienen de común 
los profesores Calderón y Fages. Jamás fué en ellos rutina 
la práctica de los métodos, sino fruto sazonado de los razo- 
namientos, y así los extremaban hasta conocer sus límites y 
los afinaban á cada punto para saber su alcance y eficacia en 
los casos más variados, siempre en consonancia con los 
principios teóricos originarios. 

Cuando Fages murió, el día 4 del último mes de Agosto, 
sólo contaba cuarenta y nueve años de su edad, ocho en el 
magisterio de la cátedra de Análisis Químico general en la 
Universidad de Madrid y dos como individuo de la Real ' 
Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales; su vida 
ha sido bién aprovechada en los trabajos de laboratorio y 
nada fácil hasta lograr el puesto oficial que había conquis- 
tado. En los últimos años concediéronsele á su mérito hono- 
res tales como las vicepresidencias de la Sociedad Española 
de Fisica y Química y de la Sección de Ciencias Físico-Quí- 
micas de la Asociación Española para el progreso de las 
Ciencias; fué vocal del Real Consejo de Sanidad, correspon- 
diente de la Real Academia de Ciencias y Artes de Barcelo- 
na y Presidente honorario del Centro de naturales de Tarra- 
gona y su campo, en cuya tierra había nacido. Fages vino á 
Madrid en 1882, procedente de Barcelona, en cuya Univer- 
sidad había estudiado las Facultades de Ciencias y Farmacia, 
y en ambas recibió el grado de Doctor, con la nota máxima, 
en la Universidad Central, habiendo ejercido en ella, durante 
diez y seis años y en las expresadas Facultades, los cargos 
de Ayudante y Profesor auxiliar; así cuando en 1903, me- 
diante lucidisimas oposiciones, llegó á ser Catedrático nume- 
rario, estaba formada su cultura en materias de Química, era 
analista excelente é investigador bien reputado. 

Otra ocasión y no la presente sería la más propicia para 
discutir la conveniencia, respecto del individuo y de la en- 


— 103 — 


señanza, de llegar al magisterio superior en la edad juvenil 
relativa Ó cuando los ardores juveniles son pasados y el 
caudal de experiencia, sólo adquirida viviendo y trabajando, 
es norma de nuestros actos. Tiene lo primero todas las ven- 
tajas del entusiasmo comunicado á las enseñanzas, las de la 
fe en lo porvenir, las del ideal conseguido, reclamando alcan- 
zar otros más elevados; quizá los frutos no hayan llegado á 
la sazón precisa, en cambio las flores tienen sus colores más 
vivos y es más exquisita su fragancia por la primavera; y si 
es hermosa la serena majestad de las tardes otoñales, es en 
la mañana sonriente y placentera de Mayo cuando el sol 
hace brotar los gérmenes é imprime nueva vida á la Natu- 
raleza. Se debe llegar á tiempo, nunca demasiado temprano. 

Desde bien joven hubo de comenzar Fages la labor do- 
cente, aunque por azares de la suerte sólo fuele dado ocupar 
los ocho últimos años de su vida, con el carácter de propie- 
tario, la cátedra para la cual se formara; cuando la tuvo era 
ya notable investigador, y de tal campo procedía, no por ac- 
cidente, sino á ¡impulsos de aquella bien afirmada vocación 
científica que le hacía estudiar las sublimidades fundamenta- 
les de la Química general, conocer los admirables encade- 
namientos de las combinaciones del carbono, penetrar el uti- 
lísimo y nunca bien ponderado artificio de las fórmulas de 
estructura, adiestrarse en los procedimientos analíticos y sin- 
téticos de las substancias orgánicas y apoderarse de los mé- 
todos físicos, con intento sólo de aplicarlos á su sistema de 
enseñar y practicar, con no superada escrupulosidad, la Quí- 
mica Analítica, razonando todas las operaciones y dándose 
cuenta de todos los resultados. Acrecienta todavía el mérito 
de Fages, en su calidad de maestro y de investigador, el 
haberse formado en España, sin haber menester de acudir, 
este hombre tan moderno y de su tiempo, á Escuelas extran- 
jeras, en las cuales su nombre y sus trabajos fueron debida- 
mente apreciados: buen ejemplo del poder del estudio, de la 
vocación y de la voluntad, puesto todo ello al servicio de un 


— 104 — 


ideal, con aquel gran desinterés, cualidad eminente del in- 
vestigador cuyas ansias vénse colmadas cuando ha logrado 
vislumbrar siquiera los resplandores de la verdad en el or- 
den de la ciencia. 

Quizá respondió éste como empeño de no abandonar ni 
alejarse de la tierra nativa para buscar en las extrañas, más 
prósperas y adelantadas, conocimientos de orden superior, 
prefiriendo adquiririos por sí mismo, sometiéndolos á rigu- 
“rosas comprobaciones, á una de las grandes virtudes de Fa- 
ges: á su patriotismo. Fué un gran español; sin envidia veía 
marchar, en demanda de la buena nueva, á cuantos querían 
encontrarla en el extranjero, y con la mejor buena fe los im- 
pulsaba y aconsejaba en tal empresa, digna de los elegidos, 
laudable aspiración de cuantos desean saber; van en busca 
de nuevas herramientas, quieren aprender su manejo, y al 
tornar al patrio solar, sabrán cultivar mejor nuestro jardín. 
Mensajeros de ideas, llevarán noticias nuestras adonde no 
somos conocidos, y si son buenos hijos, volverán queriendo 
más á su madre y más españolizados. 

Esta sana idea del patriotismo túvola nuestro buen com- 
pañero é hízola norma de sus actos, y eso que en los días 
del aprendizaje oía de contiuo, conforme lo oímos todos, 
cuando nos tocó la vez, pregonar con los mayores encomios 
las excelencias de las grandes Escuelas alemanas, por un 
singular profesor, de ruda fiereza, maestro notable, anti- 
guo alumno de Will en la Universidad de Giessen. Cuando 
los años son pasados, cuantos hemos sido sus discípulos 
hemos dado al olvido las bruscas genialidades de aquel 
buen D. Magín Bonet para conservar el recuerdo de su ex- 
celente enseñanza; áspera por demás era la corteza, sano el 
fruto y tan sabroso que el tiempo no ha borrado su memo- 
ria y la evocamos con cariñoso respeto. Sin haber sido inves- 
tigador, era Bonet maestro en el análisis, admiraban su pul- 
critud en el trabajo, su escrupulosidad y su rigor en todas las 
operaciones; acaso excedían de prolijas sus explicaciones, 


— 105 — 


quizá pudiera tachársele de conceder sobrada importancia 
á los pormenores; pecaba de minucioso ciertamente; pero es 
lo cierto que sin tener una personalidad científica saliente, 
enseñaba á trabajar; no era en la forma externa atractivo su 
método, allá en el fondo tenía algo que nos estimulaba al 
estudio; quizá por tener amargada la vida, no se hacía ama- 
ble; en cambio sabía hacer amar la ciencia. Tal fué el maes- 
tro de Fages, y sería injusto el no reconocer cómo debió su 
iniciación en los métodos analíticos á D. Magín Bonet, 
quien sucedió en la cátedra, y baste decir que profesor y dis- 
cípulo se tuvieron siempre simpatía y franca amistad. 

Pero la influencia de Bonet en Fages no pasa, en reali- 
dad, de esta iniciación y pruébase examinando los primeros 
trabajos originales de éste, tan diferentes del sentir y del 
pensar de su maestro: la formación de Fages es su propia 
obra, el fruto exclusivo de su estudio y de su voluntad; él 
mismo se ha hecho su personalidad mediante el asiduo y so- 
litario trabajo de no pocos años de laboratorio. Quien sólo 
vivió para la benemérita labor, nunca bastante agradecida 
de parte de cuantos fuímos sus discípulos, de la enseñanza 
elemental de la ciencia, no podía formar investigadores, ni 
por tal camino llevábanle tampoco sus aficiones, ni las tra- 
diciones de Escuela; y el medio, de su parte, no era todavía 
propicio para acometar, ni siquiera intentar tamañas em- 
presas. 

Fuera de las disciplinas de la Química, era muy versado en 
otras de variada índole el profesor Fages, quien, lejos de 
desdeñar cierto linaje de estudios, los cultivó con amor, halló 
en ellos el necesario descanso del trabajo cotidiano del la- 
boratorio y sirviéronle á maravilla para formar su sólida cul- 
tura. Tenía predilección por los estudios clásicos y recreába- 
se en los históricos, prefiriendo el de los grandes y más trans- 
cendentes hechos cuyo influjo ha sido universal, y esto, lejos 
de perjudicar la labor metódica y paciente del analista, pare- 
cía contribuir á realzarla y hacer subir de muchos quilates 


— 106 — 


su mérito, comunicándole cierta nota de atractiva elegancia 
y distinción, bastante por sí misma para señalar la individua- 
lidad característica del investigador. Producto de tales aficio- 
nes es el estudio acerca de Los químicos de Vergara, inte- 
resantísimo capítulo de la Historia de la Química en España, 
cuyas primicias gozó la Academia de Ciencias; pues sirvió á 
Fages de tema para su discurso de ingreso en ella. Y aquí ven- 
dría de molde el abordar una cuestión de nuevo palpitante, 
tratada en todas partes con muy vario criterio, y es precisa- 
mente el problema de la cultura llamada clásica en sus rela- 
ciones con la cultura científica. Por desgracia, cierto género 
de estudios de aquella índole hállanse en España en lamen- 
table abandono y son desdeñados, con harta injusticia, de 
cuantos se dedican al cultivo de las ciencias positivas, y eso 
que el ejemplo de Fages bien á las claras demuestra cómo 
hay perfecta compatibilidad y mutua ayuda entre el saber 
científico y el saber literario, uniéndose y completándose en 
las superiores regiones del pensamiento. 

Recordaré á tal propósito como lejos de ser perdido el 
tiempo invertido, allá en la primera juventud, en los estudios 
antes bien llamados de humanidades, constituye, con el pe- 
culiar de las Matemáticas elementales, la mejor y más sólida 
preparación para abordar el de las ciencias experimentales, 
aguza el ingenio, excita el afán de saber, da mayor solidez 
al juicio, forma el buen gusto y deja en el ánimo un gran se- 
dimento de energía, cuyos provechos recogemos en la edad 
madura. No constituyen las obras clásicas tan sólo un bello 
recreo de la imaginación, ni son puro y agradable pasa- 
tiempo; tienen empero una eran finalidad y muy elevado 
valor educativo. 

Gracias á haber gustado las bellezas clásicas de las Artes 
y estudiado la historia de las grandes transformaciones so- 
ciales, acertando á unir sus enseñanzas con las propias de 
las ciencias químicas, es como Fages logró formar y deter- 
minar su personalidad en el doble carácter de investigador 


40 = 


original y de maestro, si bien la función docente y del que 
inquiere la verdad experimentando, completábanse y unían- 
-se á maravilla y así el analista á la moderna, gran conoce- 
dor de la Química general, dotado de grandísimo ingenio, 
poseyendo en grado máximo la habilidad experimental, apa- 
recía siempre en este hombre, cuyo espíritu había sido cul- 
tivado por igual en las disciplinas científicas y en las de las 
Artes, la Literatura clásica y la Historia. Con intento de de- 
mostrarlo y rindiendo á la memoria del amigo y compañero 
el debido tributo, elegiré entre la copiosa labor de Fages tres 
series de investigaciones, en las cuales, siendo todas á 
igual fin encaminadas, manifiéstanse las principales dotes del 
químico; refiérense á la determinación cuaniitativa del arsé- 
nico, pesando piroarseniato magnésico, al estudio de la ac- 
ción de los sulfuros sobre los nitroprusiatos y á los métodos 
indirectos de la Ouímica Analítica, su último trabajo. Fueron 
publicados todos, naturalmente en español; los dos últimos 
vieron la luz en la REVISTA DE LA ACADEMIA y los tres han 
sido reproducidos en alemán y en francés; el postrero figura 
íntegro en lengua alemana en la colección de monografías 
científicas publicadas bajo la dirección del Dr. W. Herz de 
Breslau, lo cual basta para formar idea del mérito de un tra- 
bajo en el que son por igual admirables la sagacidad del crí- 
tico y la originalidad del investigador. 

Seguramente no resulta fácil la empresa de dar novedad 
á lo muy sabido, hallar errores en determinaciones analíticas 
de constante repetición y hacer tema de originales investiga- 
ciones las cosas mejor conocidas y diputadas por difinitiva- 
mente resueltas. Y no obstante, la característica de la indaga- 
ción científica experimental es no considerar nada termina- 
do, sino en período constituyente y someterlo á constantes 
comprobaciones, en cuanto nada hay definitivo ni es tampoco 
posible el señalar límites invariables al alcance y resultados 
de los métodos de investigación. 

Hállase de esto la mejor prueba en Jo acontecido respecto 


08 — 


del aire atmosférico, sin duda el gas mejor y más veces ana- 
lizado, lo cual no fué parte á impedir que, buscando la causa 
de ciertos insignificantes errores cometidos en medidas de 
sobra rectificadas, llegase Ramsay á descubrir toda la serie de 
cuerpos inertes, llamados gases nobles, existentes en el aire 
en variadas proporciones, no insignificantes tocante á algu- 
no de ellos. Fué en realidad un trabajo de rectificación de 
análisis, y buscando las diferencias entre el nitrógeno del aire 
atmosférico y el obtenido en determinadas reacciones quí- 
micas, es como se llegó al descubrimiento del argo, el pri- 
mer término de la serie. Aunque se concrete á términos mu- 
cho más modestos y se limite á un método analítico de uso 
frecuentísimo, como es la determinación del arsénico pe- 
sando piroarseniato magnésico, el trabajo del profesor Fa- 
ges pertenece á la misma categoría, sin haber logrado, ni 
con mucho, la transcendencia del citado; bien es cierto que 
nuestro compañero, al llevarlo á cabo, no tuvo semejantes 
pretensiones, y sólo quiso averiguar el alcance y los límites 
de conocidísimo método analítico. 

Tuvo como preliminares de la investigación de referencia 
ciertos estudios, en mi entender de mucha cuantía, difíciles, 
minuciosos, en los cuales puso el analista todo su ingenio y 
sus más exquisitos cuidados. Precedentes de tal labor fue- 
ron dos Notas publicadas, primero, en los Anales de la So- 
ciedad Española de Física y Química, reproducidas luego en 
los Annales de Chimie Analytique de París (1903), y en 
Physikalisch-Chemisches Centralblatt, de Leipzig (1904); re- 
fiérese la primera á las fórmulas generales de corrección en 
determinaciones analíticas, en las que se utiliza la llamada 
filtración parcial, y trata la segunda de las fórmulas especia- 
les de corrección en la filtración parcial, cuando las determi- 
naciones experimentales son por polarimetría ó volumetría. 
En ambos trabajos, que son á modo de pruebas de un siste- 
ma de investigación, resplandece la exactitud hasta en los 
menores detalles, la elegante finura de quien en la propia 


— 109 — 


labor se complace, y la originalidad en el discurso y en los 
procedimientos; es decir, el conjunto de aquellas cualidades 
- que hacían de Fages un analista de relevante mérito, no for- 
mado con la continuada repetición de operaciones muy Sa- 
bidas, sino en el estudio perfecto de la Química general. 
Iniciado en la aplicación de sus principios á las operacio- 
nes del análisis, de las cuales habíase de dar cuenta perfecta, 
explicándolas á modo de consecuencia lógica de aquéllos, y 
entendiendo, de otra parte, cómo en el orden de las ciencias 
experimentales ninguna cosa está, por fortuna, terminada y 
todo hállase en continuo período de transición, y ello es 
acaso la mayor excelencia de tales ciencias, es como em- 
prendió la revisión de un método muy corriente para deter- 
minar el arsénico, tema de su predilección, conforme de- 
muéstralo el haberse ocupado asimismo en el procedimiento 
consistente en pesarlo al estado de arseniato de plata, ya de 
menos frecuente empleo, aun siendo conocidísimo. Revélase 
principalmente en todas las investigaciones enumeradas el 
espíritu de la más escrupulosa exactitud, eminente cualidad 
del analista, unida al riguroso razonamiento, indispensable 
complemento de ella, preciso para formar el debido juicio 
acerca del valor y alcance de los resultados numéricos obte- 
nidos, en relación con los medios empleados para obtenerlos. 
Un excelente punto de partida tuvo Fages en su investi- 
gación respecto de las determinaciones cuantitativas del at- 
sénico al estado de piroarseniato magnésico, y fué la exce- 
lente doctrina que Ostwald expone en sus principios cientí- 
cos de la Química analítica, tocante á los precipitados cris- 
talinos y al tamaño de los cristales que los constituyen, 
deduciendo de ello los métodos de su lavado. Ocúrrense al 
caso muy pertinentes observaciones en sentido del aumento 
de las impurezas con el de la magnitud de los cristales, y 
este solo detalle vale para dar á entender hasta dónde llegó 
el minucioso estudio del analista en la revisión de las cau- 
sas de error en un procedimiento clásico, y cómo antes de 


= 110 — 


proponer los medios de eliminarlas, en todo lo posible, llega 
hasta conocer los más insignificantes pormenores de ellas. 
Trata en particular de probar cómo en las determinaciones 
del arsénico la exactitud en cada caso es á modo de resulta- 
do de una compensación de errores, no regulable de modo 
general, y que, conforme á sus palabras, tiene mucho de 
fortuito y es deber del químico, agrega, conocer las causas 
de error y su sentido, para modificar la parte experimental 
de la manera que mejor convenga á esta necesaria compen- 
sación, disminuyendo, en lo posible, lo fortuito de ella; lo 
cual significa reducir los errores al minimo. 

Junto al trabajo citado, aunque sea de índole diferente y le 
aventaje en alcance y transcendencia, es menester colocar las 
investigaciones de Fages relativas á la Acción de los sulfuros 
sobre los nitroprusiatos, publicadas en la REVISTA DELA ACA- 
DEMIA, y reproducidas muy luego en otras publicaciones im- 
portantes de Química de Alemania y Francia. Como el caso 
ya antes citado, tuvo este otro sus precedentes, y fueron: 
el estudio de la reacción de Beedeker relativa á la acción de 
los sulfitos sobre los nitroprusiatos, pubticado en francés 
(Annales de Chimie et de Physique, París 1902), reproducido, 
al igual de los anteriores, en distintas Revistas extranjeras, y 
la aplicación del nitroprusiato sódico á la investigación de 
los compuestos estanosos de la propia suerte publicada en 
francés (Annales de Chimie Analytique, París 1902), y luego 
en alemán (Chemisches Centralblatt, 1903, y Merk's Rea- 
gentien Verzeichniss, Berlín 1903), los cuales fueron el an- 
tecedente del para mi principal trabajo de investigación del 
profesor Fages. 

Vió un asunto digno de ocupar toda su atención — y se la 
consagró por entero durante largo tiempo,—en el conocidí- 
simo fenómeno utilizado para reconocer los sulfuros, si de 
constante y fácil repetición, no explicado de manera satisfac- 
toria, y aplicóse á estudiarlo con todo aquel afán y aquellá 
constancia que ponía en cuantas investigaciones llevaba á 


AMIA id 


cabo. Este de les nitroprusiatos todavía le entretuvo con más 
atractivo afán que los estudios acerca de los cloratos, cuya 
data es 1908; y quizá por ser campo menos explorado, pres- 
tábase mejor á lucir y ejercitar el ingenio del analista y el sa- 
ber del químico; además era el tema de mucha generalidad y 
comprendía cuestiones desconocidas y otras mal ó poco es- 
tudiadas, siendo preciso esclarecerlas todas, cosa no fácil ni 
breve. Requeríase, de una parte, buena copia de labor expe- 
rimental, encaminada con sumo acierto, precedida de minu- 
ciosa observación de los hechos ya conocidos, y de otra buen 
juicio, abundante ciencia y lógico raciocinio para interpre- 
tarlos y explicarlos, llegando al conocimiento y demostración 
de los principios por que se rigen las acciones de los sulfu- 
ros sobre los nitroprusiatos; tal fué el programa del conjunto 
del trabajo del profesor Fages, en nada parecido al hermoso 
estudio que de los nitroprusiatos en general hizo el químico 
italiano Miolatti. 

Lógicamente había de desarrollarse el trabajo en dos sen- 
tidos, por decirlo así complementarios uno del otro. Cuando 
sobre la solución de un nitroprusiato viértese otra de un sul- 
furo, al punto aparece una coloración; pero no se detiene 
aquí el fenómeno: es su primera fase y tiene varias, mal de- 
terminadas acaso, bastante á complicarla sobremanera; de 
consiguiente, era menester indagar, ante todo, la causa de 
la coloración resultante y las de sus variaciones, problema 
muy general, dilucidado de manera completa en la primera 
parte del trabajo de Fages, sin duda la de mayor interés des- 
de el punto de vista de la Química pura. Sus indagaciones 
están consignadas en cuatro proposiciones concretas referen- 
tes al hecho, á afirmar cómo es una combinación molecular 
el cuerpo azul producido, á las variaciones del color conforme 
á las cantidades de los cuerpos reaccionantes y álas causas 
de las distintas coloraciones, rojizas, amarillas y purpúreas. 

Un trabajo de semejante indole requería practicar nume- 
rosos experimentos y mucha variación en ellos, tanta como 


— 112 — 


son variadas las cuestiones tratadas en los cuatro puntos in- 
dicados, y Fages no los escaseó, ciertamente, desplegando 
hasta en los menores detalles la finura de su ingenio y la 
pulcra elegancia característica de su método de trabajo. Ha- 
bía en el problema de los nitroprusiatos otro sentido en que 
investigar, constitutivo de sus aplicaciones: la reacción con 
los sulfuros constituye, de tiempo atrás, excelente procedi- 
miento analítico de frecuente empleo, y era menester estu- 
diar los límites de sensibilidad de tal reacción desde este 
punto de vista, é interpretarla debidamente, y esto es lo es- 
clarecido en la segunda parte del notabilísimo trabajo del pro- 
fesor Fages. Estudió el asunto con el criterio de la moderna 
teoría de los iones, y tomándola por base y punto de partida, 
realizó larga serie de investigaciones prácticas, de las cuales 
dedujo que «el nitroprusiato sódico no es reactivo del sulfu- 
ro-ión, sino de los sulfuros solubles más iontizados, y por 
tanto es menos sensible que las soluciones metálicas que 
reconocen el sulfuro-ión y que la sensibilidad del nitropru- 
siato como reactivo de los sulfuros aumentará, disminuyen- 
do la iontización de éstos, con el empleo de disolventes que 
impidan ó disminuyan la iontización, con la adición de exce- 
so de reactivo ó introduciendo más ¡ones (sales neutras y en 
especial carbonatos alcalinos)». De esta manera tan precisa 
y segura expresa lo concerniente á la sensibilidad de la reac- 
ción investigada. 

Merecióle con razón atenciones mayores la influencia de 
la hidrólisis y hubo de consagrarse á investigarla con minu- 
ciosos cuidados en los diversos casos, para deducir de sus 
propios experimentos las condiciones de ella; como disminu- 
ye la sensibilidad del nitroprusiato sódico en cuanto reactivo 
de los sulfuros y de que suerte aquellas circunstancias que 
aminoran la hidrólisis, la aumentan. Trabajando con solucio- 
nes congeladas y no alcalinizadas de sulfuros, vió duplicarse 
la sensibilidad del nitroprusiato, sin llegar á la propia de 
los reactivos del sulfuro-ión, aumento conseguido también 


=- 113 — 


añadiendo alcalis fijos; demostrando asimismo que la máxi- 
ma sensibilidad alcanzase congelando las disoluciones alca- 
linizadas de los sulfuros, luego de haberles agregado el ni- 
troprusiato. 

Ya llegada á este punto la investigación, pudo afirmar 
Fages que no sirve el reactivo estudiado para distinguir los 
sulfuros de los sulthidratos, siendo además el límite experi- 
mental de su sensibilidad bastante inferior del correspondien- 
te á los reactivos especificos del sulfuro-ión. Sólo restaba in- 
terpretar los hechos con tanto rigor estudiados y en seme- 
jante tarea es donde mejor se ha revelado el talento superior 
del químico, la lógica de sus razonamientos y lo bien fun- 
dado de sus apreciaciones; asi empieza afirmando como toda 
solución capaz de tomar color, débil ó acentuado, en segui- 
da ó ála larga, con el nitroprusiato sódico, contiene sulfuro. 
Hace depender la debilidad de la coloración y el tiempo in- 
vertido para su formación del estado del sulfuro, iontizado ó 
hidrolizado por completo. Dada la pequeña sensibilidad del 
reactivo, cuyo límite se alcanza pronto, el no advertir cam- 
bios de color no implica la ausencia de sulturo y comprén- 
dese entonces el que no sea posible la medida colorimétrica 
de los sulfuros, atendiendo á esto mismo y á la imposibili- 
dad de lograr coloraciones comparables. En suma, las mag- 
níficas investigaciones del Profesor Fages acerca de los ni- 
troprusiatos, llevadas á cabo con sumo arte é intentos de 
apreciar su valor en cuanto reactivo analítico, pueden consi- 
derarse definitivas y suficientes para establecer los límites 
de su empleo, no tan general y preciso como se creyó por lo 
común durante mucho tiempo. 

Nunca se llega de una vez al fin deseado en materias de 
investigación experimental y aun muchas veces alcánzanse 
resultados bien diferentes de los previstos, y el caso de los 
nitroprusiatos es de ello excelente ejemplo. Prueba asimismo, 
al demostrar las cualidades del investigador español, la efi- 
cacia de los procedimientos experimentales, seguidos con la 


REY, ÁCAD.DE CIENCIAS. —X.—Julio, Agosto y Septiembre, 1011. 8 


= 114 — 


más escrupulosa atención hasta agotarlos, razonando las dis- 
tintas fases de su mecanismo y deduciendo de sus resultados 
las leyes y las reglas que rigen los fenómenos. Si en tal sen- 
tido, y respecto del estudio de las acciones de los sulfu- 
ros sobre los nitroprusiatos, se preguntase cuál de las con- 
diciones de Fages preponderaba, respondería al punto: la 
atención. 

A ella, llevada á un grado máximo, se deben los resulta- 
dos obtenidos; mas no es la única característica de la labor 
científica de nuestro compañero; fué analista de primer orden 
é investigador de mucha cuantía; pero también supo trans- 
mitir á los demás su saber con persuasiva palabra, y cuantos 
pasaron por su cátedra admiraron las dotes del maestro, cuyo 
primer afán era enseñar, y en el trabajo docente pocos ponían 
tanto empeño; sus discípulos inspirábanle interés sobre to- 
das las cosas, afanábase por mostrarles la ciencia en sencillos 
términos, haciéndola atractiva, y su laboratorio ordenado y 
alegre, si no sobrado de recursos, lleno de luz y de sol, era 
por todo extremo simpático y atrayente. De las calidades del 
maestro da testimonio su último trabajo acerca de los méto- 
dos indirectos de la Química analítica: ciertamente el asunto 
habrá sido tratado de variados modos en distintas ocasiones 
anteriores; pero Fages lo hizo, no en el sentido que con la- 
mentable ligereza le atribuye un maestro insigne, sino con 
verdadera originalidad, bien diferente de la advertida en fa- 
mosos estudios publicados años atrás en el extranjero, muy 
conocidos del catedrático de Madrid y el mérito de su traba- 
jo no es la recopilación de los precedentes, ni la crítica razo- 
nada y concienzuda, es la originalidad del modo de tratar las 
variadas cuestiones de los métodos indirectos y el de la apli- 
cación de las fórmulas según los casos; la sencillez y la cla- 
ridad del maestro, que tanto contribuyen á entender la ver- 
dad é impelen á aprender sus caminos. 

Ocuparía mucho espacio el análisis de la última obra de 
mi buen amigo; baste indicar su carácter para entender cómo 


— 115 — 


es la labor de un maestro, cuyas facultades han llegado á la 
plenitud de su desarrollo. Cuando estaban dispuestas para 
producir mucho y bueno, y de la elegancia y severidad del 
analista, de los talentos del investigador y de las cualida- 
des del maestro, tanto esperaban la ciencia y la patria, su 
vida se extinguió, y con ella todas las ilusiones y todos los 
ideales; apenas había alcanzado la cátedra tan merecida, lo- 
grando todas sus aspiraciones, y sólo un momento gozó su 
legítimo triunfo. 

Bastantes años hace que lazos de sincero afecto me unían 
á Fages, y durante ellos he tenido ocasión de apreciar su 
valor moral; fué un hombre bueno en toda la extensión de 
la palabra, leal amigo, en quien la rectitud y el bien eran la 
norma de sus actos; y si parecía á primera vista reservado, 
en su trato íntimo era en extremo amable y jovial, y eso que 
los quebrantos de su salud, venidos ya de lejos, no siempre 
le permitían las expansiones del buen humor. Nadie le aven- 
tajó en el cumplimiento de sus deberes; era en ello inflexible; 
- jamás intervinieron en sus juicios influencias extrañas, ni los 
emitía sin razonarlos mucho; era constante y asiduo en el 
trabajo,, y lo proseguía con admirable tenacidad. Poseía en 
grado eminente la virtud del patriotismo y sentía en lo más 
hondo nuestros infortunios; pero no era pesimista; confiaba 
en la virtualidad de la raza y cuanto le era dado, todo lo 
ponía al servicio de la cultura y de la ciencia española, y así 
el móvil de sus trabajos de investigación, mejor que la glo- 
ria personal, constituíalo el engrandecimiento de la patria, y 
en contribuir á él se afanaba, inculcando el mismo ideal á 
sus alumnos. Fué un hombre todo sencillez y modestia; cre- 
yente y observante, profesaba sus ideas con verdadera con- 
vicción y eran sus sentimientos puros, honrados y dignos 
del mayor respeto, y así lo tuvo Fages, sincero y cariñoso, 
de todos sus compañeros y de todos sus amigos; vivió como 
viven los buenos, y murió como mueren los justos. Descan- 
se en paz. 


— 116 — 


Lista de los trabajos cientificos del profesor Fages (). 


Recherche des chlorates et des bromates au moyen de la sírichnine. 

Publicado en Annales de Chimie Analytique, París, 1900, pág. 441. 

Reproducido en Merck's Report X, pág. 120, Darmstadt.— Formu- 
laire général des Reactions et Reactifs, París, 1906, pág. 107 y 116.— 
Merck”s Reagentien Verzeichniss, Berlín, 1903. 


Acfion des sulíltes sur les nitroprussiates (réactión de Baodeker). 

Publicado en Annales de Chimie et de Physique, París, 1902. 

Extractado en Comptes Rendus de P'Academie des Sciencies de Pa- 
ris, 1902. - Reproducido en Annales de Chimie Analytique, Paris, 1902. 
Bulletin de la Societé Chimique de Paris y Moniteur Scientifique. 


Ápplication du nitroprussiate sodique la recherche des composés 
sianneux. 

Publicado en Annales de Chimie Analytique, París, 1902, pág. 442. 
Reproducido en Chemisches Centralblatt, 1903, pág. 252, tomo 1.— 
Merck's Reagentien Verzeichniss, Berlín, 1903. 

Fórmulas generales de corrección en determinaciones analíficas, en 
las que se utiliza la Mamada liliración parcial. 

Publicado en los Anales de la Sociedad Española de Física y Quí- 
mica, Madrid, 1903. Reproducido en Añrnales de Chimie Analytique, 
París, 1903, pág. 252 y en Physikalisch-chemisches Centralblatt, Leip- 
zig, 1904, pág. 340. 

Fórmulas especiales de corrección en la filiración parcial, cuando las 
determinaciones experimentales son por polarimetría ó volumetría. 

Publicado en los Anales de la Sociedad Española de Fisica y Qui- 
mica, Madrid, 1903, pág. 113. Reproducido en Annales de Chiímie Ana- 
lytique, París, 1903, pág. 252 y en extracto en Physikalich-chemische 
Centralblalt, Leipzig, 1904, pág. 341. 


Recherche des clorates. 

Nota presentada en el V Congreso de Química Aplicada, Berlín, 
1903. Publicada en los Anales de la Sociedad Española de Física y 
Química, Madrid, 1903, pág. 262. Reproducida íntegra ó en extracto 
en la mayor parte de las Revistas alemanas de Química. 

De la determinación cuantitativa del arsénico, pesando piroarseniaio 
masnésico. 

Publicado en los Anales de la Sociedad Española de Fisica y Quí- 
mica, Madrid, 1904, pág: 106. Reproducido en Zeitschrift fir Analy- 
tische Chemie. Wiesbaden, 1905, pág. 492, y Annales de Chimie Ana 
lytique, París, 1905, extractado en Physikalisch-chemisches Central- 
blatt. 1905. pág. 702. 


(1) Formada por su ayudante D. Ansel del Campo y Cerdán. 


=- 117 — 


De la determinación cuantitativa del arsénico, pesando piroarseniato 
magnésico. (2.2 Nota). 

Publicado en los Anales de la Sociedad Española de Fisica y Qui- 
mica, Madrid, pág. 300 y en Annales de Chimiet de Physique, de Pa- 
rís, refundida con la primera Nota. 


De la determinación cuanilfativa del arsénico, pesando arseniato ar- 
géntico. 

Publicado en el Monitor de Farmacia, Madrid, 1904, pág. 227. Re- 
producido en varias Revistas de Farmacia nacionales y extranjeras. 


Acción de les suiluros sobre los nitroprusiatos; causa de la coloración 
resulítante y de sus variaciones. 

Publicado en la REVISTA DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS 
EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID, 1905, Marzo, pág. 176. 
Reproducido en los Anales de la Sociedad Española de Física y Quí- 
mica, Madrid, 1905, pág. 65; en Zeitschrift fiir Analytische Chemie. 
Wiesbaden, 1905, pág. 409; en la Revista da Chimica pura é upplica- 
da. Oporto, 1906, y extractado en Chemiker Zeitung, 1906, pág. 321. 
Chemische-Centralblatt, 1906. Annales de Chimie Analytique, París, 
1905, y Bulletin de la Societé Chimique de France, Paris, 1907. 


Acción de los sulíuros sobre los nitroprusiatos; sensibilidad é inter- 
pretación de la reacción analítica. 

Publicado en la REVISTA DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS 
EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID, 1905, Mayo. Reprodu- 
cido ó extractado en las mismas Revistas que la Nota anterior. 


Del modo de expresar la acidez. 

Publicado en la REVISTA DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS 
EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID, 1907, Octubre. Repro- 
ducíido en los Anales de la Sociedad Española de Física y Química y 
en extracto en Chemiker Zeitung, Diciembre 1907. 


Consideraciones sobre los errores y la técnica de la balanza en aná- 
lisis químico. 

Publicado en los Anales de la Sociedad Española de Física y Quí 
mica, 1908, pág. 429. 


Investigación analítica de los cloratos.— Generalización á muchos oxi- 
dantes.— Golorimetría de los cloratos. 

Memoria presentada al Congreso celebrado en Zaragoza por la 
Asociación Española para el progreso de las Ciencias. Publicada en 
la REVISTA DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y 
NATURALES DE MADRID, 1908. Reproducida en los Anales de la So- 
ciedad Española de Física y Química, Madrid, 1908, y en Annales de 
Chimie Analytique, París, Marzo de 1909, en largo extracto en Che- 
miker Zeitung, Diciembre 23 de 1908. 


— 118 — 


Aplicación de la orina á la investigación general de exidantes. 

Publicada en la REVISTA DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS 
EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID, Octubre de 1908. Re- 
producida en los Anales de la Sociedad Española de Fisica y Quími- 
ca, Madrid, Diciembre de 1908, en Annales de Chimie Analytique 
París, Abril de 1909, y en extenso extracto en Chemiker Zeitung, 
Enero de 1909. 

Investigación y determinación cuantitativa del clorato potásico en la orina. 

Publicada en la REVISTA DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS 
EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID, Octubre de 1908. Re- 
producida en los Anales de la Sociedad Española de Fisica y Quími- 
ca, en Annales de Chimie Analytique, París, Marzo de 1909, y en 
extenso extracto en Chemiker Zeitung, 27 Febrero 1909. 


Contribución á la toxicología de los cloratos. 

Publicada en la REVISTA DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS 
EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID, Noviembre de 1908. 
Reproducida en los Anales de la Sociedad Española de Física y Quí- 
mica, Marzo de 1909, y en extenso extracto en Chemiker Zeitung, 
Marzo 1909. 


los Ouímicos de Vergara y sus obras. 

Discurso leido en su solemne recepción en la Real Academia de 
Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de Madrid el día 27 de Junio 
de 1909. 

Análisis de nitros refinados, pólvoras y explosivos cloratados. 

Publicado en la REVISTA DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS 
EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID, 1909, pág. 239. Repro- 
ducido en los Anales de la Sociedad Española de Física y Química, 
1909, pág. 403. 

Contribución al análisis del nitro de Chile. 

Publicado en la REVISTA DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS 
EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID, 1910, pág. 239. Repro- 
ducido en los Anales de la Sociedad Española de Fisica y Química, 
1910, pág. 83. | 

Un caso de acción cafalizadora de las sales argéníicas: aplicaciones. 

Publicado en los Anales de la Sociedad Española de Fisica y Quí- 
mica, Madrid, 1910, pág. 222. 

lsos métodos indirectos de la Química Analítica. 

Publicado en la REVISTA DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS 
EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID, 1910, Julio á Octubre. 
Traducido integramente al alemán por el Dr. Werner Mecklenburg y 
publicado en la colección de monografías científicas, que bajo la di- 
rección del Dr. W. Herz, profesor de la Universidad de Breslau, apa- 
rece en Stuttgart. 


— 119 — 


VI.—Apuntes sobre Mecánica social. 


Por ANTONIO PORTUONDO Y BARCELÓ. 


INTRODUCCIÓN 


Desde que Augusto Comte expuso en sus Lecciones de 
Filosofía Positiva el concepto de una Física social, y pensó 
en una ciencia nueva á la cual dió el nombre de Sociología, 
él mismo sugirió (y después otros muchos escritores han 
desenvuelto), la idea de una Mecánica de la Sociedad, con 
sus tres secciones Cinemática, Estática y Dinámica. Sería 
una rama de la Sociología pura ó abstracta, y sería una cien- 
cia particular para el estudio de los movimientos ó del equi- 
librio producidos en las Sociedades— cualesquiera que éstas 
sean — por la acción de fuerzas de naturaleza psíquica, que 
muchos denominan fuerzas sociales. Dice De-Greef que la 
Sociología abstracta ha de investigar las leyes generales que 

resultan de las relaciones de los hombres entre sí, indepen- 

dientemente de las formas transitorias que han revestido ó 
revistan dichas relaciones en las Sociedades particulares que 
hayan existido ó existan. 

Yo creo en la posibilidad de constituir una Mecánica so- 
cial abstracta, cuando considero que la Mecánica racional es 
una ciencia general sobre entes de razón, y que en ella las 
fuerzas aparecen como abstracciones. En esta pureza estriba 
precisamente la excelencia de la Mecánica racional, porque 
permite que sus Principios y Teoremas se apliquen á todo 
género de fuerzas de la Naturaleza. 

Así, por ejemplo, cuando se asimilan los astros á simples 


— 120 — 


puntos materiales de diferentes masas, y se admite que las 
fuerzas que actúan sobre ellos son las de gravitación univer- 
sal que siguen la ley de Newton, se constituye la Astrono- 
mía como una ciencia positiva abstracta; y es una Mecánica, 
en la cual se ha podido aplicar con su lenguaje matemático, 
y en toda su pureza, los Teoremas de la Mecánica racional, 
para descubrir las leyes de los movimientos de los astros, y 
por tanto, sus posiciones futuras. Estas predicciones son 

espués verificadas y comprobadas por las observaciones. 

En la Mecánica aplicada á los sistemas materiales de la 
Naturaleza que nos rodea, en la cual los cuerpos naturales 
no son ya entes de razón, se aplican también los Teoremas 
de la Mecánica racional; pero la obscuridad de las leyes por 
las cuales se rigen las fuerzas moleculares de todo género, 
impiden que esa ciencia de aplicación pueda ser hoy como 
la Mecánica celeste. En ella, los Teoremas de la Mecánica 
racional dan, sin embargo, una primera aproximación, que 
después las ciencias físicas pueden reemplazar por otras le- 
yes más y más aproximadas. | 

Si los Principios y Teoremas de la Mecanica racional son 
aplicables á todo género de fuerzas, parece que deben de 
serlo también á las de naturaleza psíquica, llamadas fuerzas 
sociales. Para hacer la aplicación sería preciso que (sobre 
convenciones especiales) se pudiera: 

1.2 Definir bien los puntos de aplicación, determinando 
de un modo preciso sus posiciones; 

2.” Determinar las direcciones y los sentidos en que 
actúen las fuerzas; 

3. Definir las masas de los individuos y de los elemen- 
tos sociales; 

4.” Concebir como medibles las intensidades de las fuer- 
zas psíquicas, aunque nos sea desconocida su esencia ínti- 
ma; como lo es la esencia de todo género de fuerzas de la 
Naturaleza. 

La esencia de las cosas es siempre inaccesible para el 


— 121 — 


hombre; dado que la realidad no está, para nosotros, sino 
en nuestras representaciones interiores. Pero las ciencias son, 
en último término —como dice Poincaré, —sistemas de rela- 
ciones entre las cosas; y por ellas no se aspira á conocer la 
verdadera naturaleza de éstas, sino sus relaciones perma- 
nentes, tales como se den para el hombre mismo; porque 
como observa Mr. Le Dantec, lo que llamamos /as cosas no 
depende sólo de la naturaleza del mundo, sino también de 
la naturaleza de quien lo describe. Cuando apercibimos en 
nuestro interior alguna relación constante expresada — para 
nosotros —por una ley alcanzada por los métodos científicos; 
y nos la representamos como apercibida del mismo modo 
por los demás hombres que la conocen científicamente; es 
muy natural que la consideremos como una ley que revela 
la harmonía del Universo, aunque ella sea por nosotros y 
para nosotros, toda' vez que en la Naturaleza misma lo que 
hay son los casos repetidos de cada fenómeno. 

En un discurso ha dicho recientemente Poincaré que: «si 
la complejidad del mundo no fuera harmoniosa, nuestro espí- 
ritu sólo vería los detalles á la manera del miope, y tendría 
que olvidar cada detalle antes de examinar el siguiente, por- 
que sería incapaz de verlo todo á la vez: por eso el orden, 
en la complejidad, es lo que hace que ésta sea accesible». 

Debe de notarse también que /as cosas entre las cuales se 
investigan relaciones científicas abstractas no son—si bien 
se mira —más que símbolos; porque al designarlas, ó bien 
nos referimos al estado fugitivo por que pasan (para nuestra 
consideración) en un instante dado, ó bien nos referimos á 
la ley de variación de la cosa de que se habla. En esta se- 
eunda manera no se trata sólo de un símbolo abstracto, sino 
que es además puramente matemático, como expresión de 
una función de muchas variables que estén en relación de 
dependencia mutua con la que se considere. 

En estos Apuntes vamos á intentar un ensayo de asimila- 
ción de los movimientos sociales — vistos de un modo pecu- 


«= 122 — 


liar —á los movimientos de los sistemas que estudia la Me- 
cánica de los sistemas materiales, mirando los hechos so- 
ciales como fenómenos naturales (*), y admitiendo que por 
la Psicología experimental se pudiera llegar algún día á pre- 
cisar y determinar todo lo que dijimos antes. 

Se necesita esto indispensablemente como base para 
poder transportar (si así puede decirse) las leyes generales 
y abstractas del movimiento y de las fuerzas del mundo 
real del espacio al mundo igualmente efectivo, aunque psí- 
quico, de los asuntos de carácter social. Habría de tenerse 
esa base, después de un estudio hecho directamente por la 
Psicología y la Sociología, ayudadas de la Estadística, toda 
vez que la Mecánica es impotente para esas investigaciones, 
que han de ser dirigidas por otros Principios, y por los mé- 
todos propios de aquellas ciencias. Ya comprendo que el 
orden lógico debía de ser el inverso, á saber: tener primero 
las bases psicológica y sociológica, obtenidas y asentadas 
por el estudio directo del hombre y de la sociedad, y des- 
pués aplicar las leyes de la Mecánica. Pero como aquellas 
ciencias no nos proporcionan todavía lo necesario, he de 
suponer que algún día se tuviera; lo cual ya indica que mi 
intento es algo temerario, ó por lo menos, prematuro. Pero 
entreviendo yo la posibilidad de aplicar las leyes puras de 
la Mecánica racional á los individuos y á las agrupaciones 
de individuos, he partido — como se verá en los Prelimina- 
res — de aquellas suposiciones que he considerado adecua- 
das para encauzar los razonamientos. Es evidente, por lo 
demás, que si se llegara á demostrar algún día la absoluta 
imposibilidad de establecer las bases para la constitución 
positiva de la Mecánica social, tal como la he concebido, 
todas las especulaciones que encontrará el lector en estos 
Apuntes serían baldías. Pero deben de recordarse estas pa- 
labras del Dr. Maudsley: «¡Cuáles no serían nuestro gozo y 


(*) Damos á esta palabra su más amplio sentido. 


— 123 — 


nuestro triunfo si llegáramos algún día (y esta esperanza no 
tiene nada de insensata) á medir por instrumentos delicados 
las energías que en la conciencia se manifiestan bajo las 
formas de sentimientos, de ideas y de voliciones!» (Caps slo? 
de la Fisiología del espíritu.) 

Nosotros intentamos transformar en medios lógicos para 
el estudio de la Mecánica social, los resultados científicos 
obtenidos por la Mecánica racional: ésta trata, después de la 
Aritmética y la Geometría, del modo más simple y más uni- 
versal de la existencia, como dice Augusto Comte; y este 
modo debe de volverse á encontrar expontáneamente en los 
otros modos de existencia más compuestos, como son los 
del individuo y la agrupación humanas, consideradas prime- 
ro desde el punto de vista biológico, y después desde el 
punto de vista psicológico-sociológico. 

El sociólogo americano, Mr. Small, indica que todas las 
ciencias que descubren y formulan las leyes de los procesos 
que se verifican en los órdenes antecedentes al orden social, 
deben de elaborar sus leyes con bastante minuciosidad para 
poder incorporarlas á la Sociología. Yo creo que las leyes me- 
cánicas se hallan en este caso; y por eso las imágenes y los 
conceptos de la Mecánica racional — formulados por medio 
del simbolismo matemático —pueden valer acaso para ima- 
sinar y comprender los fenómenos psíquico-sociales en su 
aspecto mecánico, construyendo —por decirlo así —el mo- 
delo mecánico (de que hablaba Lord Kelvin) para facilitar 
la inteligencia de esos fenómenos. 

Los sociólogos que han escrito sobre Mecánica social han 
desenvuelto generalmente sus ideas, preocupándose de las 
cualidades de las fuerzas que actúan sobre los individuos en 
sociedad, y también de los fines ó tendencias económicas, 
morales, etc. 

Este modo de considerar la Mecánica social es totalmente 
distinto del que yo intento seguir. Habré de pensar sólo en 
el cómo de la acción de las fuerzas psíquicas, independien- 


MPA 


temente de su naturaleza especifica; puesto que para mí esas 
fuerzas serán puras abstracciones, como lo son las de la Me- 
cánica racional.. La consideración de los fines es, por otra 
parte, enteramente ajena á nuestro estudio. 

A la Sociología — apoyada en todas las ciencias —le co- 
rresponde, á mi entender, el estudio de los muy variados 
géneros de fuerzas sociales, con sus diversas cualidades, 
para penetrar, si es posible, en todo el proceso de la aso- 
ciación humana; pero á mí me parece que la Mecánica debe 
de ceñirse al estudio de la acción (estática Ó dinámica) de 
las fuerzas sobre los individuos y las agrupaciones sociales. 
En lo que los sociólogos denominan Dinámica social se com- 
prende el estudio de la evolución de las estructuras de las 
Sociedades, cuestión que parece trascender ya de lo pura- 
mente mecánico. 

El eminente Profesor Ernst Mach considera que es una 
preocupación la idea de buscar la explicación mecánica de 
los tenómenos físicos; y llega á calificar de absurda la apli- 
cación de los conceptos mecánicos á otros órdenes de fenó- 
menos, porque — dice él —esos conceptos no han sido des- 
arrollados más que para la exposición de los hechos mecá- 
nicos, y no para la de los hechos fisiológicos ó psicológicos. 
Esto es cierto; pero en la Mecánica racional se expone sim- 
plemente un aspecto de los fenómenos del Universo, y yo no 
alcanzo á ver la razón por la cual no puedan ser aplicadas 
las leyes mecánicas abstractas á los fenómenos psíquicos, 
si éstos se miran sólo bajo su aspecto mecánico. Pensando 
en las causas ó fuerzas que producen modificaciones psiqui- 
cas en los individuos ó en las agrupaciones de individuos, 
cabe - á mi entender — investigar cómo se realizan en el 
tiempo esas modificaciones Ó cambios, y ver si las leyes de 
la Mecánica racional son aplicables. 

Spencer dice que toda verdadera generalización lleva co- 
múnmente consigo, no sólo una explicación de los hechos ó 
de la serie de hechos que se han estudiado para descubrirla 


— 125 — 


y fosmularla, sino también de alguna otra serie de hechos 
diferentes que, á primera vista, parecían no poder entrar en 
“aquella generalización. Con arreglo á esta idea de Spencer, 
veo yo, por ejemplo, que la generalización sobre veloci- 
dad— (al estudiar en Cinemática el hecho del movimiento 
de un punto en el espacio) —sirve para otros hechos dife- 
rentes, y, en general, para todos los cambios cuantitativos 
(de cualquier género que sean) que se realicen por ley de 
continuidad en el tiempo. 

El Profesor Ostwald dice en su libro sobre la Energía, que 
Mr. Ernst Solvay había tenido ya la idea de aplicar á los fenó- 
menos sociales la ciencia de la Energía, y á esta aplicación 
dedica la última parte de su libro aquel eminente Profesor. 

Al intentar la aplicación de la Mecánica racional á entes y 
fuerzas psiquicas, se habrá de tener presente que los concep- 
tos puros de la Mecánica no tienen otra realidad que la que 
alcanzan en nuestro pensamiento; que pueden servir para 
representarnos la conexión y sucesión de los hechos socia- 
les en un aspecto de sus relaciones de dependencia mutua 
(si se consideran los fenómenos psíquicos que sean genefa- 
les para todos los hombres en esas relaciones mutuas), vien- 
do así el aspecto mecánico como abstraido de la realidad so- 
cial; pero no pretender que por aquellos conceptos se expli- 
que toda la realidad social en su desenvolvimiento. Esta 
pretensión sería vana aun tratando de los fenómenos pura- 
mente físicos, toda vez que el aspecto mecánico abstraído 
del fenómeno físico no puede explicarlo totalmente. Ese as- 
pecto, lo repetimos una vez más, es una abstracción, como 
lo es el aspecto geométrico. 

Entre los Sociólogos se admite ya generalmente que la So- 
ciología pueda llegar á constituirse como ciencia, porque 
consideran que los fenómenos sociales obedecen á leyes; 
que si éstas no se han formulado todavía, es porque los he- 
chos no son bastante conocidos, á causa de la complejidad 
de su carácter psíquico. 


— 126 — 


Dice Ostwald que no se debe de renunciar nunca á la es- 
peranza de llegar á explicar cientifizamente un fenómeno, ni 
á la de alcanzar tal ó cual conquista científica; porque todo 
hecho que entre en la esfera de nuestra observación, ya 
cumple por eso sólo la condición para poder sernos más y 
más conocido, es decir, que cae ya bajo el poder de la 
ciencia. 

Se ha dicho, con razón, que el hecho de que los fenómenos 
meteorológicos, por ejemplo, no sean bastante conocidos, 
no prueba ni remotamente que esos fenómenos dejen de obe- 
decer á leyes uniformes é invariables; y se ha hecho obser- 
var que algunos fenómenos sociales, como los matrimonios, 
los nacimientos, los suicidios, la criminalidad, etc., apare- 
cen, por las estadísticas demográficas, como obedeciendo á 
leyes regulares y determinadas, cuando se agrupan esos he- 
chos en grandes números. Parece que en el curso ordinario 
de los sucesos humanos — como fenómenos psíquicos natu- 
rales — (si se miran en grande escala, eliminando las parti- 
cularidades individuales; y se tiene cuidado de apartar las 
influencias perturbadoras), rigen leyes tan invariables como 
en los fenómenos naturales puramente físicos; de tal mane- 
ra que el tanto en cada uno de aquellos hechos sociales pa- 
rece una consecuencia necesaria de la manera de ser de los 
individuos que constituyen una agrupación social en un ins- 
tante dado, y de toda la organización de la Sociedad que se 
considere. Influyendo sobre estas causas y modificándolas, 
cabe influir sobre aquéllos tantos que son su efecto. 

Respecto al método, conviene recordar que aunque la Me- 
cánica haya sido una ciencia inductiva en los comienzos de 
su desenvolvimiento histórico, y se hayan empleado para su 
constitución, la observación y la experiencia que usan todas 
las ciencias físicas; hoy la encontramos ya como ciencia pre- 
dominantemente deductiva, construída sobre las entidades 
abstractas de la Mecánica racional, en la cual las Matemáti- 
cas con su Análisis infinitesimal desempeñan el principal 


— 127 — 


papel. Esto permite ya lo que Mach llamó con frase tan ce- 
lebrada y repetida la economía del pensamiento, es decir, el 
menor gasto intelectual. 

Anque los razonamientos se hacen siempre en la Mecánica 
racional abstracta sobre simples entes de razón, hay que 
tener en cuenta que sus investigaciones no se dirigen meta- 
físicamente hacia las causas esenciales, sino hacia las leyes 
efectivas del fenómeno natural del movimiento. La observa- 
ción de lo que ocurra, como fenómeno natural, en los indi- 
viduos y en las agrupaciones sociales, podrá servir como 
método de comprobación (de la exactitud ó probabilidad en 
unos casos, de la falsedad en otros) de las proposiciones 
abstractas de Mecánica social que se formulen, guiándose 
por los teoremas de la Mecánica racional. John S* Mill, des- 
pués de indicar que los fenómenos sociales dependen de las 
acciones de los hombres, así como de las circunstancias ex- 
teriores bajo cl influjo de las cuales está el genero humano, 
dice que el método deductivo es el único aplicable al estudio 
de los hechos sociales; pero basado — naturalmente —en las 
leyes de la actividad humana por una parte (*), y en las 
propiedades de las cosas exteriores, que serán el objeto de 
todas las ciencias físicas y naturales. Para obtener aquellas 
leyes y estas propiedades, podrá servir, según S* Mill, el 
método inductivo. 

El mismo Augusto Comte reconoce que dependiendo ne- 
cesariamente las ciencias más complejas de las que son más 
generales (en su Teoría jerárquica de las ciencias), las con- 
sideraciones derivadas de estas ciencias anteriores tienen 
una importancia tal, que su introducción juiciosa conduce 
á hacer esencialmente deductivas muchas de las nociones 
fundamentales que en las ciencias aisladas no podrían ser 
más que inductivas. 


(*) A mi entender estas leyes á que se refiere St. Mill han de ser 
investigadas por la Psicología fisiológica. 


= 128 — 


En estos Apuntes nos abstenemos con todo rigor de hacer 
consideraciones filosóficas acerca de las nociones primeras 
de espacio, tiempo, fuerza, etc., á las cuales se han de refe- 
rir necesariamente nuestras especulaciones; porque aunque 
tales consideraciones no llegaran á degenerar en metafísicas, 
nos habrían de alejar grandemente del fin que perseguimos, 
para lo cual nos desligamos de todo género de concepcio- 
nes filosóficas. Siendo mi trabajo de simple exposición, no 
debe de extrañar al lector que revista cierta apariencia didác- 
tica ó dogmática. No es que yo en manera alguna considere 
que el punto de vista en que me he colocado haya de ser 
aceptado indiscutiblemente; estimo, por el contrario, que 
habrá muchos á quienes repugne admitirlo. Pero (ajeno á 
todo espiritu de polémica) he procurado hacer la exposición 
siguiendo las huellas de la Mecánica racional clásica, tal 
como se expone ésta en los cursos elementales; y por esto, 
y nada más que por esto, aparece cierta forma didáctica. 

Al terminar esta Introducción me ocurre la idea de que el 
contenido de mi trabajo á nadie habrá de satisfacer. Los 
hombres de ciencia positiva como los matemáticos, los fíSi- 
cos Ó los naturalistas, verán, desde luego, que no hay en él 
una labor científica propiamente dicha, y acaso lo consideren 
como una fantasía sobre motivos de la Mecánica racional (*); 


(*) D. Eduardo Saavedra ha escrito estas palabras, que me alien- 
tan: «Al par de las creaciones artísticas, las creaciones cientificas 
proceden del raudal inagotable de la fantasía.» El mismo Ernst Mach 
dice: «En el orden cientifico-abstracto puede la imaginación ejercer 
su acción sobre los puros conceptos, dejándose guiar por las aso- 
ciaciones y haciendo las convenientés selecciones.» Y el eminente 
Profesor D. J. R. Carracido ha dicho en un discurso reciente, que: 
«en el mundo físico y en el psíquico son las imágenes la fuente más 
copiosa de nuestros conocimientos, y la fantasía la facultad espiritual 
de mayor alcance para la percepción de lo inaccesible á nuestros sen- 
tidos, y para relacionar los datos inconexos de la mera observa- 
ción», y más adelante añade que: «la euritmia de las construcciones 
científicas es obra de las hipótesis, de las imágenes compuestas por 
la fantasía para satisfacer exigencias del razonamiento». 


e 


y encontrarán, además, que carece en muchos puntos de la 
precisión y del rigor exigibles. 

Los sociólogos pensarán que sobra toda la armazón mate- 
mática que viene de la Mecánica racional; y que, además de 
no servir á su juicio para el caso, embrolla las cuestiones 
que ellos estudian por otros procedimientos que estiman más 
adecuados. Y los simples aficionados á leer trabajos sobre 
esta clase de estudios estimarán fundadamente que estos 
Apuntes son obscuros é indigestos, porque no he sabido 
manejar el estilo que se debe de usar para la vulgarización 
científica. 

Perdóneseme no haber podido satisfacer, como era de 
desear, á uno siquiera de esos grupos de lectores. 


IDEAS PRELIMINARES.—DEFINICIONES 
HIPÓTESIS 


H 


Mirando cada Sociedad como un todo constituido por indi- 
viduos y colecciones parciales de individuos, enlazados unos 
y otras entre sí por modos determinados, se nota que hay 
estrechas relaciones entre lo científico, lo artístico, lo eco- 
nómico, lo jurídico, lo político, lo religioso, lo moral, etcé- 
tera; y es natural que así sea, porque todos estos diversos 
géneros de asuntos de carácter social se dan simultánea- 
mente en su psiquis colectiva, que es como una síntesis de 
las psiquis individuales. En cada individuo esos distintos gé- 
neros de asuntos están asímismo relacionados entre si, al 
darse simultáneamente en su psiquis individual. 

En los individuos de cada especie animal hay una psiquis, 
que es especifica; y casi todas las especies animales viven 


Rev. Acab. DE Cirxcias.—X.— Julio, Agosto y Septiembre, 1911. 9 
f 


— MED 


en agrupaciones de individuos, infiuyendo en ellas fuerzas 
psiquicas, lo mismo que en las agrupaciones de hombres. 
Pero siendo la especie humana la que ofrece el mayor des- 
arrollo de tales fuerzas (al actuar como fuerzas sociales), nos 
referimos á las agrupaciones humanas en todo lo que haya- 
mos de decir sobre la Mecánica social (+). 

Para el estudio pura y exclusivamente mecánico, es indi- 
ferente que todos los asuntos de carácter social se deriven ó 
no de lo económico, y que éste ú otro cualquiera sea ó no 
sea el hecho social primitivo, porque estas cuestiones de 
principios, que podrán ser muy interesantes para la Socio- 
logía, carecen de importancia para nosotros, según veremos. 
Al tratar del aspecto mecánico en cada determinado asunto 
social, éste puede ser uno cualquiera de los diversos asun- 
tos que hemos dicho. 

A cada ciencia social particular corresponde la investiga- 
ción de las leyes á que puedan obedecer los individuos y 
las agrupaciones sociales con respecto á un género dado de 


(**) Por los estudios biológicos se ha podido establecer, como ley 
general, que los individios de las especies animales cuya vida activa 
ha de ser regida casi exclusivamente por los instintos heredados, 
pueden, casi desde que nacen, vivir por sí mismos; y que los indivi- 
duos de las especies que durante su vida han de ir adquiriendo cono- 
cimientos, nuevos hábitos, etc., nacen, por el contrario, imposibilita- 
dos de vivir por sí mismos; y así lo están por mucho tiempo. 

La capacidad para aprender es minima en los insectos (que están 
en el primer caso) y llega á un máximo en el hombre (que está en el 
segundo caso). En el hombre no es lo más importante quizás la 
pura herencia natural, sino todo lo que va adquiriendo en la ex- 
periencia, y mediante la acción de las fuerzas psíquicas de que ha- 
blaremos más adelante. Por esto, dice el psicólogo americano 
Baldwin, la conciencia se da en el hombre en su forma más elevada, 
porque para lograr el aprendizaje ó la modificación, se produce en el 
niño una atención sostenida con esfuerzos repetidos. Para ello la ma- 
teria gris del cerebro del hombre es muy inestable y muy plástica; y 
en su organización sucesiva durante la vida se va registrando, por 
decirlo así, todo lo adquirido por los esfuerzos y las experiencias; 
pero este orden de consideraciones es ajeno á nuestro propósito. 


asuntos, que sea el particular objeto de ella; pero puede ha- 
ber una ciencia más general y comprensiva, que tenga por 
- misión investigar las leyes generales por las cuales se rijan 
los movimientos de modificación de individuos y agrupacio- 
nes, bajo la acción de las fuerzas psíquicas, y cualquiera que 
sea el asunto que se considere (*). 

Con esta generalidad concebimos nosotros la Mecánica 
social como una rama de la Sociología abstracta. 

Muchos sociólogos encuentran tales semejanzas y tantos 
caracteres comunes entre las agrupaciones sociales psíqui- 
camente consideradas, y los organismos animales, —parti- 
cularmente el cuerpo humano (que es el organismo más per- 
fecto ), —que para el estudio de su extructura, de su fisiolo- 
gía y de su vida, no vacilan en mirar las agrupaciones so- 
ciales como organismos naturales, y en analizar así el pro- 
ceso de su desenvolvimiento y de su vida. Algunos como 
Lilienfeld llegaron hasta decir que dicha analogía no debía 
de concebirse en un sentido figurado, sino perfectamente 
real; aunque después este sociólogo abandonó esa extra- 
vagante posición intelectual. Otros, como D. Francisco Gi- 
ner, piensan que el organismo social no es fisiológico, sino 
psicofísico. Pero todo ese estudio de los órganos, de sus 
funciones, de sus relaciones mutuas y de sus relaciones con 
todo el ser de la agrupación social, etc., es enteramente 
ajeno á lo que nosotros intentamos tratar en estos Apuntes. 

Así como es posible hacer abstracción de la complejidad 
orgánica del cuerpo de un animal, considerarlo simplemen- 
te como un sistema de puntos materiales y verle sometido, 
por la acción de fuerzas físicas, á las leyes de la Mecánica 
para su equilibrio ó su movimiento en el espacio (aunque á 


(+) El Profesor Simmel dice que las leyes de la asociación en ge- 
neral podrán ser descubiertas, si se ve lo que haya de común en las 
diversas asociaciones humanas que existan con fines especiales, ya 
económicos, ya religiosos, ya políticos, etc. etc. 


e e 


veces aparezca lo contrario), asi también parece posible ha- 
cer abstracción de la disposición orgánica que haya en una 
agrupación social como ser vivo, de la manera como cada 
órgano desempeñe su función sirviendo al fin común del or- 
sanismo todo (por el principio de la división del trabajo), 
etcétera; prescindir —en una palabra —de lo que se relacio- 
ne con la vida de la agrupación social y con las leyes bioló- 
gicas, para considerarla como un sistema de individuos y de 
colecciones parciales de individuos, sobre los cuales se ejer- 
zan influencias de naturaleza psíquica, que actúen como 
fuerzas, é intentar —sobre convenciones especiales — la apli- 
cación de los Principios y Teoremas de la Mecánica racional. 
En este estudio, puramente mecánico, no interesa ya todo 
aquello, que será objeto de las ciencias sociales particulares 
apoyadas en la Sociología; lo mismo que en el estudio me- 
cánico del cuerpo de un animal no interesa lo que se refiere 
á su organización para la vida que es el objeto propio de 
las ciencias llamadas naturales, incluyendo en éstas la Psico- 
logía . 

Sea de esto lo que fuere, — y volviendo á lo que decia- 
mos — se observa que así en los individuos como en las 
agrupaciones sociales, cada uno de aquellos géneros de 
asuntos de carácter social es influido por todos los otros, y 
refluye á su vez sobre todos ellos, con lo cual se revela la 
solidaridad en lo psíquico, así individual como colectivo. 
Pero para el estudio, habremos de considerar solamente un 
determinado asunto, sea científico, económico, político ó re- 
ligioso, etc., para ver, respecto de ese solo asunto, lo que 
puede haber de mecánico, es decir, intentar la aplicación de 
las leyes de la Mecánica al equilibrio ó movimiento en ese 
asunto, de los individuos y de las agrupaciones sociales. 

Aunque en cada hecho socíal se den conjuntamente todos 
ó casi todos los géneros de asuntos, penetrándose mutua- 
mente, consideramos indispensable mirar por abstracción el 
hecho bajo uno solo de sus aspectos sociales (uno cualquie- 


LE 


ra), porque la complicación sería enorme si se intentara 
aplicar las leyes mecánicas al hecho social en toda su com- 
plejidad. Conviene no olvidar, sin embargo, que cada as- 
pecto es influido —como decíamos —por todos los demás. 

Habremos de considerar á los hombres en su aspecto in- 
dividual, y bajo el aspecto de agrupaciones sociales, tales 
como se nos presentan hoy en las sociedades civilizadas, sin 
entrar en consideraciones sobre origen, historia, etc., que 
son cuestiones sociológicas extrañas al estudio que intenta- 
mos hacer. 

Al pensar en el ser colectivo de una agrupación social 
dada, notamos que, aunque los individuos y los elementos 
sociales constitutivos de ella se renuevan, como se renuevan 
ciertas partes constitutivas del organismo de un animal, de 
tal modo que en el transcurso de algún tiempo todas esas par- 
tes han cambiado; notaremos, digo, que hay otras cosas fun- 
damentales en la agrupación, como ser vivo, que permanece 
á través de todos esos cambios realizados. Este punto de 
vista, muy interesante para la Sociología, no ha de ser tam- 
poco tomado en cuenta aquí, porque nos alejaría demasiado 
de las leyes puramente mecánicas. 

Cuando hablemos de agrupación social entenderemos 
siempre referirnos á una entidad constituida por individuos 
y por colecciones parciales de individuos, enlazados unos y 
otras entre sí por modos bien definidos para todos los asun- 
tos de carácter social. Así serán para nosotros agrupaciones 
sociales de grados sucesivos: la familia, el municipio, la 
provincia ó región, la nación (*). Quizá podrían ser consi- 
deradas también como agrupaciones sociales la raza y la 
humanidad. 


(*) Estas son las que D. Gumersindo Azcárate denomina personas 
sociales totales. No adoptamos esta denominación, por ser nuestro 
estudio exclusivamente mecánico; y ser, por tanto, ajeno, en cierto 
modo, al concepto de persona. 


— 134 — 


Antes de definir lo que entendemos por movimiento en un 
asunto de carácter social, empecemos por notar que en un 
instante dado hay en cada individuo un conjunto psíquico 
de ideas, conocimientos, sentimientos, hábitos, cierto tem- 
ple de voluntad para la acción, etc., en ese asunto de que 
tratemos; y que en todo esto, aunque no bien definido, do- 
mina alguna especie de homogeneidad, que dimana del 
asunto mismo á que se refiere lo psíquico, considerado en 
aquel conjunto (*). Así también en un instante dado hay en 
toda agrupación social un conjunto de instituciones estable- 
cidas, de conocimientos, de arte adquirido; hay un cierto 
sentido ético, etc., y todo ello, en relación á un mismo asun- 
to, lo podemos mirar, aunque algo vagamente, como un 
conjunto, en el cual reina también, en cierto modo, alguna 
homogeneidad. 

A fin de poder conservar las proposiciones de la Mecánica 
racional con los mismos términos que ésta emplea, daremos 
á las palabras posición en un asunto de un individuo ó de 
una agrupación social un significado que corresponda á algo 
análogo á la posición en el espacio de un punto ó de un sis- 
tema de puntos. Llamaremos posición en un asunto de un 
individuo ó agrupación en un instante dado: el conjunto de 
todo lo psíquico que haya, de cualquier modo que sea, en ese 
instante en el individuo ó en la agrupación y que se refiera 
al asunto. | 

Atentos solamente á la aplicación teórica que vamos á 
intentar, prescindimos de aquilatar la mayor ó menor pro- 
piedad de esa denominación. Siento no encontrar otra pala- 
bra más apropiada que la palabra posición para expresar lo 
que quiero indicar. La palabra estado corresponde en Mecá- 


($) Dice Durkheim que esas notas psíquicas tienen un cierto va- 
lor de hechos sociales, en tanto cuanto los demás hombres con quie- 
nes ha convivido el individuo hayan influido en ellas. Esto ahora no 
nos interesa, aunque más adelante habremos de considerarlo. 


— 135 — 


nica, no sólo á eso que hemos llamado posición, sino tam- 
bién á lo que llamaremos velocidad; por esto diremos más 
adelante estado de reposo, para significar que un individuo 
tiene velocidad nula, cualquiera que sea su posición en un 
asunto en un instante dado. El estado de movimiento requie- 
re—para ser algo bien definido—no sólo el conocimiento de 
lo que hemos liamado posición, sino además el conocimien- 
to de la velocidad en el mismo instante. Esto se aclarará 
más adelante. 

Si en un asunto del género científico, por ejemplo, consi- 
deramos á un individuo de los que se ocupan en él, diremos 
que tiene ese individuo, en un instante dado, su determinada 
posición en el asunto, que se manifiesta: 

Por sus conocimientos é ideas actuales sobre el asunto; 

Por su hábito (con valor actual) de mirarlo de cierto 
modo; 

Por los sentimientos que en él acompañan actualmente á 
esos conocimientos y hábitos; 

Por el tono actual de su voluntad, etc. 

Respecto de un asunto de cualquier otro género —político, 
jurídico, económico, religioso, moral, artístico, pedagógico, 
etcétera, podría decirse lo mismo, tratando de un indi- 
viduo (*). 


(4) Respecto de la definición que hemos dado de la posición en un 
asunto del individuo, debemos de hacer notar que lo que haya en el 
individuo en un instante cualquiera puede estar: ó bien en la concien- 
cia (que es lo estrictamente psiquico), ó bien sumergido en el fondo 
insondable de lo inconsciente ó subconsciente. Pero como á juicio de 
los psicólogos más eminentes lo inconsciente tiene su valor tan real 
y efectivo como lo consciente, debe de quedar incluído en lo que 
hemos llamado posición del individuo en un asunto; y es más funda- 
mental—como indica Maudsley — que lo que haya en los estados de 
conciencia, y sea por esto estrictamente psíquico. Al considerar, 
pues, la posición en un asunto del individuo se ve que es en realidad 
en un instante dado, lo mismo que la abstracción mental que (según 
Maudsley) llamamos nuestro yo en ese instante, que es: «una combi- 


— 136 — 


Si como caso particular de aerupación social se piensa en 
una nación, y se la considera en un asunto del género polí- 
tico, por ejemplo, diremos, igualmente: que en un instante 
dado esa nación tiene su determinada posición en el asunto, 
y que está expresada por todo el conjunto psíquico anterior- 
mente expuesto de ideas, sentimientos, aspiraciones, etc., 
de todos y cada uno de los individuos, así como de todos y 
cada uno de los elementos sociales de que hablaremos más 
adelante —y que enlazados entre sí y con los individuos 
constituyen la agrupación nacional. — Se entiende que esas 
ideas, deseos, sentimientos, etc., han de referirse al asunto 
político de que se trate. 

La diferencia entre lo que llamamos aquí posición en un 
asunto de un individuo y la de un punto geométrico en el 
espacio, estriba en que ésta es simple—por decirlo así— 
mientras que aquélla es compuesta, porque comprende 
todo lo psíquico que, en relación al asunto, haya en el indi- 
viduo en un instante dado; y consta, por tanto, de muy va- 
riados componentes (*). Podemos, sin embargo, concebirla 
como simbolizada por la posición que un punto ocupa en el 
espacio en ese instante. 

La misma diferencia se nota entre lo que hemos llamado 
posición en un asunto de una agrupación social en un ins- 
tante, y la de un sistema de puntos en el espacio. Aquella 
se refiere —como ésta —al conjunto de todos los individuos 
y de los varios elementos sociales que constituyan la agru- 
pación; pero las posiciones en el asunto de estos individuos 


nación que contiene todos los residuos de todos los pensamientos, de 
todos los sentimientos y de todas las voliciones precedentes, com- 
binación que cambia continuamente . 

Este cambio de la posición por ley de continuidad en el tiempo es 
lo que llamaré después movimiento del individuo en un asunto. 

(*) No entramos en disquisiciones de Psicologia acerca de esos 
componentes psíquicos, y usamos la palabra compuesta en el sentido 
vulgar y corriente del lenguaje ordinario. 


— 137 — 


y elementos es compuesta, como hemos dicho. La posición 
que un sistema de puntos ocupe en el espacio en un instante 
dado nos servirá—á pesar de esas diferencias —como símbo- 
lo de la posición en un asunto de una agrupación social en 
ese instante. 

Claro es que cada punto con su posición en el espacio es 
el símbolo de un individuo ó elemento social con la suya en 
el asunto. Las posiciones simultáneas (en un instante dado) 
en el espacio de los diversos puntos que constituyen un sis- 
tema material son meros símbolos geométricos de las varias 
posiciones que — en ese instante — tienen en un asunto los 
individuos y los elementos sociales que constituyen la agru- 
pación, toda vez que estas posiciones de que hablamos aquí 
son concebidas como compuestos psíquicos ajenos al espa- 
cio (+). 

Si concibiéramos que la posición en un asunto de un indi- 
viduo ó de una agrupación fuera invariable en el tiempo; es 
decir, que no tuviera cambio ó modificación alguna al trans- 
currir el tiempo, diríamos que ese individuo ó esa Sociedad 
se hallaria en estado de reposo en el asunto considerado. 

A esta posición invariable correspondería un determinado 
modo de pensar, de sentir y de proceder en el asunto que se 
considera, y ese determinado modo no se modificaría, sería 
constante en el tiempo. 

Si, por el contrario, la posición en el asunto cambia con el 
tiempo, es decir, que se modifica por ley de continuidad al 
transcurrir el tiempo (por ley de continuidad también), dire- 
mos que el individuo ó la agrupación social se halla en 
estado de movimiento en el asunto, socialmente hablando. 
Esta palabra movimiento expresará, pues, para nosotros 
aquí, que hay modificación ó cambio en la posición del indi- 


(*) Definiremos más adelante lo que entendemos, en general, por 
elementos sociales; y diremos cómo concebimos que podrían ser sim- 
bolizados geométricamente por puntos. 


Bis 


viduo ó de la sociedad dentro del asunto á que nos referi- 
mos; y á este cambio corresponderán modificaciones en la 
manera de pensar, de sentir y de proceder. 

Fijando la atención en un solo individuo — para simpliti - 
car—, y concibiéndolo en movimiento en un asunto, hemos 
de pensar que, á partir de un instante dado, el movimiento 
de modificación se efectúa en una cierta y determinada di- 
rección y sentido; y esta noción adquirida por la experiencia 
corresponderá en la representación geométrica á una direc- 
ción y sentido, cuando un punto se mueve en el espacio. 
Para explicar el significado que damos aquí á las palabras 
dirección y sentido —hablando de lo psíquico —, podemos 
decir que entre las innumerables orientaciones posibles de 
modificación, á partir de una posición dada, la modificación 
que se efectúa Ó que se realiza, tiene una determinada orien- 
tación (entre esas infinitas posibles), y ésta es la que llama- 
mos dirección del movimiento en el asunto. 

Y así como en cada una de estas direcciones en el espa- 
cio hay los dos sentidos opuestos; y que para definir el ele- 
mento de trayectoría de un punto es preciso decir en cuál 
de los dos sentidos es este elemento de trayectoría, así tam- 
bién, para definir un determinado movimiento elemental—en 
lo psíquico —se debe de decir en cuál de los dos sentidos 
opuestos se efectúa, puesto que la dirección sola en el asunto 
no basta para determinar cuál sea ese movimiento elemental. 

A tin de aclarar esto con un ejemplo, veamos al individuo 
en lo religioso. Su posición en este género de asuntos se 
compone, en un instante dado, de un conjunto de ideas 
(verdaderas 6 ¡alsas) que, sentidas de cierto modo, ó, mejor 
dicho, que unidas á ciertos sentimientos religiosos (que las 
mismas representaciones ideales pueden provocar) y que de- 
penden del estado general del organismo, llegan á producir 
actos religiosos voluntarios que el individuo realiza. Pues 
bien; si todo este conjunto. psíquico y también lo incons- 
ciente —en el cual hay cierta homogeneidad — permaneciera 


"180, = 


inalterable al transcurrir el tiempo, ese individuo, en lo re- 
ligioso, estaría en reposo, puesto que su posición religiosa 
no cambiaría en el tiempo (*). 

Pero si por influencias psíquicas cualesquiera, directas óÓ 
indirectas, de origen interno ó externo (lo cual ahora no nos 
interesa), se ejerce sobre el individuo acciones que obren 
como fuerzas, y suponemos que éstas modifiquen, ya sus 
ideas Ó sus conocimientos, ya sus sentimientos Ó volicio- 
nes, etc., es decir, que modifiquen su posición religiosa, em- 
pleando en ello un cierto tiempo, veremos á ese individuo en 
movimiento religioso á partir de la posición inicial. El cam- 
bio muy pequeño que se realice en un transcurso muy pe- 
queño de tiempo, tendrá una determinada dirección, verbi- 
gracia, conocimiento adquirido (que no tenía) sobre la in- 
tervención ó no intervención directa (en todos los sucesos) 
del Dios en que él crea. Ese movimiento elemental en esa 
determinada dirección, puede ser en el sentido del providen- 
cialismo ó en el sentido contrario. Otro individuo en estado 
de movimiento religioso también, podría moverse en otra 
dirección, por ejemplo, modificando sus ideas ó sentimien- 
tos sobre las relaciones del sacerdote con los fieles para de- 
terminados actos. En esta dirección determinada caben los 
dos sentidos opuestos, á saber: afirmarla Ó negarla, estre- 
charla (haciéndola más íntima) ó atlojarla. 

Si pensamos—no ya en un simple individuo—sino en una 
agrupación social que se halle en estado de movimiento, 
veamos cómo se podría definir este estado á partir de una 
posición dada en un asunto. Para ello veamos el movimien- 
to Ó cambio que se realice en un intervalo muy pequeño de 
tiempo, lo que llamaremos el movimiento elemental. 

Primeramente veamos la agrupación como constituída por 


(+) Este supuesto no se ofrece generalmente en los individuos que 
viven en las sociedades modernas civilizadas, con vida efectiva den- 
tro de ellas. 


— 140 — 


individuos. En la Mecánica de los sistemas materiales, los 
cuerpos son considerados en general como constituidos por 
partículas suficientemente pequeñas para que el movimiento 
de cada partícula sea único, es decir, para que sus partes (si 
las tuviera) tengan todas el mismo único movimiento en cada 
instante: pero como es imposible decir cuál debe ser el gra- 
do de pequeñez que se requiere para eso, se corta la dificul- 
tad en la Mecánica racional, tratando la partícula como un 
punto geométrico materializado (doble abstracción), que se 
llama el punto material. En la Mecánica social parece legíti- 
ma la asimilación del individuo al punto material, toda vez 
que su movimiento en un asunto es único en uninstante dado. 
El individuo abstracto é ideal que concebiremos, es (bajo 
este aspecto) tan indivisible, como lo es el punto material en 
la Mecánica racional. (Sobre esto ya hablaremos más ade- 
lante, en la Primera parte de la Dinámica). Y así, para los es- 
tudios mecánicos, miramos toda agrupación social como 
constituída por individuos. 

Pero, además, cuando la agrupación social que se conside- 
re sea de un grado de complejidad mayor que el de la fami- 
lia (primer grado), ya aparecen en su constitución, no sólo 
los individuos, sino también las varias colecciones de indi- 
viduos, que —dentro de la agrupación total —designaremos 
con el nombre genérico de elementos sociales. 

Importa explicar desde ahora lo que habremos de enten- 
der por elementos sociales en general, cuando los considere- 
mos como constitutivos de una agrupación, juntamente con 
los individuos: éstos conservarán siempre para nosotros su 
propia individualidad, no como miembros de ésta ó aquella 
colección parcial, sino como miembros de la agrupación, vis- 
ta en su totalidad. Cuando hayamos de intentar la aplicación 
de los Teoremas de la Mecánica racional á una agrupación 
social mirada como sistema de individuos y elementos sociales, 
será necesario además considerar definido el sistema—como 
tal —por todos los enlaces (como se dice en Mecánica) que 


MR 


haya de los individuos entre si, de los elementos entre sí Ó 
de los individuos con los elementos. 
Los enlaces son los que ponen en relación los individuos 
y elementos, estableciendo cierta coordinación entre ellos. 
Determinan, por decirlo así, la constitución social particular 
de una agrupación dada. Es dificilísimo (por no decir impo- 
sible), llegar á conocer detalladamente las acciones mutuas 
interiores que directamente se ejercen entre unos y otros in- 
dividuos y elementos de una agrupación, así como las que 
indirectamente resulten actuando entre ellos, por intermedio 
de los enlaces. Ya veremos en la Segunda parte de la Diná- 
mica, que si estas últimas fuerzas interiores que provienen 
de los enlaces, no pueden ser determinadas particularmente, 
se podría, sí, hallar por el teorema de d'Alembert, un conjun- 
to de fuerzas interiores que, para cada individuo y para cada 
elemento social, fuera equivalente á las de los enlaces, reli- 
riéndonos siempre al asunto social de que se trate. No es 
posible desenvolver esta idea aqui en los Preliminares. 
Veamos las agrupaciones sociales de diversos grados. En 
la de primer grado (que es la familia) se ve la agrupación 
constituida simplemente por individuos, y éstos enlazados 
entre sí. Los enlaces que en cada pueblo y en cada época 
de su historia ligan entre sí á los individuos de una fami- 
lia, pueden ser muy varios y de carácter jurídico, económi- 
co, moral ó religioso. El estudio de esto corresponde á los 
historiadores, á los juristas y á los sociólogos; y Su conoci- 
miento sería indispensable para una Mecánica social prácti- 
ca. No pudiendo ni siquiera aspirar á un bosquejo de ésta, 
nos basta, para nuestras simples especulaciones abstractas, 
concebir, como antes, la existencia de los enlaces. Téngase 
por hecha, de una vez para todas, esta indicación respecto de 
los enlaces más complicados en las agrupaciones de grado 
superior (+). 


(*) Sobre los enlaces sociales ha hecho el profesor Durkheim 


ms O 


En el Municipio como agrupación de segundo grado (*), 
encontramos los individuos —las familias —y una multitud 
de otras colecciones de individuos organizadas para diversos 
fines sociales. Dentro de la agrupación municipal serán para 
nosotros elementos sociales las familias y todas estas colec- 
ciones. 

Supondremos que todos y cada uno de los elementos se 
puedan simbolizar por centros que respectivamente los re- 
presenten; y así lo pensaremos para cada familia y para 
cada centro ú asociación cientifica, artística ó profesional; 
y para las que se llaman Cámaras de Comercio, Agrícolas Ó 
Industriales; y para las Asociaciones filantrópicas, religiosas 
y de templanza; y para las Asociaciones de obreros y las 
patronales; y para las representaciones de los partidos polí- 
ticos, etc: ete: 

Claro es que para esta individualización —como si dijéra- 
mos —de los elementos sociales, se requiere que todos los 
individuos que los formen tengan algunas notas comunes en 
relación con el asunto que se considere; y además, y muy 
principalmente, que haya principios de coordinación que es- 
tablezcan la constitución del elemento mismo, para que 
sea posible conocer en cada instante la posición en el asun- 
to de cada colección, por los procedimientos adecuados 
(para cada una), según las relaciones que liguen entre sí á 
los miembros de ella. Así puede concebirse individualizado 
cada elemento social, dentro de la agrupación total. 

Se entiende —ya lo indicamos antes — que aunque un in- 
dividuo forme parte de varios elementos sociales, conserva 


múltiples y atinadas observaciones en su libro sobre la División del 
trabajo social. 

(*) Hablamos de Municipio —como hablaremos de provincia ó 
región y de nación —no en el sentido de subdivisión para fines po- 
líticos y administrativos en general, sino en el más amplio sentido 
de agrupación social. 


Bi 


siempre su ser, como miembro de la agrupación en su tota- 
lidad; y por eso decimos que ésta se halla constituida por 
individuos y elementos sociales. Es claro que cada indivi- 
duo, como parte integrante de un elemento, no aparece en 
la agrupación social, porque queda como fundido en el cen- 
tro que simboliza el elemento. 

En cuanto á los enlaces, debemos de repetir lo que ya dí- 
jimos, á saber: que cada agrupación municipal se definirá 
por los enlaces que se hallen establecidos de los individuos 
entre sí—elementos entre sí-—é individuos con elemen- 
tos (*), y serán enlaces de muy varios géneros. Nos basta 
hacer constar su existencia y tener presente que pueden ex- 
perimentar modificaciones en el tiempo cuando se considere 
una agrupación dada. 

Si de los Municipios pasáramos á las Provincias ó Regio- 
nes, — y de éstas á las Naciones — considerándolas como 
agrupaciones sociales de 3.” y 4.” grado, figurarían como 
elementos de las primeras los municipios, representados por 
centros simbólicos para individualizarlos; y como elementos 
de las segundas las Provincias ó Regiones, análogamente 
individualizadas dentro de las Naciones. Pero además apa- 
recerán en las primeras nuevos elementos sociales de carác- 
ter provincial ó regional, que pueden ser de naturaleza muy 
varia; que estarán enlazados entre sí, y con los Municipios 
é individuos, como éstos lo estarán ásu vez unos con otros 
y entre sí; entendiendo que aquí los individuos han de ser 
considerados como miembros de la Región mirada en su to- 
talidad. 

Lo mismo podríamos decir de las Naciones, en las cuales 
habrá elementos sociales de carácter nacional muy variados, 
enlazados entre sí y con las Regiones é individuos. En éstos, 


(*) No se habla ahora de los enlaces ó relaciones internas de 
los individuos de una misma colección. Ya dijimos que estos enlaces 
sirven para individualizar cada colectividad. 


== UA 


como se indicó antes, sólo hemos de ver ya miembros ó ciu- 
dadanos de la Nación (+). 


Para dar ahora idea de lo que entendemos por movimien- 
to de una agrupación social cualquiera en un asunto, recor- 
demos que su posición en un instante se simboliza por la 
posición en el espacio de un sistema de puntos. La agrupa- 
ción, por tanto, podrá ser concebida en estado de reposo ó 
en estado de movimiento —socialmente hablando—, según 
el estado de reposo Ó de movimiento en que se hallen en 


(*) Terminamos ya estas ligeras indicaciones. No nos incumbe 
examinar lo que haya de ser la representación de una agrupación 
cualquiera en su totalidad Si eso es el Estado de esa agrupación, no 
hemos de entrar en su estudio, porque no nos interesa especial- 
mente. 

Ya hemos dicho que para el estudio mecánico de una agrupación 
sólo habremos de considerar en ella individuos y elementos sociales, 
sean éstos cualesquiera. 

A los políticos y juristas y sociólogos corresponde la clasificación 
y examen de todos y cada uno de los elementos sociales, estudiando 
el modo ínterno de ser constituído cada elemento social (su esfera 
privada, como se dice), y los modos de enlace con el resto de la 
agrupación. Los enlaces pueden ser de esta ó de aquella naturaleza, 
más Ó menos íntimos, más ó menos bien dispuestos, etc. Todo esto, 
así como las transformaciones — por evolución ó por revolución — de 
los elementos, y la aparición de unos elementos y desaparición de 
otros en el transcurso de la vida de una agrupación social, etc., así 
como la aparición, desaparición ó modificación de los enlaces, son 
cuestiones enteramente ajenas á nuestro estudio, aunque los sociólo- 
gos las llaman dinámicas. 

Se comprende bien que el número de los enlaces entre los indivi- 
duos y los elementos sociales de una agrupación, y el modo de ser 
de dichos enlaces dependerán, no sólo del número de individuos y 
elementos, sino principalmente de su modo de vivir en sociedad. 
Por esos enlaces — que definen una agrupación dada — es que se de- 
terminan los efectos que las fuerzas psíquicas sociales hayan de pro- 
ducir sobre los individuos y elementos que constituyan la agrupación, 
según veremos más adelante en la Dinámica Social. 


— 145 — 


ese instante sus ¿individuos y elementos constitutivos. Dire- 
mos, pues, que se define el movimiento elemental de una 
agrupación por el conjunto de cambios muy pequeños que 
experimenten las posiciones en el asunto de todos sus indi- 
viduos y elementos sociales en un intervalo muy pequeño 
de tiempo; cada uno de los movimientos elementales de los 
individuos y elementos se define, según hemos explicado, 
por su dirección y sentido particular. 

Si se considera una Nación como ejemplo de agrupación 
social, y se trata de lo político, por ejemplo, se ve que la po- 
sición política de la nación en un instante está dada por las 
posiciones políticas en ese instante de todos sus individuos y 
de todos sus elementos sociales. Si se concibiera que este com- 
plejo conjunto de posiciones (con la significación convenida) 
no cambiara en el tiempo, diríamos que esa nación estaría en 
reposo en lo político. Pero la realidad no es así en general, 
porque un inmenso número de influencias (para fines políti- 
cos) ejercen acciones psíquicas sobre los individuos y sobre 
los varios elementos sociales, y estas fuerzas sociales modi- 
fican lo que hemos llamado la posición y el estado político 
de la Nación. En esta modificación elemental (que es un con- 
junto de modificaciones elementales) estriba el movimiento 
político ó el cambio elemental del estado político de la na- 
ción en el instante que se considera. 

Expuesto ya cómo entendemos el movimiento de un indi- 
viduo ó el de una agrupación en un asunto, diremos que la 
Cinemática social es, para nosotros, la ciencia que estudia 
los movimientos en sí mismos, haciendo abstracción de las 
causas que los producen—es decir, de las fuerzas sociales— 
para tener sólo en cuenta los cambios de posición en el 
asunto, y el tiempo en que se operan esos cambios. Cuando 
se haya de estudiar la influencia de las fuerzas psíquicas que 
como fuerzas sociales actúen, ya sobre un individuo abs- 
tractamente mirado como aislado, ya sobre los individuos y 
los elementos de una agrupación, se presentarán dos casos: 


Rey. Aca9Y. DE CrENCcIAs.—X.—Julio. Agosto y Septiembre, 1911. 10 


— 146 — 


1. Que los efectos de las fuerzas se contrarresten unos 
por otros, de tal modo, que el estado en el asunto del indi- 
viduo Ó de la agrupación no cambie, es decir, que no se 
produzca modificación efectiva alguna, á pesar de las accio- 
nes ejercidas como presiones Ó tensiones por las fuerzas. 
En tal caso, diremos que el individuo ó la agrupación está 
en equilibrio en el asunto, Ó bien diremos que /as fuerzas 
sociales se equilibran en el individuo ó en la agrupación. El 
estudio de las leyes que rijan este equilibrio será para nos- 
otros el de la Estática social. Se comprende que las presio- 
nes Ó tensiones que se equilibren deberán de tener magni- 
tudes, direcciones y sentidos que estén en ciertas relaciones 
mutuas. Tales fuerzas no obran sino estáticamente; no rea- 
lizan, por tanto, trabajos efectivos, ni dan impulsiones. 

2.” Que las fuerzas que actúen produzcan un cambio 
efectivo para el estado en el asunto del individuo ó de la 
agrupación; es decir, que la influencia de las acciones de las 
fuerzas se realice, Ó bien haciendo pasar al individuo ó á la 
agrupación del estado de reposo al de movimiento, ó bien si 
el individuo Ó la agrupación se encontraban en estado de 
movimiento en el instante en que empezaron á actuar las 
fuerzas, que el movimiento continuara de modo distinto de 
como hubiera continuado sin esas influencias. En uno y otro 
caso diremos que el efecto de esas fuerzas sociales ha sido 
dinámico. El estudio de las leyes á que obedezcan estos 
cambios reales y efectivos de estado en un asunto, de los 
individuos y las agrupaciones sociales, bajo la acción de las 
fuerzas psíquicas que actúen, de modo continuo, durante un 
transcurso cualquiera de tiempo, constituye la Dinámica so- 
cial, en la cual habrá que apreciar ya las impulsiones y los 
trabajos de las fuerzas, como veremos más adelante. 

Así, pues: 

—En la Cinemática sólo intervendrán las posiciones va- 
riables en un asunto de individuos Ó agrupaciones, y el 
tiempo. 


— 147 — 


—En la Estática sólo las posiciones actuales en un asunto, 
y las fuerzas. 

—En la Dinámica hay que considerarlo todo, á saber: 
posiciones en el asunto, tiempo, fuerzas, y lo que liamare- 
mos masas. Es ya la Mecánica social propiamente dicha. 

Nótese que la Estática y la Dinámica tienen para nosotros 
una significación exclusivamente mecánica, porque tomamos 
las palabras en su sentido extricto, como dijimos en la /n- 
troducción. Los sociólogos --pasando por encima del aspecto 
mecánico, Ó desconociéndolo—dan á esas palabras un sen- 
tido muy amplio, para poder tratar en la Estática de todos 
los fenómenos sociales, que se muestran, por decirlo así, en 
el estado estático; y en la Dinámica de todos los fenómenos 
que se van desenvolviendo en el proceso evolutivo que 
acompaña—digámoslo así—á la acción dinámica de las fuer- 
zas sociales. Como se ve, nuestro intento es mucho más mo- 
desto. Nos habremos de ceñir á la aplicación de las leyes 
del equilibrio y del movimiento, formuladas por la Mecánica 
racional, que es el terreno en que nos encerramos, y siem- 
pre dentro del círculo de las ideas generales que correspon- 
den á un curso elemental. 

Como veremos más adelante, los hechos sociales, como 
hechos naturales, aparecen — para nosotros —determinados 
por los hombres mismos, considerados ya individualmente, 
ya como miembros de elementos sociales, y teniendo en 
cuenta el ambiente físico y psíquico en que se hallen. Será 
indispensable, además, la consideración de los enlaces de 
individuos y elementos entre sí. De esta suerte—para el es- 
tudio mecánico— llegaremos á la entidad agrupación, pasan- 
do por los individuos y los elementos sociales. 

Algunos sociólogos proceden inversamente, y ven á los 
individuos y elementos sociales á través de la agrupación 
que constituyen éstos. En nuestro modo de proceder para el 
estudio no se desconocerá, sin embargo, que los individuos 
y elementos—tales y como aparezcan en un instante dado— 


— 148 — 


pueden ser, y son en último análisis, un producto de la evo- 
lución de la sociedad misma de que se trate. 

Todo lo que haya en el interior de cada individuo ó ele- 
mento socíal—sea físico Ó psíquico—actúa directamente so- 
bre él mismo y sobre los otros; y lo que haya difuso, por 
decirlo así, en el medio ambiente (aunque al fin y al cabo en 
los individuos) obra sobre todos, como proviniendo del con- 
junto de la agrupación misma, vista en su totalidad. Esta 
última influencia, muy compleja, proviene de algo que apa- 
rece como resultado de toda la vida anterior de la agrupa- 
ción en cada asunto de carácter social; y será para nosotros 
equivalente, en cada caso, á una fuerza que actúe sobre los 
individuos y elementos. Esta fuerza, que proviene del am- 
biente, es lo que generalmente se denomina la acción social; 
y emana —como se ve—de algo que esté en la cenciencia 
pública. Cuando ésta es bien conocida, se puede estimar la 
dirección y el sentido de la fuerza y su intensidad. En unos 
asuntos podría ser muy pequeña ó nula la acción de dicha 
fuerza, y en otros intensísima. 

Se comprende bien que sólo por abstracción se puede 
considerar una sociedad como entidad aislada de los indivi- 
duos y elementos que la constituyen; y sólo por abstracción 
también podremos considerar al individuo aisladamente, 
porque siempre es, en realidad, miembro de una agrupación 
social. Una y otra abstracción son—á mi modo de ver—. 
legítimas para el estudio, según que se quiera fijar la aten- 
ción sobre los fenómenos generales que se dan en las agru- 
paciones Ó sobre los fenómenos individuales particulares; 
pero siempre sin olvidar que las agrupaciones están consti- 
tuidas por individuos y elementos sociales, ó que los indivi- 
duos viven en las agrupaciones. Como dice muy acertada- 
mente el Profesor Cooley, una vista completa de una Socie- 
dad sería también una vista completa de todos los indi- 
viduos, y viceversa. Este distinguido Profesor americano 
considera que las agrupaciones sociales hacen á los indivi- 


— 149 — 


r 


duos tanto como éstos hacen á aquéllas; porque no hay, 
dice, ninguna razón para mirar el aspecto individual de la 
vida como anterior ni como causa con relación al aspecto 
colectivo. La sociedad—según él —debe de ser mirada como 
un todo vital; y así pensada, es tan primaria y tan causal 
como puedan serlo los individuos. Pero los fenómenos gene- 
rales ó sociales no son algo separado y como contrapuesto 
á los individuos, toda vez que el individuo y la sociedad no 
son más que aspectos de una misma causa, la cual —como 
dice Cooley - se desenvuelve por una serie de fenómenos, y 
va toda ella de unos tipos á otros más elevados, más com- 
plejos. 

Cuando hayamos de tratar del equilibrio y del movimien- 
to de una agrupación social, consideraremos este objeto de 
estudio, del mismo modo que la Mecánica racional conside- 
ra un sistema de puntos. Para uno ú otro estudio, los enla- 
ces definen — por decirlo asi — el objeto, que es el sistema Ó 
la agrupación, como entidad. 

Las leyes generales y abstractas del equilibrio y del movi- 
miento á que obedecen con regularidad los sistemas de pun- 
tos materiales entre los cuales median enlaces, nos condu- 
cirán á formular leyes generales y abstractas también á las 
cuales puedan obedecer con la misma regularidad las agru- 
paciones de individuos y elementos sociales entre los cuales 
median enlaces, ya sean leyes de equilibrio, ya de movi- 
miento. : 

El verdadero problema general de la Mecánica es el de la 
Dinámica de los sistemas ó agrupaciones. Así como en la 
Mecánica racional se puede teóricamente predecir para cada 
instante futuro las posiciones y las velocidades de los pun- 
tos de un sistema bien definido, si son dadas todas las fuer- 
zas que actúan, y es dado el estado inicial del sistema; así 
también parece que el día en que se pudiera tener constituí- 
da científicamente la Dinámica social, se podría llegar á 
aquel resultado para las posiciones y velocidades (en un 


— 150 — 


asunto social) de los individuos y elementos de una agrupa- 
ción bien definida, con los datos indispensables de fuerzas 
y el conocimiento del estado inicial. Es claro además que las 
tensiones dinámicas de los enlaces sociales deberán de obe- 
decer á las leyes formuladas por la Dinámica de los sistemas 
materiales, como veremos en lugar oportuno (*). 


(Continuará.) 


(+) Schaeffle dice que respecto de una agrupación social dada se 
puede predecir de un modo enteramente cierto como haya de con- 
ducirse respecto de un problema económico, político, artístico ó reli- 
gloso. 

Esta indicación de Schaefíle corresponde bien á lo que hemos 
apuntado; porque decir una agrupación social dada, equivale á decir 
que se conocen bien los individuos y los elementos sociales, así como 
los enlaces que definen la agrupación de que se trata; y también el 
estado inicial en que se encuentre esta agrupación respecto del 
asunto que se considere. Y al decir un problema, se refiere quizá 
Schaeffle —así parece—al conjunto de fuerzas así exteriores como 
interiores que, en relación con el asunto, actúen sobre la agrupa- 
ción. 


VI. —Estudio acerca de la dunita platinifera 
de los Urales. 


POR S. PIÑA DE RÚBIES. 


El objeto del presente trabajo es dar á conocer la compo- 
sición química de la dunita, roca hiperbásica cuya constitu- 
ción, muy semejante á la de varios meteoritos, presenta im- 
portancia excepcional. En efecto, se sabe, después de los 
trabajos de Inostranzeff (*), Wyssotsky (**) y particular- 
mente del profesor Duparc (***), que es precisamente la 


(+)  Gisement primaire de platine dans 'Oural. Mitteilung der Na- 
turforschenden. Geselleschatt. St. Petersbourg. 

(**) Notice preliminaire sur les gisements de platine dans les bas- 
sins des riviéres Yss, Wya, Toura, Niasma. Bulletin du Comité géo- 
logique de Russie, tome XXII. 

(+) 1902 y 1905 Dupare et Pearce. Recherches geologiques ef 
petrographiques sur 'Oural du Nord. Mém. de la Soc. de physique 
Genéve. Vol, 34, 

1903 L£. Duparc. Les gisements platiniféres del 'Oural. Quatrié - 
me période, tome XV. Archives des sciences physiques et 
naturelles. 

1909 L. Duparc. Les gisements platiniferes et Porigine du platine. 
Archives des sciences physiques et naturelles. Geneve, Qua- 
trieme période, tome XXVII. 

1910 L. Duparc. Note preliminaire sus quelques gisements curieux 
de platine de P'Oural Riv. Omontuaía. Laboratoire minéra- 
logique de Institut polytechnique de Pétersbourg. 

1910 £. Duparc et F.Pom fil, Sar la composition chimique et Puni- 
formité pétrographique des roches qui accompaguent la du- 
nite dans les gisements platiniféres. Bulletin de la Société 
minéralogique de France. 

1911 L£. Duparc et H. C. Holtz. Notiz iiber die chemische Zusa- 
men setzung eniger Platinerze aus dem Ural. Tscheranmales 
Mineralogische un petrographische Mitteilung. 


— 152 -— 


roca madre del platino, y se puede decir que la casi totali- 
dad de los yacimientos platiniferos de los Urales tiénenla 
por origen. 

Recientemente Duparc ha demostrado que, aparte la du- 
nita, existen otras rocas platiniferas, especialmente las piro- 
xenitas; pero el caso debe considerarse excepción, y los ya- 
cimientos cuyo origen no sea la dunita, carecen de impot- 
tancia desde el punto de vista práctico. La mayor parte del 
platino producido en el mundo (92 por 100), procede de 
los Urales y según puede verse más adelante, la mayor 
parte de dicho metal se obtiene de la dunita. 

A pesar de ser una roca de importancia capital, es poco 
conocida, y, sobre todo, se ignoran las relaciones que exis- 
ten entre ella y las diversas variedades de platino. 

Siguiendo las indicaciones del profesor Duparc, de la Uni- 
versidad de Ginebra, emprendí el estudio de tan interesante 
problema. 


Emplazamiento de la dunita en los yacimientos platiniferos. 


Resulta muy uniforme en los yacimientos primarios de los 
Urales, y puede resumirse, según Duparc (*), de la si- 
guiente manera: 

1.2 Al centro un afloramiento macizo de dunita de forma 
vagamente elíptica. El eje mayor de la elipse está orientado 
en la dirección de la cordillera de los Urales. 

2.2 Alrededor, una faja más ó menos desarrollada de pi- 
roxenitas, acompañadas de rocas melanócratas con ellas 
relacionadas. | 

3.” Una zona periférica de rocas feldespáticas más leucó- 


(*) 1911 £. Duparc. Le platine et les gites platiniferes de 1"Oural. 
Arch. des sciences phy. et naturells. Geneve, tome XXXI, mars, avril, 
mai et juin. 


ls 


cratas denominadas comúnmente gabros, gabrodioritas, dio- 
ritas, etc. 

Examinando sus relaciones recíprocas se ve que hay com- 
penetración de las unas en las otras; por ejemplo, de la du- 
nita en la piroxenita. 

El plano adjunto, debido á Wyssotsky (y que puede con- 
siderarse prototipo en su clase) reproduce la disposición 
indicada (fig. 1.) 

La dunita se halla de ordinario descompuesta supertficial- 
mente, llegando algunas veces á ser profunda su alteración, 
y entonces se desmenuza como el grés ferruginoso. Cuan- 
do la altura de la montaña sobrepasa el límite de la vegeta- 
ción, el color de la dunita es rojizo debido á la descomposi- 
ción indicada. 

La topografía de los ouwals duníticos es muy característica 
y uniforme, las cimas son onduladas, sin crestas agudas, y 
ordinariamente cubiertas por bosques de pinos. 

En las regiones muy alteradas la dunita se distingue siem- 
pre de la verdadera serpentina, cuya dureza es mayor y cuya 
pátina es también diferente; además, se erosiona de otra ma- 
nera. 

Es de notar que cuando la dunita está en relación con un 
macizo de rocas básicas (piroxenitas singularmente), no 
aflora nunca en el centro de éstas, sino en los bordes. Tal 
es el caso de los yacimientos del Iss que están situados en el 
borde occidental del gran macizo de Katchkanar. 

Conocida la disposición de los yacimientos duníticos, va- 
mos á describir ahora su situación en la cordiliera de los 
Urales, descendiendo de Norte á Sur: 

1.2 Yacimiento de Daneskin-Kamen (*), situado en la 
orilla izquierda del riachuelo Soswa del Sur. Toman origen 
en este yacimiento los arroyos Soswa y sus afluentes platiní- 
feros Solwa y Supreia. 


(*) Este yacimiento fué estudiado por Lewinson-Lessing. 


Si a 
+ Mt Gofaia 


Picota dal | !: 
(o | VAT 


Riv. Wiss; 


(a Dita . Gabrodioritas, etc. 
EE Piroxenitas. ECO Pizarras dinamo-metamorficas. 
Tilaitas. (II. Pizarras cristalinas, 


E Serpentinas. 
Figura 1. 


Carta geológica típica del centro platinífero de Taguil, según los Sres. Wyssotskyy Lavaritsky, 


— 155 — 


2. Yacimiento de Gladkaia-Sopka (*), en la orilla iz- 
quierda del Wagran, en la Wagranskaya-Datcha, hacia el 
Oeste del pueblecillo de Baroaskve. Este yacimiento da ori- 
gen al riachuelo platinifero Travianka afluente del Wagran. 

3. Yacimiento de Tilai-Kanjahonwsky, en el extremo 
Norte de la Pawdiuskaya-Datcha, próximo al monte Ostchy 
y al río Kalwa, posee este yacimiento dos placeres platiní- 
feros: Jow y Paloudniewaía, que se deslizan por la ver- 
tiente siberiana. 

4. Yacimientos de Koswisky-Kamen en la Pawdiuskaya 
y Rastenkaya-Datcha. 

Los yacimientos son dos. 

El primero se halla situado en la vertiente occidental del 
Koswinsky y constituye el Sosnowsky-Ouwal, del cual des- 
cienden los placeres platiníferos: Logwiuska, Malaía y Bal- 
chaía Sosnowka, afluentes del Tilaí, situados todos en la 
vertiente europea de los Urales. 

El segundo centro primario Kttlim está situado en la falda 
oriental del Kosvinsky y alimenta de platino á los aluviones 
del Kitlim que corre por la vertiente asiática, y probable- 
mente á los de la ribera Malaia-Koswa, afluente del gran 
Koswa, que desciende por la vertiente europea. 

5.7 Yacimiento de Kaménouchky, situado en la Paw- 
diuskaya-Datcha (50 kilómetros más al Sur que el anterior), 
con el Niasma y sus afluentes Kaménouchka y Kamenka, en 
la vertiente asiática. 

6. Yacimientos del /ss. Son dos: el primero, llamado 
Waressowy-Ouwal, está situado al Norte y en él nacen los 
placeres platiniferos Maloí y Balchoi Pokap, Malaía y Bal- 
chaía Prostokischenka y la Bererowka. 

El segundo ó del Sur, Swefli-bor, que alimenta de platino 
á las vertientes Kossia é Iss. Esta última penetra en la parte 


(*) Este y los siguientes yacimientos fueron descubiertos y £- 
tudiados por Duparc. 


— 156 — 


Norte de Swtli-bor y contiene platino durante el recorrido 
que hace por dicho yacimiento. Recibe como afluentes varios 
riachuelos ó lojoks, que proceden indistintamente de ambos 
centros duníticos, y es á su vez afluente del Toura, el ma- 
yor placer platinítero de los Urales que corre por la vertien- 
te asiática. 

71.7 Yacimiento de Taguil. Es el más importante de los 
centros duníticos primarios; está situado en la Taguilskaya- 
Datcha y al Sur de los anteriores. 

Los arroyos platiniferos á que da origen son: Martiau, 
Wissym y Syssym, afluentes de la Outka, en la vertiente 
europea. En la asiática el Tschauch, que desemboca en el 
lago Tschernoistotschnik. 

8.- Yacimiento de Omontnaia, uno de los más pequeños, 
situado en la cordillera Sysserskaya-Datcha, al Sur de Eka- 
terineburg; provee de platino al placer de Omontnaía y á 
algunos lojoks afluentes del mismo. 

Las diferentes rocas que se encuentran en la doble faja 
de piroxenita y gabros que circunscriben la región dunítica 
han sido ya estudiadas por Duparc. 

Me he limitado, pues, á la dunita, y he analizado varias 
muestras procedentes de los yacimientos anteriormente cita- 
dos, con el objeto de precisar: 

1.2 Si la composición química de la dunita es constante, 
ó si por el contrario varía notablemente de un yacimiento á : 
otro. 

2.” Si los minerales constitutivos de dicha dunita son de 
composición variable. 

3.” Si existe una relación entre la composición de la du- 
nita y la del platino que contiene. Además, como se indi- 
cará luego, aparte del platino, la dunita contiene segrega- 
ciones de diversos minerales, especialmente de cromita, ha- 
biéndome propuesto resolver el mismo problema respecto 

de tales segregaciones. 


— 15/ — 


Método analítico seguido. 


El análisis cualitativo demuestra que dichas rocas contie- 
nen: sílice, alúmina, cromo, hierro, magnesia (jamás calcio), 
titanio é indicios de manganeso. 

Se toma exactamente un gramo de mineral bien pulveri- 
zado, se disgrega con Na, CO, se disuelve en AC! y se 
insolubiliza la sílice; al lavarla por decantación, hay que te- 
ner mucho cuidado que las partículas de SiO, no caigan 
sobre el filtro; las que caen se sacan con una espatulita de 
platino, con muchísimo cuidado (para no romper el filtro), se 
reunen con las de la vasija (*), se filtra y se repite la inso- 
lubilización en el líquido filtrado. 

Después de haber determinado la sílice, guárdese cuidado- 
samente el crisol, pues puede contener indicios de hierro, 
etcétera, que no han podido ser separados de la sílice. 


Precipitación del hierro, cromo, alúmina y titanio (**). 


Se precipitan dichos metales con amoníaco. Al principio se 
añade concentrado y en frío y cuando el punto de neutrali- 
zación se acerca, entonces se calienta el líquido hasta la ebu- 
llición y se le añade gota á gota amoníaco diluido. 

Se lava tres veces por decantación. Se disuelve el precipi- 
tado en HC! (que se verterá sobre el filtro, para disolver 
las partículas que no han podido ser sacadas con la espátula 
de platino). 

Se repite la precipitación (cuidando que en el liquido haya 


(+) Para obtener una sílice muy blanca hay que lavar 8-10 veces 
con AC! concentrado y muy caliente. 

(**) Método L. Duparc.—Archives des sciencies physiques et na- 
turelles.—Genéve, 1905. 


— 153 -— 


exceso de NH,C!) y demás operaciones como anterior- 
mente. (Se lava luego con las mismas precauciones que se tu- 
vieron con la sílice.) Se calcina y pesa. 


Separación del hierro y del titanio de la alúmina 
y el cromo (*). 


Se disgrega la mezcla de los óxidos con 6 gramos de 
Na, CO,. La masa es disuelta en agua hirviendo; se lava 
el óxido de hierro y de titanio, per decantación (sobre doble 
filtro), y se recoge el precipitado que se calcina en el mismo 
crisol. Se repite la fusión con el carbonato y se lava de nuevo 
sin hacer pasar el precipitado. Este se disuelve (como en el 
caso anterior), y, por fin, se precipitan el hierro y el titanio con 
NH.;. Y se pesan como óxidos, siempre en el mismo crisol. 


Separación del hierro del titanio. 


Disgréganse los óxidos con bisulfato potásico, la masa 
fundida se disuelve en agua acidulada por H, SO, y se di- 
vide el volumen en dos partes iguales. En la una se titula el 
hierro con el KMnoO, y en la otra se busca el titanio por el 
procedimiento Weller (**) algo modificado. 


-. 


Separación del cromo de la alúmina. 


Para la separación del cromo de la alúmina ensayé el mé- 
todo estudiado en la Universidad de Ginebra, durante el 
curso de mis análisis, por mis compañeros los Sres. Tchar- 
viani y Wunder (***), comparándolo con los resultados ob- 


(*) L£. Duparc. Ann. chim analyt., 1904, p. 201. 
($) Treadwell. L. C. D., p. 78. 
(+)  Wunder Tcharviani. Ann. chim. analy. 16 1-7-1911. 


MN 


tenidos por el método general y lo adopté definitivamente 
por resultar excelente. 
Está basaqp en la reacción siguiente: 


+ 5NH¿+C0,+ HO, + AL(OH),. 


En lugar de neutralizar el exceso de Na, CO, con un 
ácido, con lo que se reducía siempre una pequeña canti- 
dad de cromato, en este método se emplea la acción del 
NH, NO, para descomponer el. Na, CO, excedente. 

Modo de operar: á la solución conteniendo el aluminato, 
cromato y exceso de carbonato sódico, se le añade en ca- 
liente un exceso de nitrato amónico (sólido). La precipitación 
está terminada cuando no hay más desprendimiento de 
anhidrido carbónico, siendo necesario eliminar el amoníaco 
por ebullición para que la precipitación sea completa. 

El cromo se precipita con el amoníaco, después de haber 
acidulado el líquido filtrado con ANO, y haberlo reducido 
con alcohol (hay que tener cuidado de no acidular mucho, 
pues la acción del ácido nítrico sobre el alcohol es muy vio- 
lenta). 


Precipitación y determinación del Mg. 


Al líquido filtrado, después de haber precipitado los cuatro 
metales, se le alcaliniza fuertemente con NH, y se le añade 
fostato sódico (véase Treadwell). Se calcina primero el filtro, 
después el precipitado en un crisol de porcelana. Si el pre- 
cipitado es gris se le añaden unos cristalitos de NH,¿N O, (*) 
y se calcina de nuevo. Se pesa como pirofosfato. 


(+) Empleo de preferencia el NH, NO, al HNO.,, pues con este 
último hay que evaporar y calcinar con mucho cuidado al principio 
para que la masa no decrepite, y, por lo tanto, no haya pérdidas. 


— 160 — 


Determinación del hierro ferroso. 


Por el método corriente: disolver el venal en EFE 
corriente de C O, y titular con KMn O,. El resultado obte- 
nido se calcula en hierro férrico y se resta de la cantidad 
total de hierro obtenido anteriormente. 


Determinación del agua de constitución. 


Se pesa un gramo de substancia previamente desecada 
á 110%, se calcina en un crisol de platino durante hora y 
media con el soplete. 

Durante la operación se hace pasar una corriente de C O, 
para evitar la oxidación del hierro ferroso. Se pesa y se re- 
“pite la operación hasta peso constante. La diferencia da el 
agua de constitución en este caso. 


La dunita desde el punto de vista petrográfico. 


La dunita es una roca compacta de color verde obscu- 
ro; su estructura granular es muy uniforme y cristalina, y á 
simple vista se distinguen los granos: de olivino de los pe- 
queños octaedros muy brillantes de cromita. 

Observada al microscopio, cualquiera que sea el yaci- 
miento de que proceda, se nota uniformidad absoluta. 

La dunita platinífera no contiene más que dos minerales: 
el olivino y la cromita. i 

El olivino se presenta en forma de granos redondeados, 
idiomorfos, de dimensiones constantes; su exfoliación es 
g=0,10, difícilmente visible en los diferentes minerales cxa- 
minados. 

Las propiedades ópticas son muy constantes: ng = 1.689, 
nim=1.671, np=1.654. 


neg—np=0.035, ne —nm=0.019, nm—np=0.016. 


— 161 — 


El ángulo de los ejes ópticos 2V, oscila entre 83 y 84"; las 
variaciones observadas son pequeñisimas. 

La cromita, en pequeños granos octaédricos, se encuen- 
tra diseminada en el olivino, ó situada entre sus granos. 

Por orden de consolidación, la cromita ha precedido al 
olivino. 

Igualmente se encuentran en la dunita unos haces ó se- 
gregaciones más ó menos importantes de cromita, formando 
un mineral compacto de estructura cristalina, que se localiza 
en forma de venas irregulares (Schlirias). 

El platino se halla muy irregularmente distribuido en la 
dunita. Considerada en conjunto resulta muy pobre de me- 
tal, como lo demuestran las recientes investigaciones de Du- 
parc (*); pero teniendo en cuenta sólo ciertas regiones, pue- 
de decirse que es muy rica, porque el platino se halla con- 
centrado en ellas, unas veces cristalizado en la dunita (for- 
mando pequeños cristales aislados) y otras veces cristalizado 
en la cromita, rodeándola y moldeándola como si fuera un 
cemento. En el orden de consolidación es, pues, posterior 
á la cromita. 

La dunita, como se ha dicho anteriormente, se encuentra 
á menudo alterada; la alteración proviene del olivino, que 
se transforma en serpentina, según el proceso siguiente (**): 
La serpentinización del olivino empieza á lo largo de sus grie- 
tas, y poco á poco se desarrollan como unas cintas de un mi- 
neral verdoso ó amarillo dorado, la antigorita. Estas se van 
ensanchando y pasan de un cristal á otro hasta invadir la 
roca, tomando la forma de una red. A veces presentan una 
especie de fibrosidad transversal, que les da aspecto de 


(*) L. Duparc. Le platine et les gites platiniferes de 'Oural. Asch. 
des Scien. Phy. et Nat. Genéve, tome XXXI-1911. 

(E) L. Duparc et F. Pearce: Recherches géologiques et pétro- 
graphique sur l'Oural du Nord. Mém. de la Soc. de Physique de Ge- 
néve. 


REV. AcaD.DE CigNcias,—X,—Julio, Agosto y Sepfiembre, rgr1. 11 


— 162 — 


muaré muy particular, y están divididas en dos partes simé- 
tricas por una línea meridiana formada por puntuaciones de 
magnetita. 

Desde el punto de vista ápticos estas cintas son positivas 
longitudinalmente. 

La birefringencia no pasa de 0.009. En ciertas regiones, la 
roca serpentinosa parece isotrópica y haría la ilusión de una 
substancia coloide si no fuera por las manchas isotrópicas, 
que son (con luz natural) idénticas á las cintas birefringentes. 

Con luz convergente, estas regiones isotrópicas dan una 
cruz obscura, uniáxica, de signo óptico negativo. Tales ca- 
racteres coinciden con los de la antigorita uniáxica. En las 
variedades de coloración intensa se nota un ligero policroís- 
mo, que es de la siguiente manera: n= verdoso, np =ama- 
rillo claro, algunas veces amarillo de oro. La coloración de 
las cintas de antigorita puede variar en una misma prepa- 
ración microscópica. 

Si la serpentinización continúa, los granos de olivino se re- 
ducen á pequeños núcleos, que llegan á veces á desaparecer 
por completo en ciertas regiones. Hasta hoy apenas se han 
encontrado dunitas que hayan llegado á tal grado de serpen- 
tinización, conteniendo siempre indicios del olivino primitivo. 

La estructura que presenta la antigorita en las regiones de 
donde ha desaparecido el olivino, varía á menudo: á veces 
predomina la estructura reticular idéntica á la descrita por 
por Lacroix. Las cintas más ó menos delgadas de antigorita, 
rodean ciertas zonas del mineral, orientadas Ópticamente de 
distinta manera. Generalmente las cintas son mucho más 
birefringentes que los espacios que rodean; éstos, sin embar- 
go, están formados por antigorita, sin que nunca exista ma- 
teriz coloide. Cuando la estructura reticular predomina re- 
sionalmente, ciertos espacios de la preparación parecen 
isotrópicos, debido á la relativa delgadez de las cintas bire- 
frigentes, respecto del núcleo central que rodean y que casi 
es isotrópico. | 


— 163 — 


Otras veces la estructura de la antigorita en los puntos 
de donde el olivino ha desaparecido, es muy distinta: las 
anchas cintas de antigorita se reunen en haces. Para cierta 
posición de la platina del microscopio, todos los haces pa- 
recen igualmente iluminados, y si la zona es bastante ancha 
para llenar el campo visual, podría creerse que se trata de 
un sólo cristal. Sin embargo, haciendo girar la platina del 
miscroscópico se iluminan los haces de diferentes maneras y 
toman el aspecto de muaré, que recuerda el de ciertas pre- 
paraciones de picrolita. 

La serpentinización, en la mayoría de los casos, no llega á 
tal extremo, siendo la estructura alveolar la más corriente, en 
la cual las cintas de antigorita se han ensanchado mucho 
y rodean los pequeños núcleos de olivino que han quedado 
intactos. 

La antigorita se presenta, pues: 

1.2 En forma de red ó malla. 

qee toma de az! 

3.” En forma alveolar. 

Según el grado de alteración del olivino. 


Análisis de las dunitas de los principales yacimientos 
platiniferos. 


A continuación se exponen los datos de los análisis, ex- 
presando los contenidos en la columna A los resultados di- 
rectos, y en la columna B, los calculados para la composi- 
ción centesimal, no comprendiendo en ella el agua de cons- 
titución. i 

Examinaremos los yacimientos, yendo del $. al N. 


Dunita del yacimiento de Omontuaia. 


Es uno de los más pequeños de los Urales; está situado 
en el monte Sysserskaya-Datcha, en la falda europea. El aflo- 
ramiento dunítico tiene forma elíptica, midiendo su eje prin- 


— 164 — 


cipal, que se dirige de NO. á SE. cerca de 2 kilómetros, 
mientras que el otro eje apenas mide 1. La dunita está ro- 


“e Y 


A” 


AAA E al 
A O 
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A x A » A A 


NS 


| 


Piroxenitas. —) Dunite. [5% Gabros. 
==] Gabrodioritas. Cuarcitas. 


Figura 2. 


Carta del yacimiento platiniífero de Omontnia. 


— 165 — 


deada de una ancha faja de piroxenitas, y éstas á su vez de 
gabros y gabrodioritas. 

El río Omontuaia atraviesa la región extrema NO. del 
afloramiento dunítico. (Fig. 2). 

Análisis de la muestra tomada en el lojole Bornolokot (E). 


A B 
EAS 11.97 » 
SiO, = 35.00 39.79 
AO A OT 0.17 
GENOA = 08D 0.76 
FejO= 03.85 4.37 
FeO = . 4.36 4.95 
MgO = 44.13 50.06 
TO 200 > » 


100.12 100.00 


Yacimiento de Taguil. 


Situado á unos 25 kilómetros al SO. de Taguil. Es el más 
considerable é importante yacimiento dunítico primario, y 
presenta la forma de una lenteja; su eje principal, orientado 
de N. á S. mide más de 10 kilómetros. En la región S. tiene 
un ensanchamiento, y su segundo eje mide alli unos 5 kiló- 
metros. (Fig. 3.) 

La dunita forma una serie de cimas redondeadas y carac- 
terísticas, cubiertas siempre de pinos, por ejemplo ei monte 
Solowieff, y contiene abundantes secreciones de cromita, 
sobre todo en la base de dicho monte. 

Circunscribe á la dunita una faja continua de piroxenitas 
delgada en las regiones S. y O., y muy abundante en la par- 
te S. y N., donde avanza como unos brazos hacia el inte- 
rior de la dunita, en la que se encuentran, además, esparci- 
das algunas piacas poco profundas constituidas por dicha pi- 
roxenita. 


Riv. Wissym_ 


| E 
ni IEA 


FR. Teshauch *| 
1 PARIS ' 


eee 
EEES 


J 
+ 
SE 
+ 


ER 
PA 
yo? Mt Gofara 


Me Sinitzina 
FATE 


Ena 
Mz Brólaía 


Dunita, Gabros, dioritas, etc. 
Piroxenitas. EC Pizarras dinamo-metamórficas. 
Tilaitas. MM Pizarras cristalinas. 
Serpentinas. 

Figura 3. 


Carta geológica del centro platinífero de Taguil, según los Sres. Wyssotsky y Lavaritsky. 


— 167 — 


En la región O. y NO. se intercala, entre la dunita y la pi- 
roxenita, una faja de verdaderas serpentinas muy distintas 
de la dunita; son más duras, tienen otra pátina y se les en- 
cuentra en los aluviones, de los que la dunita ha completa- 
mente desaparecido. 

El yacimiento dunítico se encuentra en el borde occiden- 
tal del gran macizo de rocas básicas. Los placeres que pro- 
vienen de dicho centro, son: Martian, Wissym y Sissym 
en la vertiente europea, y Tschauch y Bobrowka en la 
asiática. 

Análisis de las muestras tomadas en (179) Solowresky, 
log (218) Alexandrowky, log (129). Krontinsk, log (207) 
cresta de Solowieff, (314) 2.” manantial de la Bobrowka. 


179 218 129 207 314 
A B A B A B A B A B 
Ho) 0O = 13:39 13.37 14.02 13.28 7-28 
5102 = 34.85 40.38 34.66 40.09 34.31 39-93 33-87 39.19 36.98 40.10 
Al03= 0.30 0.38 0.39 0.46 0,22 10.23 0,06 0.06 0.38. 0.44 
Cr203= 0.03 0.03 0.44 0.51 0,36 0.42 0.66 , 0.76 OZ Oe 
RenOs= 6224 722 5.49 6.36 OS 7 3.46 4.00 2.45 2.59 
REAIOP=" 20 AS A OA: NS 203. Aa OSOS 
Mg O =- 43.41 50.30. 44.02 50.91. 44.81 51.85 44.76 55.78 46.75 50.60 
T1¡02= == = 0.03 0.03 = = = =- - =— 


99-68 100.00 99.84 100.00 100.435 100.00 99.72 100.00 99.52 100.00 


En este yacimiento, como se ha visto en su descripción, 
existen igualmente serpentinas bien caracterizadas como ta- 
les, y que bordean el yacimiento dunítico; tenía mucho inte- 
rés el saber si su composición era la misma que la de la du- 
nita ó si se diferenciaba de ella. 

Al objeto, he analizado dos variedades de dichas serpen- 
tinas: 


315 303 
B A A B 
H,O 15.20 14.92 
SO 1 33. Te Sa 35,10... 41.63 
TO, 0.33 0.39 0.31 0.36 
EATO: 0.32 0.37 0.89 1.05 
Fe, O, 5.73 1 106.76 3,12 1091 8:74 
Fe O 1.26 1.49 1.66 1.98 
Mg O 43.39 51.19 13.18 51:22 
Ti O, 0.03 0.03 0.05 0.05 
99.97 100.000 99.23 100.00 


Como se ve, comparando los diversos resultados: 

1.” La dunita de Taguil es muy homogénea; en efecto, 
existen pequeñísimas variaciones entre las diversas varie- 
dades de este yacimiento. 

2... La serpentina no se diferencia de la dunita, á no ser 
por la cantidad mayor de agua que encierra, lo que resulta 
normal. 

De todas maneras, el número 303 se distingue por la pe- 
queña cantidad de hierro. 


Yacimientos de Iss. 


Se encuentran en la vertiente asiática de los Urales, no 
lejos de Nijne-Toura y de Teploía-Gora, estación del ferro- 
carril Perm-Kouchwa, Los dos centros duníticos se hallan 
al O. del monte Katchkanar, constituido por una mole de pi- 
roxenitas. 

El primer yacimiento, llamado Swefli-bor, confina inme- 
diatamente con el Katchkanar. Aflora la dunita en forma de 
una gran elipse, cuyo eje principal se dirije de N. áS., Ó 
ligeramente de N. á NO., y mide 6 kilómetros aproximada- 
mente, el eje menor mide 3; esta región dunítica, poco ele- 
vada, está cubierta de pinos y surcada por varios lojotes 
ailuentes del lss ó del Kossia. El tipo de dunita es el habi- 


— 169 — 


tual, no muy rica en segregaciones de hierro-cromo, ó ro- 
deada de una faja (muy estrecha) de piroxenita, como de 
costumbre. Esta faja se halla interrumpida al N. y en algu- 
nas regiones del E. y NE., en las que los gabrodioritas es- 
tán en contacto directo con la dunita, hallándose además 
ésta, en la región SO., en donde no existen gabros ni pi- 
roxenitas, en contacto con pizarras metamórficas. 

La segunda faja de gabrodioritas también se encuentra 
en varias partes interrumpida, encerrando en la región NE., 
como un islote de piroxenita. También se halla otro en la re- 
gión occidental; pero éste, en parte, está rodeado por piza- 
rras cristalinas. (Fig. 4.) 

El río 1lss atraviesa oblícuamente la región N. de este 
centro dunítico, y recibe, como pricipales afluentes, el Koro- 
bowsky-log. el log núm. 1 y el núm. 2, que toman origen en 
la dunita, y el riachuelo Kossia, que tiene á su vez, como 
afiuentes, los logs núm. 7, 6, 3, el Travenisty-log, el Y llinsky- 
log y el Kroutoi-log, situados todos en su orilla izquierda. 

Muestras de de Swefli-Bor tomada en (115) la orilla iz- 
quierda del lss, (99) Kroutoi-log, (112) Travenisti-log (83) 
la parte superior del manantial del log núm. 1. 


115 99 112 33 
A B A B A B A B 


H, O 6.28 — 10.21 : 7.89 7.86 

SiO, 38.00 39.90 36.06 40.01 37.01 40.01 35.94 38.91 
Al, 0 0.50 0.52 .0.60 0.66 0.40 0.43 0.82 088 
Cr, O; 0520010526) 0334. 20:38 0,36, 0139/11 11:29111.1::30 
eo: 5.67...0.99 5.68: 6.30 4.97. 5.37 15.99. 6.44 
Fe O IZ RSESO y 2.2 AZ OO. 3.03; 4 3/92/1112 08772 8.88 
MgO 47.58 49.99 45.13 50.08 46 14 49.88 42.21 4975 
T; Os — — ORUZ TOO0Z2 — — 0.04 004 


x-—— _—— a a o o A KÉÁXÁ 


101.51 100 00 100.33 100.00 100.40 100.00 99 75 100.00 


El segundo centro dunítico, llamado Waressowy-ouwal, se 
halla al Norte y algo al Oeste del anterior del cual dista 
apenas 1 kilómetro; su forma es de cresta orientada de N.áS. . 


— 170 — 


Echelle . vn. 


iD anita: ExZ3 Gabros y titaitas. MTI Pizarras cristalinas. 
E j Piroxenitas. Isitas. : 
E €sbrodioritas. CEE Pizarras dinamo-metamórficas. 

Figura 4. 


Carta geológica de lcs yacimientos platiniferos del Iss, según el Sr. Wyssotsky. 


— 171 — 


larga de 8 kilómetros por 1, 6 kilómetros de anchura. Es 
más elevado que Swetli-Bor y la dunita es idéntica á la de 
este centro, pero contiene más cantidad de segregaciones de 
hierro cromado. 

La faja de piroxenitas se halla completamente interrumpi- 
da, apareciendo una parte en la región S. E. y en la S. O. 
En la zona Norte se encuentran algunos islotes de piroxeni- 
ta enclavados en la dunita. 

Dicha roca se presenta á veces, como en otros yacimientos, 
en forma de koswitas. 

La segunda faja de rocas gabróicas es muy discontínua 
encontrándose en algunos puntos en contacto con la dunita. 

Los placeres platiníferos de este centro dunítico son: 

1.2 El Beresowka. 

2.7 El pequeño Pokap afluente del gran Pokap. 

3.2 El Malata-Prostokischenka, el Srednía-Prostokis- 
chenka, Kassoi-log, el Jermakowskv-log, cuatro afluentes 
del Balchaía-Prostokischenka. 

Estos tres arroyos son, á su vez, afluentes del [ss. 

Dunitas de Wéressowy-ouwal. 

(65) muestra tomada en la última cima del yacimento, (58) 
donde está la torre, (67) extremidad S. de Waressowy- 
ouwal. 


65 58 67 
A B A B A B 
H,O 8.05 6.59 7 95 
Si O, 36.71. 39.38 34.56 40.18 36.717 39.86 
Al, O, 0.301: 2:2110:809% 911.030; 59v06828 o 0209511 )0/81 
EE/0. Duelo da O 33 OS 0 2d) 010.23 
Fe, O, SA ao a 00 aora 6.1074. .6.61 
FeO ro, Os? VENENO e PI 
Mg O 46.97 50.39 46.62 49.87. 45.71 49.56 
Ti O, 0.05 0.05 A plo 12 E 


101.27 100.00 100.08 100.00 120.19 100.00 


— 172 — 


Yacimiento de Kaménouchky. 


Encuéntrase en el Pawdinskaya-Datcha al N. NE. de 
Weiessowy-ouwal, del cual dista unos 20 kilómetros y al NO 
del gran macizo de gabros que constituye el monte de Sa- 
rannaya. (Fig. 5.) 

La elipse dunítica orientada de N. NO. á SE. mide unos 
3 kilómetros de longitud por 1 á 1,5 de anchura; se halla 
cubierta de bosque, y su topografía es la habitual. La dunita 
es muy uniforme y bastante alterada, y se halla acribillada de 
venas leucocratas (del tipo plagiaplites), de venas melano- 
cratas (issitas é issitas plagioclásicas), de algunas variedades 
mesócratas y de gran cantidad de enormes filones de pegma- 
tita de hornablenda, idénticos á los del yacimiento de Omon- 
tuala. 

También contiene segregaciones de cromita. 

La faja de piroxenitas es continua, pero no uniforme, des- 
arrollándose con más amplitud en la región N. y S., y en la 
región OE., al contrario, es muy estrecha. 

Las rocas gabroicas que rodean á la piroxenita son vet- 
des y pizarrosas en la región OE., mientras que en el E. son 
del tipo uralizado normal. 

Los placeres que provienen del Kaménouchky son: 

1.2 El Malaía-Kaménouchka, que desciende por la falda 
occidental y en la región S. de la cresta dunítica y termina 
en el riachuelo Kamenka, cuyo platino procede del anterior. 
El Kamenka es á su vez afluente del Niasma. 

2.” El Balchaía-Kaménouchky que nace en la región 
oriental del afloramiento dunítico y recibe una serie de lojoks 
platiníferos como afluentes, y termina en el Niasma. 

Este contiene solamente el platino que le aportan los 
M. y B. Kaménouchka. 

Muestras tomadas en el: centro y en los extremos de la 
cumbre de Kaménouchky (22), (27), (28). 


=— 173 — 


28 


0.81 
0.42 
5.65 
3.50 


49.01 
0.04 


37.47 
0.75 
0.39 
5.22 
3.24 
3.04 


45.21 


0.38 
0.36 
5.46 
3.64 
453.65 
0.03 


7.40 


37.71 
0.39 
0.34 
5.09 
3 


46.26 
0.03 


39.94 
0.61 
0.97 
6.23 
SPA 

48.97 
0.03 


8.24 


36.87 
0.03 


0.56 
0.90 
5.75 
3.00 
45.21 


oSSg3ddo0oos 
a al SUS 


UG AS 


A 
A 
H 
H 
i 
7 


Na 


(a Gabros macizos y quebrantados. 


Pizarras dinamo-metamórficas. 


Piroxenitas; 


Figura 5. 


Croquis geológico del yacimiento de Kamenouchky por M. L. Duparc. 


Y ==) 
* =l| 
a == 
as x == 
x x Tilai-Kamen y == 
A A 
E x x » u A 
Ss x 


| 


“ IS e 


Se 
E 


Ae 


1] li 11 


| 
1 
| 
Í 


J 
Í HU 


Sosnomka x 
Uat 


Echelle approximarive 
RAEE 7 RATA 

Abla 

(TITO Pizarras cristalinas. (a A (CE Tilaitas. Gabros. 


Diabasas. EEE Piroxenitas. Gabrodioritas. 


% 


Figura 6. 


Carta geológica de los yacimientos platiníteros de Koswinsky, por M. L. Duparc. 


-— 175 — 


" Yacimientos de Koswinski, 


Están situados en las dos vertientes del monte Koswinsky. 

1.2 El yacimiento de Sosnowsky-ouwal se encuentra en 
la vertiente O., y está formado por una lafga cresta de du- 
nita orientada de N. á S. y de unos 4 kilómetros de longi- 
tud por apenas 2 kilómetros de anchura; aparecen algunas 
variedades de dunita pizarrosa, las segregaciones de cro- 
mita son muy abundantes, pero pequeñas. (Fig. 6.) 

La faja de piroxenita falta por completo, y sólo en la re- 
sión NE. existen algunos afloramientos. 

La dunita se halla en contacto con tilaitas y gabros en 
la zona E. y con diabasa en la zona O. 

Los placeres platiníferos á que este yacimiento da origen, 
son: el gran Sosnowka y el pequeño Sosnowka en la parte 
occidental, el Logwinska en la oriental. Estos tres arroyos 
añluyen al Tolaí, que del hecho se vuelve patinifero. 

(15) Muestra tomada en Sosnowsky-ouwal (+). 


A B 
H,O 12.28 S 
SiO, 35.41 39.57 
AL, O, 1:33 1.49 
Fe, O, 4.43 4.95 
FeO 3 66 4.09 
MgO 44.65 49.90 
101.76 100.00 


2. El yacimiento de Kiflim hállase en la vertiente orien- 
tal del Kowinsky. El tipo de este yacimiento es el normal; la 
dunita está completamente rodeada por la piroxenita y el 


- (*) El análisis de esta dunita y de las tres siguientes, no los hice 
personalmente, toda vez que estaban ya ejecutados por Profesor 
Duparc, que me ha comunicado amablemente los resultados. 


— 176 — 


afloramiento, enteramente desnudo, alcanza gran altura. Atra- 
viesan la dunita estrechos filones de variadas rocas: albí- 
titas, granulitas, wehrlitas, íssitas, etc. También contiene 
abundantes segregaciones de cromita. 

La faja de piroxenitas y korwitas se halla atravesada por 
algunos filones de dunita y de dunita sideronítica. 

La faja exterior de gabros constituye la montaña de Ka- 
téechersky y el Kitlimsky-ouwal. 

Los placeres platiniferos son: el Kitlim, con una serie de 
lojoks como afluentes (Abodranny-lojok, Djudinsky-log, 
Papowsky-log.) 

Probablemente el pequeño Kosura, que aunque no nace 
en terreno dunítico debió nacer en otros tiempos, pues su 
platino no puede proceder de otro centro que el Kitlim. 

(1030) Muestra tomada en la cresta de dunitas de Kos- 
winsky. 


A B 

H,O 8.535 > 
Si O, 38.06 41.34 
AL, O, 0.31 0.33 
Cr, O, 1.39 1.51 
Fe, O 6.72 8.30 
Fe O 5.2 5.75 
Mg O 40.30 43.77 
100. 42 100.00 


Yacimiento de Tilai-Kanjakowsky. 


La cordilera de Tilai-Kanjakowsky, situada al N. de Kos- 
winsky, está formada por una cresta de piroxenitas, limitada 
al O. por tilaitas y gabros de olivino, y al E. por- gabros 
uralizados. Al N. de la cima principal, Tilaí, la cordillera se 
bifurca; en el valle, formado por los dos brazos de la montaña, 
corre el río Poloudniewaía, y en el origen del valle y ribera 
se halla el afloramiento dunítico, circular y de pequeñas 
dimensiones. (Fig. 7.) 


= 177 — 


Al B_ Cárebrianka 
po. 


y 


A 
Rh 
” 
: 
y E 
Xx die 
x Ki 
x x E «ul 


Xx AZ _— Echelle 


o . 2 E Y Jarál 


LE) Dunita, E Gabros y gabrodioritas. 
EEE. Piroxénitas. MIND) Pizarras metamórficas, >, 


EZ. Tilaitas y gabros de olivino. 
Pigura 7. 


Croquis geológico del yacimiento de Telai-Kanjakowsky, por M. L. Duparc.. 


Rev. Aca. DE Cinxcras.—X.—Ju'iv, Agosto y Septiembre, 1911. 12 
) y p » 19 


== 18 = 


La dunita ha sido puesta al descubierto por la constitución 
de un puerto que forma una depresión al pie de la cima prin- 
cipal de Tilai; esta depresión está ocupada en verano por un + 


lago que alimenta al Poloudniewta; caen las aguas por una 


pared casi vertical de dunita, de unos 300 metros de altura. 


La dunita es de tipo normal, y contiene muchas segregacio- 


nes de cromita. Está completamente rodeada por piroxeni- 
tas; éstas se hallan entrecruzadas de filones de pegmatita 
con hornablenda, análogos á los de Omoubnaía y de Kame- 
nouchky. La piroxenita, á su vez, está completamente ro- 


deada por gabros uralizados. 


Los placeres platiniferos de este yacimiento son: el Polud- | 


niewaía, que nace en la misma dunita. 

El Jow, que nace en el puerto citado anteriormente. 

El Kaujakowska, que tiene su origen fuera del aflora- 
miento dunítico, pero que debió de nacer en él en épocas 


anteriores. 


(1.127) Muestra tomada en las paredes verticales de du- 


nita, en la cascada que alimenta al Paloudniewaía. 


A B 

H,O 3.95 
Si O, 37.91 39.03 
Cr, O, MAN 1.21 
Fe, O, 0.95 0.97 
Fe O 9.21 9.48 
Me 087 49.31 
101:07 100.00 


Yacimiento de Gladkaia-Sopka. 


Situado á 7 kilómetros del pueblo de Bogarlowsh, al que - 


se halla unido por un sendero que costea el río Wagran.' 
El afloramiento dunítico constituye por completo el yaci- 

miento, orientado de N. á S., y desciende gradualmente ha- 

cia el S. Su longitud es, aproximadamente, de 1.5 4 2 kiló- 


AE A A Y O 


— 179 — 


metros, y su anchura escasa. El Glodkaio-Sopka forma una 
cresta acerada y estrecha, con las vertientes muy abrup- 
tas. (Fig. 8.) | 


anka de PESt 


| 


Á 


5 
S 


nl 


o 


Echelle 


3 verste 


MINT Pizarras cristalinas. 


=> Gabrodioritas, 


Pigura 8. 


Croquis geológico del yacimiento platinifero de Gladkaia-Sopka. 


La dunita de este yacimiento, á pesar de estar muy alte- 
rada, es de tipo normal y pobre en cromita. 
La faja de piroxenitas es reducidísima, y rodea solamente 


— 180 — 


el extremo S, del afloramento dunítico, el cual, por la región 
0., entra en contacto con pizarras cristalinas, y por la parte 
N. con magníficos gabrodioritas, semejantes á los de Tilai- 
Kanjakowsky. | 

Los ríos que surcan dicho yacimiento son: 

El Travianka oriental y el Travianka occidental, que se 
reunen más allá del Sud del yacimiento y forman el Tra- 
vianka, 


Muestra procedente del Travianka. 


A B 
HiO DE-O » 
SEO NauSo 41.01 
Al, O, 0.41 0.15 
Cf. O. 0.80 0.83 
Fe, Os 1.74 1.81 
Fc, O 8.14 8.48 : 
MgO 45.80 47.72 


101.43 100.00 


Para mejor evidenciar las conclusiones que se pueden de- 
ducir de dichos análisis, los he reunido en un solo cuadro, 
distribuyendo las dunitas de las diferentes yacimientos por 
9rupos. 

Como el agua que se encuentra en estas rocas es debida 
exclusivamente á un fenómeno de descomposición, es decir, 
de hidratación, se ha tomado la composición centesimal des- 
pués de haber reducido todo el hierro al estado ferroso, 
pues la transformación de dicho metal es debida exclusiva- 
mente á la acción oxidante del aire, como se prueba en el 
siguiente ejemplo, comparando los óxidos de hierro con la 
cantidad de agua; así en la dunita de Tilaí, que contiene 
3.95 por 100 de agua, hay 0.95 de Fe, Oz por 9.21 de Fe O, 
mientras que en la dunita de Alexandrowsky-log (Taguil), 
que contiene 13.37 por 100 de agua, no se encuentra más que 
1,42 de Fe O contra 5.49 de Fe, Oz. 


ut BO 


gro 


S6'6€ 


OL4N 


zL:Ly 1€:6p 1 Z 


sr"8 SL:S 
I$*I o£:L 
£g'0 1Su1 
S1:0 ££*0 
10'1+ | gor6€ l +S-1p LSo+ 
2311 [0801 30L 
0 
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as S 
ES da E $3 Ez) 
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3 
a | S | UNuaso! 
321221 


L-£p | 06:6p | 10:6+ 


£o*0o — 
L6:gb | 9S'6+ 
Ses | Ep: 
2z'9 | 19'9 
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190 | 12'0 
+6:6€ | gs 6€ 
GT ¡| L9 


-ApnoUy ey 


Soo bo:o = z0'0 
6£:0S | SL:6t | ggr6v | goroS 
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bo [| o£ rr |6€:0 |g£:o 
6£:o | ggo | £b'o | 099'0 
g2:6€ | 1L:g€ | 10:0p | 10'0» 
G) |se8 | Gl! | 66 


"JRA1n10-Á 09500 Y 


*10(-1J19M9 


— = — | oo == 
690€ | gL:1S | Sg'15 |»16:0S | 0£:0S 
E6:9% | xzb Sue Eos ES Per 
65z |oov [LL:€ | 9€:9 | €zrL 
Sz:o | oL:0 | zp [180 | foo 
tHp:o | 9o0'o | Sz:o | gto | go 
orror | Ó1:6€ | €0:6€ | 60 6+ | g£ro+ 
tvle|L0cG|671| 818 | 6£! 

'TINnSeL 


mm 


Omoutnaia. 


— 182 — 


Considerando los datos contenidos en el cuadro anterior 
aparecen conclusiones muy importantes, que pueden resu- 
mirse de la manera siguiente: , 

1. La dunita es una roca extremadamente uniforme; las 
variaciones que se observan en las muestras procedentes de 
diversos yacimientos no son mayores que las observadas 
entre las de un mismo yacimiento. Estas variaciones provie- 
nen del cromo y de la alúmina y corresponden á una canti- 
dad más ó menos grande de cromita en la dumita. 

2.” En ninguna de las dunitas analizadas se encuentra 
el menor indicio de calcio, lo cual demuestra la ausencia de 
las formas de transición entre la dunita platinifera y la 
piroxenita á olivino, al contrario de otras dunitas no plati- 
níferas, que contienen espinela en vez de cromita, y que con- 
tienen calcio procedente de una cierta cantidad de piroxeno 
romboédrico, que hace pasar dichas dunitas á hartburgitas. 

3.2 A pesar de ser la dunita una roca uniforme, de com- 
posición constante, no resulta lo mismo para el platino que 
encierra. | 

Los trabajos de Duparc y Holtz (*) sobre la composición 
química del platino dunítico demuestran: 

1.2 Hay variación sensible entre el platino procedente de 
un mismo yacimiento. Sin embargo, esta variación es peque- 
ña y se puede caracterizar cada yacimiento dunítico por la 
composición del platino que encierra. 

2. Hay grandes diferencias entre la composición de dos 
platinos, de dos yacimientos vecinos, por ejemplo: el Swetli- 
bor Weressowy-ouwal. 

3.” Las diferencias son considerables entre el platino de 
los diversos yacimientos duníticos de los Urales. 

Esta uniformidad de la dunita permite, gracias á los nu- 


($) Notiíz tiber die chemische Zusamnen setzung eniger Platinerge 
aus dem Ural. Tschermks Mineralogische und petrografische Mittei- 
-lung. 


= 183 — 


merosos análisis que de ella he hecho, calcular la composi- 
ción química media de la dunita platinífera, es decir, del 
magma primordial que contenía en disolución el platino. 
Para ello basta calcular el promedio de los análisis (refe- 
ridos á 100 partes), transformar todo el hierro á FeO y 
referirlo de nuevo á 100 partes. 
El resultado obtenido. es el siguiente. 


SiO, = 40.18 
ALO, = 0,48 
Cr,O. ==  .0.50 
FEO = 8.84 
MgO = 49.88 
TEO: 0 e=rilo D0S 

100.00 


Igualmente interesante era ver el comportamiento de las 
serpentinas. Aparte los dos tipos analizados de Taguil, he 
procedido al análisis de una tercera muestra sacada de un 
filón, no ya de dunita, sino de piroxenita platinifera. Estos 
filones de serpentina han sido considerados como dunitas 
completamente serpentinizadas. 

He aquí el resultado: 


Muestra (2) tomada en Gussevy Kamen. 


+ A B 
IO» ¿(6ubL.66 
Si O, 36.39 40.65 
AL, O, 0.05 0.05 
REO 13.84 15.46 
FeO. “1.97 2.21 
Mg O 37.26 31.63 


101.17 - 100.00 


-Comparemos los resultados de esta serpentina con los de 
-las serpentinas de Taguil (315), (303). - 


— 184 — 


N. 315 B N*303 B N22B 


SiO, = 39.77 41.63 40.65 
ALO, 000188 0.36 0.06 
Cr,O, = 0.37 1.05 e 

Fe,0, = 6.76 Sd 15.46 
ECO” = "1049 1.98 2.21 
M0 = 51.19 41.22 41.63 
TiO, = 0.03 0.05 + 


Se ve perfectamente que las serpentinas de Taguil, limítro- 
fes del yacimiento dunítico (fig. 5), derivan necesariamente 
de esta roca con la que tienen indiscutibles analogías. Por el 
contrario, los filones de serpentinas en la piroxenita parecen 
derivar de una roca, de olivino sin duda, pero que no es la 
dunita platinifera normal, de la que se alejan por la ausencia 
de cromo, la débil cantidad de alúmina y la fuerte proporción 
de hierro. 


Composición del Olivino. 


Las propiedades ópticas de este mineral son muy poco 
variables, y como por otra parte el olivino forma casi exclu- 
sivamente la dunita y los análisis de ella son sensiblemente 
idénticos, es de esperar que el tipo realizado por este mine- 
ral, será ásu vez de una gran uniformidad. 

Para establecer este tipo he procedido de la siguiente ma- 
nera: después de haber calculado cada análisis para 100 par. 
tes (previa sustracción del agua), elimino todo el cromo 
como Cr,Oz FeO y la alúmina como A/,0, Fe O. Luego 
transformo el hierro en FeO, después de haber restado la 
cantidad retenida por los óxidos en cuestión. Hecho esto, se 
refiere el resto á 100 partes, y el resultado obtenido, corres- 
ponde sensiblemente á la composición que debería tener el 
olivino antes de la descomposición. 

Luego, por medio de los cálculos ordinarios, busco la co- 
rrespondencia relativa del número de moléculas de Mg, Si 


-- 185 — 


O, y Fe, Sí O, que entran en la composición del mineral; 

luego calculo en sentido inverso el tanto por ciento corres- 

pondiente á los diversos elementos según la fórmula obtenida. 
El ejemplo siguiente demuestra la manera de operar: 


(N.* 28) Dunita. Olivino encontrado. 
SiO, = 40.57 | : 
EE ds == 0 Si O, = 41.66 
10 = 0.42) Al, O, Fe O = 1.38 
pe Os —= 5:83 1 — | CR O,FeO =0:02| o da 
Mg O = 49.01 | Mg O = 50.32 
TÍO, = 0.04 

100.00 100.00 


Dividiendo estos resultados por los pesos moleculares 
respectivos obtendremos el número de moléculas: 


Si O, = 0.6897 
Fe O =0.1115 
Mg O = 1.2467 


Haciendo el más pequeño igual á la unidad obtenemos: 


SiO, = 6.185 
ESO il Fe, Si O, + 11 Mg, Si O, 
MgO =11.43 


Para comprobar si los resultados obtenidos son exactos 
cálculo el olivino partiendo de la fórmula obtenida: 


2Fe0 


a A AA A 
Fe, SiO, + 11 Mg,SiO, 160 PO O A 
22 Mg 0 EE ANA Cod 
Fe, SiO, + 11 Mg,SiO, 100 = 50.55 Olivino calculado. 
12 Si O, LE A 
FSPSiO 2EMEDIOL O Ma 
Olívino. 
Encontrada. Calculada. 
SiO, = 41.66 41.27 
FeO = 8.02 8.18 
MgO = 50.32 50.55 
100.00 100.00 


Como se ve, la fórmula encontrada era exacta. 


— 186 — 


En el cuadro siguiente están contenidas las fórmulas cal- 
culadas para el olivino junto con los demás componentes de 
la dunita en cada una de las muestras analizadas. 


NÚM. Yacimiento. Fórmula (Olivino)| Cr, 0O¿Fe0 | Al, O, Fe0O 
OE E AOS Fes Si0y4 + 11 Meg» SiOg 1.12 0.29 
179 ro +a » 0.04 0.99 
218 1 513 > 0-73 0.78 
a anotado ses o O ES 1 414 > 0.62 0.43 
207] 1 +12 > Ya 0.10 
314 LAME > 0.37 0-73 
¿cel E ñ 1 +1 > 0.38 o.Sg 
lara eS y 1 +12 » 0.56 12 
¡elsa PES SS ) Y oder S ES 0.73 
83 | 1 +12 1.92 1.50 
aa 1 + i 0.65 0.60 
sf Weressowysouval, UA + 11 0.52 0.55 
67 + 10 0.34 0.53 

| | 
20) 1 +1 0.43 1.04 
27pKaménouchtey..oooooomomon--. + 11 0-53 0.65 
28) +11 > o 62 1.38 
705 |Sosnowsky-ouwal. Koswiusky.. 1 +11 > = 2.19 
1030|Kitluir. Koswiusky .......... 1 +8 » 2.22 0.69 
1127 | Tilai-Kaujakowslky»...... 2... Ir + 9 > 1.79 

r+.o9 > 1.17 O 24 


— |Glodkala=-Sopka.....ooooooo.-- 


De lo que precede se deduce que la composicion química 
del olivino oscila entre Fes Si O, + 8 Mg, Si O, y 
Fe, Si 0,+ Mg, Si O,. 

La mayor parte de las variedades analizadas correspon- 


den á 
Fe, Si O,+11 Mg, Si O, 


pudiendo establecerse dicho tipo como fórmula del olivino 
en la dunita platinifera. 

Llevé á cabo este trabajo en los laboratorios de análisis 
químico mineral de la Universidad de Ginebra siendo asis- 
tente del Prof. Duparc. 

Quedo sinceramente agradecido á mi antiguo Maestro por 
los innumerables datos que sobre este asunto me ha facili- 
tado, así como por el material etc. que puso desinteresada- 
mente á mi disposición durante todo el curso de mi trabajo. 


Madrid, 1911. 


INDICE / 


DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE NÚMERO - 


AAA 


? pLos. 


Constitución de la Academia en 1.* de Julio de 1911... 
I. —Conferencias sobre Física matemática. Teoría de los - 
torbellinos, por José Echegaray. Conferencia décimo- 
quinta. UE ee elos oa A z 
II. —Conferencias sobre Física matemática. Teoria de los 
torbellinos, por José Echegaray. Conferencia décimo- i o 
seta oso o ir 
II. —Conferencias sobre Física matemática. Teoría de. los o 
torbellinos, por José Echegaray. Conferencia décimo- 
o A A A O is a Mar 
IV.—Conferencias sobre Física matemática. Teoría de los pr 
torbellinos, por José Echegaray. Conferencia décimo- 


Dclavas o. een e ela y CO AA e A 
V.—El Profesor D. Juan Fages, por José Rodríguez Mou-. 3 
RÍO 7 OO E O O A 100 
VI. —Apuntes sobre Mecánica social, por Antonio Portuondo | 
y Barceló: E o as eS 119 
VII. —Estudio acerca de la dunita platinífera de los Urales, E 
POr:S. PiñAe RUDO ¿ASÍS 


La subscripción á esta Revista se hace por tomos completos, 
de 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos 
en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, calle de Val. Y 
verde, núm. 26, Madrid. o : | 

Precio de este cuaderno, 1,50 pesetas. 


REVISTA 


DH LA 


REAL ACADEMIA DE CIENCIAS 


EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES 


DE 
se 


MADRID 


TOMO X.--—-NUÚM. 4. 


Octubre de 1911. 


MADRID 
ESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO Y EDITORIAL 
CALL: PONTEJOS , NÚM. 8. 

1911 


ADVERTENCIA 


Los originales para la Revista de la Academia 
se han de entregar completos, en la Secretaria de 
la Corporación, antes del día 20 de cada mes, 
pues de otro modo quedará su publicación para 
el mes siguiente. 


— 187 — 


VIN.— Conferencias sobre Fisica matemática. 
Teoría de los torbellinos. 


POR José ECHEGARAY. 


Conferencia décimonovena. 


SEÑORES: 


Varias veces he expresado esta idea, que de nuevo voy á 
recordar. 

Que en la ciencia, así en la ciencia experimental, como en 
la ciencia teórica, si los hechos son la materia de que la cien- 
cia parte, no son ellos la ciencia misma. 

La ciencia se compone de grandes leyes ó de pequeñas 
leyes, según está más ó menos adelantada. 

La ciencia busca lo constante en lo variable, que es, como 
si dijéramos, el orden en el caos. 

Estas leyes, esta constancia, no negamos que en cierto 
modo pueda presentarse en las cualidades de las cosas, y en 
su combinación, para constituir los fenómenos complejos. 

Pero esto sucede en las ciencias embrionarias. En las cien- 
cias positivas, cuando alcanzan cierto grado de perfección, 
las leyes son cuantitativas, y se traducen en fórmulas mate- 
máticas. 

Y cuanto más avanzan las ciencias, este carácter de la 
constancia, de la permanencia, de la invariabilidad, más y 
más se acetúa. 


REV. ACAD. DE CIENCIAS.—X.— Octubre, T911. 13 


--= 188 — 


Casi me atrevería á decir, acudiendo á términos hoy muy 
en boga, que si los hechos son la masa ó el sustratum de los 
fenómenos, la esencia de la ciencia ya formada, son las ¿ín- 
variantes. 

Teoría extensísima que á casi todas las ramas de la cien- 
cia pura, y de la ciencia teórica y aun de la ciencia experi- 
mental, se aplica. 


Estudiábamos en las conferencias anteriores la hidrodiná- 
mica en general, y en ella, el caso particular de los torbelli- 
nos, y en aquélla y en éste procurábamos determinar, en la 
eran complicación del fenómeno del movimiento, algo per- 
manente é invariable. 

En el caso particularísimo, casi pudiéramos decir en el 
caso ideal del fiúido perfecto, hacíamos constar que una 
línea fiúida y cerrada permanecía siempre como línea flúida 
y cerrada también. 

Y lo propio respecto á las superficies ilúidas, y otro tanto 
respecto á las línea y superficies de torbellinos, que en todo 
el movimiento conservaban este carácter. 

La línea de torbellino, línea de torbellino continuaba siendo. 

El tubo de torbellino se conservaba como tal tubo de tor- 
bellino, y todas estas, podemos decir, sin forzar mucho el 
sentido del término, que son propiedades invariantes, pero 
invariantes de cualidad. 

La cualidad de ser línea flúida cerrada, se conserva. 

La cualidad de ser superficie flúida cerrada, se conserva 
también. 

Y se conservan en todo el movimiento las cualidades de 
ser línea de torbellinos, tubo de torbellinos Ó superficie de 
torbellinos en general. a 

Pero aquí no aparecen todavía las invariantes perfectas Ó 


1 A 


que nosotros, dado el carácter de la ciencia positiva, como 
más perfectas que las anteriores consideramos. 

Aquí no entra todavía la medida, el número, la tinción 
cuantitativa. 

Esta aparece, por decirlo de este modo, con el teorema de 
Helmholtz, que hemos demostrado y aplicado en las conte- 
rencias precedentes. 

A saber: 

La circulación, á lo largo de una línea fluída cerrada, se 
conserva en todo el movimiento de esta línea en el fluído; 
es un número determinado, característico hasta cierto punto, 
de la línea y que es invariable en todos los instantes del 
tiempo. 

Como en la Física, se afirma la constancia de la materia en 
todos los instantes, desde el tiempo infinito negativo hasta el 
tiempo infinito positivo, y á esta ley, ó á este postulado, se 
le da el nombre de conservaclón de la materia, así en la hi- 
drodinámica, se puede establecer, para toda línea flúida ce- 
rrada, la constancia de la circulación. 

Y tal circulación, ya lo hemos dicho, es una integral. 

Si la llamamos / podemos escribir 


1=/ (udx + vdy + wdz) 


en que u, v, w, son las componentes de la velocidad para to- 
dos los puntos de ia curva cerrada C, y en que dx, dy, dz, 
son las componentes de cada elemento ds de dicha curva. 

Dada la forma de la expresión anterior, podemos afirmar, 
que en la hidrodinámica es una invariante de integral, Ó si 
se quiere, que es una integral invariable. 

Si el problema del movimiento se ha resuelto, u, v, w Sse- 
rán conocidas en función de x, y, z, £ y la propiedad señala- 
da podrá comprobarse materialmente efectuando la integra- 
ción, y prácticamente veríamos en este caso, que desaparecía 


ES O pan 


el tiempo f al efectuar dicha integración, en cualquier instan- 
te, Ó sea para cualquier valor de £. 

Y que la integración podría efectuarse teóricamente, no 
cabe duda, porque las ecuaciones de la curva C serían 


y=f (x 0), 
z= f(x, 0); 
de donde, 
dy y vidas 
ALO 20% 


y sustituyendo en /, resultará: 


res al (nar +0 dde mf, (o bdo, 
ó bien 


qe dl lu + of (00 + fe 0] dx. 


Pero si el problema está resuelto, conoceremos u, v, w, en 
función de Xx, y, 2; y aunque no esté resuelto, sabemos que, 
para cualquier instante, estas tres componentes de la veloci- 
dad, son funciones de x, y, z, f es decir 


AS Y an) 
== 0d) 2 2): 
a (ed): 


Ahora bien; como-se trata de las velocidades para puntos 
de la curva C, en vez de y, z, debemos sustituir sus valores 
dados por las ecuaciones de dicha curva, de modo que ten- 
dremos: 


—= 191 — 


2 (ft), $ 6 0, Dd, 
Y (x Ha, 1), Í, Qx 1), 1), 
WE vez ( FO, DÍ (x, 1), É), 


u 


y sustituyendo, en el valor de / resultará por último 


q q le A00. 050,0 Halo f0 40,070 + 
+ 9 (Ax, 1), 10 (0) dx. 


Todo el paréntesis del segundo miembro es una función 
de x, f; representándolo, para abreviar, por FF, es evidente 
que / será de la forma 


¡= | Ftsnas, 


que es una integral de la sola variable x tomada á lo largo 
de la curva cerrada C. - 

Y el teorema de Helmholtz tiene este sentido: 

Que en dicha integral desaparece f y que / tiene, por lo 
tanto, el mismo valor en cualquier instante. 

Este valor es finito, si el movimiento es rotacional. 

Este valor es constante, pero es igual á cero, si el movi- 
miento es irrotacional. 

- Pero dicho valor sólo es igual á cero, cuando el espacio 
en que se mueve la curva C es simplemente conexo; por 
ejemplo, una esfera, un elipsoide. 

Si el espacio es doblemente conexo, hay que considerar 
dos clases de curvas: para las que pueden recogerse en un 
punto y anularse, el valor de /, es decir, la circulación es 
nula todavía; para las que no gozan de esta propiedad, sin 
salirse del espacio irrotacional, la circulación tiene un valor 
determinado á que hemos dado el nombre de módulo para 


== 1192 — 


una sola vuelta, resultado que se generaliza como vimos 
para muchas vueltas en uno ó en otro sentido. 

Tal es el resumen de las últimas conferencias que hemos 
querido presentar en forma sintética á nuestros alumnos. 


Dichos resultados pueden generalizarse, sin dificultad de 
uingún género, para espacios de conexión múltiple. 

Nos limitaremos á un ejemplo, y no se olvide que se trata 
de movimienlos irrofacionales. 


Figura 57. 


Sea (fig. 57), un espacio en que el flúido tiene movimien- 
to irrotacional definido del siguiente modo: 

Imaginemos dos anillos 4, B: decimos anillos para gene- 
ralizar la figura que se llama foro. Son, por decirlo así, figu- 
ras análogas á esta última, sólo que no son de revolución. 

El interior de dichos anillos corresponde á movimientos ro 
tacionales y el exterior, todo él, á un movimiento irrota- 
cional. - 

Es, en rigor, un espacio triplemente conexo, porque si 
imaginamos un diafragma a, que corte al primer anillo, 


— 193 — 


abriéndolo á lo largo de ///, y otro diafragma análogo b, 
que corte al segundo, ambos anillos se convertirán en espa- 
cios simplemente conexos, y el espacio exterior será simple- 
mente conexo también, como por ejemplo, el que rodea á 
una estera. | 

En el sistema primitivo, es decir, antes de trazar las sec- 
ciones 4, b, pueden imaginarse cuatro clases de curvas. 

1.2 Curvas análogas á C, que pueden recogerse en un 
punto P por la ley de continuidad. La circulación de estas 
líneas C es nula, porque es aplicable la demostración que 
hemos dado para este caso. 

La superficie que traza C hasta reducirse á un punto P, 
está toda ella en un espacio simplemente conexo de movi- 
miento irrotacional, luego todos los ejes de los torbellinos 
para sus diferentes puntos son iguales á cero, y si el flujo es 
nulo en la superficie, la circulación es nula en la curva. 

2.” Líneas, como la C”, que dan vuelta al anillo A, enla- 
zándose á él como un eslabón á otro eslabón. 

3. Líneas, como la C”, que dan vuelta al anillo B. 

4. Líneas, como la C”, que enlazan ambos anillos A 
y B, del mismo modo que un eslabón enlaza á dos esla- 
bones. 

Estas tres últimas clases de líneas, pueden dar una Ó va- 
rias vueltas antes de cerrarse. 

Según explicábamos á propósito de la conexión doble, 
para simplificar la explicación supondremos, que no dan más 
que una vuelta. 

Líneas análogas á la C* Imaginemos (tig. 57) el anillo A 
y la curva C”. 

A esta línea no se le puede aplicar la demostración ante- 
rior porque para recogerse en un punto tiene que penetrar 
en el interior del anillo; de modo que no puede decirse que 
su circulación es nula. 

Su circulación tendrá un valor determinado y, al cual le 
daremos el mombre de módulo, como antes hacíamos. 


- 194 — 


Y podemos demostrar, que dos líneas, ó tantas líneas como 
se quieran C”, C*,,.... de esta misma clase, todas tienen el 
mismo módulo y., es decir, el mismo valor para la circula- 
ción. 

La demostración es idéntica á la que dimos para los espa- 
cios doblemente conexos. 

En efecto, cortemos el anillo (figuras 58 y 58 bis) por un 


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ATA e ARI OS 
Figura 5%. Figura 58 bis. 


diafragma ó sección D; y hemos duplicado la figura, ponién- 
dola de frente y de costado, ó si se quiere, en dos proyeccio- 
nes, para mayor claridad de la explicación. 

En la figura 58, se ve el anillo de frente; en la figura 58 
bis, se ve, por decirlo así, de canto. Las mismas letras re- 
presentan los mismos elementos de ambas figuras. 

La sección D ó diafragma se ve también de frente en la 
figura 58 llenando el hueco del anillo y en la” figura 58 bis 
se proyecta, según la recta D. 

Ahora bien, interrumpamos la línea C' en dos puntos a, b 
infinitamente próximos á uno y otro lado del diafragma. 

Interrumpamos, asimismo, otra línea cualquiera, C*, de 


— 105 — 


la misma clase que C', en dos puntos a”, b”, infinitamente 
próximos y á ambos lados del diafragma D. 

Y unamos, por líneas, los puntos a, a” y b, ÚU'. 

Ambas líneas, estarán infinitamente próximas y en el lími- 
te se confundirán sobre el diafragma D. 

El resto de la demostración es idéntico al que dimos en la 
conferencia precedente. 

La línea aC'bb"C”,a'a, es una línea cerrada. Está toda 
ella en un espacio simplemente conexo; se encuentra en el. 
mismo caso que la línea C de la figura 57 y puede recogerse 
en un punto P, sin tener que salir del espacio en que no hay 
movimiento rotacional. 

Luego su circulación es nula y podremos escribir suces 
vamente sin necesidad de entrar en más explicaciones: 


circulación (aC*bb"C”,a a) =0, 
cir. (aC*b) + cir. (bb”) + cir. (b"C”,a”) + cir. (44) =0, 
cir. (bb”) + cir. (a a) = 0, 
cir. (aC*b) + cir. (0'C”,0a)=0, 
cir. (aC*b) = — cir. (b' C*,a), 
Cra O) cl (aC 0, 


CE. Cl. Ci 


En resumen, todas las curvas de segunda clase C”, que 
dan una vuelta al anillo en el mismo sentido, tienen la misma 
circulación, es decir, el mismo módulo. 

Lineas de tercera clase como C”” (fig. 57). = Todo lo que 
hemos dicho de las líneas de segunda clase C', puede re- 
petirse para estas líneas C””. 

Todas tendrán el mismo módulo, que en general, será 
distinto del de las C”. 

Pasemos á las líneas de cuarta clase como C 
enlazan los dos anillos A, B (tig, 57). 


1,7 


. = Estas 


— 196 — 


Como en las dos clases anteriores no puede demostrarse 
que la circulación sea nula, porque, por ejemplo, la línea 
C*”” para reducirse á un punto necesita penetrar en los ani- 
llos A, B que son espacios de mivimiento rotacional. 

El valor de su módulo se deduce de los dos módulos de 
los casos anteriores. 

En efecto, dividamos la línea C 
la línea FG, en dos contornos. 

El de la izquierda, envuelve al anillo A, como la línea C”. 

El de la derecha, envuelve al anillo B, como la línea C””. 

Por otra parte, la circulación de la línea C*””, es igual á la 
suma de las circulaciones de los dos contornos, toda vez que 
las circulaciones á lo largo de FG se destruyen. 

Luego, en primer lugar, la circulación en todas las líneas 
C'”” será la misma y el módulo de C””” será la suma de los 
módulos de C” y C””. 

Los signos serán positivos ó negativos, según el sentido 
de la circulación. : 

No insistamos más sobre este ejemplo, que como puede 
verse, es sencillísimo. 


1 


(fig. 57), por medio de 


De todo lo dicho resulta, que la cantidad / es una inva- 
riante ó una serie de invariantes, en el sentido que ya hemos 
suficientemente explicado, lo mismo en el movimiento rota- 
cional que en el irrotacional. 

Esta teoría de las invariantes, como antes dijimos, es im- 
portantísima en dinámica, como en hidrodinámica. 

Ha sido magistralmente desarrollada por el eminente ma- 
temático Mr. Poincaré en el tercer tomo de su obra titulada 
«Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste», y abre 
extensos y fecundos horizontes en la teoría de la integración 
de las ecuaciones diferenciales. 


— 197 — 


Y como todo se enlaza en las ciencias matemáticas y fisico- 
matemáticas, es imposible pensar en las invariantes integra- 
les, sin pensar al mismo tiempo en otro orden de problemas 
que se comprenden bajo el título general de «Statistical Me- 
chanics» del profesor Gibbs. 

Y al recordar, que en esta última obra una de las principa- 
les aplicaciones de la mecánica estadística es á la termodiná- 
mica, nos asalta una vez más el remordimiento de que el 
programa que expusimos en la primera conferencia de este 
curso es incompleto, y á cada paso que damos resulta más 
incompleto todavía. 

Pero todo no puede decirse de una vez, ni todos los ca- 
minos que se descubren desde cierta altura pueden recorer- 
se á medida de la voluntad. 

Terminemos, pues, esta digresión y continuemos el estudio 
de los torbellinos, que es la materia propia de este curso. 


Estudiábamos la circulación de curvas cerradas en un es- 
pacio doblemente conexo, y presentábamos como ejemplo el 
volumen llamado foro, ó si se quiere, anillo de revolución en 
que la sección meridiana es un círculo que no corta al eje. 

En el interior de este espacio admitíamos la existencia de 
un movimiento irrotacional, y decíamos: 

Que la circulación de toda curva, que en dicho espacio 
daba una vuelta al eje, era una cantidad determinada que se 
designaba con el nombre de módulo. 

Los principiantes, no siendo de inteligencia excepcional, á 
los que asaltan á veces dudas, que quién sabe siá veces son 
presentimientos de algo, que más bien adivinan con la ima- 
sinación, que no afirman con la razón tría y severa, tal vez 
se formulan esta pregunta: 


— 198 — 


¿Pero en un toro, ó anillo de revolución, pueden existir 
movimientos irrotacionales ? 

La idea de que el toro es un sólido de revolución, se im- 
pone en cierto modo á los fenómenos de movimiento, que 
en su interior se desarrollan, haciendo creer que también 
han de ser de revolución y que han de formar parte de lo 
que hemos llamado movimiento rotacional. 

Ésta sería una verdadera ilusión. 

En el interior de un toro pueden existir, como hemos su- 
puesto, movimientos irrotacionales. 

Y esta es una de aquellas afirmaciones, que se demuestran 
con el hecho mismo. 

Basta presentar ejemplos, y vamos á presentar uno: 

Supongamos, como hemos dicho, un toro ó anillo de re- 
volución, en que el movimiento sea circular. 

Supongamos que todos los puntos del flúido que rellena 
el interior del toro describen curvas planas, cuyos planos 
sean perpendiculares al eje. 

Este eje es el eje de las z, y el plano de las x y pasa por 
el centro de la figura: es claro que las velocidades, en cual- 
quier instante, serán paralelas al plano de las x y, y que la 
velocidad paralela al eje de las z será nula. * 

Además, supondremos que las componentes u, v están 
definidas por las siguientes ecuaciones, á las que agregare- 
mos que la velocidad paralela al eje de las zes igual á cero; 
y tendremos para definir la velocidad de cualquier punto del 
fluido, en cualquier instante 


X 
l = y MA W=O0. 


») 
es + y? 


Puesto que u, v, w son independientes del tiempo, claro 
es que este ejemplo, que vamos á estudiar, se referirá, no 
sólo al caso de los movimientos irrotacionales, sino el caso 
particular de los movimientos permanentes. 


— 199 — 


Supongamos que el eje del toro se proyecta en O (figu- 
ra 59). 

El coeficiente angular de la recta AV, que representa la 
velocidad, es decir, la tangente del ángulo que forma con 
el eje de las x, será 


A 
E A 
u DE y Ti V 

pad 


Y como el coeficiente angular del radio OA es pe el pro- 
se 


ducto de ambos coeficientes angulares será 


u -x ao: 


de modo que ambas rectas son perpendiculares. 

De aque resulta, que la línea de corriente para cualquier 
punto A, es decir, la 
envolvente de las ve- 
locidades V, tiene su 
tangente AV, perpen- 
dicular al radio OA. 

En suma, la línea de 
corriente para cual- 
quier punto A del inte- 
rior del toro es una cir- 
cunferencia cuyo plano 
es perpendicular al eje 

Figura 59. proyectado en O, y 
cuyo radio es OA. 

Sabemos además, puesto que el movimiento es permanente, 
que las trayectorias se confunden con las líneas de corriente. 

De modo que todo punto del flúido describe circunferen- 
cias cuyos planos son perpendiculares al eje O. 


— 200 — 


Y juzgando á la ligera, un principiante podría ver confir- 
mada la duda que antes expusimos; podría creer que el mo- 
vimiento del ilúido es en su totalidad y en sus elementos un 
movimiento rotacional, cuando hemos dicho y probaremos 
inmediatamente, que es un movimiento irrotacional. 

La figura 60, que comprende dos esquemas, uno para el 
movimiento rotacional, otro para el movimiento irrotacional, 
aclara la duda á que venimos refiriéndonos. 

En el toro A imaginemos, que a es un elemento infinita- 
mente pequeño de flúido, elemento prismático, porque sus 


Figura 60. 


aristas son paralelas al eje O; pero cuya sección recta es un 
trapecio curvilíneo, infinitamente pequeño, compuesto de 
dos radios y dos arcos de círculo. 

Si este elemento infinitamente pequeño de flúido, como si 
fuera un cuerpo sólido, girando alrrededor del eje O, pasa 
por las posiciones a, b, C....., y otro tanto sucede en todos 
los planos paralelos al de las x y con cada elemento trape- 
zoidal de flúido, el movimiento de éste eu el interior del 
toro A, será, en efecto, un movimiento rotacional. 

Aquí, la ilusión y la realidad están de acuerdo, cada ele- 
mento de flúido girará alrrededor de un eje que pasa por 


== 20h = 


su centro al recorrer las posiciones a, b, C....., que es como 
si girase alrrededor de O, y al mismo tiempo el centro de 
cada uno de estos elementos describe circunferenciás alre- 
dedor de O. 

Este es un esquema clarísimo del movimiento rotacional. 

En cambio, en el toro B cada elemento a” también describe 
una circunferencia alrededor del eje O; pero si maginamos 
un elemento de flúido infinitamente pequeño a”, y para faci- 
litar el esquema damos á su sección recta la forma de un pe- 
queño rectángulo cuyos lados sean paralelos á los ejes x, y, 
siendo por de contado la arista siempre paralela al eje de las 
z proyectada en O, este rectángulo, ó elemento de ilúido, 
aunque su eje describa la circunferedcia a” e” se moverá pa- 
ralelamente asimismo, ocupando las posiciones 4”, b', c”, dl'..... 
Pero sin girar nunca dicho elemento; de modo que el flúido, 
se moverá con movimiento irrotacional. 

Aquí la ilusión y la realidad son distintas. 

Vemos, pues, que los movimientos rotacionales no deben 
buscarse en el movimiento total y aparente, sino en los mo- 
vimientos internos, por decirlo así, de los elementos del 
flúido. 

Y en rigor teórico, el trapecio ó el rectángulo de las dos 
figuras, no son más que símbolos aproximados y, por decir- 
lo así, diferenciales: en puro idealismo hay que pasar al lí- 
mite. 


Hemos dicho que las fórmulas supuestas 


o 
o MEA y 08 wW=0 


dl y 


corresponden á un movimiento irrotacional; pero esto no es 
evidente, hay que ver si tales valores de las componentes de 
la velocidad satisfacen á la condición de dicho movimiento, 


— 202 — 


es decir, si estamos en el caso de la figura A (fig. 60) Ó de 
la figura B. 

Sabemos, por haberlo demostrado en conferencias ante- 
riores, que para que en una región, el movimiento del flúido 
sea irrotacional, es preciso que se tenga 


du. avi qu dw "av. "dw 


de A 
ecuaciones que se deducen de igualar á cero las tres ecuacio- 
nes del eje del torbellino para cualquier punto. 


Veamos si los valores de u, v, w, satisfacen á estas tres 
condiciones. 


Tendremos 
ad a o parao gutoit Vane 
x? + y? A x? + y? xp Oia 
dy dx ; dz dx y 
E 9% EUSUnnE 
Bea Ito rama 
dz dy 


Las dos últimas ecuaciones se reducen á o = 0, porque en 
el primer miembro no entra z y en el segundo w es nula. Y 
esto, por otra parte, es evidente, puesto que se trata de mo- 
vimientos paralelos al plano de las x y, y la coordenada z no 
entra en juego. No queda más que efectuar las diferencia- 
ciones de la primera ecuación, y resultará 


AA LA A 
(a+ y) yy 
ó bien simplificando 
x? ENE y? His x? ¿E y? 


ALE AS 


es decir, una identidad. 


— 203 — 


Luego, en efecto, el movimiento definido por los valores 
anteriores de 4, v, w, es un movimiento irrotacional. 

Pero la comprobación anterior era indispensable, toda vez 
que los valores 4, v, w, aunque escogidos de propósito por 
el autor de quien tomamos este ejemplo, para quien no co- 
noce el origen de dichos valores, deben ser considerados 
como elementos, por decirlo así, de un teorema que es pre- 
ciso demostrar; Ó como las integrales en el sistema de va- 
riables de Euler, de un grupo de ecuaciones diferenciales del 
movimiento del fiúido, que no conoce tampoco. 


- Tanto es así, que antes de seguir debemos demostrar, que 
los valores de 4, v, w, corresponden á un problema real del 
movimiento hidrodinámico, y que satistacen al sistema de 
ecuaciones diferenciales de Euler. 

Las ecuaciones de Euler hemos visto que tienen la siguien- 
te forma: 


NEO! dl UE E urna oka du 
po ERIÓ9S py ap ngara Den 
ari dv CA UE AS 
AS NA de de 
dp tus . dw b de  dw. dw 
praia dx dy dz re 
e=£(D), 
de dp) (eN) dG), 
dt dx dy dz 


Estas ecuaciones se simplifican por las hipótesis que he- 
mos hecho: á saber, porque suponemos un movimiento per- 
manente, de modo que, 4, v, w, son independientes del 
tiempo, y además, el movimiento es paralelo al plano de las 


Rzv. ACAD. DE Cirycias.—X.— Octubre, 1911, 14 


x, y; de suerte que los derivados con relacion á z son nulas 
y w es nula también. 
Teniendo esto en cuenta, las ecuaciones anteriores se re- 


ducen á las siguientes: 


LP qe y 
p dx dx dy” 
dde al 
p dy dx dy” 
atea) an La 
dx dy 


A estas ecuaciones es preciso demostrar que satisfacen los 
valores de u, v, w establecidos a priori. 

Pero aun consideraremos ecuaciones más especiales, y si 
á éstas satisfacen dichos valores de 1, v, w, con más razón 
satisfarán á las anteriores, que contienen funciones arbitra- 
rias; porque es, por decirlo así, prescindir de funciones que 
pueden contribuir por su indeterminación á que tales ecua- 
ciones sean satisfechas. 

Vamos á suponer que no actúan fuerzas exteriores; el flúi- 
do se mueve por las impulsiones iniciales, y por lo tanto, 
A A EA 

Y todavía supondremos que la densidad p es una constante. 

Con todo lo cual, las últimas ecuaciones del movimiento 
se reducirán á las siguientes: 


ED e A 2 E 
e dx dx dy. 
LA 
o. dy dx dy” 
p = constante, 
Ca 0, 


— 205 — 


A estas últimas deben satisfacer los valores 


Se 
AI) (0: 


=> £ t £ ?, 
4 y? 04 y 


Empecemos por la ecuación de continuidad, que ha que- 
dado reducida á 
du dv 


ao dy 


Sustituyendo u y v resultará: 


n= o pe 
pod a Lea 
dx dy 
y efectuando ; 
IO A A 
(iy (ey 
ó bien 
— 2Xxy + 2xy de 
(es DE) 


que es en efecto una identidad. 
Dicha condición de continuidad queda, pues, satisfecha. 
Pasemos á las dos primeras ecuaciones y veremos que 
pueden reducirse á la siguiente: 


dx dy dx dy 
porque, en efecto, si satisfacen á la condición de integrabi- 
lidad, claro es que los coeficientes 20 pt de las dos ecua- 

dx dy 
ciones fundamentales, son los coeficientes diferenciales pat- 
ciales de la difencial total dp. 


— 206 — 


La condición de integrabilidad será, como se sabe 


du du dv dv 
A aos Dl 
AN E A A AA AA 

dy dx 


O diviendo por p y cambiando signos 


7 E 


, 


duen dv dy 


Sustituyendo los valores de 4, V, —, —, —, — que 
de ay day 


son los siguientes: 


) E pe 
tl 30 PV 2 e 
ED E Y | 
du. —2xy. e ME POE 2) E 
A ad (O + y.) (+ y) 
PY ae lc a 2 que e Y AU IA 
a a Cd (EH 


tendremos 


al A aci 
ey (ey y (elo 
dy 


edo EA a 
IN A O A Y 


Ó bien 
asian E A a AS 
(A 
(00 + y?)? eS (2? + y?)* 
dy dy ) 


— 207 — 


y, por fin, 
d PA d gi sl 
YE LAA)” 
dy dx 
que diferenciado da 
A e 
les: AT 


que es, en efecto, una identidad. 


Las consideraciones que preceden, han tenido por único 
objeto demostrar, que los valores de 7, v, w, que hemos esta- 
blecido, no son valores incompatibles con las ecuaciones del 
movimiento dei flúido, lo cual á priori, casi pudiera supo- 
nerse, porque aun fijando valores para u, v, w, en las ecua- 
ciones generales de Euler, quedaban cinco expresiones que 
determinar por medio de dichas cinco ecuaciones, á saber: 
O: 

Pero no contentándonos con esta observación general, he- 
mos querido descender á los últimos pormenores del proble- 
ma y al llegar á este punto podemos hacer dos afirmaciones 
rigurosas. 

1.7 Que las expresiones 


US IN O 


3) ed == 5) o? Ww=30 
oe ll 


4 '= 


no son incompatibles en modo “alguno con las ecuaciones 
generales del movimiento en el sistema de coordenadas de 


— 208 — 


Euler, y que, por lo tanto, se refieren á un movimiento posi- 
ble, mejor dicho, á un movimiento real. 
2.7 Que los valores de u,v, w, dan valores nulos, para 
las componentes del eje de torbellino en el interior del toro. 
Es decir, que : 


De suerte que, el movimiento en el interior de dicho espa- 
cio será un movimiento irrotacional. 

Y ahora en este ejemplo podemos ver prácticamente, que 
la circulación de cualquier curva de segunda clase, es decir, 
de las que dan vuelta al eje por el interior del foro, no es 
igual á cero, sino que tiene un valor determinado para una 
vuelta y múltiplos de este valor para vueltas sucesivas. 

Como u, v, w tienen formas en x, y perfectamente defini- 
das, la demostración, mejor dicho, la comprobación de este 
aserto, se reduce á efectuar prácticamente la integración de 


1= | (udx + vdy + wdz), 


que en este caso se reduce á 


i= A 
a E 


Esta integración, puesto que los coeficientes obedecen á 
la ley de integrabilidad, puede efectuarse por el procedi- 
miento general que en el cálculo integral se enseña; pero la 
integración es inmediata recordando, que si se tiene la 
función de dos variables, 


U = are. eE, 
y 


-— 209 — 


La diferencial total de U, á saber 


O EA 
dx dy 
puesto que 
y 
d.arc. fo — 
d den cobro dd e 
dx dx pi 
y 
d arc.fg — 
UE o NR Ay 
dy dy da 
será 


ir 
Y 


luego, salvo el signo que depende del sentido de la ro- 


tación 
=/ d (are. [9 ea! == ES [9 al . 
c X Xx Je 


El arco que tiene por tangente En es el correspondiente 


al ángulo AOx, fig. 59. 
Pero la función definida por la tangente no es una función 


á , a y 
uniforme, puesto que á una misma tangente E correspon- 


den infinitos arcos que difieren unos de otros en una semi- 
circunferencia . 

Cuando y es cero, siendo r = 1 que es el radio de la cir- 
cunferencia, al arco podemos suponer que es cero, como 
punto de partida. 

Cuando y vuelve á ser cero, el arco es igual á z. 


O 


Cuando se cierra el círculo, el arco es 27, y así sucesiva- 
mente. 

Luego la circulación, al cerrarse el círculo, no es nula y sí 
la curva continúa dando vueltas, la circulación continúa 
creciendo que es precisamente lo que nos proponíamos com- 
probar. 

En la conferencia próxima, que acaso sea la última de este 
curso, resumiremos el resultado de estas últimas conferencias 
y plantearemos uno de los problemas fundamentales de la 
teoría de los torbellinos, que no es para tratado á la ligera y 
que probablemente servirá de'materia, por lo menos para una 
parte del curso próximo. 


— 211 — 


1X.— Conferencias sobre Fisica matemática. 
Teoria de los torbellinos. 


Por: JosÉ ECHEGARAY. 


Conferencia vigésima. 


SEÑORES: 


Después de establecer en las primeras conferencias de 
este curso los principios generales de la hidroestática y de 
la hidrodinámica, y de hallar las ecuaciones generales apli- 
cables á este orden de fenómenos, dijimos que en el mo- 
vimiento del flúido perfecto, tal como al empezar lo de- 
finíamos, existen dos clases diversas de movimientos, á 
saber: 

El movimiento rotacional. 

Y el movimiento irrotacional. 

En uno y en otro, y en el movimiento general del tlúido, 
pertenezca á uno Ó á otro de dichos movimientos, procura- 
mos hallar lo constante en lo variable, y perdónesenos esta 
fórmula un tanto filosófica. 

Y así demostrábamos, en general, que toda línea tlúida 
cerrada se conservaba constantemente cerrada en todos los 
instantes, y que siempre estaba compuesta de los mismos 
elementos tlúidos. 

Y demostrábamos, además, que toda superficie flúida y 
cerrada presentaba el mismo carácter. 


PL 


Esta circunstancia de líneas y superficies responde bien, 
en este caso general, á la fórmula que hace un momen- 
to hemos establecido: lo constante en lo variable, em- 
pleando la palabra constante en el sentido tantas veces ex- 
plicado. 

Y completando estas mismas propiedades, demostrába- 
mos el teorema de Helmholtz; que para toda curva cerrada, 
durante todo el movimiento, existía un valor constante para 
la circulación. 

Pasando después al movimiento rotacional, definíamos las 
líneas de torbellino, los tubos de torbellino y las superficies 
de torbellino, estableciendo una serie de teoremas siempre 
dominados por la misma idea: buscar la constancia de pro- 
piedades Ó de magnitudes en la variabilidad del movi- 
miento. 

Y así deciamos: toda línea de torbellino en todos los ins- 
tantes, se conserva como línea de torbellino. Toda superficie 
de torbellino sigue siéndolo á través del tiempo. y 

Todo tubo de torbellino variará de forma, pero se con- 
serva á través del movimiento como tubo de torbellino; y la 
constante que lo caracteriza, su intensidad, pudiéramos de- 
cir, Ó sea el valor de la circulación de una curva de circuito, 
no cambia de valor numérico. 

Pasábamos después al movimiento irrotacional, buscando 
resultados en cierto modo análogos á los que habíamos ha- 
llado en el movimiento rotacional, á saber: el valor de la 
circulación de una curva cerrada, y demostrábamos otra se- 
rie de teoremas, para las diferentes clases de espacios sim- 
plemente conexos, Ó de conexión múltiple. 

En el primer caso, la circulación era nula, diferenciándose 
del movimiento rotacional en que la circulación en éste tiene 
un valor determinado. 

En cambio, para la conexión múltiple, hacíamos una clasi- 
ficación de líneas, en las que, exceptuando el caso de la 
conexión sencilla, la circulación toma valores finitos, aun- 


— 213 — 


que para cada clase de curvas el módulo era el mismo 
Y en estos términos podemos decir que hemos hecho el 
resumen del presente curso. ' 


Lo hemos dicho y lo hemos repetido hasta la saciedad. 

En el flúido perfecto que hemos tomado, como materia 
primera de los fenómenos que estudíamos, pueden presen- 
tarse dos clases de movimientos: 1. El movimiento rotacio- 
nal en que cada elemento flúido, en un tiempo infinitamente 
pequeño df, ejecuta un giro, que podemos suponer unifor- 
me y que es infinitamente pequeño como el tiempo df, alre- 
dedor de un eje, que es el eje del torbellino; y 2.%, el movi- 
miento irrotacional en que los elementos flúidos no giran, 
sino que se transportan, paralelamente á sí mismos y en 
todo caso se dilatan ó se contraen. 

Pero aquí ocurre una pregunta: 

¿En cualquier masa del flúido perfecto, pueden coincidir 
ambos movimientos, para una parte el rotacional y para otra 
el irrotacional? ¿Ó por el contrario se excluyen, y en toda la 
masa no existe al mismo tiempo más que el movimiento ro- 
tacional ó el irrotacional? 

La contestación á esta pregunta es concreta y terminante. 

Sí; pueden existir á la vez ambos movimientos. 

Una porción del flúido, Ó varias porciones separadas del 
mismo, pueden estar dotadas de movimiento rotacional y de 
movimiento irrotacional el resto del flúido. 

Ya esta misma cuestión la hemos apuntado otras veces, y 
casi es evidente la posibilidad de la coexistencia de ambos 
movimientos. | 

En el origen del movimiento, las velocidades iniciales, aun 


— 214 — 


siendo continuas, así como sus derivadas, pueden ser tales, 
que para determinadas regiones del flúido tengan una poten- 
cial, y por lo tanto, las componentes del eje de torbellino 
sean nulas. 

En esta región ó regiones, el movimiento será irrotacional 
é irrctacional se conservará en el transcurso del tiempo, lo 
cual se puede ver de muchas maneras; entre otras, recordan- 
do que la propiedad de conservar una potencial las veloci- 
dades del sistema es propiedad permanente. 

En cambio, puede suceder que en otra ó en otras regio- 
nes del flúido las velocidades del instante inicial sean tales, 
que no tengan una potencial, y que, por lo tanto, los tres 
binomios 


tengan valores finitos. 

Pero hemos demostrado, que los movimientos irrotaciona- 
les se conservan en cualquier instante, sin que en ellos 
puedan aparecer movimientos rotacionales, á no ser que en 
ellos se presenten fuerzas de rozamiento ó viscosidad, Ó, en 
general, que no tengan una potencial. 

Los torbellinos: no aparecen espontáneamente, si vale la 
palabra. 

Asimismo, los movimientos rotacionales que aparecen en 
un instante por la acción de cierta clase de fuerzas, tampoco 
desaparecen y se convierten en movimientos irrotacionales 
de una manera espontánea. 

En suma: se comprende que en un flúido puedan coexis- 
tir ambas clases de movimientos. 

Claro es que esto supone cierto orden de discontinuidad 
en las derivadas de u, v, w, con relación á Xx, y, 2. 

Más claro: las componentes a, v wen todo el flúido, 
pueden ser funciones continuas. 


— 215 — 


Pueden ser también funciones continuas sus derivadas, 
con relación á Xx, y, 2. 

Y, sin embargo, los binomios anteriores pueden tener en 
una región valores fini- 
tos y continuos, en cu- 
yo caso el movimiento 
será rotacional y en la 
región contigua ser 
iguales á cero. 

La figura 61 es un 
esquema de la clase de 
discontinnidad á que 
nos referimos. 

Por ejemplo, una or- 
denada finita para la  £' 
curva A B de pronto se 
convierte en nula, y 
nula se cónserva en to- 
dorelreje"C TD 

O bien, la ordenada 
de A'B” se reduce á 
cero al llegar á B” y se 
conserva igual á cero  4' 
en toda la línea B*D'”. 

En estas faltas de 
continuidad y en otras SANA 
análogas nos ocupare- 8 a 
mos en otra ocasión, Figura 61. 
porque constituyen to- 
da una clase de problemas, que en este momento no po- 
demos abordar. 


— 216 — 


De las explicaciones que preceden se deduce que en el 
interior de un flúido perfecto y en su movimiento á través 
del tiempo, pueden presentarse simultáneamente regiones 
de movimiento rotacional y regiones de movimiento irro- 
tacional. . 

Pueden, por ejemplo, siguiendo el movimiento general 
del flúido, que supondremos irrotacional, caminar diversas 
líneas de torbellino cerradas, formando anillos, ó indefinidas; 
tubos de torbellinos; superficies de torbellinos también, á la 
manera que navegan sobre un río embarcaciones de diver- 
sas clases. 


Y aquí se presenta un problema importantísimo, que ya 
en este curso no podemos estudiar por completo, pero que 
probablemente, y si no cambio de idea, será el asunto prin- 
cipal del próximo curso. 

Cuestión importante, porque con ella se enlazan al menos 
por la forma de la representación, y por analogía entre las 
funciones analíticas, los problemas de la electro-estática 
y de la electro-dinámica, por una parte, y por otra ciertos 
problemas de química, como puede verse en la obra ya ci- 
tada de J. J. Thomsoun, titutada A Treatire ou the Motion 
of Vortex Rings. 

No es muy antigua, aunque ya tiene veintisiete años y la 
ciencia camina hoy con velocidades eléctricas. 

Pero así y todo, y aunque hemos de estudiar Ó nos pro- 
ponemos estudiar obras más modernas, la que hemos citado 
merece ocupar un puesto de honor en este conato de enci- 
clopedia que aspiran á formar estas conferencias. 

Y el problema á que venimos refiriéndonos en los párra- 
fos anteriores, es el siguiente: 

Las ecuaciones que determinan las componentes del eje 


— 217 — 


de rotación ó de torbellino en cada punto de un fiúido per- 
fecto y en cada instante, sabemos que son 


dw dv > du dw e dv du 


e A AT 


dy dz; dz dx 


Si los segundos miembros son nulos, el movimiento será 
irrotacional, porque las componentes del eje del torbellino 
¿£, 1, E. serán nulas también. 

Si por el contrario estos segundos miembros tienen valo- 
res en los puntos (x, y, 2), para éstos, es decir, para todos 
los puntos en que los binomios anteriores no se anulen, 
el movimiento será rotacional y se compondrá de torbe- 
linos. 

Advirtamos una vez más que las ecuaciones precedentes 
no son ecuaciones ya integradas; y por ahora sólo se ve 
que pueden resolver ciertos problemas sin previa integra- 
ción. 

Expresan, única y exclusivamente, propiedades del movi-. 
miento del flúido, muy interesantes, muy curiosas, acaso 
muy fecundas, pero nada más. 

Mientras no integremos las ecuaciones diferenciales, no 
podremos saber cuál es la forma en función de x, y, z, £ de 
las funciones de estas variables u, v, w, E, 1, €. 

Pero aquí se presenta el problema á que venimos refirién- 
donos, sin haberlo enunciado todavía, y que por fin vamos á 
enunciar ahora. 

Si el problema general del movimiento hubiera sido re- 
suelto, es decir, si hubiéramos integrado las ecuaciones di- 
ferenciales de dicho movimiento, claro es que conoceríamos 
u,v, w, en función de x, y, z, f; á saber: 


do 01 (X, y, 2, £) 
9 La (% y, 2, Í) 


= 2 (x, y, 2, E) 


wW 


— 218 — 


y en este caso podríamos inmediatamente conocer las com- 
ponentes de los ejes del torbellino para cualquier instante, y 
para todos los puntos del flúido. Si las ecuaciones precsRa 
tes fueran generales, conoceríamos los valores de £, 7, €, 
para todo punto x, y, z, y en cualquier instante £, y donde 
el movimiento fuera irrotacional, deberíamos hallar 


¿=0 == ¿=0 


Y este resultado se obtendría mediante seis diferencia- 
ciones. 
En efecto; tomemos el valor de £ que es 


y lo que de él digamos podríamos repetir para 7 y £. 
Basta diferenciar, con relación á y y z, las expresiones 


Wir, 


O) 
y tendremos 

dw , 

=— = Y gy (%, y, 2, Í) 
dy 

dv p 

=== 0.15 he 1), 
dz 


sustituyendo en el valor de £, resultará: 
25 oo g sy (x, Y, 2, 1) a Daz Es Y, 2, b); 


de suerte, que conoceremos esta primera componente del eje 
del torbellino en cualquier punto x, y, z, y para cualquier 
instante £, con sustituir en la ecuación precedente, en vez de 
x, y, z, las coordenadas del punto, y en vez de f, el valor de 
esta variable para el instante que se considere. 


O) 


Como el problema de la integración suponemos que está 
resuelto, y que las funciones 9,, %,, 43, SON conocidas, el se- 
gundo miembro de la última ecuación quedará perfectamente 
determinado y nos dará el valor de £. 

Esto mismo podemos decir para las otras dos componen- 
tes del eje de torbellino. 

Por eso hemos dicho, que esta primera parte del problema 
se resolvía inmediatamente conociendo u, v, w, en función de 
DI aya ÁS 

Y ahora, se plantea la segunda parte del problema, ó me- 
jor dicho, el problema inverso. A saber: Conociendo £, 7, €, 
en función de x, y, z, en cualquier instante, determinar en ese 
instante u, v, w, para cualquier punto del flúido, 

Vemos, en resumen, que el problema comprende dos 
partes: 

1.* Conociendo u, v, w, en función de x, y, z, f, deter- 
minar £, 1, £, para cualquier punto; y esto hemos visto que 
es sencillísimo. 

2.7 Suponiendo que por cualquier medio se han deter- 
minado, ó dicho en general, que se conocen £, 1, £, deter- 
minar u, V, W. 

En rigor, este es un problema de cálculo integral, porque 
puede plantearse de este modo: Integrar las ecuaciones 


e A A E 


dw dv du dw dv du 
2 ZE , 
dy dz dz dx dx dy 


Un problema análogo á este, mejor dijéramos, que con él 
coincide, lo hemos resuelto en el curso anterior (véase curso 
1909 á 1910, pág. 299), y en el curso próximo lo trataremos 
con alguna extensión. 

Por el momento, y ya que no sea posible entrar en otros 
desarrollos, nos limitaremos á presentar un caso tomado de 
la obra de Mr. Poincaré. 


Sk 
+ * 


REV. ACAD, DE CIENCIAS, —X.— Octubre r1grr. 15 


— 220 — 


Preguntábamos a:tes. ¿Pueden coincidir en el movimien- 
to de un flúido perfecto los movimientos rotacionales y los 
irrotacionales, es decir, en unas regiones unos y en otras 
regiones otros? 

Y á esta pregunta contestábamos afirmativamente; y á este 
caso, se refiere el ejemplo que vamos á presentar. 

Imaginemos, que el ilúido es un líquido absolutamente in- 
comprensible; pero sin viscosidad, es decir, que entra en la 
definición del flúido perfecto. | 

Suponemos que el flúido se extiende hasta el infinito y 
que el movimiento se verifica paralelamente al plano de 
las x y, é igualmente, por decirlo de esta manera, en todos 
los planos paralelos á dicho plano coordenado. | 

Claro es, que no habrá que contar con la variable z, por- 
que sea cual fuere z, con tal que x, y no varien, el movi- 
miento será el mismo. Podemos decir, que el movimiento se 
efectúa por rectas paralelas al eje de las 2. 

Luego toda derivada, con relación á esta variable, será 
nula. 

Por una razón análoga podemos establecer w= 0, pues- 
to que no existe movimiento paralelo al eje de las z. 

Si además suponemos que no existen fuerzas exteriores, 
claro es, que las ecuaciones generales del movimiento, según 
el sistema de Euler, 


1 dp du du du du 

= X — UT—= —= V — —W— — — 
alas dx dy dz dt 
AMO algas gy o 1 leas» ¿co OLA 
Pp dy dx dy da DatR 
ONES dw A dw dw.- 3 
0 dz dy dy dz ot” 

o=f(p) 
dp , dea , dev dew _ 


dt wi ae apra 


— 221 — 


se simplificarán por manera notable, y más, si se agrega que 
el movimiento sea permanente. | 

- Aplicando dichas simplificaciones, es decir, suprimiendo 
X, Y, Z; las derivadas con relación á z; los términos en que 
entra w; las derivadas con relación al tiempo, porque el mo-' 
vimiento hemos dicho que es permanente, y dividiendo la 
ecuación de continuidad por p, toda vez que hemos supuesto 
que se trata de un líquido incomprensible, tendremos que 
las ecuaciones generales de Euler se reducirán á 


« 


AO du du 
A — = — U — —=V—, 
AOS dx dy 
Esad ato cial coco (1) 
Peaanel alo dy 
de O 
dx dy 


Dicho esto, definamos el sistema que vamos á escoger en 
las condiciones ya establecidas, siendo el movimiento, como 
queda expuesto, paralelo al plano de las x y. 

Consideraremos un tubo de torbellino cuya sección por 
el plano de las xy sea el circulo A B (fig. 62). Su centro O 
y su radio R. 

Este tubo supondremos que es indefinido y su eje coinci- 
de con el eje de las z. 

Fuera de este tubo de torbellino, el resto del espacio ad- 
mitiremos, que está sometido á un movimiento irrotacional; 
en cambio, dentro del tubo ó del cilindio A B todos los filetes 
paralelos al eje de las z son otros tantos tubos-torbellinos. 

De modo que el tubo torbellino AB es un tubo torbellino 
macizo, si vale la palabra. Y nos proponemos demostrar, 
que pueden coincidir ambos movimientos: el rotacional del 
tubo macizo AB y el irrotacional del espacio exterior á este 
tubo, y que las velocidades de todo este espacio dependen de 
las constantes que determinan el tubo rotacional. 


— 222 — 


Supongamos el problema resuelto, tomando la solución 
que da Mr. Poincaré y vamos á comprobar dicha solución, 
demostrando que en el interior de AB el movimiento es ro- * 
tacional, en el exterior irrotacional, y que las velocidades en 
la parte exterior dependen del tubo torbellino, que hemos 
establecido paralelo al eje de las 2. 


o 


Figura 62. 


Supongamos que la velocidad de un elemento infinitamen- 
te pequeño del flúido, situado en M, á la distancia r, del 
centro O tenga por valor V, siendo V función de r y que, 
además, Md sea perpendicular al radio OM. 

Esta es una hipótesis que necesita comprobarse. 

Porque no nos satisface decir, que por razón de simetría 
tendrá dicha dirección. 

Resulta de lo supuesto, que las componentes de V, es 
decir, 4, V, serán 


— .223.— 


u==—VcosaMd, v=VcosbMd; 


y como 


cosaMd= cos OMc = — y cosbMd = cos cOM==Ñ 


resultará 


Claro es que la tercera componente será w = 0, puesto 
que el movimiento es paralelo al plano de las x y. 

Hemos dicho que V es, ó se supone que es una función 
de r, función que determinaremos más adelante, de modo 
que satisfaga á las condiciones del problema. 

Para abreviar haremos: 


y resultará 


ti== 


Vamos á comprobar que estas dos expresiones satisfacen 
á las ecuaciones generales del movimiento, sin especificar la 
naturaleza de la función <, y después determinaremos q de 
modo que en el cilindro AB el movimiento sea rotacional, 
fuera del cilindro irrotacional y que las velocidades sean con- 
tinuas al pasar del interior al exterior del cilindro. 


En primer lugar demostraremos que los valores anteriores 
de u, v satisfacen á la ecuación de continuidad que es una 
de las ecuaciones generales del movimiento. A saber: 


d d 
il 


_—— — 
dx dy 


— 224 — 


Sustituyendo los valores de 4, v tendremos: 


deny) y, ADA o 
dx dy 


en que evidentemente, según la figura 62, 


r=ary 6 r=yve+y 


La ecuación de continuidad, efectuando las diferenciacio- 
nes se convierte en 


F dr . dr 
A 
dx dy 

Ó bien 

, as , 

AO en) — x=0, 
que es, en efecto, una identidad. 
Luego, estos valores de 4, v, por lo pronto, satisfacen á la 

ecuación de continuidad. 


Veamos ahora si satistacen á las dos primeras ecuacio- 
nes (1), que son 


alo ER a OS 
podx dx dy 
E 
e: ¡dy dx dy 


en que hemos supuesto que ¿ es una constante. 
Para que estas dos ecuaciones puedan integrarse y den un 
valor para p en función de x, y, es preciso que 


— 225 — 


sea una diferencial exacta, de los dos variables x, y. Debe- 
rá, pues, verificarse la condición 


en que hemos cambiado el signo y hemos dividido por ¿. 
Sustituyendo los valores de u, v, se obtiene 


dx AE 
d y 
a O DA de do (r)x) 
reseca ol de llar aude dci 
dx ; 


y efectuando las primeras diferenciaciones de los numera- 
dores, 


a Pai 
no rr 0 0) 
dy 

d[—Or(10 Ext) 0:70 Gal 

IR ¡IBIS IESO ETE Uds 
Ó bien 

doo ino | 

dy | 

y yx? , e 

do 04 nn 

dx 


— 226 — 
y simplificando, 


ie AY) 
d y dx 


Efectuando las diferenciaciones 
dr TOR 
— 2 TA) A] == AA) 0 
OL PR o 
y por fin 
7 Xx 3 DE 
= 29 (1) 2 (r) E NENAS 


que es una identidad. 

Resulta de lo que precede, que suponiendo que un flúido 
perfecto se mueve paralelamente al plano de las x y, siendo 
las componentes de cada punto á la distancia r del eje 


U=—¿(1)y, v=g(1)x 


estos valores de las componentes de la velocidad satisfarán 
á todas las ecuaciones diferenciales del movimiento. 

Representarán, pues, un movimiento posible, sea cual fue- 
se la forma de la función y, la cual quedará, por lo tanto, 
indeterminada por el momento. 

Y vamos á demostrar ahora, para completar la solución 
del problema, que puede darse á dicha función q (r) una 
forma tal, que en el espacio exterior al cilindro A B, el mo- 
vimiento sea irrotacional; que cambiando la forma de q en el 
interior de dicho cilindro A B, el movimiento será rotacio- 
nal, y que la velocidad variará de una manera continua al 
pasar del interior al exterior. 

Para que el movimiento sea irrotacional es preciso, como 
sabemos, que se verifique la condición 


du dv 


dy dx 


, 


Ó bien 


Sustituyamos en esta ecuación los valores de u, v, y de- 
terminemos la función indeterminada ¿ de modo que la ecua- 
ción precedente quede satisfecha. 

Tendremos 


APM) — del(a. 
dy El 


y desarrollando, 


; dr y EN EURO a 
O O x Ho (r), 


Ó bien 
¿0 E=0=e ME +00, 
de donde, | 
20) — e) 
y por fin, 


— Y (1) r = 2 (1). 


Sustituyendo por « (r) su valor SN en que V repre- 
r 
senta la velocidad Md (fig. 62), tendremos 


de) 


— —_——— r=2 
dr r 


— 228 —- 


y Giferenciando 


AECA 


r r 
Ó bien 

a 0 
de donde 


LE Vir) 


. 


Tenemos, pues, que integrar la ecuación diferencial 


EA CAMARA, 
dr P 
que será 
III, 
V(r) a 


cuya integal es 


log V + logr = log C, 


siendo C una constante. 
De aquí se deducen sucesivamente 


lav? loe 


Vr= € 
v=2 
ñ 


En suma, para que en el exterior del cilindro AB el mo- 
vimiento sea irrotacional, la velocidad V, que en la figura 
hemos representado por Md, debe ser tangente á la circun- 


E 


ferencia CD, como antes demostramos, y su valor debe ser 
inverso del radio OM=. 

Supongamos ahora que nos proponemos determinar + de 
modo que el movimiento en el interior del cilindro AB sea 
rotacional y que en cada punto del interior de dicho cilindro 
A B el eje del torbellino paralelo al eje de los z tenga el 
valor £. 

En este caso deberemos establecer: 


y sustituyendo por v, u sus valores. 


2(e(0)3) , 40) _ 0 
ales d y % 


y efectuando las diferenciaciones 


e (r) + xq 


; dr 
EII + 
dy 
Ó bien 
2040) =>2<, 
que se reduce á 


DAN EW; 


y sustituyendo en vez de y su valor tendremos 


V(r) 
E 


> V (r) ches r 


LS a 


SÓ 


No habrá más que integrar esta ecuación para determi- 
nar V (7). 

Pero la ecuación queda satistecha, y esto es hacer la inte- 
eración inmediatamente, estableciendo 


V(r) =C;1, 


en que C;, es una contante. 
En efecto, sustituyendo este valor de V (7), resulta: 


Car 
de 
F po dr 


2 


Como hemos dicho que C, es una constante, resulta 


Ci 


luego la ecuación queda satisfecha dando á la constante el 
valor E. 

Asi, pues, el movimiento del flúido en el interior del ci- 
lindro AB será rotacional, si á cada punto del inferior de 
dicho cilindro le damos una velocidad normal al radio que 
pasa por dicho punto, y cuyo valor sea 


VA 8 


Sólo queda por llenar una condición para la continuidad 
de las velocidades. A saber: que en cada punto de la circun- 
ferencia AB que separa la región rotacional de la irrotacio- 
nal, los valores de V coincidan. 

Para el exterior teníamos 


vel 
z 


Para el interior 


0 SA 


y como el radio de la circunferencia A B lo designamos por 
R, la condición á que nos referimos será 


de donde deduciremos para la constante Cel valor C=R?C. 

En resumen, podremos tener, paralelamente al plano de 
las x y n movimiento tal, que en el interior del cilindro 
A B tenga el flúido un movimiento rotacional, en el exterior 
un movimiento irrotacional, coincidiendo ambos para la su- 
perficie A B, satistaciendo á todas las condiciones del movi- 
miento, así respecto á la ecuación de continuidad como á las 
dos primeras ecuaciones diferenciales, y dando valores de- 
terminados para la presión p, salvo la constante de esta úl- 
tima integración; todo esto se realizará, repetimos, si la ve- 
locidad de cualquier punto exterior es perpendicular al ra- 
dio que pasa por dicho punto y tiene por expresión 


vo 2 
: 2 
SR 


F 


14= 


y la velocidad para los puntos interiores es igual á 


M. Poincaré, que trata este ejemplo, llega á los mismos 
resultados con mucha más rapidez, aunque para la inteli- 
gencia de los alumnos hayamos creído más conveniente se- 
guir la marcha general, que acabamos de explicar. 

M. Poincaré dice, aunque no con estas palabras: 


+ 2800 
, 


«El trabajo de la velocidad en una circunferencia cual- 
quiera CD, trazada desde 0, es decir, 


fia; + vdy) 


equivale evidentemente, toda vez que V es tangente á dicha 
circunferencia, al producto de la longitud de CD por la ve- 
locidad tangente V, es decir, 


circulación sobre la circunferencia CD = 21 r V. 


Esto, por una parte; pero se sabe por el teorema de Sto- 
kes que dicha circulación es igual al flujo del vector torbe- 
llino sobre toda el área que comprende dicha circunferencia. 

Como la corona comprendida entre CL) y AB correspon- 
de al movimiento irrotacional, los torbellinos serán nulos y 
el flujo nulo también. 

No hay que contar, pues, con dicha corona. 

Queda el circulo comprendido en la circunferencia A B. Si 
para toda esta área el eje del torbellino es constante é igual 
á 2€, el flujo que buscamos será igual al área multiplicada 
por €, es decir, 


flujo área AB =27R?L. 


E igualando esta expresión á la anterior, toda vez que la 
circulación es igual al flujo, tendremos 


DARA VA 


de donde 


que es el mismo resultado que antes habíamos obtenido para 
la velocidad en los puntos exteriores. 


— 233 — 


Supongamos ahora, que el punto que se considere es in- 
terior á la circunferencia AB. Sea, pues, C'D”. 

Llamando como antes r á su radio y Vá la velocidad tan- 
gencial, la circulación será, como antes, 27. r V.- 

Por el teorema de Stokes esta expresión debe ser igual al 
flujo del vector torbellino en el círculo que comprende C'D”, 
advirtiendo que aquí todo se aprovecha para el flujo, porque 
no hay ninguna corona en que el flujo sea nulo. 

Tendremos, pues, 


Y 
( 


flujo torbellino = 2 wr? £. 


E igualando á la expresión anterior 


21 V=213r*8. 


De donde se deduce 


que es también el resultado obtenido anteriormente. 


Este ejemplo, que es sencillo, y, por decirlo así, suges- 
tivo, se presta á muchas consideraciones, y muchas observa- 
ciones pueden hacerse también respecto á su aplicación. 

Por ejemplo, si R disminuye tendiendo hacia cero, con 
tal que € crezca en la debida proporción, de manera que ZP? 
tienda hacia una constante /m, el valor V de la velocidad del 
movimiento irrotacional será una cantidad finita 


m 
Vv==, 


— 234 — 


y tendremos en presencia, por decirlo de este modo, un file- 
te torbellino proyectado en O, y alrededor un campo de mo- 
vimiento irrotacional. 

Y lo que es más importante, la velocidad de cualquier 
punto del tlúido que diste r del eje torbellino, tendrá un va- 
lor inverso á dicha distancia y quedará perfectamente deter- 
minado. 

Más aún: si el eje-torbellino se asemeja á una corriente 
eléctrica, la velocidad de cualquier punto exterior coincidirá 
en magnitud y en dirección con la fuerza que ejercería dicha 
corriente sobre un polo magnético colocado en el expresado 
punto. 

Y aquí empiezan una serie de analogías, que ya anunciá- 
bamos al empezar este curso, entre la electrodinámica y la 
teoría de los torbellinos. 

Pero todo esto y otros muchcs problemas importantes, 
será preciso, bien contra mi voluntad, que queden para el 
-CUrso próximo. 


— 2359 — 


X.—La copelación, según antiguas recetas 


Por JosÉ RODRÍGUEZ MOURELO. 


Aquí comienzo la publicación de algunas curiosidades de 
Alquimia, todas recogidas de Manuscritos españoles, casi 
ninguna de ellas original, no desprovistas, sin embargo, de 
interés, en las cuales se contiene lo esencial de las prácti- 
cas subtiles del Arte Magno, mezcladas con extravagantes 
doctrinas, y á veces, como en el caso actual, con procedi- 
mientos racionales, ahora llegados á los mayores adelanta- 
mientos, y cuyo fundamento encuéntrase en ciertos métodos 
alquimistas de gran fama, y no en las doctrinas profesadas 
por quienes los usaban con mayor esmero. Una idea mueve 
mi ánimo para decidirme á publicar, añadido de comentarios, 
lo recogido en mis largas pesquisas, y es la de contribuir, 
cuanto me fuere dado, á esclarecer la historia de la evolu- 
ción de las ideas científicas en España, siquiera no haya sido 
otorgado á mis empeños y diligencia el favor de haber en- 
contrado algo peregrino y singular, de todos ignorado; limi- 
tándose los resultados conseguidos á rectificar algunos pun- 
tos que á la historia química del alcohol se refieren, y serán á 
su tiempo tratados. 

Mucho antes de ahora hubo escritores de mérito extraor- 
dinario, para quienes fueron objeto principal de notables in- 
vestigaciones las referentes á las ideas de los contados verda- 
deros y originales alquimistas habidos en España; pues aun 
cuando hayan sido, en cierto modo, adeptos de la doctrina 
transmutatoria, la de más boga durante largo tiempo, nunca 
pueden entrar en la categoría de tales nuestros buenos me- 
talurgistas, que tanto arte y tanto ingenio pusieron en ex- 


Ruy. ACAD. DE Ciixcras,—X.—Octubre, 1911. 16 


— 236 — 


traer el oro de sus placeres, la plata y el mercurio de cuan- 
tos minerales los contenían. Y entre estos escritores, he de 
rendir pleito homenaje, en el principio de mi trabajo, á don 
Marcelino Menéndez y Pelayo, cuya obia de La Ciencia Es- 
pañola, es la que encaminó mi voluntad hacia tal género de 
estudios, y á D. José Ramón de Luanco, autor del libro La 
Alquimia en España, colección de noticias admirables, de la 
cual puede sacar muchos provechos quien pretenda ocupat- 
se en nuestra historia científica en determinados períodos. 

Bien será decir ahora el objeto de sacar á plaza olvidadas 
vejeces y declarar mis intentos al dar á conocer estas pere- 
erinas recetas para hacer oro y plata ó preparar los comple- 
jos brebajse, dotados de la excelencia y virtud de conservar 
el cuerpo en la más cabal salud y energía, privándolo de todo 
contagío y enfermedad, no siendo la última. Entre la bara- 
hunda y confusión de las prescripciones, siempre obscuras y 
enigmáticas, como para ser entendidas sólo por los adeptos 
y escrutadores del arte, la profusión de los ingredientes re- 
comendados y lo misterioso y ambiguo del lenguaje, hay 
ciertas ideas fundamentales, por lo general sólo esbozadas, 
las cuales, andando los tiempos, adquirieron los debidos 
desarrollos, hasta convertirse en doctrinas científicas impor- 
tantes, y aun en la misma práctica de varias Operaciones 
primordiales, y de ellas es la copelación, contiénese el germen 
y principio de bastantes y muy usados procedimientos meta- 
lúrgicos, y esto pretendo hacer resaltar en primer término, 
siquiera cuanto haya de dar á conocer sólo constituya, en 
definitiva, variantes más Ó menos prácticas é ingeniosas de 
los contados métodos y de la teoría general que compren- 
dieron el fondo de la Alquimia. 

No se concretan á lo dicho mis propósitos. Hoy la historia 
de cualquiera ciencia no ha de limitarse al relato cronológico 
de los hechos, en el orden como fueron descubiertos, inda- 
sando á quién se deben y al de los orígenes de las doctrinas; 
antes bien, partiendo de lo actualmente conocido, debe tratar- 


se de saber como en cada época y cada investigador ha pen- 
sado ó ha trabajado respecto de lo ahora sabido y al propio 
tiempo cuáles fueron sus medios y procedimientos y los mo- 
dos de servirse de ellos. Si trato de la copelación es para sa- 
ber su práctica, su teoría, y cómo pensaban acerca de ella, y 
cuál fué su importancia y sus resultados en determinada épo- 
ca y sigo en esto el criterio del famoso profesor W. Ostwald, 
porque es mejor darse cuenta de cómo pensaron y cómo eje- 
cutaron nuestros predecesores, respecto de las cuestiones ac- 
tuales Ó de sus equivalentes, y preferible á entretenerse en 
buscar la sucesión, en el tiempo, de los descubrimientos y de 
las doctrinas, cuyo encadenamiento no suele aparecer claro, 
permaneciendo casi ignorados los términos esenciales de la 
evolución de las ciencias. 

Conforme á tal modo de pensar, no me esforzaré en ave- 
riguar quiénes fueron ó pudieron ser los autores de las rece- 
tas y procedimientos encontrados; basta fijar su data para 
conocer que fueron practicados en la forma descrita, de or- 
dinario variante de métodos tradicionales y de muy antiguo 
conocidos, y es menester además determinar su filiación y 
relaciones con lo primitivo, para darse cuenta de los cambios 
y perfeccionamientos debidos al tiempo, al lugar y al inge- 
nio de los hombres. Faltar al sistema conduce á errores tan 
eraves como el de haber considerado á Ramón Lull alqui- 
mista de profesión, hasta que, no ha mucho, demostró el se- 
. for Luanco cómo nunca lo había sido, á pesar de las tradi- 
ciones alquimistas llamadas lulianas, sostenidas por aquel 
Raimundo de Tárrega, usurpador del nombre insigne del 
Doctor Iluminado. Siguiéndolo, llégase á darse cuenta de 
cómo los primitivos metalurgistas, que sabían extraer oro y 
plata de arenas y minerales, no habían menester de afanat- 
se buscando la piedra filosofal, aunque fuesen partidarios de 
la doctrina de la transmutación; y se explica el por qué en 
España no hubo alquimistas verdaderos, á no calificar de 
tales á los falsarios reduplicadores del oro, capaces de em- 


— 238 — 


baucar á los personajes de mayor jerarquía, deslumbrándo- 
los con los más fabulosos resultados. 

Otra ventaja dedúcese todavía del criterio expuesto, refe- 
rente al carácter de los procedimientos descritos, siempre 
con gran lujo de pormenores, en los viejos manuscritos al- 
quimistas españoles, y es su sentido práctico dominante, 
consistiendo en ello su nota distintiva. Tienen, si se quiere, 
escasa Ó ninguna originalidad en lo fundamental, son acaso 
operaciones tradicionales; pero llevan en las variantes y en 
la propia descripción cierto sello de realidad muy de notar, 
y hay de continuo vislumbres y adivinaciones de cosas nue- 
vas y de ideas generales, fruto de admirables intuiciones, 
sin desconocer, no obstante, como todos los autores de tales 
recetas para apartar el oro de la plata ó la plata del plomo 
estaban bien inficionados del legitimo virus alquimista, y 
con haber sido glorioso fundador de la Metalurgia científica, 
también de alquimista, en cuanto á las doctrinas, tuvo mu- 
chos puntos y ribetes el gran Alvaro Alonso Barba, y de 
ello encontrará cuantas pruebas quisiere quien registre su 
famoso y original libro de El Arte de los Metales. 

De un procedimiento para copelar trata una receta pues- 
ta al final de cierto curioso Manuscrito de Alquimia del si- 
glo xv, existente en nuestra Biblioteca Nacional, bajo la sig- 
natura li-6-, 10.824, procedente de la casa ducal de Osuna. 
Perteneció al primer marqués de Santillana y así lo describió 
Mr. Mario Schiff, á cuya buena amistad debo el conocimien- . 
to del documento, del cual conservo copia hecha de mi 
mano (1); habla de él el Sr. Rocamora en su Catálogo de la 
Librería de Osuna (2); da muy breves é incompletas noticias 


(1) SCHIFF (MARIO).—<La Bibliothéque du Marqués de Santi- 
llana». —París 1905. 

(2) ROCAMORA.—«<Catálogo abreviado de los Manuscritos de 
la Biblioteca del Sr. Duque de Osuna é Infantado>.— Núm. 12.—Ma- 
drid 1882. 


. = 239 — 


- de su contenido el Sr. Luanco, acaso sólo de referencia (1), 
y lo tengo descrito muy por menudo, hace tiempo, con cier- 
tas ilustraciones de subido valor, porque proceden de mon- 
sieur Berthelot, con quien hube de consultar algunos pun- 
tos del Manuscrito en cuestión (2). No es un Tratado del 
Arte de la Alquimia, sino conjunto de fórmulas, recetas y 
doctrinas expuestas sin método, á modo de compilación, y 
entre ellas ocupa parte muy principal el libro nombrado 
Imagen de la vida, en el cual hállanse explicados ciertos pro- 
cedimientos de destilación de liquidos alcohólicos y las figu- 
ras de los toscos y primitivos alambiques, acaso lo de ma- 
yor importancia en el Manuscrito contenido, y en él abun- 
dan extravagantes recetas, cuya eficacia se asegura con las 
palabras más rotundas, procedimientos metalúrgicos y des- 
cripciones de aparatos; todo ello mezclado con disertacio- 
nes filosóficas y morales acerca de la ciencia alquimista. 

Para mí trátase de una colección de fragmentos reunidos 
por quien conocía bien la materia, añadiéndoles bastante de 
su cosecha, en torno del no acabado Tratado de la Imagen 
de la vida, cuyo fin es el nunca bien ponderado elíxir, des- 
tinado á conservarla en el mejor estado por tiempo indeti- 
nido. Sin embargo, verdaderas novedades, aun para su data, 
que el Sr. Schiff ha fijado en el primer tercio del siglo xv, el 
Manuscrito contiene pocas; pero algunas son de notoria im- 
portancia, aun las reducidas á pormenores de carácter in- 
dustrial, en general presentados con suficiente claridad den- 
tro del enrevesado y enigmático lenguaje peculiar de los es- 
critos de Alquimia. Reside, por lo tanto, en mi entender, el 
interés del Manuscrito en su fecha, en su procedencia espa- 
ñola, siquiera sea ignorado el autor, en los dibujos, en ex- . 


(1) LUANCO.--«La Alquimia en España».—Tomo ll, página 86. 
(2) «Revista de Archivos, Bibliotecas y Museos». — Febrero 
de 1599. 


ES 


tremo toscos que lo ilustran, y en lo accidental que le plugo 
añadir, sin relacionarlo para nada con las doctrinas del prin- 
cipal contenido, á su anónimo autor. 

Entre estas cosas accidentales intercaladas, figuran cuan- 
tas van á ser dadas á conocer, con sus adecuados comenta- 
rios, en los presentes apuntes, los cuales comienzan por una 
receta referente á la copelación, reproduciendo el texto con 
la puntuación correspondiente, no existente en el original, y 
los dibujos, fielmente calcados, nada frecuentes en manus- 
critos de este orden y de este tiempo, siguiendo el estudio 
del texto, con el criterio antes apuntado y los necesarios 
esclarecimientos. Sería punto menos que ilegible el Manus- 
crito transcripto conforme es y sin corrección alguna; en 
nada cambia su carácter dividiendo los párrafos ó supliendo 
palabras donde faltan, trasladándolo á nuestra ortografía Ó 
poniéndole los signos, de los cuales carece en absoluto; 
antes bien, esta primera labor, nada sencilla en verdad, 
conservando la idea y la palabra del texto, constituye una 
primordial interpretación y un comentario de cierto valor 
fundamental, y es, además, indispensable para la inteligen- 
cia del objeto y contenido de las fórmulas alquimistas, á 
veces intrincados jeroglíficos, cuando no expresivos símbo- 
los, hechos para uso de muy enterados adeptos, ahora con 
eran trabajo descifrables, aún tratándose, como en el caso 
presente, de procedimientos prácticos, con vistas á una me- 
talurgia elementalísima de la plata, y á los modos de sepa- 
rarla del plomo en casos determinados. He aquí la receta 
integramente copiada: 


Obra blanca particular, la mejor de quantas son particulares, 
es esta que se sigue. 


Toma dos libras de limalla de fierro, preparada en su 
lexia é desecada en polvora, é otro tanto de plomo calcinado, 


— 241 — 


en la manera que los olleros facen quando quieren vedriar, 
e toma 4 libras de sinabrio, las quales 3 cosas molerás 
sobre el mármol, cada una por sy, e después las encorpora- 
rás en uno, en moliendo e abrevando sobre el mármol, con 
buena agua ardiente, en desecando al sol ó sobre cenicas 
calientes todavía, moliendo é abrevando del agua ardiente 
fasta tanto que beba 
la dicha mystion la 

mitad del peso de la 

dicha materia, en 

manera que la dicha 

materia quede en 

manera de pasta ny 

dura, ny blanda. La 

qual meterás en un 

vaso de vedrio fecho 

en esta manera que 

se muestra por figu- 

ra, el qual vaso sea y [7] | 

bien lutado, el uno ¡a =— M2 

de los cuerpos de <| ” — TE 
buen luto de sapien- 
cia, e la boca bien 
sellada de paño de 
lienco e de pasta de 
farina, e cuando será 
seco, mete el vaso en 
un forno fecho por la 
figura que se muestra aquí, enterrado entre arena fasta todo 
el luto de un cuerpo, e por encima cubierto de un cobertor 
de tierra, el qual será bien lutado al forno. E despues farás 
fuego en la cámara baxa del forno, muy simple e suave, por 
24 oras naturales, e á la fin de aqueste término farás el fuego 
en la otra cámara mas alta, un poco mas fuerte, por otras 
24 oras; e á la fin de aqueste término multiplicarás el fuego, 


— 242 — 


en la tercera cámara mas alta, de llama de leña, por es- 
pacio de 24 oras, tan fuerte como tu podrás; e á la fin 
de aqueste término dexa refriar el forno, e frio trae el vaso 
de fuera e rompelo, e tu fallarás la materia de dentro con- 
gelada, dura como piedra, e negra como carbón. Metela 
dentro en un mortero de fierro, en la quebrando e mo- 
liendo, fasta que sea tornada en pólvora menuda, e des- 
pues, aquesta pólvora metela sobre el mármol, en mo- 
lindo e abrevando del olio de tártaro, e desecando al 
sol Ó sobre cenicas calientes, fasta atanto que aya bebido 
la materia del olio de tártaro en tanta cantidat como fizo 
primeramente del agua ardiente, e que sea tornado asy 
como primeramente en masa ny dura ny blanda; la qual 
masa meterás dentro en un vaso de vedrio, redondo como 
una pelota, el qual sea todo bien lutado, e la boca bien se- 
llada e lutada de buen luto de sapiencia de la erosor de un 
dedo. E quando será seco, metelo enterrado dentro en tu 
torno, dentro entre cal biva, e fas tu fuego por los grados 
primos; primeramente, en la cámara mas baxa, de carbon, 
muy symplemente, por 24 oras, e en la segunda cámara un 
poco mas fuerte por otras 24 oras, e en la tercera cámara, 
mas alta, multiplicarás el fuego, de llama de leña, muy fuer- 
te, tanto que tu podrás, por otras 24 oras. E á la fin de 
aqueste término deja el forno retriar, e saca el vaso de el fue- 
ra, e rompelo, e tu fallarás la materia asy dura como un fie- 
rro, e color, e en todo, e no tan negra como la primera. Me- 
tela de dentro en un mortero de fierro, e rompela, la qual 
será mala de quebrar, e muelela muy bien en pólvora menu- 
da, la qual meterás con ella 4 oncas de salitre, en moliendo 
muy fuerte, fasta que todo sea incorporado; e después las 
una cendrada muy grande, e mete á fundir de dentro 2 li- 
bras de plomo, e quando sea bien fundido mete con una 
cuchara de fierro la dicha pólvora, poco á poco, asy como 
se va tornando el plomo en fundiendo materia; e quando 
sea acabada de ser la cendrada, tu fallarás 2 marcos de fina 


— 243 — 


plata de los 8 marcos de mystion, teniente á todo juyzio. E 
por esta manera puedes tu fer de 10 en 10 dias, en molien- 
do, abrevando, e desecando, e cociendo por el término so- 
bre dicho. 


Esta es la lexia que se sigue. 


Toma un peso de cal de cáscaras de huevos, e atanto de 
cenica de sarmientos, e dos pesos de cenica de rayces de 
havas, e un peso e medio de rayces sin arder, e medio peso 
de alumbre de roca, e quarto peso de sal amoniaco; las cua- 
les cosas sean cocidas en 10 partidas de orina de vacas 
e 6 pesos de vinagre. Quiere decir que 19 vegadas debe ser 
de orina tanto como de todas las otras cosas e asy de vina- 
ere el peso de 6 vegadas como toda la materia, contando 
la orina. E quando todas estas cosas sean cochas en uno, 
por 2 oras, e retriadas e destilada el agua por mecha e meti- 
da en una olla vedriada, tu deves en 2() pesos de aquesta 
agua meter 1 peso de la dicha limalla, la cual debe ser pri- 
meramente lavada con sal e con agua por muchas vegadas, 
fasta quel agua salga clara, e despues exugada al sol e asy 
mismo la pólvora del plomo, e quando esta limalla será asi 
exugada al sol, dexala templar dentro en esta lexia por el 
espacio de 9 días, e al cabo deste término traela de fuera e 
obra como dicho es, dexandola secar primeramente al sol. 
La qual fallarás ynpalpable, de color pardilla. 


Que el nombre de obra bíanca corresponde á la operación 
de extraer la plata, no pocas veces designada también por 
argen en el Manuscrito de autor anónimo donde se contiene 
la receta copiada, es cosa fuera de toda duda, en cuanto al 
final de la misma se declara explícitamente cómo se recoge 
plata fina, en buenas proporciones respecto de las cantidades 


2 124 4wE. 


de la primitiva mezcla empleada. Así pues, está bien expli- 
cado que se trata de cierta especie de procedimiento meta- 
lúrgico rudimentario, no original, y cuya filiación, según 
luego se verá, debe buscarse en antiquisimas prácticas y 
tradiciones de la Alquimia. 

Fuera inútil la tarea de buscar las razones fundamentales 
de las singulares y repetidas manipulaciones hechas con las 
limaduras de hierro, partiendo del tratamiento con la extra- 
ña lejía, cuya preparación, en verdad nada sencilla, es ob- 
jeto de la segunda receta copiada, con la cual se cierra el 
Manuscrito, hasta la mezcla de su polvo impalpable con el 
plomo fundido, pasando por una serie de tratamientos lar- 
gos y detenidos. Nunca se dieron cuenta los alquimistas de 
tales cperaciones, cuya práctica era corriente en el arte trans- 
mutatorio, y para ellos, ignorantes de la composición quí- 
mica de los minerales, unos metales podían convertirse en 
otros, y todo su ingenio poníanlo en acendrar los vulgares 
y comunes, de suerte que, perfeccionándolos con el fuego, 
el agua, el azufre y el mercurio, iban sucesivamente mejo- 
rando hasta convertirse en los más nobles y en los más in- 
alterables, todo por la virtud de aquellas materias, agentes 
y preparados dotados de la excelencia de dar y quitar pro- 
piedades á los cuerpos mediante su contacto ó directo intlu- 
jo, sin experimentar muchas veces alteraciones de ningún 
género. | 

Realmente, para el autor de la receta, los dos marcos de 
plata hallados en la cendrada al término de las operaciones, 
no procedían del plomo, por contenerlo ya el empleado, sino 
que, conforme á la general doctrina de la Alquimia, admítese 
la formación de la plata mediante transmutación del plomo, 
perfeccionado merced á las preparaciones y á las operacio- 
nes preliminares, de las cuales resulta la mezcla destinada 
á ser fundida. No hay, pues, novedades tocante á la doctri- 
na, ni mayor conocimiento positivo de los hechos, antes 
bien, responden las prescripciones de la obra blanca par- 


— 245 — 


ticular á las tradicionales prácticas alquimistas; en cambio, 
es de notar el haber puesto por figura el horno y las vasi- 
jas empleadas, no siendo éste el único lugar del Manuscrito 
donde hay dibujos de aparatos. Partiendo de los anteceden- 
tes aquí indicados, emprendo la. tarea de comentar é inter- 
pretar las dos recetas transcritas, atendiendo de preterencia 
á las ideas que las inspiraron y á su filiación, explicando el 
significado de palabras, nombres de cosas y conceptos solo 
cuando fuere menester. 


(Concluira). 


— 246 — 


XI.—Sobre el electrómetro de cuadrantes. 


Por E. TERRADAS 


Habiendo observado que era á mis alumnos dificultoso el 
procedimiento seguido en el texto (1) para establecer la fór- 
mula del electrómetro, que poco más ó menos es el que se 
indica en la mayor parte de textos, me propuse dar con la 
fórmula, utilizando otros razonamientos acaso más evidentes. 
El método que se indica en la exposición que sigue, se re- 
duce á establecer á priori, como demostradas experimental- 
mente, ciertas simetrías. Tiene, además de la sencillez, una 
ventaja: permite calcular los términos que se quieran del de 
sarrollo del par eléctrico, en serie según las potencias de la 
desviación. 

Las dos hipótesis primeras sobre la simetría del aparato, 
son, racionalmente, válidas aunque existan potenciales de 
contacto. La experimentación confirma ese modo de ver, 
siempre que un determinado arreglo preceda á las medidas 
definitivas. Aplicadas á la fórmula general, las mencionadas 
simetrías conducen á una fórmula simplificada (15), en que 
el cociente del potencial de la aguja por el de uno de los 

«cuadrantes es proporcional á una sencilla función de cuatro 
lecturas, siendo la constante de proporcionalidad indepen- 
diente de todo potencial, ya de carga, ya de medida, ya de 
contacto. 

He creído que estos resultados podrían interesar, y ello es 


(1) Bouase, Traité de Physique, tomo IV, París. 


— 247 — 


el objeto del presente escrito. Contiene, además, una crítica 
del método de medida seguido hasta ahora en el Laboratorio 
y que era el indicado por Damien (1). 


IL. Sean A y B los potenciales de los cuadrantes, C el de 
la aguja, 6 la desviación de ésta á partir de la posición para 
la que A=B=C=O0. Las masas eléctricas de los cua- 
drantes y de la aguja, serán: 


M,=0A +yB+PpC 
M,¿=yA+bB+acC 
M.=BA +aB+cC. 

Los coeficientes a, b, Cc, a, $, y, pueden considerarse como 


funciones de 6, funciones que supondremos desarrolladas en 
series, según las potencias de % (Gouy). 


A 


ADO OO DO OO O O EONO POFOROR O 


e 


A las derivadas de Q...... y respecto á U, se las designará 
PO ST 


is 1 e AOL) e nietas e E 


La energía del sistema de tres conductores, cuadrantes y 
aguja, es W, dada por 


2W= M¿A + M¿B + MC. 


(1) Damien, Manipulations de Physique, París 


e 8 


El par á que se halla sometida la aguja, siendo los poten- 
ciales constantes, es: 


de modo que 
2F=0A?+0'B?4-CC?4+2BC+2PAC42y'AB. (1) 


Sentado esto, he ahí las tres hipóteses fundamentales: 

Primera. Silos cuadrantes cstán al mismo potencial, la 
aguja no es desviada, cualquiera que sea su posición y Su 
potencial. Es decir, si A = B, F = 0, cualesquiera que sean: 


A, Cy. 


Segunda. Si un cuadrante y la aguja están al mismo po- 
tencial A = C, el potencial del otro cuadrante es B= D, 
y % el ángulo de desvío, el par F es igual y de signo contra- 
rio á cuando el potencial C de la aguja es igual al del se- 
eundo cuadrante, esto es, C = B, siendo el potencial 4 del 
primer cuadrante igual á D é igual á £ el nuevo ángulo de 
de desvío, aunque de sentido opuesto al anterior. Esto es: 


SB Cr =D. eparivale MAS 
SSB (1 =D == E par vale = e 


Tercera. En la posieión inicial 4=0, si el potencial de 
la aguja es la media de los potenciales de los cuadrantes, no 
A=+B 

2 


hay desviación. Es decir: si h=o0, C= , se tiene 


O 

La primera de estas tres hipótesis depende de un arreglo 
de la aguja. La práctica demuestra que se puede lograr la 
simetría que supone en el aparato, variando la altura de la 


— 249 — 


aguja y modificando la posición de uno de los cuadranie3 
en los aparatos en que esta corrección se puede efectuar. 

La segunda depende de un arreglo de la posición inicial. 
La experrmentación comprueba también que se puede lograr 
la simetría que supone esta segunda hipótesis, variando el 
cero, mediante la rotación alrededor de un eje vertical, del 
tambor de que pende la aguja. 

Dejemos de momento toda particularidad relativa á estos 
arreglos y vamos ya á introducir en (1) las simplificaciones 
debidas á estas hipótesis. 

Si en (1) se hace B= A, resulta 


== (0 Ti a OE AdO de 0. a 


Debiendo tener lugar esta igualdad para todo valor de A 
y C, no hay más remedio que 


a+2yY+b=0, «00 +BP=0, E=0 (2) 


Y, como éstas deben, á su vez, tener lugar para todo valor 
de 6, se tendrá 


a +2Y1,+0b,=0 a, +, =0 "0 (3) 
do +2Y2 + 0b0,=0 dy + B>=0 Cy 0 (4) 
Antes de introducir en (1) las simplificaciones debidas á la 


la segunda hipótesis, convendremos en que a =0q, — 
NA y =Y1—2 y920?, con lo cual se tendrá: 


C(a +28) +42CD(y +0) +.D*b'= 


A A 


Mas debiendo cumplirse esta igualdad para todo valor de 
C, D y %, se necesita, como antes, que 


— 250 — 


a OA O 


11 HB +2y,=0 (5) 

a VO) 

d, —b3 + 2 (Pz —%,)=0 
de — Pa =0 (6) 

4 —b,=0 | 


De las ecuaciones (3) y (5) se deduce inmediatamente 
Ca= a => 0 a, EB=0 O (a) 
De (4) y (6), análogamente, 

do ===> "¿== =0 (0) 


Los 12 coelicietes ar... VA Aa a) quedan tdetese 
modo reducidos á 3: 4,, 2, y 0». El valor de 2F se convier- 
teJen: 


A a A AO 
AEB). (7) 


Introduciendo aquí la hipotesis tercera, 4, = 2,, y queda 
la fórmula ordinaria: 


A A AO A (AS ES | 


IT. El procedimiento puede aplicarse sin necesidad de 
detener los desarrollos de a...... y en la segunda potencia 
de %. Si se cumplen las dos primeras hipótesis, entre los 
coeficientes de las potencias impares, existirán las relacio- 
nes siguientes: 


Coni = Yan1 = 0, %on-1 Y Bana = 0, Uona + Den = 0. 
Y entre los de las potencias pares, 


lan = Dan = — Yom %2n = Pon = Can =0. 


— 2531 — 
La potencia 21 —2 en la fórmula de 2F será 
(2n—1) (A — B) [0211 (A — 12) = Da E 
y la impar siguiente 


2nayn (A — B)2 9271, 


Por consiguiente, de un modo general, en virtud de las 
dos primeras hipótesis ó simetrías, 


2F=(A—B)[(4 + B) 0, —2C6,] + (A— B)?0,, 


siendo 9, y 6, funciones pares de f y 0, una función impar. 

III. Se ha deducido la fórmula (8) partiendo de las tres 
simetrías ya expuestas. Recíprocamente, la fórmula (8) su- 
pone estas simetrías, y no debe emplearse en todo rigor 
como no se hayan ejecutado los arreglos preliminares que 
colocan al aparato en condiciones de satisfacerlas. 

IV. Hasta aquí se ha prescindido de los potencia- 
es de contacto. Si se quieren tener en cuenta, los po- 
tenciales de la aguja y los cuadrantes serán por ejemplo, 
C+pyA pj, B+Pp,. Veamos, con esta complicación de 
¡os potenciales de contacto, cuál será la fórmula definitiva. 
No aplicaremos la tercera hipótesis, pues no es posible com- 
probarla prácticamente, ya que los potenciales de la aguja y 
de los cuadrantes son desconocidos; los 4, B, C, de los 
cuerpos que se ponen en contacto con la aguja y los cua- 
drantes, son propiamente, ó conocidos, Ó que interesa medir. 
En cambio, las dos primeras hipótesis son igualmente razo- 


nables, tanto si hay como si no hay potenciales de contacto. 
El par será ahora tal, que 


AE o al O as 
NO pa 2 PAE) (CD) 
+2Y (4 + p1)(B + pi). (9) 


Rev. Acab, CieNcIas.—X.—Octubre, 1911. 17 


— 252 — 


La introducción de la primera hipótesis conduce á las 
igualdades (3) y (4). La fórmula á que conduce la segunda, 
por la igualación á cero de los coeficientes C?, D? y CD, dá 
las fórmulas (5) y (6); los términos lineales en C y D, así 
como el término libre, se anulan en virtud de las conse- 
cuencias de 3, 4, 5 y 6, consecuencias expresadas en (a) y 
(b). Por consiguiente, llevando las simplificaciones (a) y (D) 
á (9), se tiene, poniendo para simplificar 20, — 24,p =M, 


2F=(A—B)[a, (AB) + m—2a,C] +2a,(A—B)0(10). 


Esta fórmula contiene cuatro constantes, una de las cua- 
les depende de los potenciales de contacto. Vamos á apli- 
carla á las dos conexiones más empleadas en el uso del 
electrómetro, la cuadrantal y la idiostática. 

V. En la conexión cuadrantal la aguja comunica con el 
potencial C, uno de los cuadrantes con el potencial A y el 
otro está á tierra: B = o. Con esto, 


Ea A E) a AN 


El par eléctrico es equilibrado por el de torsión. Supo- 


niendo que éste es - 0, y llamando f, h, e y 1 álos valores 


de los coeficientes a,, mM, a, y A, divididos por X, el valor 
de la desviación 6, resulta del equilibrrio entre el par de tor- 
sión y el eléctrico. La ecuación de equilibrio es, pues: 


0, [1 — 2148] =A (AF H—28C). (12) 


El ángulo Ú es el giro de la aguja á partir de la posición 
an cs 1 =/0= (00, 

Poniendo ahora la aguja en contacto con el potencial — C, 
y siendo 0, el nuevo ángulo de desvio, 


Bs (1 2:43) A OS) 


— 253 — 


Si el cuadrante que no está á tierra comunica en un tercer 
experimento con el potencial — A, y 0, es el ángulo de des- 
viación, 


0, (1— 214?) =—A(—fA+hR+22C) (14) 
De (12), (13) y (14) se saca 


9 


A O 
0, + 0, i A' 


Ó sea, si A = e, siendo e una constante independiente de 


todo potencial, sea de carga, de medida ó de contacto. 


ad = 28 zo (15) 
0, + 0, A 

La constante e no difiere mucho, prácticamente, de la uni- 
dad. En ausencia de potenciales de contacto, y suponiendo 
válida la tercera hipótesis, es exactamente igual á la unidad. 

VI. El método ordinario de medida supone siete lecturas, 
cuatro estando la aguja en comunicación con un potencial 
elevado C y uno de los cuadrantes con el potencial que se 
busca A, y otras tres estando la aguja en iguales condicio- 
nes y el cuadrante anterior en comunicación con un poten- 
cial conocido. Una de estas siete lecturas es la posición del 
cero. 

Estas siete medidas pueden reducirse á cuatro, poniendo 
la aguja Ó el cuadrante en comunicación con el patrón de 
fuerza electromotriz; pero en este caso, hay que conocer la 
constante e. Para determinarla, si no se tienen dos patrones 
iguales, pueden utilizarse las conexiones siguientes ideadas 
por el Dr. Jardí. Se toman dos series de pilas del mismo nú- 
mero de elementos, como pilas de carga. Sean D, y D, los 
potenciales de sus bornas, estando las otras en comunicación 


— 254 — 


con tierra. Se aplican las medidas que exíge la fórmula 
15, suponiendo primero C =D, y A = D, y después 
C =D, y A = D,. El producto de las fórmulas 15, corres- 
pondientes, dá en su primer miembro 4e?. 

Como á comprobación del arreglo, una vez efectuadas las 
tres lecturas (1, , 9, y 0z, puede efectuarse una cuarta en que 
la aguja comunica con +- C y el cuadrante con — A. Lla- 
mando %, á la nueva desviación, debe verificarse, si el arre- 
glo es correcto, que 


O, +, = la HI. 


VII. En la conexión llamada idiostática, la aguja y uno de 
los cuadrantes comunican con el potencial C, y el otro cua- 
drante está á tierra. La fórmula (12) da en este caso 


A O 


Invirtiendo C, 


0, (1 — 2/0?) = —hC +(f— 2g) C?. 
De donde poniendo q =$—2£, 


qrEs 
0 Do = ————————., 
== Ús O 


Aproximadamente, dada la pequeñez de / 
0, +0, =qC?. 


Los valores de 0, y 6, se diferencian sólo en el término AC. 
Si no hubiera potenciales de contacto, 0, y 9, serían iguales. 

VIII. Se ha deducido la fórmula general 10 y las especia- 
les 15 y 16 de las condiciones de simetría, fundadas en las 
hipótesis primera y segunda. Ahora bien: un electrometro de 


— 2559 — 


cuadrantes dado, ¿satisface á estas condiciones? Fácil es 
ver, en un electrometro cualquiera, que, si la aguja y los 
cuadrantes están de cualquier modo, no se cumple ni una ni 
otra condición. Se necesita un arreglo preliminar, que puede 
hacerse con precisión y facilidad. Se empieza por subir 6 
bajar la aguja, y mover, si es preciso, el cuadrante móvil, 
hasta que, puestos los cuadrantes en comunicación entre sí 
y con varios potenciales —A,o, + A etc., cualquiera que 
sea el potencial 4- C, 0, — C que se dé á la aguja, esta no 
desvíe cuand es llevado el cero á distintas divisiones de la 
escala. A una posición de la aguja inferior ó superior á la 
que debe tener. corresponden desviaciones en sentidos con- 
trarios, cuando viene á cambiar del mismo modo el poten- 
cial de la misma. Prácticamente, basta tener los cuadrantes 
á 0 y cargar la aguja á + C. Esta desvía en un sentido, 
v. gr., á la derecha. Se baja ó sube la aguja de una cantidad 
apreciable, después de haber puesto la aguja á tierra. Si 
la desviación es en sentido contrario, es que se ha pasado 
la posición más favorable. Por tanteo se encuentra facil- 
mente la posición en que no hay desviación. Se procurará 
que la diferecia de potencial entre los cuadrantes y la aguja 
sea la mayor posible. Si el cuadrante móvil se ha dispuesto 
ya con la mayor simetría, al llevar el O de la aguja á otra 
división de la escala, ocurrirá generalmente que tampoco ha- 
brá desviación. Si la hubiere, se modifica la posición del cua- 
drante móvil y se repite el tanteo que dé la posición correcta 
de la aguja. E 

Lograda de este modo la simetría que supone la primera 
hipótesis se procede á lograr la que supone la segunda. Todo 
se reduce á buscar el cero de la aguja, es decir, la graduación 
de la escala que ha de indicar la posición de equilibrio 
A =B = C. Para ello, se cambia la orientación Ó azimut 
del espejo móvil hasta tanto que las desviaciones á la dere- 
bha haciendo '4 = C, B= D sean iguales á las desviacio- 
nes á la izquierda obtenidas haciendo A =D, B=C. 


— 256 — 


Si el electrómetro debe permanecer fijo en un lugar deter- 
minado, basta hacer estos arreglos, así como la determina- 
ción de la constante, sólo de tiempo en tiempo. 

En el laboratorio se ha podido comprobar la facilidad y 
precisión de estos arreglos y del procedimiento, comparan- 
do, v. gr., un patrón Weston y otro Clark. El electrómetro 
usado ha sido uno Mascart. Me ha prestado su valioso con- 
curso en estas medidas mi amigo Dr. Jardí. 

IX. Para terminar, voy á criticar el método de medida 
usado hasta ahora en el Laboratorio de la Universidad. Este 
método no supone más arreglo que el de lograr para C= 0, 
A=B, que la desviación sea nula á partir de A=B=C=o0. 
La posición del espejo en que esto ocurre se toma como la 
que define el cero de la escala de desviaciones. Los cuadran- 
tes se regulan á ojo, así como la altura de la aguja. Sólo 
varía en el tanteo el azimut del espejo. Siendo un arreglo 
para Ú =0, la simetría introducida no modificará en nada los 
términos dependientes de 6 en el valor de F. 

Por consiguiente, no los tendré en cuenta desde luego. 
La simetría introducida impone á la fórmula (9) la única 
condición 


A NO 
luego 


A A A Y (CD 
+ (a, +01) (A+ pj (B + p) + 2P,(4 +p)(C, +p) + 
2 MB CO) 


El método de medida responde á las cuatro medidas del 
siguiente esquema 


adri A — A 
Enadramte e — A + A 
Astana: del == E 6 
Desviación...... 0,, 0, OSRgñ 


— 257 — 


Substituyendo valores, y siendo K la constante de tor- 
sión, resulta 


SC 
9, +0, — (0, + 03) = E |». Pp, — ay A. 


Si se prescinde de p, el prlmer miembro es proporcional 
al producto CA. Esto es lo que se supone prácticamente. 
Pero, como se ve, con esta hipótesis se prescinde del par 
eléctrico función de * y del potencial de contacto. 


= 210 = 


XII.—A puntes sobre Mecánica social. 


Por ANTONIO PORTUONDO Y BARCELÓ. 


11 


Para intentar más adelante la exposición teórica de los 
Principios y Teoremas de Estática social y de Dinámica so- 
cial, aplicando los de la Mecénica racional á los indivíduos 
y á las agrupaciones sociales, es indispensable recordar al- 
gunas nociones é ideas preliminares de la ciencia del movi- 
miento y de las fuerzas. 

Se sabe que la idea de movimiento es esencialmente re- 
lativa, y arranca de la experiencia muy antigua del hombre 
por los movimientos de los cuerpos con relación á su propio 
cuerpo (*). Pero Newton partió de la noción abstracta y me- 
tafísica de lo que él llamaba tiempo absoluto ó matemático, 
como transcurriendo siempre del mismo modo; y de la noción 
—+también abstracta y metafísica —-de espacio absoluto, que 
permanece siempre como inmóvil y semejante á sí mismo. 

Estas nociones, y la consiguiente del movimiento abso- 
luto, aunque careciendo de toda significación real, sirvieron 
á Newton de base para sus deduccione3 matemáticas, y para 
explicar el encadenamiento en la dependencia mutua de los 
fenómenos mecánicos. Así Galileo y Newton constituyeron 
definitivamente la Mecánica como Ciencia. Sea lo que fuere 
de esas nociones metafísicas sobre las cuales nos abstene- 


(*) Piensan algunos que la creencia en el movimiento absoluto 
proviene de haberse fijado hereditariamente, á través de millares de 
generaciones aquella idea de movimiento, que ha tomado así el as- 
pecto de absoluto. Los que así piensan aplican idéntica considera- 
ción á todas las nociones que el hombre tiene hoy como absolutas. 


— 259 = 


mos de filosofar, nos expresaremos por medio de ellas, 
como se expresa todo el mundo. 

- En la exposición newtoniana de la Mecánica, después de 
adoptar como base esas nociones, se admite como primer 
Principio el de la inercia, por el cual se afirma que, si no 
hubiera fuerza alguna, un punto material permanecería en 
reposo eternamente, ó se movería en el espacio absotuto 
uniformemente y en línea recta indefinida (*). Si como he- 
cho físico, se observa que un punto pasa del reposo al mo- 
vimiento, ó se observa que existe alguna aceleración en el 
movimiento de un punto, es lógico inferir de ese hecho la 
existencia de alguna acción exterior que lo produce, y se 
llama fuerza. Por esto se dice, con razón, que la fuerza es 
una abstracción á que se llega por una inferencia lógica, si 
se admite el principio de la inercia (**). La hipótesis de la 


(*) La inercia debe de ser vista como Postulado que se retiere 
al punto material y no á los cuerpos; porque en éstos hay ya fuerzas 
interiores que están ejerciendo su acción, por pequeño que sea el 
cuerpo que se quiera concebir. Hay que admitir el principio de la 
inercia para la pura abstracción del punto material, de que parte la 
Mecánica racional. Hay quienes rechazan el principio de la inercia, 
porque supone las nociones m-tafísicas del espacio y del tiempo ab- 
solutos, que no son admisibles; y estudian la exposición de algunas 
leyes mecánicas sin el principio de la inercia. Ya dijimos en la /ntro- 
ducción que para la aplicación á los asuntos de carácter social segui- 
ríamos el camino trillado de los cursos elementales de lá Mecánica 
racional clásica. 

(*) A propósito de la noción de fuerza, son de recordar las pala - 
bras de Cournot: «si el hombre no tuviera conciencia de su propio 
estuerzo (por el sentido muscular), el espectáculo de la Naturaleza 
habría podido despertar en él las nociones de espacio, de tiempo y 
otras; pero no la de fuerza». 

Sobre la génesis de la noción de espacio, Poincaré dice á su vez; 
«para un ser completamente inmóvil, no habría espacio; en vano se 
moverían á su alrededor los objetos exteriores; las variaciones que 
él notara en sus impresiones propias no serían atribuidas por ese ser 
á cambios de posición, sino á simples cambios de estado, porque él 
no tendría medio alguno de distinguir esas dos especies de cam- 
bios; esta distinción — capital para nosotros — carecería de sentido 
para él». 


— 260 — 


existencia de la fuerza envuelve, como se ve, algo que trans- 
ciende del hecho mismo; y cuando en la Mecánica racional 
se hace la hipótesis para la acción á distancia, se introduce 
además algo que parece repugnar al sentido común. Para 
las aplicaciones en las ciencias físicas, el éter salva esta re- 
puenancia; pero para la pura Mecánica racional se puede 
perfectamente amitir la acción á distancia como un símbolo, 
según dice Echegaray. 

No es cosa de nuestro tiempo modernísimo el escrúpulo 
sobre las acciones á distancia, porque al mismo Newton (al 
introducirlas en la ciencia) le parecía absurdo que un cuerpo 
pudiera actuar sobre otro á través de un espacio vacío, sin 
intermediario. Newton desistió de hacer hipótesis para expli- 
car el fenómeno de la gravitación universal; y por eso dijo cla- 
ra yterminantemente queél no habíaencontrado laexplicación 
del fenómeno. El no se ocupó en especulaciones sobre las 
causas ocultas, ni sobre el origen de las acciones mutuas en 
razón inversa del cuadrado de las distancias. Trató de exa- 
minar los fenómenos del movimiento tales como aparecen, y 
vió cómo se podrian realizar los hechos, dejando á un lado 
el por qué (*). 

Pasando á otra noción, recordemos que se define la masa 
m de un punto material como la relación de la fuerza á la 


no ES A ae 
aceleración m= ——; es decir, como un coeficiente cons- 


tante de capacidad para el movimiento de ese punto material. 
Aunque Newton para designar la masa de cada punto ma- 
terial, hablara de cantidad de materia, lo cual (así dicho) no 
significa nada, él vió y señaló claramente la constante que 


(+) El concepto metafísico de causa no conduce á nada en las 
ciencias positivas. Estas lo reemplazan -como dice Mach—por el 
concepto matem:tico de función, la cual expresa simplemente la de- 
pendencia recíp oca de los elementos que intervienen en los fenó- 
menos. 


O 


hay en cada punto material para los efectos del movimiento. 
Invirtiendo la definición de masa, se dice que la magnitud 
de la fuerza es el producto de la masa m por la acelera- 
can (1 =m..J.) 

El profesor Ernst Mach insiste mucho en su Mecánica en 
que la noción de masa—como característica determinante 
para el movimiento —debe de arrancar del hecho de expe- 
riencia, de que dos cuerpos libres A y B, sometidos sola- 
mente á su acción mutua, se comunican aceleraciones opues- 
tas, que pueden ser iguales ó diferentes. En el primer caso 
se dice que A y B son de la misma masa, y así queda defi- 
nida la igualdad de dos masas; en el segundo caso, se dice 
que el cuerpo B es de masa m (si se adopta como unidad la 
del cuerpo A), cuando la aceleración que reciba A es m veces 
la que reciba B. De aquí pasa después— para cualquier uni- 
dad ó término de comparación —á que la relación de masas 
es la relación inversa de las aceleraciones producidas en uno 
y otro cuerpo por su acción mutua. Y se ve que, decir 


m Me o 00 
que =-=— , conduce á afirmar que m7]= m'J”, que 
m 


es el principio de la igualdad de las fuerzas de acción y re- 
acción (de que hablaremos más adelante), si al producto m / 
se le llama fuerza. 

Si se dice que la dirección y el sentido de la fuerza son la 
dirección y el sentido de la aceleración, y se llama punto de 
aplicación al punto mismo que se mueve, se ve que la fuer- 
za debe de ser mirada, para el estudio, como un vector lo- 
calizado en el punto; y se establece la regla del paralelógra- 
mo para la composición de dos fuerzas como vectores, ge- 
neralizándola después para la composición de muchas 
fuerzas. 

Recordados estos primeros pasos para la constitución de 
la Mecánica como Ciencia, vengamos ya á nuestro intento, y 
pensemos en un solo individuo y en un asunto cualquiera de 
carácter social. Sea un instante como instante inicial para el 


AS 


transcurso del tiempo, y consideremos lo que hemos llamado 
la posición en el asunto en ese instante. Esta posición se 
llamará posición inicial del individuo. Si primeramente — 
para simplificar—concebimos á éste en reposo en su posi- 
ción inicial, y admitimos el principio de la inercia, y vemos 
que la posición en el asunto se modifica, inferimos la exis- 
tencia de alguna acción exterior al individuo, que influyen- 
do sobre él, ha determinado el cambio ó modificación de su 
posición en el asunto (*). La acción ó las acciones de alcan- 
ce psíquico son las que llamaremos fuerzas. Cuando se re- 
lacionen á un asunto de carácter social, al cual se refiera la 
posición del individuo, diremos que esas fuerzas psíquicas 
desempeñan el papel de fuerzas sociales. 

Cualquiera que sea el origen de una acción que se ejerza 
sobre el individuo, aunque sea puramente físico, y aunque 
brote del interior del cuerpo del individuo, de sus órganos 
mismos, diremos que la acción que se ejerza obra como una 
fuerza psíquica, desde el momento en que admitimos que 


(*) En la Primera parte de la Dinámica examinaremos cómo el 
Principio de la inercia podría ser admitido para la pura abstracción 
del individuo en un asunto, y explicaremos el sentido que damos á la 
palabra exterior. 

Habremos de justificar entonces la asimilación del individuo al 
punto material, y habremos de sentar como admisibles para el indi- 
viduo los tres postulados de la Mecánica. Con esto nos parecerá ya 
estar autorizados á traducir las proposiciones de la Mecánica rocio- 
nal, puesto que se podrían repetir los razonamientos que se hacen en 
esta Ciencia. Lo que haremos no será— así me parece—un simple 
juego de palabras para calcar las proposiciones de la Mecánica ra- 
cional, poniendo fuerza psíquica donde diga fuerza física, individuo 
por punto material, un asunto social por el espacio, etc. En las oca- 
siones en que lo creamos indispensable (para la claridad), repetire- 
mos los razonamientos para establecer las proposiciones de la Mecá- 
nica social; pero como se necesitaría un Tratado completo para re- 
producir el de Mecánica racional, nos limitaremos á meras indicacio- 
nes en estos Apuntes. 


— 263 — 


determina el efecto psíquico de influir en la posición psíqui- 
ca del individuo en el asunto. 

Corresponde á la Psicología general el análisis de estos 
procesos en que nosotros no hemos de ocuparnos. 

En ciertas circunstancias podrán predominar las influen- 
cias que vienen del medio ambiente externo, físico Ó psíqui- 
co; y en otras, las que proceden del medio embiente inter- 
no, digámoslo así, El profesor americano Baldwin ve unas 
ú otras fuerzas, como actuando sobre dos polos distintos 
desde la niñez, y contribuyendo unas y otras fuerzas á las 
modificaciones psíquicas del individuo. 

Según Baldwin, el proceso se sigue como en círculo; pri- 
mero por la acción de las fuerzas del exterior sobre el polo 
receptivo ó imitativo del niño, y luego por la acción de las 
fuerzas de lo interior sobre su polo activo ó agresivo, según 
la expresión de Baldwin. Pero todo esto es ajeno á nuestras 
especulaciones mecánicas. Nosotros veremos unas y otras 
fuerzas actuando en un instante dado según las mismas le- 
yes, como explicaremos más adelante. Las fuerzas que pro- 
ceden del medio ambiente interno de un individao, no se 
ven tan claramente como las que vienen de lo exterior como 
sugestiones; y parece que nos manifestamos como árbitros 
de nuestras propias acciones. Quizá esto se deba simple- 
mente al hecho de que esas fuerzas emanan de nuestro pro- 
pio interior, fisiológico ó psíquico. Prescindimos de todas 
las cuestiones que puedan suscitarse acerca de si tales Ó 
cuales influencias merecen Ó no merecen tal ó cual nombre 
y si su estudio corresponde á tal ó cual ciencia. 

Siguiendo nuestra exposición, diremos que el individuo— 
asimilado á un punto material —será considerado como el 
punto de aplicación de la fuerza. 

Si se trata de una sola fuerza, y el individuo está en repo- 
so en su posición inicial, la dirección y el sentido del movi- 
miento de modificación que se inicie, se atribuyen á la fuer- 
za; y así diremos que esa es la dirección y ese el sentido de 


— 264 — 


la fuerza psíquica. Son éstas las mismas idénticas abstrac- 
ciones hipotéticas que sirven de punto de partida á la Mecd- 
nica racional clásica. 

No se olvide que siempre que decimos fuerzas psíquicas 
entendemos referirnos á las fuerzas de muy variados géne- 
ros que actúan por intermedio de las psiquis individuates, 
ó las que producen, como quiera que sea, un efecto psíqui- 
co. Usamos este calificativo como contrapuesto á físico para 
distinguir esas fuerzas de otras como la gravitación, la de 
cohesión ó de elasticidad, la de afinidad química, etc., que 
influyen en los fenómenos de movimientos (en el espa- 
cio) de los cuerpos materiales, ejerciendo sus acciones 
físicas. | 

Para establecer el segundo principio de la Mecánica y tra- 
tar el problema dinámico de las fuerzas actuando sobre un 
individuo en estado de movimiento, será indispensable fijar 
antes los conceptos de velocidad y de aceleración en el mo- 
vimiento de un individuo. Entonces podremos definir tam- 
bién la masa de cada individuo para un determinado asun- 
to, como un coeficiente de capacidad de ese individuo para 
modificarse en el asunto que se considere, á semejanza de lo 
que hemos recordado sobre la masa de un punto material, 
es decir, como una relación de la fuerza á la aceleración. No 
podemos decir más en estos Preliminares, reservando la 
explicación de ello para la Primera Parte de la Dinámica. 

En la Mecánica racional se admite el principio de la ¿eual- 
dad de la acción y de la reacción en la dirección de la recta 
que une dos puntos materiales y en sentidos opuestos — sean 
atractivas Ó repulsivas.—De este principio se desprende que 
la relación Le de las masas de dos puntos materiales es la 
inversa de la relación de las aceleraciones que la fuerza de 


Y 


acción mutua produciría en el uno y en el otro np puesto 


que en el uno y en el otro — siendo iguales las fuerzas de 


— 265 — 


acción y de reacción -— el producto m/J es igual al producto 
e). 

- Admitiendo este principio para las acciones y reacciones 
sociales, se podría decir igualmente: que cuando un indivi- 
duo ó elemento social reciba la acicón de una fuerza, reac- 
cionará con igual intensidad en sentido opuesto. Si se con- 
sideran la acción y la reacción entre dos individuos ó ele- 
mentos, se comprende que los efectos de cambio en el esta- 
do de movimiento que se produzcan en el uno y en el otro 
por esa acción y reacción mutua, serán muy diferentes, si 
las masas para el asunto de los dos individuos ó elementos 
lo son, toda vez que esos cambios en su estado han de ser 
en razón inversa de las masas. Por esto, el individuo ó ele- 
mento social dotado de gran niasa, es decir, de poca capa- 
cidad para modificación en ese asunto (relativamente á la 
que tenga el individuo ó elemento sobre quien actúe, y de 
quien reciba la reacción) sufrirá relativamente pequeña mo- 
dificación en su estado. 


(+) Se ha hecho notar por algunos que al aplicar esta propiedad 
á la acción de la gravedad se comprueba que la relación de las ma- 


sas de dos cuerpos A y B, es decir OS igual á la de sus pesos pi 
m 4 P , 


porque siendo una misma £ la aceleración de los movimientos de 
caída de los dos cuerpos A y B, al pensar en la acción y reacción del 


] 


cuerpo A con la Tierra (de masa M), se tiene: 0 ==; y al pen- 
g 
sar en la acción y reacción del cuerpo B con la Tierra, se tiene: 
m/ JE 
M 2” 
: m J z 
Y de aquí se deduce que — Day pero como / y J” son acelera- 
m! / 


ctones de la Tierra, debidas, por una parte, á la fuerza de reacción 
p del cuerpo A, y por otra á la fuerza de reacción p' del cuerpo B, la 


relación Je es igual á la de estas fuerzas P. y por tanto = = Z 
] p' Hp, 


como debía de ser por las definiciones mismas. 


— 266 — 


Cuando hayamos de considerar, no ya un sólo individuo, 
sino una agrupación social, deberemos de pensar que las 
fuerzas que ejercen su acción sobre un individuo ó elemen- 
to cualquiera de la agrupación, pueden emanar de algo ex 
terior á ella, ó del interior de la agrupación misma. Las pri- 
meras se llaman fuerzas exteriores; las segundas fuerzas /n- 
teriores. Estas aparecen siempre conjugadas dos á dos, en 
virtud del principio de la acción y la reacción. A este con- 
junto de acciones y reacciones mutuas contribuyen todos los 
individuos y elementos de la agrupación social. Si éstos son 
conscientes de ello, el movimiento ó el equilibrio social se 
realiza con conciencia; pero eso no nos interesa aquí. 

Tampoco á la Mecánica social —tal como la concebimos— 
le importa desentrañar los caracteres y la naturaleza especí- 
fica de las acciones que obren sobre los individuos y ele- 
mentos, ni los caracteres psicológicos de los individuos óÓ 
elementos de quienes emanen fuerzas. A la Mecánica le 
bastaría conocer los puntos de aplicación, las direcciones y 
sentidos, y las intensidades de las fuerzas. (+). 

Cuando queramos darnos cuenta de lo que es primeramen- 
te en cada individuo la actividad psíquica, pensemos que se 
halla solicitado—en un instante dado-—por muy varias im- 
presiones (sean sensaciones ó representaciones de diversos 
géneros) que son provocadas en él por excitaciones síimultá- 
neas de origen externo ó interno. De todas estas acciones 
desempeñarán para nosotros el papel de fuerzas psíquicas 
que obran efectivamente, aquellas impresiones que se impon- 


(*) Nos parece hoy aspiración irrealizable la de medir esas in- 
tensidades, por lo cual nuestro intento es meramente especulativo, sin 
aplicación posible hoy. Pero si algún día se pudiera hacer la medición 
de las fuerzas psíquicas por procedimientos que sugiriese la Psico- 
logía experimental; y se pudiera además determinar de un modo pre- 
ciso las posiciones en un instante dado de los individuos y de los va- 
rios elementos de una Sociedad, parece que la Mecánica social po- 
dría quedar constituída científicamente. 


— 261 — 


gan de tal modo que el individuo atienda á ellas, y las per- 
ciba. | 

Unas veces será debida la atención á la novedad de la im- 
presión; otras veces á la nota sentimental que la acompañe; 
otras á la analogía que tenga con lo que ocupe la conciencia 
del individuo en ese instante, etc. Podría decirse en general 
que la atención recaerá sobre aquellas impresiones que el in- 
dividuo acoja con mayor interés, cualquiera que sea la ra- 
zÓón para ello. 

Pues bien, á estas impresiones efectivamente percibidas y 
á las representaciones de diversos géneros que se unan á 
ellas se referirán las fuerzas psíquicas que habremos de con- 
siderar en estos Apuntes. Su intensidad no dependerá tan 
sólo de la magnitud—para decirlo asi—del excitante (físico 
ó psíquico, externo ó interno por su origen), sino también 
de la disposición de ánimo en que se halle el individuo ó el 
elemento social sobre quien actúe en el instante que se con- 
sidere. (+). 

Conviene, por todo esto, advertir que no basta que ema- 
ne de un individuo ó elemento social una iniciativa para que 
ésta deba ser considerada como una fuerza por el sólo he- 
cho de existir, sino que es necesario que obre para moditfi- 
cación. Es de notar, además, que el carácter psíquico, asi de 
la iniciativa como de su acción ejercida, reclama cierta adap- 
tación del individuo ó elemento social de quien emane, á los 
individuos y elementos sobre quienes se ejerza, para que sea 
una fuerza efectiva. Y así lo comprueba la observación, por- 
que hay, por ejemplo, períodos en la vida de algunos pue- 


(*) Veremos más adelante que al tratar de un determinado asun- 
to—quizá se pudiera llevar esa disposición de ánimo á ser mirada 
como una constante, si se pudiera llevar la influencia de su variabili- 
dad á ser expresada en cada caso por medio de un coeficiente de co- 
rrección que afectara á la magnitud del excitante. Pero ya hemos 
dicho que nos parecen irrealizables hoy estas aspiraciones. 


REV. ACAD. DE CIENCIAS.— X.— Octubre, Tg1r, 18 


— 208 -- 


blos en que las iniciativas de ciertos individuos ó elementos 
(desempeñando el papel de fuerzas sociales), operan pro- 
fundas modificaciones porque son adecuadas al estado de la 
agrupación social; y en otros pueblos (siendo análogas, al 
parecer, las circunstancias) las iniciativas para producir mo- 
dificaciones, no logran desempeñar el verdadero papel de 
fuerzas en la Mecánica social, por no ser dichas iniciativas 
adecuadas al estado de la agrupación (*). 

Para la Mecánica es indiferente el motivo á que se deba 
esa falta de adaptación. Bastaría que se diera como un he- 
cho, para que las iniciativas hubieran de ser consideradas 
como nulas para su efecto mecánico. Si por la escritura Ó 
por cualquier otro procedimiento, cuando se trata de ideas 
éstas fueran conservadas para los tiempos futuros, podrían 
tal vez llegar á ser fuerzas efectivas en otra época posterior, 
aun no viviendo ya el individuo de quien emanaron. 


() Al tratar D. Francisco Giner de la acción social de las perso- 
nalidades poderosas, dice, de acuerdo con otros escritores: «Por 
grandes que sean sus facultades, nunca habrían ejercido esa acción, 
sino en una Sociedad dispuesta para ella; esto es, cuyas condiciones 
se encontrasen en determinada conexión con las de su individualidad» 

Mr. James Mark Baldwin indica que «el genio, que de hecho no 
fuera comprendido por la Sociedad en que vive, no sería para ésta 
una fuerza efectiva». 

Y así habría de ser necesariamente. Si no fuera entendido, no po- 
dría ser atendido, y no podría, por tanto, ejercer influencia. 

Pero debe de notarse que, en general, los hombres extraordina- 
rios á que se refieren estos escritores, no podrían inversamente apa- 
recer, sino apoyados en un estado social adecuado para su aparición; 
es decir, que los genios son á su vez un producto de la raza, de la 
época, etc ; es decir, de la Sociedad en la cual nacen, como dijo 
Spencer. : 


— 269 — 


111 


Es forzoso decir algo en estos Preliminares sobre los sis- 
temas de referencia, y sobre la medición de las cantidades 
fundamentales y de las cantidades derivadas de ellas, que 
aparecen en la Mecánica racional, á tin de poner de re- 
lieve las grandísimas dificultades que aquellas cuestiones 
ofrecen. 

Cuando en la Mecánica racional se dice que un punto está, 
en un instante dado, en una posición en el espacio, y tiene 
en ella una cierta velocidad y una cierta aceleración, se so- 
breentiende siempre: 

1.2 Que la posición en el espacio ha sido referida á al- 
gún sistema geométrico fijo en el espacio absoluto, ó al me- 
nos cencebido cono fijo. Y que la determinación de esa po- 
sición se hace según el número de dimensiones, mediante 
las magnitudes coordenadas — que se necesitan en igual nú- 
mero que las dimensiones—, con sus correspondientes 
signos; 

2.” Que el instante en el tiempo ha sido también refe- 
rido á un instante fijo en el tiempo absoluto, ó al menos con- 
cebido como fijo. Y que la determinación de aquel instante 
se hace, por ser una dimensión, mediante la magnitud de 
tiempo, que es una coordenada con su correspondiente 
signo; 

3. Que adoptadas ciertas unidades para la medición de 
las magnitudes en el espacio (1.”) y en el tiempo (2.”), es- 
tas mismas unidades sirven y se usan para la medición de 
los incrementos que, así en el espacio como en el tiempo, 
se emplean para llegar á los conceptos y mediciones, tanto 
de la velocidad como de la aceleración en un instante. 

El carácter puramente teórico de la Mecánica racional 
exige tan sólo que se suponga haber sido elegidos los siste- 


— 210 — 


mas fijos de referencia en el espacio y en el tiempo, sin que 
sea necesario concretarlos, lo cual, por otra parte, sería in- 
asequible. 

Ahora bien; lo que con la noción de tiempo se hace en 
nuestro espiritu, ajeno á todo reparo filosófico, tanto para la 
concepción del instante como para la medición de un inter- 
valo de tiempo, lo aceptamos aquí desde luego, tal y como 
se acepta al emprender el estudio de la Cinemática (y des- 
pués el de toda la Mecánica racional clásica), cualesquiera 
que sean las dificultades que entrañe. 

Nada nuevo ni distinto se presenta aquí. 

Lo que—desligados de las lucubraciones de profundos 
pensadores — hacemos en nuestro espíritu con la noción del 
espacio en general, con el concepto de punto geométrico y 
con las magnitudes geométricas, había sido aceptado ya al 
dar los primeros pasos en la Geometría, sin parar mientes 
tampoco en las objeciones que podían presentarse. Pero 
aquí, en estos Apuntes, no se trata ya del espacio. En vez 
del espacio tenemos un asunto, y esto es algo psíquico; y lo 
que hemos llamado posición en un asunto, es un compuesto 
psíquico de todos los residuos de conocimientos, de senti- 
mientos, de voliciones, etc., del individuo ó del elemento 
social. ¿Cómo definirla en un instante dado? Desde luego 
se piensa que habrí? de ser referida esa posición á algo que 
pudiera concebirse como fijo, es decir, como constante co- 
nocido; y ocurre admitir que retrogradando hasta la entrada 
del individuo en la vida externa, cuando fueran nulos sus 
conocimientos, sentimientos, etc., es decir, retrogradando 
hasta el nacimiento del individuo, se podría tener un punto 
de referencia para su posición en un asunto cualquiera. La 
posición en un instante cualquiera de una agrupación social 
en un asunto, habría de ser así determinada por referencia 
también al nacimiento — como si dijéramos — de esa agrupa- 
ción, cuando todas las notas psíquicas que intervienen en 
la posición de sus individuos y elementos sociales, brotaran 


— 211 — 


(por decirlo así) con carácter social; aunque ya se compren- 
de que sería sumamente difícil, por no decir imposible, se- 
ñalar concretamente el instante en que nace una agrupación 
social, para adoptarlo como punto de referencia. 

La suma de conocimientos que un individuo posee acerca 
de un asunto en un instante dado, referido á los conocimien- 
tos nulos que tuvo al nacer, se ha formado sucesivamente por 
integración de incrementos; y lo mismo podría decirse de las 
demás notas psíquicas conscientes é inconscientes que inter- 
vengan en la posición del individuo en el asunto. Se habrían 
de requerir varias magnitudes coordenadas psíquicas —como 
si dijéramos — que correspondiesen á todas esas notas, que 
serían como otras tantas dimensiones. Para ello se habría 
de adoptar una serie de unidades, á las cuales se refiriesen 
esas magnitudes, y tener así la serie de números de medida 
correspondientes. Después, habría que ver una combina- 
ción que fuera como suma ó conjunto de productos, porque 
habría de multiplicarse el patrón unidad de cada nota psíqui- 
ca por el número que le correspondiera en el individuo que 
se considerase. Creo haber dicho anteriormente que es difi- 
cilísimo —por no decir imposible —en el estado actual de 
nuestros conocimientos, señalar cuántas y cuáles sean las 
notas psíquicas conscientes é inconscientes que intervienen 
en lo que hemos llamado /a posición del individuo en un 
asunto; y añado ahora que es más difícil aún determinar la 
manera cómo se compenetren, influyendo y refluyendo mu- 
tuamente unas sobre otras en el mismo individuo. ¿Pero 
cómo adoptar la unidad ó patrón que se necesitaria para 
cada especie de magnitud, ó sea en cada dimensión? Si pen- 
samos—por ejemplo —en la suma de muy variados co- 
nocimientos acerca de un asunto que el individuo posee 
en una posición dada, ¿cómo concebir una unidad de co- 
nocimiento para medirla? Pero además —y esdificultad más 
grave todavía — ¿cómo definir con algún rigor la igualdad 
de dos conocimientos para poder llegar á los números por 


= 22 — 


el proceso matemático de medición? Iguales Ó mayores di- 
ficultades se ofrecerían para todas las dimensiones, es decir, 
los sentimientos, voliciones, etc. (*). Todas estas gravísimas 
para dificultades se nos presentan como insuperables hoy. 
No viendo modo de salvarlas las cortaremos, suponiendo: 

1.2 Que se afecte al individuo de un parámetro simbólico 
que compendie en sí todo lo psíquico y lo inconsciente que 
intervenga para su posición en el asunto de que se trate; 

2.2 Que ese parámetro tenga, para cada instante, un va- 
lor de su expresión compleja, que corresponda á los valores 
de todas las magnitudes coordenadas de que hemos ha- 
blado; y 

3. Que el paso de un valor de ese parámetro á otro 
valor muy próximo, en el mismo individuo, durante un in- 
tervalo de tiempo muy pequeño, marque en el orden psiqui- 
co una dirección y un sentido, determinados por las dimen- 
siones que hayan cambiado muy poco en la expresión com- 
pleja del parámetro. 

Habremos de suponer que el incremento de ese paráme- 
tro (definidor de la posición) fuera medible, es decir, que se 
pudiera representar numéricamente. No podemos dejar de 
pensar que por los progresos de la Psicología, y mediante 
las relaciones existentes entre las varias notas psíquicas que 
constituyan la posición del individuo, pudieran ser algún día 
reducidas unas á otras, y así no habría tantas variables inde- 
pendientes como notas psiquicas ó dimensiones. Si fuera n 
el número de notas ó dimensiones psíquicas, y suponemos 
que se descubrieran n—1 ecuaciones de relación entre ellas, 
estarían determinadas n—1 en función de la n.fsima; y cono- 
cida esta última en función del tiempo, quedarían conocidas 
todas. El parámetro sería—en tal supuesto — una función de 
esa n.ésima dimensión psiquica—ó ésta sería una función in- 


(*) Ya veremos en la Cinemática cómo se procede aproximada- 
mente por las medias en los Laboratorios de Psicología experimental. 


— 213 — 


versa del parámetro—con lo cual las demás notas se podrían 
expresar ya en funciones distintas del parámetro. Quizá no 
sean más que tres las dimensiones psíquicas, y se refieran á 
la voluntad (voliciones), á la intelectualidad (representacio- 
nes) y á la sentimentalidad (sentimientos). Es sabido que 
los Psicólogos trabajan incesantemente en descubrir las rela- 
ciones entre ellas. El parámetro que hemos admitido (para 
cortar las dificultades) habría de ser mirado en definitiva 
como una función continua del tiempo, que permitiera acep- 
tar las tres hipótesis dichas. Según éstas, el incremento 
infinitamente pequeño del parámetro habría de tener por 
factor escalar su valor numérico, y además corresponde- 
ría á una dirección y sentido psíquicos, con lo cual se vería 
ese incremento infinitamente pequeño del parámetro como 
si fuera una cantidad vectorial psíquica, con sus tres atri- 
butos de magnitud, duección y sentido; pero estos dos 
últimos atributos de la dirección y el sentido se refieren á 
orientaciones, no en el espacio, sino en el asunto social de 
que se trate. Extendemos así á lo psíquico la noción de los 
vectores espaciales usados en los estudios matemáticos; y el 
vector matemático se debería de pensar como simbolo geo- 
métrico del vector psíquico de que hablamos. El parámetro 
sería una representación simbólica, y después la combina- 
ción lógica de los simbolos podría ser quizá — como ha 
dicho mi maestro el insigne Echegaray — el símbolo de la 
combinación real de los fenómenos. A pesar de la dificultad 
de este símbolo (en un mundo imaginario de tantas dimen- 
siones psíquicas), que parece violento y arbitrario, sigo ade- 
lante en mi empeño, recordando otro pasaje de Echegaray, 
que transcribo: 

«La inteligencia humana puede forjar y tiene derecho á 
forjar un mundo á su capricho, con tal que lo defina de tal 
suerte que en el contenido de ese mundo imaginativo no 
exista ni imposibilidad ni contradicción lógica; y por lo tanto, 
ese mundo deberá de estar sujeto á las leyes de las Matemá- 


— 2/4 — 


ticas, porque á ellas está sujeta la razón humana, en cuanto 
es razón humana. 

Y Juego puede aplicar ese mundo imaginario al mundo 
real, y ver si ambos se ajustan, y si las combinaciones del 
primero representan y — aun más — si pueden prever reali- 
dades del segundo; y en este caso, aunque el mundo de la 
imaginación haya sido formado arbitrariamente, no podrá 
negarse que es una especie de símbolo de la Naturaleza con 
todas las ventajas, aunque con todos los inconvenientes, del 
simbolismo.» 

Mediante las suposiciones que preceden, admitiremos que 
el movimiento elemental de modificación de cada individuo 
y de cada elemento social se realiza — durante un intervalo 
de tiempo muy pequeño — en una direcci'n y en un sen- 
tido determinados; y que la magnitud del cambio muy pe- 
queño de la posición en el asunto se pueda medir por el in- 
cremento muy pequeño del parámetro, que por modo com- 
plejo simbolice la posición y la defina. 

Es claro que, mediante esa hipótesis, no se intenta ex- 
presar con un símbolo la realidad, tal como ella sea, y en 
toda su complejidad. Ya se ve que todo cuanto digamos, 
apoyándonos en esa hipótesis, no podrá ser considerado 
sino como una primera aproximación. No creemos, sin em- 
bargo, llegar á conclusiones absurdas ni contradictorias al 
traducir—para los fenómenos sociales humanos —lo que en- 
contremos escrito en el lenguaje matemático de la Mecánica 
racional. Pretendemos llegar á las conclusiones por razona- 
mientos que permitan la extensión á lo mecánico-social de 
la Mecánica racional, y esto con todo género de salvedades, 
pues ya dijimos desde la Introducción, que en estos Apuntes 
no se habría de encontrar un trabajo de rigurosa ciencia po- 
sitiva (*). 


(*) El lector habrá visto, por todo lo dicho en estos Preliminares, 
que nosotros prescindimos de las delicadísimas cuestiones acerca de 


— 215 — 


Importa mucho, sin embargo, resolver una dificultad que 
parece cerrar el paso á nuestro intento de extender á los fe- 
nómenos sociales (en su aspecto mecánico) las leyes de la 
Mecánica racional. La dificultad consiste en que si los Postu- 
lados de ésta y todos sus Teoremas son para nuestro espa- 
cio de tres dimensiones, y se expresan por medio de ellas, 
¿cómo es concebible su aplicación á movimientos —(cambios 
de posición psíquica) que no tienen lugar—que no se reali- 
zan en el espacio de tres dimensiones, y que han de expre- 
sarse por medio de un gran número de dimensiones psí- 
quicas? 

Concretemos la dificultad. Se determina, por ejemplo la po- 
sición de un punto en el espacio por tres cordenadas—su- 
puestos fijos los elementos de referencia —y esas tres coor- 
denadas son funciones continuas del tiempo si el punto está 
en movimiento; ¿cómo aplicar esto al movimiento de un in- 
dividuo en un asunto tal como se ha definido? 

Además. Si las velocidades y las aceleraciones y las fuer- 
zas, por ejemplo, son pensadas y definidas en la Mecánica ra- 
cional como vectores espaciales con sus atributos, es en 
nuestro espacio de tres dimensiones donde se las piensa y 
se las define; ¿cómo aplicar estos conceptos al mundo psí- 
quico, á lo que no puede estar en el espacio, ni definirse 
por medio de nuestras tres dimensiones? 

Examinemos la dificultad respecto á las posiciones de un 
punto en el espacio, y de un individuo en un asunto. Nos 
parece que se resuelve sin violencia, pensando que si bien 


la posibilidad ó imposibilidad de que un estado psíquico ó una fuerza 
psíquica sean magnitudes sin ser extensas, es decir, sin tener rela- 
ción alguna con el espacio. Ya se ha visto que la noción de magnitud 
la aplicamos á lo psíquico, como si pensáramos en el espacio; y para 
ello usamos el lenguaje ordinario del sentido común y corriente, sin 
entrar para nada en las disquisiciones de Filosofía psicológica como 
las del eminente filósofo Bergson, según las cuales, son puras ilusio- 
nes de la conciencia tales magnitudes. 


— 216 — 


la posición del punto depende de sus tres coordenadas, po- 
demos concebir que cada una de éstas dependa á su vez de 
una sóla y única variable — que sea de valor constante si 
el punto está en reposo —ó que sea función del tiempo, si el 
punto está en movimiento. Cada una de las tres coordenadas 
sería (así mirada) una función de función del tiempo. De una 
ley de variación de esa variable en el tiempo, resultarían 
leyes de variación independientes entre sí para las tres coor- 
denadas espaciales, y á estas leyes correspondería á su vez 
el movimiento determinado del punto en el espacio. Lo que 
asi concebimos puede quizá aplicarse también al movimiento 
de un individuo en un asunto, si se piensa que á una ley de 
variación en el tiempo del parámetro que hemos definido 
para un individuo, corresponderían leyes de variación inde- 
pendientes entre sí de las distintas notas Ó coordenadas psí- 
quicas (cualquiera que sea su número, y aunque no estén en 
el espacio); y estas leyes permitirían determinar las posicio- 
nes en el asunto por las cuales pasaría sucesivamente el in- 
dividuo; es decir, el movimiento de este individuo. 

En cuanto á los vectores espaciales de que hablábamos— 
como las velocidades, por ejemplo—(dejando á un lado el 
atributo de la magnitud, al cual no afecta la dificultad por 
ser factor escalar), —notemos que la dirección y el sentido se 
presentan á nuestro espíritu como nociones adquiridas ex- 
perimentalmente —por la experiencia externa en nuestro es- 
pacio de tres dimensiones—y que experimentalmente tam- 
bién—aunque adquiridas por la experiencia interna Ó psí- 
quica,—se nos ofrecen las nociones de dirección y sentido, 
ajenas al espacio. Así como del paso de un punto de una 
posición en el espacio á otra infinitamente próxima, nace en 
nosotros la noción de la dirección y el sentido de la veloci- 
dad del movimiento en ese instante, así también del paso de 
nuestro individuo de una posición psiquica (no espacial) á 
otra infinitamente próxima nace en nosotros la noción de di- 
rección y sentido de la velocidad del movimiento de modi- 


— 2117 — 


ficación en ese instante. Aunque lo primero se dé en el es- 
pacio de tres dimensiones, y lo segundo fuera del espacio, 
y como si dijéramos, en medio de tantas dimensiones cuan- 
tas sean las notas psíquicas que intervengan en la posición, 
lo que nos interesa es que podemos pensar en la determi- 
nada dirección y sentido de un particular vector psíquico lo 
mismo que en los de un vector espacial. Así, por ejemplo, 
cuando en la Mecánica racional pensamos y decimos que la 
dirección y el sentido del cambio de la velocidad de un pun- 
to—de un instante al infinitamente —próximo, son las mis- 
mas dirección y sentido de la fuerza en ese instante, me pare- 
ce que podemos aplicar esto á la Mecánica psíquica, aunque 
lo uno se refiera al espacio de tres dimensiones, y lo otro no. 

Hemos partido de la idea fundamental de que todos los fe- 
nómenos, de cualquier género que sean, realizan su proceso 
por ley de continuidad en el tiempo, con lo cual se quiere 
significar, como es sabido, que el cambio operado de un ins- 
tante á otro instante posterior, puede ser menor que cualqnie- 
ra magnitud que se asigne — por pequeña que sea—, si co- 
rresponde á un intervalo de tiempo suficientemente pequeño 
entre los dos instantes. Es decir, que si se concibe el inter- 
valo de tiempo como variable que disminuya indefinidamen- 
te, el cambio realizado debe de ser concebido también como 
indefinidamente decreciente. El decrecimiento incesante de 
una variable, pero con un límite efectivo para su pequeñez, 
no se diría indefinido. 

Se ve que el concebir un cambio infinitesimal en la posi- 
ción de un individuo (ó de un elemento social) durante un 
intervalo de tiempo, también infinitesimal, no es concebir un 
intervalo muy pequeño, y un cambio correspondiente muy 
pequeño, porque esto, así dicho, no significaría nada, pues 
la pequeñez en sí no es nada; y si por muy pequeño se qui- 
siera dar á entender lo que escapara á todos los procedi- 
mientos de observación y de medida, por perfeccionados que 
se supongan, caeríamos en el cero, que no es nada. 


— 218 — 


Lo que se piensa, en definitiva, son leyes de variación ta- 
les, que el decrecimiento (en el sentido regresivo para esta 
concepción) sea sin límite, aunque es costumbre decir que 
las variables infinitamente pequeñas tienen por límite cero, 
como si el cero fuera una cantidad que sirviera de límite. 
Esto es, á mi entender, una incorrección de lenguaje (*). 

En resumen: procediendo el tiempo por incrementos infi- 
nitesimales, el fenómeno natural — (físico, fisiológico Ó psí- . 
quico)-—que en el tiempo se realiza, procede también por 
cambios infinitesimales. Si las modificaciones que va expe- 
rimentando una planta Ó el cuerpo de un animal en dimen- 
siones, forma, composición, estructura, etc., obedecen á esa 
ley de continuidad, á ésta igualmente obedecen las modifica- 
ciones psíquicas de un hombre ó de una agrupación de hom- 
bres en el tiempo; y por esto debe de ser visto el movimien- 
to en un asunto como una sucesión de infinito número de 
movimientos elementales. 


(*) Puede verse mi Ensayo sobre el Infinito. Allí decía: 

«Si después de abstraído el intervalo de tiempo en cuyo transcurso 
se ha desenvuelto un fenómeno, concebimos otro menor como abs - 
traido también del mismo fenómeno, y otro menor aún, y así sucesi- 
va é indefinidamente, habremos concebido el tiempo como variable 
infinitamente pequeña, y el ienómeno en la continuidad del tiempo; 
pero, ¿cómo concebir el instante ó sea el cero en el tiempo? Tan im- 
posible es, como concebir el punto geométrico aislado en el espacio; 
y asimismo podría decirse con verdad que el presente aislado es una 
quimera. El tiempo, en su variación continua, puede ser concebido 
como infinitamente pequeño, según una cualquiera de las leyes infini- 
tesimales de decrecimiento; y como infinitamente grande, según una 
cualquiera de las leyes infinitesimales de crecimiento; y así puede 
decirse que el tiempo pasado ó el tiempo futuro, decreciendo, se des- 
vanece... sin límite, creciendo, se agranda... sin límite.» 


— 279 - 


Como recuerdo de las muchas cantidades que habr mos de considerar 
más adelante, derivadas ó deducidas de las tres fundamentales de la 
Mecánica, pondremos á la vista un cuadro que contenga las principa- 
les. Suponemos que son conocidas por el lector. 


Adoptando, según costumbre, como cantidades fundamentales las longitudes, las 
masas y los tiempos, y escogiendo como unidades respectivas 


el centímetro .......... .... Símbolo Is 
Cl. 600 +s o ooo e » M  (c, £g, s); 
GlScEMCOs q00rduecconaeso » T 


drán como símbolo de su unidad . Vi TA [al 
PORSIMDA.N dd O JE Me 


como símbolo de su unidad........ A SAL Solo DE 
— las fuerzas, que son masas multiplicadas por aceleraciones, ten- 
drán por símbolo de su unidad (%)......ooo.o ooocooccnnoo... EF=M!.L11.P52 


velocidades, tendrán como simbolo de su unidad........ M1. Lt T71 


que son fuerzas multiplicadas por 


— los momentos de fuerzas ) : R , 
— los trabajos de fuerzas... | ón Como AO MI Le. T=>2 


dos de velocidades, tendrán como símbolo de su unidad.. (3) 


multiplicadas por tiempos..........oo...- e id 

— los momentos de inercia, que son masas por cuadrados de longi- 
MEP as lso o a M1. L2 

— las potencias, que son trabajos ó energías divididas por tiem- 
OS o O O govo JUE SILA SAS 


Las diversas expresiones simbólicas de unidades que hemos enumerado, deben 
de ser miradas como símbolos de dimensiones, porque ellas indican el grado ó di- 
mensión de la cantidad derivada con respecto á cada una de las tres tundamenta- 
les. Habiendo de cumplirse toda ecuación (entre magnitudes físicas) independien- 
tement de as unidades que se escojan, es claro que debe de haber homogeneidad; 
es decir, que todos los términos de la ecuación han de ser del mismo grado con res- 
pecto á cada una de las cantidades fundamenta es, á saber: longitudes, masas y 
tiempos Esta observacióa ofrece, como es sabido, un procedimiento cómodo para 
advertir á veces la existencia de algún error en las ecuaciones. 


(+) Esta unidad de fuerza se llama dina. Siendo una fuerza que aplicada á un 
punto material de masa un gramo (M), le imprime la aceleración un centímetro (L); 
si se usa el segundo (T) (repetido dos veces) como unidad de tiempo; es claro que, 
como el peso de un gramo le imprime á este mismo punto » aterial la aceleración 
e XL, ese peso vale 931 dinas. Por tanto, el peso de un kilogramo vale 103 >< 981 

inas. 

(**) Esta unidad de trabajo se llama ergo ó ergio. Siendo el trabajo de una dina 
p run centímetro de recorrido en su dirección, es claro que el kilográmetro vale 
162 >< 981 dinas <1(? centímetros = 11% < 981 ergios 

La cantidad de trabajo expresada por 10.000.000 de ergíos, se llama julio, y así. 
1 AOSTA nEno =09,81 julios Ó inversamente: 1 julio =1.7 ergios =0,102 kilugrá- 
metros. 

($) Esta unidad de pofenciía es la de un motor que suministra un ergio por se- 
gundo.— El múltiplo que se usa es el watío, que es un julio por segundo = 107 er- 
glos por segundo. 

El kilowatío es pues =1'3 julios por segundo. 

Siendo 1 julio =0,102 kilográmetros se vé que: 1 kilowatio = 102 kilográme- 
tros por segundo; ó en ot os términos, que 1 kilowatio = 1,36 caballos-vapor; é in- 
versamente que i caballo-vapor = 0,736 kilowatios. 

Directamente se ve: 1 caballo-vapor =75 kilográmetros por 1” =73 >< 10530981 
ergios por 1” =736 < 117 ergios por 1” =726 julios por 1'= 736 watios. 


— 280 — 


A] terminar aquí estos Preliminares, advertimos una vez 
más al lector—aunque ya lo hemos hecho anteriormente— 
que seguiremos el sistema de exposición de Galileo y New- 
tón, que funda la Mecánica sobre tres principios: 

1.2 El de la inercia; 

2.” El de la independencia de los efectos de las fuerzas 
respecto del estado de reposo Óó de movimiento en que se 
halle el punto, y el de su composición. (Principio de Ga- 
lileo); 

3. El de la igualdad de la acción y de la reacción. (Prin- 
cipio de Newton). 

Adoptamos —pues—el sistema newtoniano (que es el clá- 
sico), á pesar de las graves objeciones que á él se hacen. 
Tomaremos los Principios y Teoremas de la Mecánica racio- 
nal, tales como los encontramos en los Tratados elementales, 
sin entrar en las críticas que en los tiempos modernos se han 
hecho, ni mucho menos en las exposiciones en que se pres- 
cinda de aleuno de aquelllos Principios. 

Por otra parte, es sabido que algunos físicos eminentes— 
estimando que la Mecánica es una ciencia física—parten de 
la ley (como experimental) de la Conservación de la energía; 
y también de la ley del menor esfuerzo, ó sea el Principio de 
Gauss. La ecuación de la energía (la que antiguamente se 
llamaba ecuación de las fuerzas vivas y del trabajo), no es 
para ellos una integral de la Mecánica, y por tanto, un ver- 
dadero Teorema, sino que toman la conservación de la ener- 
gía como un primer principio. En ese sistema de exposición 
de la Mecánica—que denominan energético —tienen que em- 
pezar por definir las energías cinética y potencial; no quie- 
ren hacer uso de la noción de fuerza, por ser esto una abs- 
tracción (*), y quieren abandonar también la hipótesis de la 
constitución de los cuerpos por particulas materiales. Cree- 


(*) Echegaray dice que si la fuerza es una abstracción, la energía 
es otra abstracción. 


— 231 — 


mos que ese sistema de exposición no ha alcanzado un gra- 
do suficiente de madurez y de vulgarización; y nos atendre- 
mos en todo y para todo al método clásico newtoniano, 
tanto más, cuanto que se reconoce por todos, que es el pre- 
ferible para las aplicaciones; y lo que nosotros vamos á in- 
tentar es, al fin y al cabo, una aplicación. 

Aun mirada la Mecánica clásica (la establecida por Gali- 
leo y Newton) como caso particular de una Mecánica más 
general, deberiamos dejarnos guiar por nuestra Mecánica 
clásica, puesto que las velocidades que hemos de considerar 
son las usuales y corrientes en la vida del hombre, y para 
estas velocidades es valedera. 


De lo expuesto en estos Preliminares retengamos lo si- 
guiente, que doy por aceptado, para entrar en el estudio de 
la Cinemática: 

1.2 Las agrupaciones sociales—de grado superior al pri- 
mero— serán consideradas por nosotros como sistemas de 
individuos y de colecciones parciales de individuos enlaza- 
dos entre sí. Los enlaces sociales definen la agrupación cons- 
tituída por los individuos y las colecciones. 

2.2 Cada colección—que denominanos elemento social— 
se individualiza por un centro que lo simbolice. La posición 
psíquica de este centro en un asunto social se conoce en 
cada instante por la constitución interna del elemento que 
se considere. 

3.2 Así los individuos como los elementos individualiza- 
dos están afectos de su respectivo parámetro. El valor del 
parámetro en cada instante corresponde á la posición que en 
ese instante tenga en el asunto el individuo ó el elemento 
social á que esté afecto. 


— 282 — 


4. Los parámetros serán constantes en el tiempo si los 
individuos y los elementos se hallan en estado de reposo en 
el asunto social que se considere; ó dicho de otro modo, si 
las posiciones de los individuos y los elementos son invaria- 
bles en el tiempo. 

5.” Los parámetros serán variables continuas si las posi- 
ciones se modifican por ley de continuidad en el tiempo. Es- 
tas modificaciones ó cambios expresan lo que hemos llama- 
do el movimiento en el asunto social que se considere. 

6.2 Cada individuo y cada elemento social realiza su mo- 
vimiento de modificación infinitamente pequeño—que es 
único—en una determinada dirección y sentido. Admitimos 
que la magnitud, dirección y sentido de la modificación in- 
finitamente pequeña de cada individuo y de cada elemento 
estén determinados por el incremento infinitamente pequeño 
de su parámetro. Este incremento infinitamente pequeño tie- 
ne así el carácter de un vector psíquico. 

Hecho este breve resumen, procedamos ya al estudio de 
la Cinemática social. 

Cuando hayamos de pasar á la Estática y á la Dinámica 
volveremos sobre el concepto abstracto de las fuerzas socia- 
les; y explicaremos el sentido en que admitimos el Principio 
de la inercia, así como el alcance que damos Á la noción de 
masa de un individuo ó de un elemento para un asunto de 
carácter social. 


Sa E 


INDICE. 
DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE NÚMERO. 


pAOS. : 


VII. —Conferencias sobre Física matemática. Teoría de los: 
torbellinos, por José Echegaray. Conferencia décimo- 
O AR 

] IX.— Conferencias sobre Física matemática. Teoría de los 


torbellinos, por José Echegaray. Conferencia vigé- 


211 


X.—La copelación, según antiguas recetas, por José Rodri- > 


LHez MMQUECIO:. 3 a ea sai SE oo o : 
XI. —Sobre el electrómetro de cuadrantes, por E: Terradas. 
XII. —Apuntes sobre Mecánica social, por Antonio Portuon- 
Oy Barcelo. A A E o O 


. e 


mo 


: OE EP qe 


S 7 
E 


2337 
246 


258. 


La subscripción á esta Revista se hace por tomos completos, 


de 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos 
en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, calle de Val- 


e 


verde, núm. 26, Madrid. 
Precio de este cuaderno, 1,50 pesetas. 


DH LA 


EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES 


A = 


MADRID 


:. TÓMO Xx.-NÚM. 5. 


4 E Noviembre de 18911. 


MADRID 
ESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO Y EDITORIAL 
CALLE DE PONTEJOS, NÚM. 8, 

SAA 


ADVERTENCIA. 


Los originales para la Revista de la Academia 
se han de entregar completos, en la Secretaria de 
la Corporación, antes del día 20 de cada mes, 
pues de otro modo quedará su publicación para 
el mes siguiente. 


RS sa 


PUSE AI O 


Ñ 


XIN.— Conferencias sobre Fisica matemática. 


Teorias diversas. 


POR JoséÉ ECHEGARAY. 


Conferencia primera. 


SEÑORES: 


Al empezar el nuevo curso de Física Matemática, y en él 
la séptima serie de conferencias, que vengo dando en la 
Universidad Central, debo recordar el en que con esta 
labor me propongo. 

Ya lo decía al dar comienzo > al curso precedente. 

Sería mi propósito, suponiendo que pudiera realizarlo, ex- 
plicar en esta clase y publicar más tarde en una serie de li- 
bros, una enciclopedia elemental, que abarcase las principa- 
les teorías de la Física Matemática clásica, así como las de 
la Física Matemática moderna. 

Empresa, como he declarado más de una vez, sobrado 
ambiciosa, aun teniendo en cuenta el carácter elemental de 
mis explicaciones: sobrado ambiciosa, repito, por la exten- 
sión casi indefinida de la materia, y aun más si se tienen en 
cuenta mis muchos años y mis ya escasas fuerzas. 

De todas maneras, llegaré á donde pueda llegar; y año 
tras año, en los siete que vengo desempeñando esta asigna- 
tura, es lo cierto que voy exponiendo diferentes materias, 
de las que deberían constituir el trabajo ideal con que desde 
un principio me encariñé, aunque sin esperanza, no ya de 
darle cima, pero ni siquiera de realizar una parte importante 
de la totalidad de la empresa. 


REV. ACAT DE CIENCIAS. —X.— Noviembre, Ig11. 19 


— 284 — 


Algo llevo, sin embargo, realizado, y así, en los seis cur- 
sos que han precedido á éste, he expuesto las siguientes ma- 
terias: 

Una introducción á la Física Matemática en que procuré 
marcar el carácter de esta ciencia y sus relaciones con la Fií- 
sica experimental; presentando ejemplos de la teoría del ca- 
lor, de la luz, del magnetismo y de la electricidad, y algu- 
nas teorías de la Mecánica que eran esenciales en la ciencia 
clásica, cuyas ramas, por regla general, en la hipótesis me- 
cánica se fundaban, y que aun hoy mismo tienen aplicación 
en varias teorías de la Física Matemática moderna. 

Fué este primer curso algo así como un bosquejo de los 
principales problemas, que la Física Matemática abarca. 

Y después, considerando que en esta ciencia es problema 
fundamental el problema de la elasticidad, me ocupé, en los 
tres cursos siguientes, en exponer lo más importante de esta 
materia, según tres métodos: el de Cauchy en el segundo 
curso, el de Lamé en el tercero, el de Poincaré en el cuarto. 

Y sin haber agotado la materia ni mucho menos, pero ha- 
biendo expuesto todos los elementos de ella, que pudieran. 
facilitar el estudio de las memorias y obras especiales de los 
erandes maestros de la ciencia, pasé, en el quinto curso de 
esta asignatura, á la exposición de teorías y teoremas indis- 
pensables al penetrar en el estudio dé la ciencia moderna. 

Por ejemplo: la teoría de los vectores, el teorema de Green 
y el teorema de Stokes. 

Y de estas teorías y teoremas, hice aplicación á la electro- 
estática y á la electrodinámica, que fué como un preludio, si 
vale la palabra, de estudios más serios y más completos que 
me propongo llevar á cabo, si puedo, en los cursos próximos 
de esta cátedra. Fué en cierto modo, hacer que mis alum- 
nos se asomasen á amplios horizontes de la ciencia nueva. 
Verlos en conjunto no es imposible, como no es imposible 
ver de un golpe un inmenso paisaje; penetrar en él y reco- 
rrerlo, es ya materia de mucho tiempo y mucha labor; lle- 


— 285 — 


gar á los límites de estos horizontes es empresa imposible, 
porque los horizontes de la ciencia son infinitos y el ser hu- 
mano, que es, esencialmente finito, no podrá abarcarlos 
nunca. 

En el curso precedente, que fué el sexto en esta serie de 
trabajos, traté en particular de la teoría de los torbellinos, 
dándole la importancia que creo que tiene, por las razones 
que en dicho curso expuse. 

No agoté tampoco esta materia, y tanto es así que, en el 
curso presente, ó en una parte de él, ó en el inmediato, se- 
guiré exponiéndola. 


Al comenzar los cursos precedentes, he seguido la cos- 
tumbre de hacer en las primeras conferencias, de cada uno 
de ellos, un resumen, bastante detallado, de las materias 
explicadas desde que me encargué de esta asignatura. 

Decía y desarrollaba, en lugar oportuno, esta idea: que la 
Fisica Matemática es una ciencia tan enorme que es im- 
posible abarcarla en las conferencias de un sólo año. 

Que es, por el contrario, indispensable dedicar, cada 
nuevo curso, á una materia distinta. 

Lo contrario sería más cómodo para el profesor: le bas- 
taba repetir periódicamente, un año y otro, las mismas no- 
ciones elementales. Pero este sistema destruiría, en absoluto, 
mi pensamiento, que es, como queda dicho, el de acumular 
en una especie de enciclopedia los fundamentos de la Física 
Matemática durante el siglo precedente y de las nuevas teo- 
rías que en estos últimos veinte ó treinta años se han des- 
arrollado. 

Las monteras de Sancho son buenas para caperuzas in- 
fantiles. La propaganda de la alta ciencia, siquiera sea en 


— 286 — 


sus bases elementales, exige más paño, más tiempo y más 
labor. 

Y he agregado siempre, que ya que en cada curso debo 
explicar una materia nueva, creía necesario hacer en cada 
uno el resumen de los cursos precedentes. 

Y así he venido haciéndolo hasta el curso actual, en que 
voy á faltar á esta regla, que hasta hoy me había im- 
puesto. 

Y la razón es bien sencilla. 

El resumen de los cinco primeros cursos está hecho con 
bastante minuciosidad, en varios de los tomos de Física Ma- 
temática que lleva publicados la Academia de Ciencias. 

En estos tomos pueden consultar dicho resumen mis 
alumnos. No hay por qué hacerlo de nuevo, mermando el 
tiempo escaso de que dispongo para las nuevas lecciones. 

Mas aún, sin perjuicio de las conferencias que yo he de 
dar, el inteligente ayudante de esta asignatura, Sr. Carrasco- 
sa, explica una serie de lecciones semanales, en que se ocupa 
de lo más esencial que llevo publicado, desde el año 1905, 
hasta la fecha; con lo cual, en cada curso, se realiza una 
doble labor: la exposición de las materias más importantes 
de los cursos anteriores y las nuevas materias que yo expon- 
go en cada nuevo curso. Así se sintetiza lo ya explicado en 
años anteriores por una parte; y yo, por la mía, avanzo en 
nuevas teorías hacia nuevos horizontes. 

Por todo lo expuesto, no me propongo hacer la síntesis de 
los cinco cursos primeros en estas conferencias; y en cuan- 
to al curso anterior, como en éste he de continuar tratando 
de la teoría de los torbellinos, sin hacer dicho resumen de 
propósito, he de hacerlo al enlazar la materia que expliqué 
en el curs) académico de 1910 á 1911, con la materia que 
me propongo explicar en este nuevo curso de 1911 á 1912. 


Bd e 


La materia principal de este curso ha de ser, como he in- 
dicado antes, la continuación del estudio de los torbellinos, 
y ya en las últimas conferencias del año precedente plan- 
teábamos este problema. | 

Suponiendo que en un flúido perfecto coinciden, en un 
instante determinado, los movimientos rotacionales y los 
irrotacionales; Ó, dicho de otro modo, suponiendo que en el 
flúido, cuyo movimiento es irrotacional, existen determina- 
dos torbellinos en número finito ó infinito; y suponiendo que, 
por cualquier medio, Ó, si se quiere, como dato del proble- 
ma, se conocen para un instante dichos movimientos rotacio- 
nales, determinar la velocidad de cualquier punto del tlúido 
en cualquier instante. 

Estudiábamos en la última conferencia un ejemplo ó caso 
particular, y anunciábamos que en este curso habíamos de 
resolver en general el problema, deduciendo de él conse- 
cuencias importantes y analogías curiosísimas entre este 
problema de los torbellinos y el problema de la electricidad. 

Y esta, en efecto, ha de ser la materia principal del pre- 
sente curso; esto, al menos, es lo que me propongo; luego 
será lo que Dios quiera. 

Pero aquí se nos presenta una dificultad, de que ya me 
he hecho cargo en otras ocasiones. 

La Física matemática, como su nombre lo indica, tiene 
por objeto la explicación matemática de los principales fe- 
nómenos de la Física. 

Y hoy aun podríamos ampliar esta definición, dadas las 
nuevas, inesperadas y profundas relaciones entre la Física 
y la Química, diciendo que la Física matemática también se 
ocupa en los problemas generales de la Química. 

Pero unos y otros problemas pretende resolverlos por re- 
laciones matemáticas. 

De modo que, en esta ciencia, se mezclan íntimamente 
estos tres elementos, á saber: 

1.” El fenómeno físico ó químico, cuyos accidentes todos, 


— 288 — 


como hemos explicado en otras ocasiones, dependen de un 
número determinado de parámetros, que podemos llamar 
parámetros del fenómeno. 

2.” Las hipótesis fundamentales, que en el siglo pasado 
casi se reducían á una hipótesis, la hipótesis mecánica, y 
que aun hoy mismo, aunque aquella hipótesis clásica esté 
en descrédito, bien pudiéramos asegurar que en muchas teo- 
rías, por nuevas hipótesis mecánicas, ha sido sustituida. 

La Mecánica clásica podrá estar en tela de juicio; en par- 
te se habrán ampliado Ó se habrán modificado sus concep- 
tos; pero, digan lo que quieran ciertos críticos y ciertos au- 
tores, de hipótesis mecánicas están impregnadas las nuevas 
teorías, incluyendo la moderna energética. 

Y 3.” Del elemento matemático, es decir, casi siempre 
de ecuaciones diferenciales entre aquellos parámetros deter- 
minantes del fenómeno. Ecuaciones diferenciales que es pre- 
ciso integrar, Ó en las cuales, aun sin integrarlas, hemos de 
estudiar las propiedades de las funciones, que representan 
dichos parámetros; como explicábamos detalladamente en 
las últimas conferencias del curso anterior, con aplicación 
á la teoría de los torbellinos. 

Esta última parte es importantíma en la Física Matemática, 
que por algo es ciencia matemática. 

Presenta y da ocasión á nuevos problemas de la cien- 
cia pura. 

Provoca nuevos desarrollos de esta ciencia, y aun hay 
quien supone, aunque sin razón, como hemos explicado va- 
rias veces, que la mayor parte de las ciencias matemáticas 
ha sido creada en cierto modo por requerimientos de la 
Física. 

Sobre esto ya hemos disertado ampliamente en otras oca- 
siones. 

Que las ciencias químicas y físicas planteen nuevos pro- 
blemas matemáticos; que aquéllas hayan sido el estimulante, 
por decirlo así, para la creación de muchas teorías, nadie 


— 289 — 


puede ponerlo en duda; basta recorrer, por una parte, la 
historia de las Matemáticas, y por otra, la de la Física Ma- 
temática. 

Pero hemos protestado más de una vez, y seguiremos 
protestando siempre que la ocasión se presente, contra estas 
pretensiones invasoras de las ciencias físicas, en que se 
supone que las matemáticas son la alta servidumbre de la 
materia inorgánica y de sus fenómenos; un instrumento más 
ó menos elevado del fenómeno material, y que su único 
objeto es resolver problemas del orden matemático, plan- 
teados por el físico Ó por el químico para la explicación de 
los fenómenos naturales. 

No; ya lo hemos dicho más de una vez: las matemáticas 
puras son una ciencia autónoma; podrán ser útiles para la 
práctica, para las necesidades de la vida social, para medir 
ó dividir campos en Egipto, para hacer cálculos numéricos, 
para seguir el movimiento de los astros, para determinar los 
efectos de las máquinas; como podrán servir hoy para la 
termodinámica en sus aplicaciones á la Química, para el es- 
tudio y aplicaciones industriales de la electricidad, como 
para penetrar en la dinámica del electrón; pero todo esto no 
impide que la ciencia matemática sea una ciencia autónoma 
con su campo propio de investigación, con sus creaciones, 
no serviles, sino libres, espontáneas, con sus grandes leyes 
del número discreto, de la cantidad continua, de las funcio- 
nes continuas ó discontinuas, de las variables, de lo finito, 
de lo indefinido ó de lo infinito, de los grupos y de los com- 
plejos, de todo un mundo que se desarrolla en las profun- 
didades misteriosas del cerebro, y que existirá mientras exis- 
ta el pensamiento humano, aunque la electricidad, el mag- 
netismo y la materia existiesen de otro modo ó no existiesen, 
Ó si no se quiere ir tan lejos, aunque tuesen desconocidos 
para las ciencia humana. 

Las matemáticas puras son lo que son, y su utilidad prác- 
tica la dan de añadidura. 


E 


Sólo una vieja tendencia materialista, tosca y exagerada, 
puede confundir hasta identificar las demostraciones pura- 
mente matemáticas con las demostraciones fatalmente expe- 
rimentales. 

Pero nos vamos alejando de nuestro objeto. 


De todas maneras, la parte matemática en la Física de este 
nombre es importantísima, es exuberante; casi nos atreve- 
veríamos á decir que en ocasiones es excesiva. 

Libros hay, sobre todo de la Física Matemática clásica, en 
que los problemas de la parte física están como perdidos en 
un océano inmenso de cálculos y de fórmulas. 

Y aquí surge la dificultad á que antes nos hemos referido, 
y que ya otras veces hemos señalado. 

Para insistir en ella, para hacerla comprender con más 
claridad y también para justificar la marcha que vamos á 
seguir, presentaremos algunos ejemplos. 

En el curso de 1909 á 1910 explicábamos dos teoremas, 
fundamentales en la Física Matemática moderna. 

Estos teoremas pertenecian, en rigor, á las matemáticas 
puras. Eran la transformación de integrales triples en inte- 
erales dobles; y de integrales dobles en integrales sencillas: 
Ó si se quiere, de integrales de volumen en integrales de 
superficie, y de integrales de superficie en integrales de línea 
cerrada. 

Considerados ambos teoremas, según decimos, como per- 
tenecientes al cálculo integral puro, y al emplear esta última 
palabra queremos excluir del pensamiento del matemático 
toda aplicación práctica, nada hay que oponer á su rigor 
lógico ni á su legitimidad, por decirlo así, en el campo de 
la ciencia abstracta. 


Ni 


-- 291 — 


Pero es claro, que al alumno que los estudiase sin ningún 
otro antecedente, le causarían cierta extrañeza y acaso pen- 
sara: «Sí, ambos teoremas son exactos; pero ¿por qué se 
-les ha ocurrido á Green y á Stokes? 

Y esta introducción de los vectores en ambos problemas, 
¿qué ventajas puede presentar y de qué modo facilitar la in- 
tegración de las integrales múltiples?» 

Si, por el contrario, el alumno conoce ciertas teorías de la 
Física Matemática moderna, ciertos problemas de la electro- 
estática y de los campos electromagnéticos, se habrá encon- 
traco forzosamente con ambas transformaciones y aquí, no 
ya la duda, pero la dificultad habrá cambiado, en cierto 
modo, de signo. 

Comprenderá la importancia de ambas transformaciones, 
cuando á las acciones á distancia de la Física Matemática 
clásica se sustituye la transmisión de estas acciones por el 
espacio. Pero se detendrá pensando cuál podrá ser la de- 
mostración de ambas transformaciones, si de antemano no 
las estudió. 

Y la demostración matemática de ambos teoremas inte- 
rrumpirá y distraerá su atención del verdadero problema de 
Física Matemática que analiza. 

De suerte que el dilema es este: 

O desconoce la demostración de los teoremas al tener que 
aplicarlos; ó estudia su demostración sin gran empeño, ni 
eran interés, por nc ver claramente su enlace con otras 
teorías de las Matemáticas puras, ni su aplicación á los pro- 
blemas de la Física Matemática. 

Y en este ejemplo, el inconveniente no es grave, porque 
las demostraciones son sencillas é interrumpen por poco 
tiempo la marcha principal de su estudio y sin absorber en 
gran manera la atención del alumno. 

Pero vamos á ver que esto no sucede en otros ejemplos. 


— 292 


En el año anterior estudiábamos la teoría de los torbelli- 
nos, y al finalizar el curso examinamos un caso particular, 
aunque importante, á saber: cuando el fiúido perfecto tenía 
un movimiento paralelo al plano de las x, y. 

En este caso, suponíamos varios torbellinos, infinitamen- 
te estrechos, aunque de esta hipótesis se puede pasar á otra 
más general; y decíamos que las ecuaciones del movimiento 
de estos torbellinos paralelos al eje de las z, podian redu- 
cirse á las ecuaciones generales de la Mecánica, mejor di- 
cho, á las ecuaciones de Hamilton. 

Así obtenía Mr. Poincaré, en su teoría de los torbellinos, 
estas dos ecuaciones: 


AXg dp 
Mk =— 
dy; ná ee 
E di AXy 


Y dice el insigne autor con toda verdad, como hemos in- 
dicado hace un momento: «bajo esta forma se reconocen, 
desde luego, las ecuaciones canónicas de Hamilton, salvo el 
factor Mg>. 

Y agrega, al final del capítulo: 

«Hemos obtenido tres integrales de las ecuaciones diferen- 
ciales (1) y las propiedades de dichas ecuaciones nos per- 
mitirán integrarlas por cuadraturas, cuando sólo sean tres 
los tubos de torbellino. » 

Y continúa: 


«En efecto, las ecuaciones en cuestión, tienen, como que- - 


da expuesto, la forma de las ecuaciones canónicas de Ha- 
milton, las cuales se integran por cuadraturas cuando con- 
tienen 2n variables y se conocen n integrales particulares.» 

«Ahora bien, cuando existen sólo tres tubos de torbellino, 
las ecuaciones encierran seis variables X,, 1, X2,Y2,X3, Y 5 
y nosotros hemos encontrado tres integrales particulares.» 


— 293 — 


Todo esto es rigurosamente exacto y, probablemente, 
desarrollaremos dicho problema, en este mismo curso. 

Más téngase presente que estamos en España, en donde, 
aunque las matemáticas se cultivan, con más interés, que en 
otro tiempo, con más perfección, porque el profesorado es 
cada vez más ilustrado y con más amplitud también, lo pro- 
bable es que la mayor parte de los alumnos que llegan á mi 
clase, no conozcan estas teorías importantísimas, que se 
comprenden bajo la denominación de teoría de las ecuacio- 
nes generales de la Mecánica. 

De suerte que al venir á este punto el principiante, ó ten- 
drá que creer al autor y al profesor bajo su palabra, y esto 
no satisface á ninguna inteligencia independiente, y que 
siente verdadero amor por la ciencia, ó tendrá que interrum- 
pir la teoría de los torbellinos para engolfarse en el estudio, 
verdaderamente enorme para él, de la integración de las ecua- 
ciones diferenciales en general, Ó más particularmente de las 
ecuaciones de la Mecánica, y en éstas de las ecuaciones Ca- 
nónicas de Hamilton. 

De aquí resulta que, aun en esta teoría particular de los 
torbellinos, que no es ni siquiera de las más modernas de la 
Física Matemática, para que el alumno marche con cierto 
desembarazo y el profesor no sienta resquemores de no ser 
entendido, sería preciso, para la perfecta inteligencia de. to- 
dos los problemas y en particular del que hemos señalado, 
que explicásemos de antemano, siquiera fuese en forma muy 
concisa, las teorías á que acabamos de hacer referencia. 


Otro ejemplo todavía tomado de la teoría de los torbelli- 
nos que ha de continuar siendo la materia de este curso si 
el tiempo alcanza para ello. 


— 291 — 


Planteábamos ya el problema general á que nos referimos 
en las últimas conferencias del año anterior, y decíamos: 

Si se han integrado las ecuaciones generales, ya las del 
sistema de Lagrange, ya las del sistema de Euler, claro es 
que en cualquier instante Y conoceremos los valores de 1, v, 
w en función de x, y, z, y, por lo tanto, para cualquier punto 
y en cualquier instante podremos determinar las componen- 
tes del eje del torbellino que le corresponde. 

No habrá más que sustituir los valores de las derivadas 
de u, v, w, con relación á x, y, z, en las tres ecuaciones 


tio aatacin le Y 2 
dy dz 
picas Fa 
dz dx 

A o LEA 

Pieles dy 


Los primeros miembros serán funciones perfectamente 
determinadas de x, y, 2, É, y, por tanto, conoceremos para 
cualquier instante y para cualquier punto los valores de 
E, 1, E; tendremos, pues: 


SS y 200) 
n= fa ES y, Z, É) 
E= fe (ES Z, b), 


y sabremos con toda certeza que para todo punto existe un 
eje de torbellino cuyas componentes serán las tres expresio- 
nes anteriores, en cuyo caso para tal punto y tal instante el 
movimiento será rotacional y conocido. Pero si los valores 
de dichas componentes son mulos, se sabrá también que en 
ese instante y en ese punto, no existe eje de torbellino y el 
movimiento es irrotacional. 


O 


El problema, pues, sabiendo integrar las ecuaciones dife- 
renciales del movimiento, es elemental. 

Pero planteábamos el problema inverso que era este: 

Cuando por cualquier medio se han llegado á conocer las 
componentes del eje del torbellino en un instante y en cual- 
quier punto, es decir, si se conocen £, 1, £ en función de 
x, y, z,se trata de determinar u, v, w. Es decir, las com- 
ponentes de la velocidad para todo punto en función de las 
coordenadas de este punto Xx, y, Z. 

Aun simplificaremos este problema, suponiendo que se 
trata de un líquido; y aun lo simplificaremos más, admitien- 
do que es un líquido indefinido y este será, como hemos 
anunciado, uno de los problemas en que nos ocuparemos en 
el presente curso, Ó acaso en el siguiente, así como de sus 
analogías y aplicaciones, respecto á la electro-dinámica. 

Pero, así y todo, al tratar de integrar las ecuaciones ante- 
riores, nos encontraremos con un caso de la teoría de la 
potencial newtoniana, porque tendremos que integrar ecua- 
ciones de esta forma, que es la ecuación de Poisson: 


AU=4zp. 


Y aquí, aparece, para la enseñanza, la dificultad que ve- 
nimos señalando. 

Lo probable es que, mis alumnos, no hayan estudiado, 
con la extensión necesaria para este caso, la teoría á que 
acabamos de referirnos, ó sea; la teoría de la potencial 
newtoniana, en cuya hipótesis, su enseñanza quedará in- 
completa. 

Tratar de resolver un problema, ya trate de resolverlo un 
maestro ó un discípulo; hacer depender, la solución de este 
problema de otros problemas matemáticos y no conocer 
estos últimos, es en el fondo, dejar sin resolver el primero. 
Y si se le asegura al alumno que estos últimos están ya re- 
sueltos, tendrá que creerlo, como artículo de fe, por la que 


— 206 — 


en el maestro deposita, pero no por visión clara y directa 
de la verdad. 

Resulta en este ejemplo, como en el anterior, la necesi- 
dad, de explicar de antemano en esta clase, otra nueva teo- 
ría matemática, de integración ó de mecánica, como quiera 
entenderse. 

Ya señalamos una en el ejemplo anterior: la teoría de la 
integración de las ecuaciones canónicas de Hamiltón. 

Ahora señalamos otra: la teoría de las atracciones y de la 
potencial newtoniana. 

Otro ejemplo más he de citar, y voy tomándolos á la ca- 
sualidad. 


En la admirable obra de Lorentz, titulada «The Theory 
of Electrons» y al estudiar el movimiento de éstos, como el 
autor ha separado una gran masa de cálculos, para que no 
le perturben en la exposición de sus conferencias, consig- 
nándolos en notas; en la nota quince, nos encontramos con 
fórmulas que todavía se refieren, como en el ejemplo ante- 
rior, á la teoría de la potencial, ó mejor dicho, á las fórmu- 
las de atracción de los elipsoides. 

Así es que, cuando lleguemos, que no será este año se- 
guramente, pero que quizás sea el inmediato, si mis propó- 
sitos se realizan, á la exposición de estas novísimas teorías 
de la Física Matemática, nos encontraríamos, con la misma 
dificultad y con el mismo punto de parada ó con el mismo 
dilema. 

O dar por conocida una teoría, que mis alumnos no cono- 
cen, citando fórmulas matemáticas como se citan recetas, 
imponiéndolas como punto dogmático Ó como artículo de fe 
científica, Ó bien interrumpir, una vez más, la exposición de 


— 297 — 


una teoría física para desarrollar durante tres ó cuatro meses 
una teoría matemática. 


Aun otro ejemplo, y también tomado á la casualidad, en 
las obras del ilustre Lodge. 

Dice este insigne maestro, al estudiar el movimiento de 
una carga eléctrica, para el cálculo de la inercia que finge, 
si es lícito expresarnos de este modo: 

«El valor de la fuerza eléctrica en el punto de que se 
trata es 


y si el movimiento es lento, este valor será suficientemente 
exacto. 

Pero si el movimiento es rápido y comparable á la velo- 
cidad de la luz, el campo eléctrico tomará un valor más dé- 
bil á lo largo del eje, y más intenso ecuatorialmente: como 
ha demostrado M. Heaviside, dicho valor tiene la forma 


El alumno ó el aficionado á estas materias, que se encuen- 
tra con dicha fórmula, es imposible que pase adelante sin 
hacer un esfuerzo para buscar la demostración, 6, en todo 
caso, sin buscar la demostración en su fuente original. 

Toda conciencia científica, si es un poco delicada, siente 
cierto malestar y hasta cierta humillación al emplear tórmu- 
las cuyas demostraciones ignora. 


8 


— 298 — 


Pues bien; la fórmula precedente, tal como el ilustre ma- 
temático inglés la ha desarrollado, se funda en el cálculo 
simbólico de integración que, probablemente, la mayor parte 
de mis alumnos desconocerán. 

Y por eso, cuando llegue el caso antes de desarrollar la 
teoría física, procuraré desarrollar, en un pal de conferen- 
cias, la teoría matemática. 


+ 
Y 


De este modo pudiera seguir acumulando ejemplos. 

Ya citaba en otras conferencias la fórmula de Fourier, que 
es fundamental. 

Y la teoría de las armónicas. 

Citamos aún la teoría de las funciones de variables ima- 
ginarias ó complejas. 

La teoría de los cuaternios, de la cual hace uso tan fre- 
cuente la escuela inglesa. 

Y otras muchas de las teorías de las matemáticas puras; Ó 
de las creadas por la influencia y el estudio de los proble- 
mas de Fisica matemática; Óó de las que esta ciencia puede 

«sacar partido, aun habiendo sido creadas sin fin alguno uti- 
litario en el campo infinito de la lucubración abstracta. 

Todo esto pone de relieve y demuestra la dificultad cons- 
tante del profesor, que dedica sus enseñanzas á la Física 
Matemática; sobre todo cuando no existen otras asignaturas 
que sirvan de amplia y completa preparación á la asignatura 
propia de aquella ciencia. 

Me veo, pues, obligado á escoger, como ya dije en otro 
curso, una especie de término medio, alternando las teorías 
propias de la Física Matemática con ciertas teorías de las 
Matemáticas abstractas. 

Dividiendo, por decirlo así, aquéllas en varios grupos y 


— 299 = 


haciendo preceder cadá uno de ellos de las teorías matemá- 
ticas más indispensables. 

Esto hice en uno de los cursos precedentes al explicar, á 
modo de introducción, los elementos de la teoría de los vec- 
tores, las notaciones de Grassman y los dos teoremas funda- 
mentales en toda la Física Matemática moderna: el de Green 
y el de Stokes. 

Una cosa análoga vamos á hacer en este curso antes de 
completar la teoría de los torbellinos, que empezamos á es- 
tudiar en el curso precedente. 

Y ya podemos puntualizar el programa de las materias de 
esta asignatura en el curso que hoy empieza. 

Es programa que procuraremos cumplir fielmente, si 
el tiempo nos alcanza para ello y para ello alcanzan mis 
fuerzas. 


Así, pues, en el presente curso me propongo explicar: 

La teoría de los torbellinos, que será continuación del úl- 
timo curso. 

Y como introducción á éste, explicaré ante todo: 

1.” La teoría de la atracción newtoniana. 

La teoría de la potencial, también newtoniana, y muy par- 
ticularmente la ecuación de Laplace. 

La extensión de estas teorías, ó mejor dicho, su aplica- 
ción á la electricidad y al magnetismo. 

2... El estudio de la integración de las ecuaciones canó- 
nicas de Hamilton. 

Todo ello en forma muy elemental, lo puramente preciso 
para la inteligencia de los problemas de Física Matemática. 

Son teorías estas últimas que no vamos á explicar por sí, 
como problemas abstracios de las Matemáticas puras, sino 
como medios ó auxiliares de los problemas de Física Mate- 


Rev. ACAD. DÉ CieNcIas.—X,—Noviembre 1911. 20 


— 300 — 


mática, que hemos de ir estudiando sucesivamente. Por 
ejemplo, la teoría de los torbellinos, la electroestática, la 
electrodinámica, el magnetismo, ya según las teorías y las 
hipótesis de la ciencia clásica, ya en el dilatado y novísimo 
campo de la ciencia moderna. 

En la conferencia próxima empezaremos, pues, el estudio 
de la potencial newtoniana, en el que nos han de servir de 
guía, entre otras varias Obras, la de Mr. Poincaré y la de 
Mr. Appell, obras importantísimas de ambos maestros, que 
no es la primera vez que hemos citado y á las que de con- 
tinuo tendremos que acudir para nuestras explicaciones y 
nuestros estudios propios. 

Y no hablo de otras por no aumentar, innecesariamente, 
esta bibliografía, que es bien conocida y está al alcance de 
cualquiera. 


— 301 — 


XIV.—Conferencias sobre Fisica matemática. 


Teorias diversas. 


POR JoséÉ ECHEGARAY. 


Conferencia segunda. 


SEÑORES: 


Dijimos en la primera conferencia de este curso, que en el 
mismo procuraríamos completar la teoría de los torbellinos, 
que tiene por sí verdadera importancia, que la tiene por sus 
aplicaciones y hasta por sus semejanzas y analogías con 
otras teorías de la Física Matemática. 

Pero dijimos también, que antes de completarla y darla 
por concluida, teníamos que intercalar, interrumpiéndola, dos 
teorías de otro orden: F 

La de las atracciones y de la potencial con más el estudio 
de la ecuación de Laplace y un examen rápido, unas nocio- 
nes, pudiéramos decir, de las ecuaciones de la Mecánica, ó 
mejor dicho, de las ecuaciones canónicas de Hamilton. 

En fin, anunciamos que en esta segunda conferencia em- 
pezaríamos el estudio de la potencial newtoniana. 

Algo nos remordía la conciencia al interrumpir el estudio 
de los torbellinos, estudio que pertenece, por buen derecho, 
á la Física Matemática; y explicábamos, minuciosamente, 
las razones que para ello teníamos, y aun presentábamos 
nuestras excusas por alterar, en cierto modo, el programa ge- 
neral de estos cursos, que todos ellos corresponden y deben 
corresponder á la Física Matemática, por ser la asignatura de 
que estoy encargado. | 


— 302 — 


Pero acaso estos escrúpulos son exagerados, porque al es- 
tudiar la potencial newtoniana, y mejor dicho, al estudiar 
cualquier cuestión de Mecánica, en rigor, no traspaso los 
límites de la asignatura ni dejo de estudiar cuestiones que á 
la Física Matemática pertenezcan. 

La Física Matemática, como su nombre lo indica, estudia 
los fenómenos del mundo físico y dentro de la ciencia noví- 
sima, los fenómenos de la Química en toda su extensión. 

Pero los fenómenos del movimiento y sus leyes, las del 
equilibrio, como caso particular de aquél, ó mejor dicho, 
como cierto grado de abstracción del mismo, son fenómenos 
del mundo inorgánico, son fenómenos físicos en su totali- 
dad, al menos en una primera aproximación, de suerte que 
puede afirmarse que, todo fenómeno de Mecánica, á la Físi- 
ca Matemática pertenece; lo mismo la mecánica de los sóli- 
dos, que la de los fiúidos, que la de cualquier sistema, su- 
jeto á determinados enlaces. 

Tanto es así, que tengo la esperanza de estudiar más ade- 
lante, por una parte, la célebre Mecánica de Hertz, y ade- 
más la energética de Duhen, obra importantísima esta últi- 
ma en curso de publicación y de la cual ya ha visto la luz el 
primer tomo. 

En suma, al estudiar cualquier problema de Mecánica, ó 
nuevos aspectos de esta ciencia, desde la cinemática á la 
moderna energética, no traspaso los límites de la asignatu- 
ra; dentro de la Física Matemática estoy siempre y lo único 
que pudiera extrañar á primera vista es el interrumpir una 
teoría como la de los torbellinos, para empezar este nuevo 
curso por la teoría de lo potencial. 

Pero las razones que tengo para ello ya las he expuesto 
ampliamente en la primera conferencia de esta nueva serie. 

Empiezo, pues, á estudiar desde luego la teoría de las 
atracciones newtonianas y de la potencial. 


ES 
* E 


— 303 — 


Atracciones newtonianas—Potencial. 


La Mecánica clásica sabido es que se divide en tres 
partes: 

1.* La cinemática, en que se estudian los movimientos 
de los sistemas, no sólo en su forma geométrica, sino en su 
relación con el tiempo. 

En esta primera parte no vamos á ocuparnos por ahora. 

2." La estática, ó sea la teoría del equilibrio. 

Busca esta rama de la Mecánica las condiciones de equi- 
librio de cualquier sistema sujeto á enlaces determinados y 
sometidos á fuerzas determinadas también. 

Se dirá, y dicen algunos, que el equilibrio no existe, que 
es una pura abstracción; pero esto importa poco: ni un solo 
problema de los que la ciencia estudia deja de ser una abs- 
tracción en el seno de los fenomenos totales, que sólo de 
esta manera puede la inteligencia humana estudiar el inmen- 
so Cosmos. 

Y el equilibrio es una abstracción casi necesaria para re- 
solver los problemas dinámicos. Al menos lo ha sido has- 
ta hoy. 

Ya, sobre este punto, hemos discurrido con bastante ex- 
tensión en otras conferencias de otros cursos. 

De todas maneras resulta, que en la Estática es concepto 
fundamental este concepto de fuerza, y que al pretender re- 
solver un problema de la Mecánica es preciso conocer de 
antemano todas las fuerzas ó cierta parte de ellas. 

La fuerza es, si se nos permite esta imagen, la urdimbre 
del equilibrio, y de la combinación de fuerzas resulta éste. 

3. Por último, Dinámica es la tercera sección de la Me- 
cánica, y dos son los conceptos fundamentales de esta cien- 
cia, mejor dicho de la Mecánica en general: 

La masa y la fuerza. 

Ya sabemos, que ciertos críticos modernos rechazan este 


— 304 -- 


dualismo de la Mecánica clásica y hasta pretenden ponerlo 
en ridículo, comparando la fuerza á la caballería que tira de 
un vehículo y el vehículo á la masa misma. 

Pero en rigor este ejemplo es una prueba más, con ser tan 
vulgar y tan tosco, de la terquedad con que la misma expe- 
riencia impone estos dos conceptos: 

La acción que se ejerce y algo material sobre lo cual se 
ejerce dicha acción. Esto proclama el sentido común en un 
carromato como en un astro. 

Y como el efecto producido se marca por el movimiento 
y este efecto ha de medirse, por decirlo así, por un coefi- 
ciente que dependerá de la fuerza y dependerá del elemento 
material, sobre el que se ejerce, de aquí, naturalmente, el 
concepto de inercia. 

La palabra quizá no sea propia; pero la experiencia, con 
interminable terquedad, volvemos á repetirlo, despierta en 
la inteligencia humana estos tres conceptos: 

Lo que actúa, aquello sobre lo cual actúa y el efecto pro- 
ducido, que es como si dijéramos el cambio que se produce 
en el estado de las cosas. 

Y mientras la inteligencia humana esté organizada como 
hoy lo está, estos tres conceptos, Ó estas tres ideas, Ó estas 
tres representaciones intelectuales, Ó estos tres símbolos 
parciales de tres cosas reales, ó déseles el nombre que se 
quiera, se impondrán á la experiencia, se impondrán á la 
razón humana y se impondrán á toda ciencia por más arti- 
ficios que se busquen para salvar dificultades y dudas. 

La metafísica busca en todas partes su desquite. 

Resulta, sea del modo que fuere que, como en la Estáti- 
ca, nos encontramos el concepto fundamental de fuerza; en 
la Dinámica nos lo encontramos también, complicado, con 
otro concepto, el de masa. 

Pero de este último, podemos prescindir por ahora. 

Y vemos, en resumen, que, así en un problema de equi- 
librio, como en un problema de movimiento, las fuerzas, por 


— 305 — 


regla general, constituyen datos necesarios del problema. 

Esto, volvemos á repetirlo, en términos generales, aunque 
claro es que en ocasiones, las fuerzas no sólo son datos, 
sino que algunas de ellas pueden ser incógnitas del proble- 
ma. Por ejemplo: cuando en un problema de estática se 
buscan las presiones, las tensiones y todas las fuerzas in- 
ternas que se desarrollan en el sistema, una vez establecido 
el equilibrio. Precisamente estos son los problemas, que el 
ingeniero constructor se ve obligado á resolver de continuo. 


De todas maneras resulta que, en los problemas de Me- 
cánica, y sobre todo en la Mecánica clásica, la fuerza es un 
elemento y un concepto fundamental; claro que nos referi- 
mos á las fuerzas de la vieja mecánica, á las que se definian 
diciendo que eran /as causas del movimiento, á las que se 
medían y se miden por kilogramos. 

En ciertas renovaciones de la ciencia moderna y en cier- 
tas nuevas teorías, ya hemos dicho repetidamente, en otros 
cursos, que el concepto de fuerza va perdiendo, en cierto 
modo, terreno y que en cambio aparece con ambiciones po- 
derosísimas otro concepto, el concepto de energía. Tanto, 
que á la Mecánica y á la Física y á todas las ciencias del 
mundo inorgánico, por el pronto, sin perjuicio de la suerte 
que al mundo orgánico le esté reservada en la mente de los 
innovadores; á esta nueva ciencía total, repetimos, se le da 
el nombre de ciencia de la energía. 

Ya este punto lo hemos tratado en años anteriores, aun- 
que de paso y reservándole el lugar preferente para más 
adelante; y ahora, también de paso, vamos á tratarlo. 

Dijimos que la energía era una denominación genérica, y 
en el concepto de algunos físicos de la nueva escuela, la 
energía casi se confundía con la esencia de las cosas. 


— 306 — 


Mas siendo una en su esencia, y valgan los términos meta- 
físicos, es múltiple en sus determinaciones. 

Así, según la nueva escuela, tenemos: la energía mecáni- 
ca, la energía calorífica, la energía lumínica, la energía 
eléctrica, la energia magnética, la energía química, la energía 
fisiológica y aun si se quiere la energía espiritual, que de 
todas trata, en su interesante obra, el eminente y laureado 
químico W. Ostwald. 

De todas estas energías, la primera, la fundamental en la 
ciencia clásica, es la energía mecánica, que se mide por ki- 
lográmetros. 

Y ocurre preguntar ¿todas las energías de la lista anterior 
son fundamentalmente distintas unas de otras, y unas á otras 
irreducibles, sin que pueda señalarse la unidad de todas ellas? 

¿Es problema racional y sensato buscar esa unidad, ó es 
empresa, por el contrario, insensata, imposible, absurda? 

No pretendemos resolver en este momento dicha cuestión 
verdaderamente transcendental. 

En toda la ciencia clásica del siglo anterior se ha contes- 
tado á las anteriores preguntas con una afirmación absoluta; 
llena de esperanzas, y de ambiciones, dicen otros. 

La hipótesis mecánica tiene esta significación y aspira á 
reducir todas las formas de la energía á la energía mecánica. 

Hoy mismo, al establecer las unidades de la Física, todas 
las energías de ésta se expresan por unidades de la energía 
mecánica. Es decir, por kilográmetros, ó de otro modo, por 
el producto de fuerzas por caminos recorridos. 

¿Y admitir, puede preguntarse, que la energía calorífica, 
la eléctrica, la magnética, la lumínica y la química, se ex- 
presan por las mismas unidades que la energía mecánica, no 
es admitir, implícitamente, cierta unidad de esencia entre 
todas estas formas de la energía? 

Acaso se diga que la equivalencia entre diversas unidades 
físicas, no supone ¿dentidad en la esencia de los fenómenos. 

Acaso la contestación tenga fuerzas para algunos; pero 


=.307-= 


no duden los nuevos críticos, que por este camino de la equi- 
valencia de las unidades, va el espíritu humano á la unidad 
de fondo entre los fenómenos. 

No se llegará, ó se llegará al fin; pero este es el camino 
que conduce á una nueva hipótesis mecánica, si bien más 
amplia que la del siglo precedente y más comprensiva que 
aquélla, porque abarcará, no sólo la materia ponderable sino 
la luz, el calor, la electricidad, el magnetismo, las reaccio- 
nes químicas y ese nuevo mundo de iones, electrones, ra- 
yos X, rayos catódicos y radio-actividad. 

La nueva hipótesis, repetimos, será mucho más amplia 
que la vieja hipótesis mecánica; pero será una hipótesis me- 
cánica, de una nueva mecánica, que comprenderá á la anti- 
gua, con su hipótesis, como caso particular Ó como prime- 
ra aproximación de nuevas soluciones para los fenómenos 
inorgánicos de la Naturaleza. 


Vemos, sea como fuere, que todas las formas de la ener- 
eía se expresan por unidades de la energía mecánica y se 
reducen á kilográmetros. Y como el kilográmetro supone 
dos unidades fundamentales, para la fuerza, por ejemplo el 
kilogramo, y otra para el camino, el metro por ejemplo, con 
estos dos factores, fuerza y espacio lineal, tendrán que con- 
tar forzosamente todas las energías que la nueva escuela de 
la energética imagine. 

Podrán los partidarios de las modernas teorías descompo- 
ner, como hace Otswald, y es descomposición muy curiosa 
y quizás profunda, cada energía en dos factores especiales. 
Por ejemplo: la electricidad, en los factores potencial y can- 
tidad de corriente; el calórico, en estos otros dos, tempera- 
tura y eutrapia, y así sucesivamente. Pero siempre el pro- 
ducto de estos dos factores determinará un número, que re- 


— 308 — 


presentará la energía, el cual, á su vez, se descompondrá en 
fuerza y camino recorrido. 

Es, si se nos permite la comparación, una teoría análoga 
á la descomposición de un número en números primos ordi- 
narios, en números primos complejos, y así sucesivamente, 
en una serie de representaciones transcendentes del concep- 
to del número. 

Queremos significar, con las observaciones que preceden, 
que, si bien en las teorías modernas, como más de una vez 
hemos hecho observar, al concepto de fuerza se va sustitu- 
yendo de preferencia el concepto energía, esto no signifi- 
ca, de ningún modo, que haya de abandonarse, ni en un 
porvenir próximo, ni en un porvenir remoto, el concepto de 
fuerza, de la fuerza clásica medida por kilogramos, que en- 
carna en la realidad de los hechos y circula en lo más pro- 
fundo de los fenómenos. 

Y es inútil que los innovadores digan que la fuerza es una 
abstracción sin realidad. Si á la palabra abstracción se le da 
un sentido absoluto, podremos decir, que la inteligencia hu- 
mana vive de abstracciones y sólo abstracciones maneja. 

Si es abstracción la fuerza, es abstracción la energía; ni 
una ni otra abarcan por completo la totalidad de un fenó- 
meno. ¿ 

Los sentidos suministran á la inteligencia materiales, en 
los que, por decirlo así, hay una parte real y una parte abs- 
tracta. 

Volvemos á repetirlo: si la fuerza es una abstracción, otra 
abstracción, aunque quizás más saturada de realidad, es la 
energía. 

Podríamos decir, análogamente, que si la línea geométrica 
es una abstracción, abstracción es también el plano. 

El concepto de fuerza y el concepto de energía en el mundo 
¡norgánico, los encontramos, como encontramos la materia. 

De los objetos exteriores, el sentido de la vista extrae una 
representación, y por eso creemos que vemos la materia. 


+ 0 


Pues en rigor, noes más privilegiada la vista que el tacto, 
porque el tacto nos da también el concepto de fuerza, de re- 
sistencia, de presión, de empuje. 

Ni en Geometría se podrá prescindir de la línea, preten- 
diendo anularla ante el volumen de un espacio. 

Ni en la Mecánica se podrá anular la fuerza ante la 
energía. 

Espacio y campo hay, por decirlo así, para todos los ele- 
mentos de la ciencia clásica y para todos los elementos de 
la ciencia novísima; que la historia de la ciencía, que es la 
de su evolución, abarca á unos y á otros, en un organismo 
cada vez más perfecto, y que aspira, cada vez con más an- 
sia, á formas definitivas, aunque jamás llegue á alcanzarlas. 

Hemos dicho todo lo que precede, porque vamos á con- 
siderar en estas conferencias á la fuerza, á la manera que la 
consideraba la Mecánica clásica. 


El concepto de fuerza va unido casi constantemente, en la 
vieja Mecánica, á la acción ó distancia. 

La hipótesis newtoniana supone, que la materia actúa so- 
bre la materia, atrayéndola proporcionalmente á las masas y 
en razón inversa del cuadrado de las distancias. 

En esta hipótesis cualquier elemento de materia pondera- 
ble, que ha sido lo que, traduciendo nuestras sensaciones, 
hemos llamado siempre materia; una molécula, un átomo se 
supone que atraen á toda la materia restante del Universo, 
como si el espacio no existiese, como si todo estuviera en 
contacto con todo, y además como si no existiera el tiempo, 
porque la acción se supone que es instantánea. 

El espacio influye, pero es sólo para debilitar la atracción, 
porque sabemos que en tal hipótesis la atracción es inversa 
del cuadrado de la distancia. 


— 310 — 


Este principio de las atracciones de la materia se ha hecho 
popular, indiscutible, y como verdad indiscutible ha pasado 
á la gran masa de las inteligencias. 

Hoy la mayor parte de los físicos rechazan la acción á 
distancia y vuelven á la primitiva fórmula de Newton: la 
materia atrae á la materia proporcionalmente á las masas y 
en razón inversa del cuadrado de las distancias. O las cosas 
pasan, es decir, ó los fenómenos se desarrollan, como si esta 
atracción á distancia fuese una realidad. 

Hipótesis, simbolismo, fórmula práctica Ó como se quiera, 
que simplifica los cálculos y las teorías y que crea toda la 
Mecánica celeste. 

No vamos á discutir una vez más este tema; en la exposi- 
ción de la teoría de las atracciones y de la potencial admiti- 
remos la fórmula clásica como si fuera una realidad. 

Si á pesar de la crítica, lo es, por serlo. 

Si es un puro simbolismo, por su comodidad y su fecun- 
didad. 


En un sistema de puntos materiales, continuos ó discon- 
tinuos, tendremos que considerar dos elementos para el es- 
tudio de las atracciones: las masas y las fuerzas. 

Las fuerzas que actúan sobre cada punto podrán tener dos 
origenes; procederán del mismo sistema ó vendrán de siste- 
mas exteriores á éste. 

De estas últimas fuerzas vamos á prescindir por completo. 
Es decir, supondremos que no existen. 

En pura teoría decimos que no existen, y si de la pura 
teoría pasásemos á la práctica, supondremos que son tan in- 
significantes sus acciones, por proceder de sistemas inmen- 
samente lejanos, que será legítimo despreciarlas. 

En suma, supondremos que toda fuerza que actúa sobre 


— 311 — 


un punto del sistema procede de otro punto del sistema 
mismo. 

De modo que en el sistema, por decirlo así, cerrado, que 
estamos considerando, tendremos dos clases de elementos: 

1.2 Una serie de masas /1, M,, Ma ..... que podrán ser 
discontinuas Ó podrán formar una continuidad total, ó po- 
drán constituir una serie de grupos continuos. 

2.2 Un sistema de fuerzas que serán las atracciones en- 
tre cada dos puntos del sistema cerrado. 

Estas atracciones, supondremos, que obedecen á la ley 
newtoniana. De modo que si m es la masa de un punto, m1; 
la masa de otro punto del sistema, y r la distancia entre am- 
bos puntos, el valor de su atracción, prescindiendo ahora del 
signo, será 
mm, 


Í 


r? 


en que f es un coeficiente numérico, que dependerá de la 
unidad que se elija para las masas, y de las unidades que se 
elijan para las distancias y para las fuerzas. 

Será f el valor numérico de la atracción entre dos masas 
infinitamente concentradas, iguales á 1 y distantes una unidad. 

Porque, en etecto, si m=1, m,=1,r=1, la fórmula 
anterior se reduce á f. 

Además, suponemos que la acción es igual y contraria á 
la reacción. 

Si M atrae á M' con una fuerza F de M' á M, á su vez 
M' atrae á M con una fuerza F de Má M', ó sea en sentido 
contrario que antes. 

Por último, la acción es nstantánea: la fuerza F se trans- 
mite, por decirlo así, de golpe: tarda un tiempo cero en ir 
de una masa á otra: no va, existe. 


— 312 — 


Toda esta teoría de las atracciones. y de la potencial va- 
mos á dividirla en dos partes: ' 

En la primera trataremos del caso en que las masas for- 
man un sistema discontinuo. 

Admitiremos en la segunda, que los elementos materiales 
forman uno ó varios sistemas continuos. 

Empecemos desde luego por el primer caso. 


Atracciones y potencial de sistemas discontinuos. 


Sea un sistema cerrado, es decir, único S (fig. 1.%), com- 
puesto de puntos materiales M, M,, Mo..... 


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1 / AS ' , 
/ - 1 
, / 2 Sl ma 
ñ a Y 
: en MM», y 
" 3 2, a 
o $ A cn 
Fiaura 1.* 


Cada uno de estos puntos tiene una masa ponderable, que 
representamos por estas mismas letras; masas que podrán 
ser infinitamente pequeñas, ó que podrán ser finitas; esto 
importa poco para nuestro objeto; pero admitiremos que 
están reconcentradas en un punto geométrico cada una de 


ellas, Ó si se quiere, en un elemento de volumen infinita- 
mente pequeño. 


— 313 — 


Abarcamos todos estos puntos en una superficie S para 
indicar el aislamiento del sistema respecto al espacio exte- 
rior; no tiene otra significación la superficie S, que en rigor 
| no existe sino como símbolo geométrico, superficie que podrá 

ser, por lo demás, tan grande como se quiera. 

Entre estos puntos, dos á dos, suponemos que existen 
atracciones; por ejemplo, entre m y m,, entre m y m.,, entre 
m, y m, y así sucesivamente, tomando los puntos dos á dos. 

Y según el principio de igualdad entre la acción y la reac- 
ción, la de m sobre m, será la misma, y en sentido contrario 
que la de m, sobre m. Por fin, estas acciones, como antes 
decíamos, son instantáneas. 

Tres son, pues, los principios que rigen la mecánica del 
sistema: 
pr 

EN 

Segundo. La igualdad de la acción y la reacción. 

Tercero. La acción instantánea. 

No existen, pues, en el sistema, lo repetimos, más que 
estas dos clases de elementos: las masas m y las atracciones 
que resultan de todas las combinaciones binarias de dichas 
masas. 

Para estudiar problemas de estática Ó de dinámica del sis- 
tema que consideramos, no hacen falta otros datos más que 
las masas señaladas, la ley de las fuerzas, que es la ley new- 
toniana, y la distribución de los puntos 1, M,, fta.....: SÍ es 
problema dinámico hay que agregar las velocidades iniciales. 

Y con estos datos podremos determinar evidentemente la 
fuerza que actúa sobre cada punto de los indicados, porque 
podremos calcular la acción de cada uno de los restantes 
y la resultante de todas estas acciones. 

Más á fin de que no quede la menor duda á mis alumnos, 
debo insistir todavía en estas explicaciones, por más que pa- 
rezcan elementales. 


Primero. La ley de las atracciones f 


— 314 — 


A la expresión 
/ nm; 
far 
que mide la acción recíproca atractiva, entre dos masas: 
m y m,, muchos autores le dan un signo, que es el signo — en 


— y 
M 
N 
v 
V 
V 
' 
1 
/ 
4 


Ñ 
e b : 
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Ú Y 1 ) 
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0 Cr , 
Y 4 / 
' “b 
A PA de 
' 
1 
' 


Figura 2.? 


este caso de atracción; pero nosotros preferimos otro siste- 
ma, que nos parece, al menos por el pronto, más sencillo, 
más natural y menos expuesto á dudas para los principiantes. 

La acción sobre cada punto A (fig. 2.”) ya de un punto 


del sistema m,, mo» ... ya de todos ellos, la consideraremos 
como un vector y la expresión 


mm; 


Al ; 


Ue 


como esencialmente positiva. 
Ahora, este vector Aa”, referido á tres ejes, podrá tener di- 


— 315 — 


ferentes orientaciones, y las componentes del vector serán 
positivas Ó negativas según vamos á explicar, y resultarán 
con su signo, sin género ninguno de duda. 

En efecto, consideremos, para simplificar la explicación, la 
acción de la masa m, sobre la m: luego determinaremos las 
acciones de los demás puntos sobre A y el conjunto de to- 
das ellas, es decir, el vector resultante de todos estos vecto- 
res parciales, análogos al AQ”, será el vector que represente, 
la atracción total del sistema menos m, sobre el punto A que 
hemos elegido. 

Claro es, que podremos repetir para otro punto cualquie- 
ra B,con sus vectores parciales Bb y su vector total todo lo 
que hemos dicho para A. 

En notaciones vectoriales y representando, por el pronto 
por 2 una suma vectorial, podremos decir | 


atracción sobre A=XY Aa, 


extendiendo la suma á todos los puntos del sistema me- 
nos 1. 
Volviendo al par de puntos 4, A,, tendremos 


mm; 


2 


Fi? 


fuerza Ó vector Aa =f 


Vamos á determinar ahora las componentes de esta fuer- 
za Ad' que para abreviar representaremos por F.. 

Así como representaremos por X,, Y,, Z, sus componen- 
tes paralelas á los ejes; y tendremos, desde luego, para la 
componente 


2 E cos A,¡AM. 


Designemos por x, y, z, las coordenadas del punto, A, y 
por a4,, b,,C,, las del punto A, . 
Como vamos á estudiar la acción de todos los puntos del 


Ruv. AcAD. DE CieNcIAs.—X.— Noviembre, 1911. 21 


— 316 — 


sistema, sobre el punto A, empleamos notaciones distintas 
y análogas en cada caso, para el punto atraído A y para los 
puntos que atraen 4,,4,,4; ..... 

Tendremos, evidentemente, en la figura 2. 


cos A, AM= Al sl pz 


y, por lo tanto, 


mim (Dl, = 2£ 
14 = === —= : 
LEN Pi 
Ó bien 
mm 
a iaa (iS)! 
1 


Veamos desde luego cómo en esta figura resulta para 
X, el signo que debe resultar. : 

Y en efecto, la componente del vector Aa” = F,, fuerza 
paralela al eje de las x, en la figura es positiva pues actúa 
en el sentido de las x positivas; y el segundo miembro es 
también positivo. Porque f es un número positivo por na- 
turaleza; m,m,, en el caso de la atracción de masas pon- 
derables son otros dos números positivos. Cuando amplie- 
mos todo esto para las acciones eléctricas, tendremos que 
ampliar esta hipótesis, más por el momento positivas son, 
como hemos dicho, m y m;. 

La distancia AA, =r,, es positiva por ser una distancia 
y nada más. Y signo positivo lleva a, — x, toda vez que a; 
en la figura es mayor que x. 

Hay concordancia, pues, entre el signo del primer miem- 
bro y el del segundo. 

Más aún, esta fórmula en que restamos, de la coordenada 
a, de la masa atrayente m,, la coordenada x de la masa 
atraída es general, como vamos á ver, y da siempre concor- 


— 317 — 


dancia en los signos de ambos miembros de la expresión an- 
terior. 

Consideremos, en efecto, la figura 3.* en la que hemos in- 
vertido los puntos A y A;. 

La componente X, del vector F, = Aa, en este caso, se- 


z 
| 
| 
| 
| 
| 


AX A 
ARRE, ERAN de A oo. 
KN 
LO 
(ed ' 
1] 26 ! 
7% J 
E vz 
1 A I 
| a% | 
A. : 
1 
eii 
p ' 1 
1 : , 
b) O 
¡7 
y 
y Figura 3. 


gún la figura, es negativo; de modo que es negativo el pri- 
mer miembro de la fórmula. 

Veamos el segundo. 

Lo mismo que antes, f, m, m, y r,, son cantidades posi- 
tivas. Pero a, — x es evidentemente negativa, porque a, es 
menor que x. Luego el segundo miembro es negativo, como 
debía ser. 

De suerte que la fórmula al menos para las masas ponde- 
rables es general y da los valores de la componente del vec- 
tor-atracción X, con su valor numérico y con su signo. 


Todo esto, podemos repetirlo, para las otras dos compo- 
nentes. 


— 318 — 


Y tendremos, en suma, que las componentes del vector de 
atracción F, de una masa /m, sobre una masa m serán 


mm 


AL =$ E (a, — x) 
Py 
mm 

Y,=f= o (0, — y) 
y 

L, =$ mr (E == 2)» 
F 


1 


Estas fórmulas son generales; pero es necesario restar de 
las coordenadas del punto atrayente, las coordenadas del 
punto atraído, y en este caso, el vector de atracción es un 
escalar positivo y su orientación, respecto á los ejes, es de- 
cir, los cosenos de los ángulos que forma con dichos ejes, 
son los que determinan el signo de las componentes de di- 
cho vector ó fuerza. 


Del mismo modo que hemos determinado, las componen- 
tes de la atracción que ejerce la masa m,, sobre la masa m, 
y que son, según queda expuesto: 


ay —X 

xXx =fmm %, 
UN 

0 —) 

A O A 
US 

Ea E 
Fy 


se determinan las componentes de la atracción que ejerce 
la masa m, sobre la masa m, y serán estas componentes 
empleando notaciones análogas: 


Us. — X 
X, =fmm, — , 
Fo? 
PRE 
==, 
FS 
Co —= Z 
E, a 
1 


otro tanto podríamos repetir para las masas M;, M,) ..... Mp. 

Cada una de estas masas da un vector para m, con las 
tres componentes que le corresponden, y sumando las com- 
ponentes paralelas á cada eje, y representando por X, Y, Z, 
las tres componentes totales de la atracción, tendremos: 


A O cl 
a AS IE a 
= Zi + ZL,+> . o... + Za; 


ó abreviadamente y empleando el signo S para expresar la 
suma, pero no una suma vectorial, sino una suma ordina- 
ria, tendremos que sobre el punto m, los demás puntos del 
SISI iS li aos: m>, ejercen una atracción, cuyas 
tres componentes serán 


X= SA 
y = Sy” Ya 
L= e Vo 


O bien substituyendo los valores de cada componente 


parcial, que antes hemos determinado, 
As A Xx 
X=S,"fmm, == 


fi? 


Y = S¡"fmm; ¿2 2 


C, — 
Z=S'fmm, 2É: 


fi" 


— 320 — 


el subíndice y el índice del signo S, significan, naturalmen- 
te, que hay que sumar términos de la misma forma que el 
que se expresa, pero en que los subíndices de las letras 
m, a,b,c, r, varían desde 1 hasta 7. 

Estas son, por lo tanto, las componentes de la atracción 
que buscábamos, expresadas, como es natural, en función 
de la masa m del punto atraído y de sus coordenadas Xx, y, 
z, y además, de todas las masas restantes del sistema 1m,, 
Mo, ....., de sus coordenadas correspondientes a,, D,, Cy, 
ORO AC os beca y de las distancias r;, f, ..... de todos los pun- 
tos al punto mm. 

Si en el sistema los puntos My, Ma ..... quedasen fijos y 
solo variase de posición el punto m, las componentes de 
la atracción sobre m serían funciones de las variables x, y, Z. 
Entran, en efecto, explícitamente, y entran además en las 
distancias r, que son de la forma 


r=Vla—=x + (0—=y?+ (02) 


De modo que, puede decirse desde este punto de vista, 
que X, Y, Z, son funciones de X, y, Z. 


Para concluir esta conferencia vamos á hacer dos obser- 
vaciones finales: 

Es la primera que, cada dus puntos A, A, (fig. 2.*), ejer- 
cen atracciones iguales y contrarias. Es principio fundamen- 
tal de la Mecánica clásica éste que acamos de indicar, como 
ya lo dijimos antes. 

De modo que si A, ejerce sobre A una atracción repre- 
sentada por el vector Aa en el sentido que marca la flecha, 
el punto A ejercerá á su vez sobre el A, una fuerza igual y 
contraria á la anterior, representada por el vector 4,a,, que 


— 321 — 


es igual en valor numérico y va en sentido contrario que el 
vector Aa. 

Esto se comprueba por la expresión analítica de ambos 
vectores.- 

Según la regla que hemos establecido, 


fm m, 
las tres componentes de A a son fmm: 
mm 


5 == (0) 
¡fmm, 
E 
: —b 
y las tres componentes de A, a, SON á SU Vez | fmm: Era 


E = 0 
fmm, ==> 


Py 


porque según dicha regla, debe restarse de las coordenadas 
del punto que atrae las coordenadas del punto atraído y para 
el vector 4,4, el punto que atrae es m y el punto atraído 
es Mm. 

Y se ve, comparando unas componentes con otras, que las 
tres últimas son iguales y de signo contrario á las tres pri- 
meras, de donde resulta que, en efecto, el vector A,0, es 
igual y contrario al vector Aa. 

Esto en cuanto á la primera observación de las dos que 
hemos anunciado. 

La segunda observación nos sirve para indicar lo que ya 
sabemos por conferencias de años anteriores, Ó sea que la 
ley newtoniana de la relación inversa del cuadrado de las 
distancias puede generalizarse fácilmente. 


== 2h 


Puede suponerse, que la atracción entre dos puntos mate- 
riales es proporcional á las masas, á una función determina- 
da de la distancia, pues también de la distancia depende, que 
es instantánea, y que obedece al principio de la reacción, 
igual y contraria á la acción. 

Entonces la acción de una masa sobre otra será 


m m, fr), 
y podremos repetir, para este caso, todo lo que hemos dicho 


as : EAS | 
para la atracción newtoniana, sustituyendo á a la expre- 
r 


sión f (7). 

Precisamente esto es lo que hicimos en el segundo curso 
de esta asignatura al explicar la teoría de la elasticidad por 
el método de Cauchy. 

Por ahora volveremos á la teoría exclusivamente newto- 
niana, continuando con ella en la conferencia próxima. 


— 323 — 


XV.—La copelación, según antiguas recetas. 


Por JosÉ RODRÍGUEZ MOURELO. 
(Conclusión.) 


Interpretación y comentarios. 


Gracias á las indicaciones precisas contenidas en una carta 
que me dirigió Berthelot, datada en Paris á 16 de Noviem- 
bre de 1897, respuesta á otra mía en la cual describía muy 
por menudo el Manuscrito de Alquimia donde las recetas 
copiadas se contienen, no es ya difícil explicar y entender 
la manera como fueron consideradas y definidas las opera- 
ciones de la copelación, conforme al texto de la obra blanca 
particular y á la técnica de la famosa lejía, en la cual debía 
ser preparada la limadura de hierro. No se trata, en manera 
alguna, de cosa nueva ó de invención peregrina, fruto sazo- 
nado de los estudios y experimentos del desconocido autor 
de la Imagen de la vida, sino de la práctica tradicional de un 
sistema, con poquísimas variantes repetido, y encaminado 
al beneficio de los plomos, más Ó menos argenfíferos, con 
aquellas complicaciones y aditamentos curiosos, obligado 
cortejo de todo linaje de preparaciones alquimistas. 

Seguramente cuantas hay descritas en el Manuscrito de la 
Biblioteca Nacional, objeto de mis investigaciones, y muy en 
particular las ahora examinadas, refiérense á bien conoci- 
das tradiciones de Alquimia, provenzales y aun españolas; 
pues se hallan tales procedimientos y son cosa corriente en 
aquellos adeptos de la piedra filosofal y de la doctrina trans- 
mutatoria que se valieron del seudónimo de Ramón Lull para 


— 324 — 


dar mayor crédito á sus patrañas, cuando no á sus falsifi- 
caciones, en cuyas artes fueron siempre extremados. Esto 
no obstante, menester será el reconocer un fondo real y po- 
sitivo en la práctica de la obra blanca, en cuanto es á modo 
de un término ó punto de las tradiciones de la copelación 
llegadas hasta nuestros días y convertidas, á la postre, en 
un método excelente de la metalurgia de la plata. Claro está, 
como debe despojarse la técnica descrita de todo lo inútil, de- 
purar las ideas positivas del fárrago en que están envueltas 
y verlas claras, con su valor real en el tiempo de la receta, 
enlazadas á las tradiciones anteriores, de las cuales son al 
cabo hijas y continuación, siquiera tengan las variantes de- 
didas al mejor conocimiento de las cosas y al propio saber 
indívidual de su anónimo autor, quizá muy apto en su prác- 
tica. 

Hay necesidad de distinguir la doctrina informadora del 
procedimiento y el arte Ó modo de operar en su práctica, 
ambas cosas de importancia, si bien lo segundo, como más 
real y positivo, resulta de bastante mayor interés. En sentir 
del autor de la receta, sea éste quien quiera, háyala copiado 
de otros Tratados el que compuso el Manuscrito, ó proceda 
de su práctica é ingenio, trátase de fabricar plata sin plata, Ó, 
acaso más propiamente, de convertir el plomo en plata, per- - 
teccionándolo y acendrándolo mediante el fuego, y con au- 
xilio de las limaduras de hierro preparadas con su singular 
legía, del cinabrio y del mismo plomo calcinado, ejecutando 
con todo ello el conjunto de operaciones tan por menudo 
descritas en la famosa receta, y así resultaba un argumento 
positivo y de gran eficacia en favor de la grande y funda- 
mental doctrina transmutatoria. 

Tal era el común sentir de los alquimistas en este punto y 
el canon de sus teorías. Cuando en las distintas operaciones. 
á las cuales sometían las substancias metálicas desaparecía 
un metal, bien por ser oxidado, volatilizado, servir de re- 
ductor ó substituir á otro en cualesquiera combinaciones sa-- 


35 


linas, era que se transformaba, perfeccionándose siempre, 
convirfiéndose en materia más próxima del oro, á expensas 
del peso primitivo. Así, para el autor de la receta de la obra 
blanca no había cambio integral de la materia, y cuidase 
bien de decir cómo de cada ocho marcos de la mezcla em- 
pleada sólo resultan dos marcos de fina plata, significando 
que la materia del plomo, al perfeccionarse perdiendo su ca- 
lidad para adquirir otra mejor, se condensa y pierde tambien 
de peso, y no de una vez, por cuanto es dable repetir la ope- 
ración cada diez días, practicando de nuevo cuanto se pres- 
cribe para la vez primera. Fundiéndose poco á poco la mez- 
cla incorporada al plomo en la cendrada, desaparece como 
tal, pierde, como si dijéramos, su naturaleza; pero como el 
propio fuego y el contacto de las otras substancias la purifi- 
ca y condensa, de aquellas cenizas, eliminadas en cuanto se 
producen, nace la plata brillante, metal ya dotado de mu- 
chas perfecciones, aunque hijo del plomo blando, obscuro, 
sin brillo y muy alterable; en este sentido podría conside- 
rarse prueba de mucho valor respecto de las transformacio- 
nes de los metales la fabricación del areén mediante la obra 
blanca. 

Iniciada aparece la doctrina en los primitivos alquimistas, 
filósofos por lo general y casi nuñca experimentadores, y 
como tradición esencial del arte transmutatorio llega hasta 
tiempos bien cercanos de los presentes, cuando en el si- 
elo xvii el traductor español de cierto libro de Ireneo Fila- 
leta, bajo el seudónimo de Teófilo, para mejor acreditar su 
título de apto escrutador de la piedra filosofal, pretende 
demostrar la realidad de la Alquimia con la transformación 
del hierro en cobre, realizada mediante experimento. El cual 
está reducido al conocidísimo método de cementación, y el 
desconocer la presencia de compuestos cúpricos en los lí- 
quidos donde sumergía las barras de hierro, indúcele á pen- 
sar que cuando este metal desaparece en aquéllos, se crea el 
otro á sus expensas. 


—= 326 — 


Usa el autor de la obra blanca, á guisa de primeras mate- 
rias destinadas á ser mezcladas con el plomo en la cendra- 
da, limaduras de híerro preparadas con su lejía, plomo cal- 
cinado y cinabrio, éste último acaso destinado para conse- 
guir el mercurio del plomo, su amalgama, diríamos ahora, 
por cuanto el lograr el mercurio de cada metal era término 
obligado para alcanzar su perfeccionamiento. Ordena cómo 
ha de hacerse la lejía en receta aparte y prescindiendo del 
vinagre, el cual formaría acetatos con el carbonato de pota- 
sio de las cenizas de las raíces y la cal de las cáscaras de 
huevos y de la orina de vacas, ingrediente muy de la pre- 
ferencia de los alquimistas, á juzgar por la frecuencia con 
que se encuentra en sus más complicadas prescripciones, con 
la dicha cal de las cáscaras de huevos, hervida con cenizas 
de sarmientos y de raíces de habas, obtiénese potasa, más Ó 
menos concentrada, mediante un cambio químico harto co- 
nocido. Prúebase así la escasa originalidad del autor en 
cuanto á la preparación de su famosa lejía; pues era tradi- 
cional también y ya las ponen muy semejantes los autores 
del siglo XII, sin duda tomándolas de otros todavía más 
antiguos, siendo en la Alquimia cosa corriente semejante 
copia, más Ó menos alterada; lo cual indujo no pocas veces 
á considerar procedimientos distintos las insignificantes va- 
riantes de uno solo. Debe tenerse presente cómo la Alquimia 
es arte tan pobre de métodos verdaderos como rico de pala- 
bras y de fórmulas cabalísticas, destinadas muchas á expre- 
sar una sola idea positiva. 

Juntando las limaduras con su lejía, después de bien lava- 
dascon salmuera, en primer término se desengrasan y lue- 
go, como permanecen nueve días dentro de aquélla, altéran- 
se un poco, no por la alcalinidad del líquido, sino mediante 
el agua, lo cual vale tanto como decir la inutilidad de pre- 
parar en su lejía las limaduras de hierro. Mas era preciso 
seguir la tradición, á la que tan apegado se muestra el au- 
tor de la obra blanca; de no ser el primer tratamiento de las 


— 32í — 


limaduras de hierro un medio de disgregarlas, quizá á causa 
de alteraciones superficiales, para luego reducirlas á polvo 
impalpable, facilitando su mezcla con los demás ingredien- 
tes á ellas incorporados. 

Viniendo ya al significado de los mismos, aparece en pri- 
mer término el plomo dicho calcinado. Conforme en los 
simbolos alquimistas de los metales hay siempre alguna se- 
ñal para indicar su estado físico, pues era creencia general 
su influencia en la propia substancia de aquéllos, así en las 
combinaciones, faltando el conocimiento de la composición 
química, agregaban al nombre del metal el de la operación 
ú operaciones á las cuales hubiera sido sometido, y resul- 
tando el plomo de los más alterables, sobre todo mediante 
el fuego, había muchas suertes ó especies de plomo. Segu- 
ramente, en el caso de nuestra obra blanca, se parte de la 
galena, de remotos tiempos empleada, porque se prescribe 
cómo ha de ser empleado el plomo calcinado, conforme ha- 
cen los olleros para el vidriado, y uno de los nombres de 
la dicha galena es precisamente alcohol de alfareros. Tos- 
tándola al aire, como se hace todavía en muchos procedi- 
mientos metalúrgicos, y lo hacían alquimistas de manera 
harto incompleta, se obtiene un producto complejo, de com- 
posición y color variables, en el cual hay subóxido de plo- 
mo, sulfato y sulfuro, Ó sea la materia que sirve para obte- 
ner el plomo, y la receta no es única para el plomo calcina- 
do, otras veces, y antiquísimos Tratados, llamado que- 
mado, pues abundan y son numerosas las variantes de 
ellas, conduciendo todas al mismo fin. Este plomo calci- 
nado es reductible por el hierro, y esto explica ahora su em- 
pleo en la forma dicha en la receta del Manuscrito, siquiera 
cuando en el siglo xv fué escrita, se igenoraran en absoluto 
semejantes transformaciones químicas. 

Leyendo la palabra cinabrio en la receta de la obra blanca , 
no ha de creerse que se trata de nuestro actual sulfuro de 
mercurio y el principal de sus minerales, por cuanto los 


— 328 — 


alquimistas han llamado cinabrio á muchas materias minera- 
les dotadas de color rojo, de ordinario óxidos y sulfuros, y 
también á algunas vegetales. Con mucha frecuencia es lla- 
mado cinabrio el minio, y de seguro minío quiere signi- 
ficar el autor anónimo, por cuanto ni una sola vez nombra 
el mercurio en las operaciones descritas con tanto lujo y va- 
riedad de pormenores, encaminados á su mejor práctica y re- 
sultado. 

Ya se entiende también cómo el agua ardiente en la cual 
se empapa la mezcla de las tres substancias dichas al porti- 
rilizarlas sobre el mármol, no es el líquido designado ahora 
con tal nombre, porque entonces no se comprendería su 
papel en las operaciones subsiguientes. Según Berthelot, 
quien se apoya en textos muy antiguos, era una palabra 
genérica esta de agua ardiente, y fué aplicada á líquidos de. 
toda especie; sólo en tiempos relativamente próximos á los 
actuales, sirve para designar los alcohólicos, luego de haber 
sido destilados, y juzgo verosimil que se trata de un ácido 
diluido, más ó menos enérgico, quizá una disolución de áci- 
do nítrico, capaz de transformar el minio en ácido plúmbico 
y nitrato de plomo, ambos materias oxidantes. Procédese 
entonces al primer tratamiento por el calor, y vale decir 
cómo las gradaciones del fuego, del modo indicado en la 
obra blanca, reproducen una tradición tan antigua, que se. 
encuentra en los alquimistas griegos. Igualmente son tradi- 
cionales las vasijas de vidrio esféricas, y el calentar en ellas, 
bien enlodadas y cerradas, las mezclas destinadas á las 
transformaciones y cambios, empleando baños de arena y 
de cal viva. Fué una de las mayores preocupaciones de los 
alquimistas el capitulo de los lodos, por lo general resisten- 
tes al fuego y á los agentes corrosivos, destinados á hacer 
herméticos los cierres de aparatos Ó á proteger su superficie 
externa. Uno de los lodos citados en la obra blanca, es sim- 
plemente la pasta de harina y agua, y el otro aquel famoso 
cemento ó lodo de los sabios, clásico en la Alquimia, y del 


— 329 — 


cual hay recetas á docenas, desde Mario Greco y aún quizá 
bastante anteriores. 

Merece citarse, como prueba de la filiación tradicional del 
procedimiento, el empleo del aceite de tártaro para impreg- 
nar segunda vez la masa al pulverizarla, luego de haber 
estado sometida en vasija cerrada á los diferentes grados del 
fuego, resultando negra, dura y bastante difícil de quebran- 
tar. Sin duda, los compuestos de plomo calentados con las 
limaduras de hierro en vasija cerrada, experimentaron un 
comienzo de reducción, quedando el metal incorporado á la 
escoria, constituida por Óxido y sulfuro de hierro, y como 
eran atribuidas singulares virtudes y excelencias en achaques 
transmutatorios al producto líquido recogido cuando era So- 
metido á la destilación seca el tártaro crudo de las heces del 
vino, con aceite de tártaro se hace la pasta destinada al 
segundo tratamiento por el fuego; es cuerpo complejo, de 
variable composición, dependiente en gran parte de la tem- 
peratura á que ha sido obtenido. Fué corriente, desde anti- 
guos tiempos, su empleo en la Alquimia, y constituyó, en 
ciertas épocas, una suerte ó especie de panacea, al igual de 
la bilis de tortuga marina, la sandaraca y otras substancias 
que, á la postre, nada quitaban ni ponían en las sútiles ope- 
raciones del arte. 

Aún quiere el anónimo autor de la receta que sea mezcla- 
da la materia resultante, dura y parda, al tiempo de molerla 
con mucho trabajo en resistente mortero de hierro, con unas 
cuatro onzas de salitre, cuyos oficios serían los de oxidante, 
y fundente cuando el momento de ello sea llegado. Habrá 
sido llevada más adelante la reducción de los compuestos de 
plomo en la segunda fase del tratamiento, resultando una 
mata rica de plomo con escoría de hierro, la cual no ha me- 
nester ser separada; y así se hacía en el beneficio primitivo 
de bastantes minerales. Tampoco es nuevo describir los ins- 
trumentos y aún ponerlos por figura é indicar sus dimensio- 
nes; pues vense así en los Tratados de mayor crédito, en 


— 339 — 


los consagrados mejor á la Metalurgia y no exclusivamente 
á la Alquimia, adviertense dibujos de hornos, y vale ya decir 
cómo el de nuestra receta, si bien conserva en esencia lo 
tradicional de tales aparatos, aparece perfeccionado en al- 
gunas partes, como son sus distintas cámaras de los gra- 
dos del fuego; y lo propio acontece respecto de las vasijas Ó 
recipientes, cuya diversa forma algo pudiera influir en las. 
operaciones: quizá el ensanchamiento superior de la primera 
al quedar fuera del baño, sirve para condensar los produc- 
tos volátiles Ó sublimables. 

No se necesitaban menos de las operaciones y tratamien- 
tos, con tanta proligidad descritos en la fórmula de la obra 
blanca, para conseguir aquella singular materia, dura y par- 
da, bastante difícil de quebrantar, mezcla de metal y escoria 
ferruginosa, de la cual, luego de mezclada con salitre é in- 
corporada al plomo fundido, había de proceder la plata; lo 
siguiente es la verdadera y tradicional copelación, y por ha- 
cerse un poco en grande, no son absorbidos ó volatilizados. 
todos los óxidos de plomo formados, y quedan escorias; aun 
cuando de ellas no hable nada el ignorado autor del metodo, 
pudiera tenerse como procedimiento de afino de una mata 
ya rica de plata, empleando el plomo, sin duda también ar- 
sentífero. En el primer tercio del siglo xv poco ó nada sa- 
bíase de los minerales plomiferos con plata, ni siquiera há- 
llase mención de galenas argentíferas; su desplatación, por 
consiguiente, no se hacía de un modo sistemático, y sólo ha- 
bía aquellos ingeniosísimos sistemas metalúrgicos, en los 
que tan hábiles fueron los españoles. Veníales, al cabo, su 
práctica de muy antiguo abolengo, y las platas de España 
de tiempo inmemorial eran explotadas; habíalas abundan- 
tes, y según aumentaba el consumo eran perfeccionados los. 
métodos de su beneficio. 

Bastante fácil es comprender el significado de la palabra 
cendrada, y la interpretación aquí puesta está sacada de an- 
tiguos diccionarios de nuestra lengua. Equivale en español 


— 331 — 


antiguo á puro y limpio, purus, mundus, acepción adecuada 
á la copela, en la cual se purifica la plata separándola de 
los metales oxidables; también se aplica al afino del oro, y 
hay recetas muy viejas para su copelación empleando el 
sulfuro de antimonio, y también aquí el metal brillante apa- 
rece debajo de una escoria obscura y no demasiado dura. 
Á lo que se infiere, entre la actual copelación y la antigua 
hay la diferencia que en aquélla todo el plomo de obra se 
oxida, quedando la plata pura, y la de los alquimistas es 
mejor un sistema de afino de matas argentíferas, de las cua- 
les queda un residuo, de ordinario ferruginoso, constituyen- 
do verdadera escoria en la parte superior de la masa metáli- 
ca, y refiriéndose al oro, hace Berthelot una interesante cita 
acerca del particular. Con más ó menos variantes, nunca 
de extremada importancia, el procedimiento va siguiendo en 
sus desarrollos los de las ideas fundamentales de la Al- 
quimia. 

Observaré cómo cendrado, cendrada, es el participio del 
verbo cendrar, y hay edemás otro verbo, acendrar, bastan- 
te empleado en escritos místicos y oraciones piadosas, aho- 
ra poco usado en el lenguaje corriente. Significan ambos de- 
purar y purificar, y fueron aplicados corrientemente á la 
purificación en crisoles del oro, la plata y otros metales: asi- 
mismo han sido empleados en las acepciones de limpiar, de- 
jar sin mancha y quitar defectos, y dícese para lo primero: 
aurum aut argentum ad purum excoquere; y tocante á lo 
segundo: purgare, detergere, expolire, excolere. De aquí se 
colije el abolengo y origen de nuestra cendrada, en modo 
alguno confundible con los crisoles y otras vasijas de uso 
corriente para las operaciones con los metales. También se 
encuentra en las mismas fuentes la palabra cendra, nombre 
dado á una pasta formada con ceniza cocida, Ó sea priva- 
da de substancias alcalinas, tuétano de cuerno de carnero 
calcinado y otras materias muy variables, destinada precisa- 
mente al afino de la plata y así definida: masa cinerea meta- 


REv. ACAD. DE Ciexcias.—X.—Noviembre, 1911. 22 


— 332 — 


lis excoquendi et pureandis apta, con lo cual queda decla- 
rada su equivalencia con la actual copela, siendo la cendra- 
da á modo de un precedente suyo, aun cuando haya las na- 
turales diferencias en el tamaño y la manera de utilizar las 
substancias que la constituyen. 

Puede observarse en la receta de la obra blanca una carac- 
terística peculiar, y es la carencia de invocaciones y simbo- 
lismos; digerase obra de un metalurgista y no de un alqui- 
mista, al ver sus prescripciones escuetas, claras y sin ningún 
género de aditamentos, cuando era lo habitual cargar de 
ellos, con intento de obscurecerlas, las descripciones de los 
procedimientos, así fuesen los más ciertos y positivos des- 
tinados á la extracción del cobre y del mercurio de sus mi- 
nerales propios. Quizá denote esto su filiación española, por- 
qua raras veces, en nuestros antiguos escritores del beneficio 
de los metales, bastante escasos hasta la data del Manuscri- 
to, aparecen tales cosas, y más que la piedra filosal y que 
las doctrinas transmutatorias, siquiera fuesen sus adeptos, 
preocupábales el dar con los excelentes minerales de plata 
y con los medios de su mejor aprovechamiento y más co:n- 
pleto beneficio, á cuyos fines y no á otros va encaminada la 
siempre notable receta á cuyo comentario pongo aquí tér- 
mino. 


— 333 — 


XVI.—A puntes sobre Mecánica social. 


POR ANTONIO PORTUONDO Y BARCELÓ. 


(Continuación.) 


CEN MÁ TICA 
Movimiento de modificación de un individuo. 


Si en el estudio de los cambios ó modificaciones de carác- 
ter psíquico que se operan en los individuos al transcurrir el 
tiempo, se hace abstracción de las causas que los producen 
(fuerzas), mediante su acción, y nos fijamos solamente en los 
cambios mismos de la posición de un individuo en un deter- 
minado asunto, la primera noción que se nos presenta es la 
velocidad del movimiento de modificación (*). 

Velocidad. — Movimiento uniforme.—En este tipo de movi- 
miento de modificación de un individuo es en el que apa- 
rece primeramente la noción de velocidad. Simbolizada por 
un parámetro la posición del individuo en un instante, se 
dice que el movimiento Ó cambio de posición es uniforme, 
cuando los incrementos numéricos que experimente el pará- 


(*) Se sabe que la noción de velocidad en el movimiento de un 
punto en el espacio es aplicable (cualquiera que sea la naturaleza de 
las cosas á que se aplique) á todo lo que cambie por ley de continui- 
dad en el tiempo; ó—como se dice en el lenguaje matemático — á 
todo lo que sea función continua del tiempo. Prescindimos de las sin- 
gularidades de algunas funciones continuas, que no tienen derivada, 
por ser asunto muy ajeno de este lugar. 


— 334 — 


metro en intervalos de tiempo iguales, son iguales por pe- 
queños que se tomen esos intervalos de tiempo (*). 

Según dijimos en los Preliminares, todo cambio muy pe- 
queño en la posición del individuo se realiza en una deter- 
minada dirección y sentido; y para ver más claramente todo 
el niovimiento de modificación uniforme del individuo por 
ley de continuidad en el tiempo, conviene distinguir dos 
casos: 

PRIMER CASO.—Movimiento uniforme de dirección cons- 
tante.—Si los cambios de posición que realiza el individuo 
- son en todos los instantes en la misma dirección y sentido, 
esta dirección y sentido se atribuyen á la velocidad, que es 
entonces constante en magnitud, dirección y sentido para 
todo el movimiento del individuo; y ella sirve para definirlo 
de un modo completo. El movimiento del individuo en este 
primer caso, que es el más sencillo, se simboliza por el mo- 
vimiento uniforme y rectilíneo de un punto en el espacio. La 
velocidad se representa geométricamente por un vector lo- 
calizado en una línea recta — que es la trayectoria — y queda 
indeterminado su punto de aplicación en la línea recta, por- 
que cualquiera que sea el punto que se tome en ésta, el vec- 
tor es uno mismo. Reconocido el carácter vectorial de la 
velocidad, se puede aplicar á ella todas las proposiciones de 
los vectores. 

SEGUNDO CASO.—Movimiento uniforme de dirección varia- 
ble.—Cuando las direcciones sucesivas en que realiza el in- 
dividuo sus cambios elementales varían de un instante á 
otro, el incremento del valor numérico del parámetro en 


(**) Aunque la unidad de tiempo es arbitraria, se comprende que 
en la práctica — cualquiera que sea el asunto social de que se trate — 
para que se pueda estimar un cambio apreciable (en la posición del 
individuo) que se haya operado en la unidad de tiempo, seria molesto 
adoptar una unidad muy pequeña: en un día ó en una semana, por 
ejemplo, el cambio en la posición sería sumamente pequeño y difícil 
de apreciar por su pequeñez, . 


— 339 — 


cada unidad de tiempo, es decir, la velocidad en magnitud 
del movimiento uniforme, es una constante que no define 
de un modo completo el movimiento. Se requiere además 
el conocimiento de esas varias direcciones sucesivas en que 
se va realizando el cambio de posición. En este segundo 
caso, el movimiento del individuo se simboliza por el uni- 
forme curvilíneo de un punto en el espacio; y la velocidad 
geométricamente se representa por un vector de magnitud 
constante, pero localizado en cada instante en la tangente á 
la trayectoria curvilínea en la posición que ocupe el punto 
en ese instante; porque esta tangente representa la dirección 
en la cual se verifica el movimiento elemental del individuo 
en ese instante. 

Tanto en el movimiento de dirección constante, como en 
el de dirección variable, la velocidad que hemos definido 
para el movimiento uniforme, expresa la relación constante 
del incremento del parámetro al incremento de tiempo, cual- 
quiera que sea este intervalo de tiempo. Por eso se escri- 
be la ley del movimiento de modificación uniforme en la 
ecuación 


Pp=Po+V > fS 


en la cual p es el valor del parámetro que corresponde á la 
posición del individuo en un instante cualquiera f; po á la 
posición en el instante que se haya adoptado como ini- 
cial (+= 0); y v es la magnitud constante de la velocidad. 

Se sabe que esa ley se representa gráficamente por una 
línea recta, empleando el procedimiento usual de dos coor- 
denadas cartesianas para las representaciones gráficas en 
Geometría plana. 

Numéricamente, por medio de la ecuación —ó gráficamen- 
te por esa representación —se resuelven con suma facilidad 
los problemas sobre el movimiento uniforme. Así, el cambio 
ó modificación que se realizará en un transcurso dado f de 
tiempo, ó sea (p—P.o), se obtiene multiplicando la velocidad 


— 336 — 


por el tiempo: inversamente la velocidad se obtiene dividien- 
do el cambio operado por el tiempo empleado, etc. (+). 


(*) Por la ecuación del movimiento uniforme, se resuelve el si- 
guiente problema: 

Si dos móviles A” y A parten en un mismo instante inicial de posi- 
ciones que disten entre sí a metros, y recorren la misma trayectoria 
rectilínea con movimientos uniformes en el mismo sentido de veloci- 
dades v' y v (siendo v > y si A” está detrás de A) ¿cuanto tiempo T 
tardará A' en alcanzar á A? ¿En qué posición se encontrarán? 

Basta plantear la ecuación v' T=a+vT, de la cual se deduce 


PELE ES 
¡vr —wv 
Si S es el camino recorrido por A, y S' el recorrido por 4”, se 


tiene: 
av! 
UV 


ave 
TA 


La famosa paradoja de que Aquiles (móvil A”) no podría alcanzar 
nunca á una tortuga (móvil A), se funda en que cuando el primero 
acabe de recorrer la distancia a, la segunda se habría adelantado; y 
cuando el primero acabe de recorrer esta nueva distancia que le se- 
para de la tortuga, ésta se habrá adelantado á su vez, y como esto se 
repetirá sucesiva é indefinidamente, habrá siempre una distancia— 
por pequeña que sea—que separa á los dos móviles. —Esta paradoja, 
sobre la cual tanto se ha escrito, ha motivado afirmaciones (como la 
de W. James) de que la lógica hace menos inteligible la realidad, y 
que hay que repudiar el intelectualismo. 

Es sabido que se desvanece la paradoja, demostrando que los tres 
valores finitos y determinados que obtuvimos antes para T, S, S' es- 
tán en perfecta armonía con el razonamiento del filósofo griego, 
puesto que son respectivamente las sumas de los términos indefini- 
damente decrecientes de las tres progresiones: 


a 
a V a y? a v a 
A E = —— =>, =T 
Y 7 V Y v AU VW = y 
y! 
Y 
v v? av 
MAP Ml A O AS S 
Y 
a E e Se = L — CU 
v y? AA MR 


— 331 — 


Movimiento no uniforme.—Si las modificaciones sucesivas 
que experimenta la posición del individuo en un asunto se 
_Alos que no conocen las series convergentes, les sigue pertur- 
bando la paradoja, porque se limitan á concebir que Aquiles recorra 


y? 
NCAA QUE 


pe 


. . . r Vv r 
primero la distancia a, y después e a, y después 


la tortuga va siempre delante, sin fijarse en que no es eso lo que Aqui- 
les y la tortuga hacen real y efectivamente. Somos nosotros los que 
pensamos esos sumandos, y concebimos asi S' como el límite de la 
suma de un número infinito de partes, sin que por eso deje de tener 
S' su valor finito y determinado; como no deja de tenerlo el área de 
un circulo, aunque yo pueda concebirla, como el límite de la suma de 
un cuadrado inscrito, y de cuatro triángulos y de ocho triángulos más, 
y de 16, y así indefinidamente, 

Para ver (con vista directa) cómo es que Aquiles llega á alcanzar á 
la tortuga; y para seguir, por decirlo así, los pasos por los cuales se 
va formando la realidad en el tiempo y en el espacio á partir del ins- 
tante inicial £ = o, se debe de pensar (prescindiendo de considera- 
ciones filosóficas sobre el tiempo y el espacio). 

1.2 Que durante el primer intervalo infinitamente pequeño d f, los 
móviles A y A” recorren en el mismo sentido espacios infinitamente 
pequeños v d £ y v' d £; y que la distancia que separaba á los móviles 
en el instante inicial disminuye por consiguiente en v'di— vdt= 
(vw — v) df. Esta es la realidad. 

2.2 Que fluyendo el tiempo de modo continuo, como simple varia- 
ble independiente, y repitiéndose siempre el mismo hecho, la distan- 
cia irá disminuyendo sucesivamente á compás que trascurra el tiem- 
po; y al llegar la suma de esas sucesivas disminuciones infinitesima- 
les de distancia á ser exactamente igual á a, la distancia se anula. 
Esto se escribe así: 


Sn 
/ (vu —v) dt= (vw —vWT=a; 
de donde e a 


TP= 


v—y 
Para los que arguyan que — á pesar de todo — sigue siendo cierto 
que Aquiles recorre real y efectivamente los espacios 


a; A CSS AA 
en los intervalos de tiempo 
Detail Mani UN ae 
- 
v v v v v 


y siempre queda detrás de la tortuga, digamos finalmente: 
Que si la magnitud T (por ejemplo) se puede pensar formada por 


— 338 — 


realizan en el tiempo por ley de continuidad, pero sin uni- 
formidad, es de todo punto imposible precisar la noción 
vaga de rapidez ó velocidad del movimiento en un instante t, 
sin recurrir al método infinitesimal. Si se ve el cambio muy 
pequeño que experimenta la posición del individuo en un 
intervalo muy pequeño de tiempo 0, á partit del instante £ 
y se divide ese incremento muy pequeño del parámetro por 
el intervalo de tiempo 0, se tiene una velocidad media para 
ese intervalo. El límite de esa velocidad media, si 6 decrece 
indefinidamente, se llama velocidad en el instante t (+). 

Por esta definición se ve que para obtener aproximada- 
mente el cambio muy pequeño que se opere en la posición 
del individuo en un asunto cuando transcurra un intervalo 
muy pequeño de tiempo 0%, se podrá multiplicar la veloci- 
dad v en el instante £ por esa magnitud 6. Pero si se quiere 
calcular la magnitud del cambio que se operaría en un trans- 
curso cualquiera de tiempo, no se puede ya proceder por 
simple multiplicación y hay que recurrir á la integración ó 
suma —en ese tiempo—de todos los incrementos sucesivos 
muy pequeños del parámetro, obteniendo aproximadamente 
cada uno de éstos por simple multiplicacion, como acaba- 
mos de decir. 

Sólo nos falta añadir que si el movimiento de modifi- 
cación no uniforme del individuo es de dirección constante 
(simbolizado por el rectilíneo de un punto en el espacio), el 
procedimiento anterior sirve para determinar cuál sea la po- 
sición del individuo en un instante cualquiera f, toda vez 


esa serie (como se podría pensar por otra), no es así como fluye la 
realidad, sino de modo continuo é igual. 

Decir que una hora, por ejemplo, no se acaba nunca, porque trans- 
curre la primera media hora y después la mitad de la otra media, y 
después la mitad de lo que falte, y así siempre, es substituir la reali- 
dad fluyente continua é igual por un puro concepto artificial, que pue - 
de servir para fines matemáticos puros, pero no más. 

(+) Es lo que se llamaría en el cálculo diferencial coeficiente dife- 
rencial del parámetro con respecto al tiempo. 


— 339 — 


que se conoce la dirección constante en que se ha movido; 
pero no basta, si el movimiento es de dirección variable de 
un instante á otro (simbolizado por el curvilineo de un pun- 
to en el espacio). En este caso hay que conocer la sucesión 
de direcciones en que el individuo se ha movido (la tra- 
yectoria del símbolo geométrico) para llegar á determinar 
cuál sea la posición del individuo en un instante cual- 
quiera f. 

En la práctica, las direcciones en las cuales se operan los 
cambios de posición de un individuo, no varían, general- 
mente, sino á intervalos de tiempo bastante largos, y por 
tanto, su movimiento de modificación total es de ordinario 
una sucesión de movimientos de dirección constante (rectilí- 
neos), de larga duración relativa. 


Si se llegara á inventar procedimientos suficientemente 
aproximados de observación psíquica, que fueran aplicables 
á las varias notas que intervienen para la posición en un 
asunto de un individuo sometido á observación, de tal modo 
que fuera posible asignar en un instante dado un valor de 
observación al parámetro que definiera la posición en el 
asunto de ese individuo, se podría emplear para lo psíquico 
el método de las medias, que se usa como método práctico, 
para lo físico-fisiológico, v. gr., la estatura, el peso, la fuerza 
muscular, la agudeza de los sentidos (vista, oído, etc.) de 
los diversos individuos. 

Ya M. A. Quetelet procedió así en su Ensayo de Física 
social para investigar las leyes del desarrollo del hombre 
medio. | 

Si se clasifica á los individuos por edades, por ejemplo, y 
se verifican numerosas observaciones sobre individuos nor- 
males de un mismo país, en igualdad de circunstancias ordi- 


— 340 — 


narias de vida, se puede determinar las medias que corres- 
ponden al tipo normal. —Se compara después con estos pa- 
trones cualquier individuo de la edad correspondiente, que 
se somete á observación sobre una de esas cosas físico-fisio- 
lógicas y psíquicas (*). 

Si sobre un asunto de carácter social fuera posible, deci- 
mos, concretar los conocimientos, sentimientos, temple de 
voluntad, etc., que tiene cada individuo sometido á obser- 
vación, se podría quizá llegar á tener medias parciales refe- 
rentes á cada una de esas notas, y quizá también llegar con- 
vencionalmente á valores medios del parámetro complejo 
definidor de la posición en el asunto, para los individuos de 
las diferentes edades en igualdad de circunstancias exter- 
nas. Se debe de pensar que la nota menos difícil de concre- 
tar para hacer observaciones individuales, sería la de los co- 
nocímientos en un asunto. Se comprende que lo que se re- 
fiere á sentimientos, voliciones, etc., habría de ofrecer difi- 
cultades mucho más graves (**). 

En las mediciones para las cuales se disponga de proce- 
dimientos de observación, si se hacen las observaciones so- 
bre un gran número (m) de individuos de la misma edad, 
que se encuentren en muy análogas condiciones, puede asi- 
mila1se el caso al de m observaciones que se hubieran he- 
cho m veces repetidas sobre un mismo individuo, y que 
fueran discordantes por causas accidentales desconocidas. 


(+) Así se procede en muchos laboratorios, como el de M. Binet,. 
en París. 

(**) M. A. Quetelet, apoyado en numerosos datos estadísticos,. 
ha hecho, sin embargo, muy curiosas deducciones sobre los senti - 
mientos estimados por sus efectos. Así, por ejemplo: comparando- 
el tipo medio (en Francia, según los datos de cuatro años) de los 
hombres de edad comprendida entre veintiuno y veinticinco años.,. 
con el tipo medio de los de edad entre treinta y cinco y cuarenta, 
calculó que para la inclinación al robo (en aquella época) esos dos 
tipos medios estaban en la relación de 5 á 3. 

Se podría poner muchos reparos á estas apreciaciones numéricas,. 
como el mismo Quetelet indica. 


— 341 — 


Para tener entonces el valor M más aceptable que haya de 
adoptarse como patrón, se aplica el Postulado de la media 
aritmética; es decir, que se suman los m valores de obser- 
vación, y se divide la suma por el número m. Suponemos 
que las mm observaciones merecen igual confianza en todos 
sentidos, y que las discrepancias son debidas tan sólo á 
errores accidentales € inevitables. 

Recordando los resultados á que se llega en la Teoría de 
los errores accidentales, se sabe: 

1.2 Que sí se representan por x las diferencias, por ex- 
ceso ó por defecto, entre los valores de observación y su 
media aritmética M, el error medio cuadrático de-las obser- 


2 
vaciones se calcula por la fórmula práctica E = y 
m = 


en la cual [x?] representa la suma de los cuadrados de todas 
las x, siguiendo la notación de Gauss. 
2.2 Las m observaciones tienen un módulo de precisión h, 


Lati)? 
EVY2 
Se dice también que el peso p de esas observaciones es 
1 
2 ME 
Se ve — como es natural — que el módulo de precisión / 
ó el peso p de las observaciones es tanto mayor, cuanto más 
pequeño sea el error medio E. Esto último es indicio de que 
las diferencias x entre los valores de observación y su me- 
dia son pequeñas, lo cual hace pensar que las observacio- 
nes han sido hechas todas ellas con esmero. Por eso se dice 
que son de gran precisión ó de mucho peso. 
3.2 Que el error probable r de las observaciones se cal- 
cula por la fórmula 


que es A = 


PAS 


FAMA: >< En 


1 
y nos indica que hay la probabilidad e de que en una nue- 


— 342 — 


va Observación que se hiciera del mismo modo que las m 
hechas, el valor que se encontrara, estuviera comprendido 
entre M—ryM-z>r. 

Añadiremos, como recuerdo de la Teoría de los errores: 

1.2 Que si se concibiera como valores verdaderos de lo 
que se quiere medir, todos los valores posibles alrededor de 
la media M, á ésta le corresponderían errores posibles res- 
pecto del verdadero, y la media cuadrática E, de estos erro- 
res, que se llama error medio cuadrático de M, se calcula 
zz 
Vin ' sóh 

2. Elmódulo de precisión de la media M es h, =h V m; 
y el peso de la media es P = mp. 

Y se ve, como es natural, que la precisión h, de la media 
M— ó el peso P de ésta, depende no sólo de la precisión A 
ó del peso p de las observaciones, sino también del núme- 
ro m de éstas. — La precisión de la media crece proporcio- 
nalmente á la raíz cuadrada del número de observaciones á 
igual precisión de éstas. El peso de la media crece propor- 
cionalmente al número de observaciones á igual peso de 
éstas. 

En la precisión ó el peso de la media M (como valor de 
lo que se quiere medir), las fórmulas indican que el número 
de observaciones puede compensar su poca precisión ó su 
poco peso. Claro es que conviene que sean de mucho peso 
las observaciones (Ó de mucha precisión), y además en gran 
número. 

3.0 El error probable de la media M que es 


por la fórmula E, =- 


¿li 
ym 


(siendo r, como dijimos antes, el error probable de las ob- 


R=0,6745 <E, 6 R= 


servaciones), indica que hay la probabilidad > de que-el 


= 343 — 


valor verdadero de lo que se mide esté comprendido entre 
M—RyMHR. 

Y se ve también — como es natural — que el error pro- 
bable R de la media M varía en razón inversa de la raíz cua- 
drada del número de observaciones, á igual error probable: 
de éstas (*). 


Cuando se dispone de muchas medias M,, M,.... (en nú- 
mero N, por ejemplo), obtenidas por diferentes observado- 
res, y sólo se sabe que han sido obtenidas respectivamente 
como resultado de m,, Mm,...., observaciones, pero sin cono-- 
cer el detalle de cada carpeta de observaciones; no pudien- 
do distinguir, por tanto, el peso de las observaciones de un 
erupo del peso de las de otro; y no habiendo, por tanto, mo- 
tivo fundado para tener más confianza en unas que en otras. 
(caso que se presenta con frecuencia), lo más sencillo es. 
atribuir el mismo peso á todas las observaciones, y adoptar 
como unidad de peso ese peso común de cada observación 
simple, de las que hayan concurrido á formar M,, M,, Mz, ... 


Así el peso de M, sería m, 
A IT 
— — de M, — mM, 


(*) Todos los resultados que preceden son deducidos en la Teoría. 
de los errores accidentales, partiendo de la función de Gauss 


1 === 


_ 
de 


como se puede ver en mis Apuntes sobre Cálculo de Probabilida-- 
des. Teoría de los errores y Método de los minimos cuadrados. 


— 344 — 


y se adopta como valor más aceptable de lo que se quiere 
medir 
== M, < mM, + M, < ms, + M¿ >< my + vorso ER 
Mi MS Me |] vaso 


porque esto equivale á la media aritmética, si hubiera 


m, observaciones, todas iguales entre sí, de valor M, 


OOOO TIO ROCOSAS OO O ORO O OO OA O O OOO O PIO OOO ao 


La regla práctica es: 

Multiplicar cada media conocida por el número de obser- 
vaciones de que provino, y dividir la suma de estos productos 
por la suma de los números de observaciones. 

Es claro que el peso P de esa M, adoptando como unidad 
el peso de una observación simple, es la suma de los pesos 
de las medias conocidas 


PM MS = lt. 


es decir, el número total de observaciones simples. 

Si se piensa solo en una de las medias conocidas, la M,, 
por ejemplo, de peso m,, y se llama x, su diferencia (por 
exceso Ó por defecto) con M, se ve que á cada una de las 
observaciones simples de peso unidad de que provino M, 
le corresponde un error medio z, dado para la proporción 


1 Sena : : 
— = — porque los pesos son inversamente proporciona- 


TZ 
les á los cuadrados de los errores medios. 

INSI MES, 210 == ÚS 

Aplicando á cada una de las N medias conocidas este ra- 
zonamiento, el error medio en conjunto E, para cada unidad 
mx?) 


de peso, será dado por la fórmula E? = NA: 


E 


Y de aquí que el error medio E, para la media final M se 
E? 

[m] 

El error probable de la M es R= 0,6745 - E.. 


calcule por la fórmula E,? = 


Se puede afinar más; es decir, que se puede hacer el 
cálculo con mayor aproximación, cuando se conoce el deta- 
lle de todas y cada una de las carpetas de observaciones. 
Supongamos que además de tener la media que arroja cada 
carpeta y el número de observaciones de que proviene, se 
ha calculado el error medio, ó, mejor, el peso de sus obser- 
vaciones. 

Sean, por ejemplo, 

¡ M, la media aritmética de sus observaciones. 

1.* carpeta. m, el número de sus observaciones. 


¡p, el peso de sus Observaciones. 


M, la media aritmética de sus observaciones 
2.* carpeta. m, el número de sus observaciones. 


' ps el peso de sus observaciones. 


y así sucesivamente hasta N carpetas. 
Se sabe que 


el peso de M, es Mm; Py 
el peso de M, es ma Pa 
el peso de M, es M; Pz 


0109 090100019000 0190 0 0D Ord Do 


— 346 — 


y que el valor más aceptable de lo que se trata de medir 
será 


My Py + Ma Ps] coco. 


y que tendrá un peso P= M, P, + Ma P> + Mg Pz + c.oc.o 

Por un razonamiento análogo al que se hizo anteriormen- 
te,se ve que á cada unidad de peso le correspondería, por el 
primer grupo de observaciones (1.* carpeta), un error medio 
2, dado por la expresión 2,? = m, p, < x,?, si se llama x, el 
error de M, respecto á M. 

Aplicando el mismo razonamiento á las N medias, se ve 
que el error medio £ en todo el conjunto, para unidad de 
peso, se tendrá por la fórmula E? = aia e , 

N— 1 
Después el error medio E, para la M final, se calculará 


> 


ú 


por la fórmula E,? = ——, y el error probable R por la fór- 


[m p] 
mila OO MEE 


Todo lo dicho es aplicable á las observaciones físicas y 
fisiológicas, y quizá podría serlo también algún día á las de 
carácter social. Si recordamos las fórmulas del error medio 


E a y del error probable R = E 


Vm Vm 
cualquiera (*), se ve, como dijimos, que el error con que el 
número de medida M expresa el valor de lo que se haya so- 
metido á observación, será tanto menor cuanto menor sea. 


de una media 


2 
2 = y, es decir, cuanto más perfecto haya sido el 
m— 


(*) Se sabe que R es próximamente los dos tercios de E,, así como: 
lo es de E: 


— 34 — 


procedimiento de observación empleado, y mayor esmero en 
todo haya habido por parte de los observadores; y además, 
cuanto más grande haya sido el número m de observaciones 
por medio de las cuales se obtuvo el número M de medida. 

Ya se ve aquí la influencia de los grandes números. Para 
ponerla de relieve en un asunto de carácter social, suponga- 
mos que en un país se hicieran observaciones sistematizadas 
sobre niños de seis años de edad, por ejemplo, que empeza- 
ran á aprender la lectura, y que estuvieran colocados en 
igualdad de condiciones, hasta donde esto sea posible y ha- 
cedero; siguiendo el mismo método de enseñanza, con las 
mismas reglas pedagógicas dentro y fuera de la escuela, etc.: 
Supongamos, para simplificar el ejemplo, que se trata de 
medir solamente la velocidad media con que hace un indivi- 
duo el total aprendizaje por ese procedimiento y mediante 
esas reglas y condiciones, empezando á la edad dicha de seis 
años (*). Admitiendo que sea fácil hacer la observación del 
instante en que pueda decirse aproximadamente que cada 
individuo ya sabe leer, es decir, que ya ha terminado el 
aprendizaje, se tendría por la observación la duración total 
T de su aprendizaje, desde el instante en que empezó á los 
seis años de edad. Y si se representa por un número A cons- 
tante el valor del camino recorrido por el individuo para pa- 
sar de la posición en que no sabía leer á la posición en que 
ya sabe, se ve que la velocidad media V del movimiento va- 
riado por el cual ese individuo ha pasado de una á otra posi- 


ción, se expresa por V= — (ne 


(*) En el Laboratorio de Mr Binet se hacen observaciones de 
este género con cuidado, dividiendo el tiempo total empleado en el 
aprendizaje en cuatro períodos. A cada uno de estos períodos, de 
desigual duración, habría de aplicarse lo que decimos del tiempo 
total para simplificar el ejemplo. 

(**) Nos limitamos exclusivamente al conocimiento adquirido de 
la lectura prescindiendo de todas las demás notas psíquicas que hay 
en el individuo, porque la observación de éstas ofrecería, como antes 
dijimos, dificultades gravísimas. 


Rxv. AcaAD. DE CirNcIas.—X.— Noviembre, 1911, 23 


— 348 — 


Pues bien; si se someten á observación 100 niños en las 
condiciones de igualdad que decíamos, las diferencias que 
entre si tengan los 100 valores de observación de V, serán 
pequeños (con relación á los valores mismos) si se trata de 
niños normales y se cumplen con rigor aquellas condiciones 
de igualdad en todos sentidos, que dependan de nosotros. 
Aplicando los resultados de la teoría de la compensación de 
errores accidentales que hemos expuesto minuciosamente, 
se tendría por la media aritmética entre los 100 valores dis- 
cordantes (de observación ) de V, el número de medida más 
aceptable para ésta, Llamémoslo Vy. Si las diferencias x en- 
tre Vy y los 100 valores de observación de V son muy pe- 
queños, el error medio E de las observaciones será muy pe- 
queño, y también lo será el error probable r de dichas ob- 
servaciones. 

Es evidente que V,yy expresará con mucha mayor aproxi- 
mación que cada una de las observaciones lo que se quiere 


: : E 
medir, puesto que su error medio E, A 
m 


(siendo m = 100); 


y su error probable R vale pili que es tan solo los dos 
1 


tercios de E,, Ó poco más. 

Poniendo la atención en estos errores muy pequeños, se 
puede decir que probablemente la velocidad V con que 
aprendería á leer cualquier otro niño normal, en iguales con- 
diciones que los observados, estaría comprendida entre 
Vu — E, y Vu + E,; y que es igualmente probable que V 
resulte comprendida entre Vy— R y Vu +R, ó compren- 
dida entre estos límites y los anteriores más amplios. 

se comprende la influencia que decíamos de los grandes 
números; porque á igualdad de esmero en todo, si en vez 
de 100, se hicieran 1.000, 10.000, 100.000, ..... observacio- 


— 349 — 


nes, los límites se irian estrechando cada vez más; y el peso 
del valor que se adoptara para la velocidad media V que se 
quiere medir, sería cada vez mayor. 


Expuesto lo que precede, y aplicando los principios del 
Cálculo de Probabilidades, si se llama q la probabilidad de 
que la velocidad con que un niño (escogido al azar entre los 
normales) aprenda á leer en las condiciones dichas esté com- 
prendida entre Vy—E,, y Vu+E,, es claro que la pro- 
babilidad de que no resulte así, será (1—q). 

Y se puede decir por el Teorema de Bernoulli, que si se 
someten á esa prueba nr niños normales cualesquiera, la más 
probable entre todas las combinaciones posibles de niños 
que resulten en el primer caso, y niños que estén en el se- 
eundo caso, será: que haya nq individuos en el primero; 
y n(1—q) =n—nq en el segundo. Como q será en general 


bastante grande, es decir, mucho mucho mayor que > el 


número nq será probablemente mucho más de la mitad de 
los sometidos á la prueba; y mientras mayor sea q, más pre- 
dominará nq sobre n — nq. Lo que decimos suele expresat- 
sarse de otro modo diciendo: que en las n pruebas repetidas, 
la relación del número de individuos que resulten en el pri- 
mer caso al número total de pruebas será muy probable- 
mente q, es decir, la probabilidad simple de que un individuo 
escogido al azar esté en el primer caso. 

Pero nótese bien que decimos que esto es lo más probable, 
y nada más; porque puede resultar que en vez de nq indivi- 
duos, que estén en el primer caso, no haya más, al realizar 
la prueba, que nq —h individuos, ó, por el contrario, ng + h 


— 350 — 


en ese caso. Diríamos entonces que en la experiencia ha 
habido una desviación h respecto de lo normal (+). 

Bernoulli ha demostrado que esta desviación /h respecto 
de lo normal, obedece á una ley (**), que suele llamarse /a 
ey de los grandes números, y es la siguiente: 

Que si se señala un número k (tan pequeño como se quie- 
ra) como limite máximo de la desviación por defecto ó por 
exceso, y se dispone del número n de pruebas, mientras más 
grande se adopte este número n, mayor será la probabili- 
dad P de que la desviación h que pueda resultar en la expe- 
riencia, sea menor que el número dado k; y si n creciera 
indefinidamente, el límite de la probabilidad P sería 1; es 
decir, la certeza. Lo cual indica que se podría concebir 
(y determinar por las Tablas que hay construídas) un valor 
para n suficientemente grande, para tener una probabilidad 
tan cercana como se quiera á la certeza, de que la desviación 
no puede llegar á valer k, pudiendo ser este número dado 
tan pequeño como se quiera. 

Esta ley (matemática, no física), de los grandes números, 
no puede darnos nunca la certeza, que no cabe en este géne- 
ro de cálculos sobre errores accidentales, ó—como se dice 
vulgarmente—debidos al azar. 

Acabamos de aplicarla á una cuestión cinemática, cual 
es la velocidad con que los individuos normales aprenden á 
leer en igualdad de circunstancias; pero debe notarse que 
esa ley de los grandes números—ó sea el Teorema de Ber- 
noulli—se puede aplicar igualmente á todos los hechos so- 
ciales. —Así, por ejemplo, si por estadísticas demográficas, 
cuidadosamente hechas durante muchos años en una gran 
población en que las circunstancias no hayan cambiado sen- 
siblemente, se calcula el valor medio m del número anual de 


(+) Usamos la palabra desviación en el sentido que se da en Fran- 
cés á la palabra écart. 

(**) Damos á la palabra ley un sentido puramente matemático, 
que no debe de confundirse con el sentido de las leyes físicas. 


— 351 — 


nacimientos, y se toma su relación al número p de habitantes 


de la población, la relación media ple adoptará como el 
p 


tipo de natalidad en dicha población, mientras no cambien 
las circunstancias. Si E, es el error medio de esa relación 


En y se llama q la probabilidad de que al siguiente año la 


de ! m m 
relación oscilara entre — — E, y — + E,, pensando en 
Pp 


los n años venideros, lo normal sería que hubiese n q de 


ellos en que la relación oscilara entre pe 13 Y E +E, 
Pp 


y (n — n q) en que no fuera así. Si esto no se cumpliese 
exactamente cuando llegue la realidad, diríamos que ha 
habido una desviación respecto de lo normal; y podríamos 
añadir que mientras mayor fuera el número n de años en 
que se pensase, mayor sería la probabilidad de que la des- 
viación que pudiera aparecer fuera menor que un número 
dado tan pequeño como se quiera. Se sobreentiende en lo 
dicho que prescindimos—para simplificar—de los cambios 
que se hayan ido operando en las circunstancias. 


Cuando hayamos de hacer más adelante el estudio dind- 
mico del movimiento de un individuo, á partir de un instan- 
te cualquiera que consideremos como inicial, necesitaremos 
como dato el estado inicial del individuo (*), que compren- 
derá: 

1.2 La posición inicial del individuo en el asunto; y 

2.2 Su velocidad inicial en magnitud, dirección y sentido. 


(*, La palabra estado, tiene aqui en Cinemática significación ente- 
ramente distinta de la que tiene en Física ó en Fisiología. 


Ones 


Este estado proviene naturalmente de todas las variadísi- 
mas influencias que, en relación al asunto, haya recibido el 
individuo desde antes de su nacimiento hasta el instante que 
hemos llamado inicial para el estudio. La herencia recibida 
directamente de sus padres desde el instante de ser conce- 
bido, es un primer eslabón complicadísimo. Después de su 
nacimiento, la herencia fisiológica acompañada de una deter- 
minada predisposición psíquica, también heredada, se va 
complicando gradualmente por las acciones que todo lo que 
le rodea en el medio ambiente, físico y psíquico-social, ejer- 
ce sobre el individuo. Todas estas fuerzas que han ido in- 
iluyendo en su movimiento de modificación habrán producido 
como efecto, aquella posición y aquella velocidad que juntas 
constituyen el determinado estado, que llamamos inicial, para 
el estudio de las subsiguientes modificaciones. 

Análogamente, cuando hayamos de intentar el estudio 
dinámico del movimiento en un asunto de una agrupación 
social-—á partir de un instante inicial —habremos de tener 
como dato el estado inicial de la agrupación, que com- 
prenderá: 

1.2 El conjunto de las posiciones sociales de todos los 
individuos y elementos de la agrupación; y 

2. Las velocidades iniciales de todos los individuos y 
elementos. 

Este estado inicial ha provenido de las acciones anterior- 
mente ejercidas—sean interiores Ó exteriores —que han in- 
fluido en los individuos y elementos de la agrupación, y han 
determinado en general un efecto doble: 

1.2 Los conjuntos de conocimientos, sentimientos, creen- 
cias, hábitos, etc., que constituyen las posiciones en el ins- 
tante inicial; y 

2.” Las direcciones, magnitudes y sentidos de las veloci- 
dades con que se encuentran individuos y elementos socia- 
les en el instante inicial. 

Todo eso ha llegado como herencia á la agrupación social 


— 393 — 


de que se trate; y ya se vé que, en general, la herencia debe 
de ser considerada para la Mecánica bajo un doble aspecto: 
Se concibe, sin embargo, que se herede una cierta posición 
sin velocidades; entonces el estado inicial es de reposo en 
el asunto. 

James Mark Baldwin examina detalladamente el contenido 
de ese caudal que se transmite como herencia de unas gene- 
raciones á otras de la misma agrupación social, y trata de 
determinar á qué individuos de ella se transmite, y quiénes 
son los desheredados. Examina tambien cómo se transmite 
por aprendizaje—mediante la imitación—bajo la influencia 
de las condiciones que rodean á los individuos y elementos 
de la agrupación, y que forman lo que suele llamarse la 
atmósfera social. 

Creemos que á la Mecánica social nada de eso lo interesa. 
Nos parece que en ella—á semejanza de la Mecánica de los 
sistemas materiales—sólo ha de ser considerada la herencia 
social como un estado inicial de que partir como dato. 


Aceleración. —Después de haber tratado de lo que 
se refiere á la velocidad del movimiento de modificación del 
individuo en un asunto, pensemos que si la velocidad es va- 
riable por ley de continuidad — ya sea solamente en mag- 
nitud (movimiento de dirección constante), ya sea en mag- 
nitud y dirección á la vez—aparece la noción de aceleración, 
porque siendo la velocidad algo, que cambia de algún modo 
en el tiempo por ley de continuidad, le será aplicable á su 
vez el concepto de velocidad, y á esta velocidad de la ve- 
locidad se la llama aceleración. Es innecesario justificar que 
en un movimiento uniforme de dirección constante, la no- 
ción de aceleración no aparece, puesto que la velocidad no 
cambia en nada. 


— 354 — 


Recordemos estas primeras sencillas ideas de Mecanica 
racional (como lo hemos hecho al tratar de la velocidad) 
empezando por el caso en que la velocidad en el movimiento 
de modificación del individuo varíe solamente en magnitud, 
porque el individuo se mueva siempre en la misma dirección 
y tendencia (trayectoria rectilínea). 

Si esta variación de magnitud de la velocidad fuera tal 
que los incrementos—positivos ó negativos—que experi- 
mente en intervalos de tiempo iguales sean iguales, por pe- 
queños que se tomen esos intervalos, se dice que el movi- 
miento es uniformemente variado, y se llama aceleración al 
incremento / de la magnitud de la velocidad en la unidad de 
tiempo. En el caso del movimiento que se simboliza en la 
trayectoria rectilínea, la dirección de la aceleración es la 
de la velocidad, que es la de la trayectoria. Se ve que en el 
movimiento rectilíneo uniformemente variado, la aceleración 
se puede representar por un vector (como se hizo con la ve- 
locidad) localizado en la recta de la misma trayectoria. Y 
como esta j expresa la relación constante del incremento de 
la velocidad al incremento de tiempo— cualquiera que sea 
este intervalo-—se escribe la ecuación conocida 


v=VW+Jj.t 


en la cual v es la velocidad en un instante cualquiera £ ; v, 
la que corresponde al instante inicial + = 0 ; y ¡es la acele- 
ración. 

Sobre la representación gráfica de esta ecuación y sobre la 
resolución numérica ó gráfica de los problemas, se repetirá 
lo que se dijo al hablar de la velocidad en un movimiento 
uniforme, porque la ley es la misma. Que por una simple 
multiplicación se calcula el incremento (v— v,) de la velo- 
cidad; y que por simple división se calcula 7. 

Pasando al caso en que las velocidades no varíen pro- 
porcionalmente á los tiempos, es decir, en que las variacio- 


ha 


— 309 — 


nes de la magnitud de la velocidad se realicen sin unifor- 
midad, se precisa la noción de aceleración en un instante 
por el mismo método infinitesimal que se indicó al precisar 
la noción de velocidad en un instante. Asi la aceleración en 
un instante del movimiento de modificación del individuo, 
cuando es de dirección constante, es el coeficiente diferencial 


en un instante, de la velocidad respecto del tiempo al 


Y por esto, para obtener aproximadamente el cambio muy 
_pequeño de la velocidad en un intervalo muy pequeño l de 
tiempo, á partir de un instante £, se podrá multiplicar la ace- 
leración en este instante por el intervalo f. Pero si se ha de 
calcular la magnitud del cambio de la velocidad en un inter- 
valo cualquiera (por medio de la aceleración variable de un 
instante á otro) hay que recurrir á la integración durante ese 
intervalo, como ya dijimos para el cambio en la posición 
por medio de la velocidad variable. 


En el caso general de un movimiento de modificación del 
individuo en que éste va cambiando, continúa y sucesiva- 
mente la dirección en el mismo asunto, y con velocidades 
que varían también en magnitud de un instante á otro, he- 
mos de pensar que esta variación Ó cambio total hace nacer 
el concepto más general de aceleración en un instante dado, 
que es el de aceleración total. 

El procedimiento para llegar á esta noción es el mismo 
infinitesimal ya dicho; pero es, en este caso, más complejo, 
porque afecta simultáneamente á la magnitud y á la direc- 
ción y sentido de la velocidad, es decir, á todos los atribu- 
tos del vector-velocidad. Al trascurrir un intervalo muy pe- 
queño de tiempo %, á partir de un instante £, la velocidad v 
en este instante recibe un incremento total muy pequeño con 


— 356 — 


cierta magnitud, dirección y sentido, que, compuesto con v, 
determina la velocidad v' en el instante t +0. En el límite 
del decrecimiento indefinido de 4, la relación á 4 de ese in- 
cremento total de la velocidad es la aceleración total J en el 
instante t. (Véase la fig. 1.* simbólica.) 


r 


Mx 


Figo1o 


1) D 


Y se vé que esta aceleración corresponde exactamente á 
la velocidad en el mismo instante de un punto que recorrie- 
ra la curva hodógrafa C, construida á partir de nn punto 
cualquiera o. Por ser total, es declr, por referirse á fodo lo 
que constituye la velocidad, esta aceleración permite pasar 
aproximadamente de la velocidad v en el instante f á la ve- 
locidad v' en el instante £ +6, componiendo aquélla con 
la /.9, que se obtiene por simple multiplicación. 

Y es claro que para conocer (en un todo) la velocidad V 
al cabo de un trascurso cualquiera de tiempo, hay que recu- 
rrir á la integración en este tiempo de los cambios totales 
muy pequeños /.1 de la velocidad. Y el vector V que se ob- 


— 397 — 


tenga en el símbolo. geométrico por la composición de la 
velocidad inicial v con todas las /.f sucesivas (véase la figu- 
ra) deberá de localizarse (para el instante final del trascurso 
de tiempo) en la tangente á la trayectoria trazada en la po- 
sición correspondiente del móvil. 

Hemos recordado con excesiva prolijidad de detalles estas 
primeras ideas vulgares de la Cinemática sobre velocidades 
y aceleraciones, con el próposito de que se vea que serían 
aplicables sin modificación alguna al movimiento de un in- 
dividuo en un asunto cualquiera, si admitiéramos (como 
decíamos en los Preliminares) que el paso de una posición 
del individuo en el asunto á otra posición muy próxima du- 
rante un intervalo de tiempo muy pequeño %, quedara deter- 
.minado en magnitud, dirección y sentido por el incremento 
muy pequeño que experimentara un parámetro complejo 
que sirviera para definir aquella posición psíquica. 

Es claro que en la práctica—ya lo dijimos —los cambios 
de dirección en el movimiento de un individuo sólo ocurren 
á intervalos de tiempo suflcientemente grandes, para que el 
movimiento deba de ser mirado como una sucesión de mo- 
vimientos de dirección constante y de mucha duración, cada 
uno de los cuales puede ser uniforme ó puede ser de velo- 
cidad variable en magnitud. En este segundo caso es cuando 
se presenta prácticamente la aceleración. 

Pero como nuestro propósito ha sido seguir la exposición 
de la Mecánica racional con el carácter general cientifico y 
puramente teórico que ella tiene, sin preocuparnos aquí de 
las aplicaciones, hemos tratado del movimiento más general 
posible de un individuo en el cual la dirección de su movi- 
miento fuera incesantemente cambiante (representación cur- 
vilinea), y la magnitud de su velocidad fuera también cam- 
biando de un instante á otro, para que se viera en este caso 
general la aceleración total en cada instante, que es muy in- 


teresante para la Dinámica, como veremos. 


+ 
* * 


— 358 — 


En las indicaciones cinemáticas hechas anteriormente so- 
bre el movimiento de modificación de un individuo, se nos 
ha impuesto (como indispensable) la noción de dirección y 
sentido del movimiento en un instante dado. Ya dijimos en 
los Preliminares que supondriamos afectado al individuo de 
un parámetro simbólico que —por su valor en cada instan- 
te — definiera la posición en el asunto, y que fuera además 
susceptible de marcar — por su incremento en un transcurso 
muy pequeño de tiempo 6—, no sólo la magnitud muy pe- 
queña del cambio de posición en ese intervalo %, sino tam- 
bién la dirección y el sentido de ese cambio de posición (*) 
Esta suposición responde á la idea que tenemos de que todo 
cambio psíquico muy pequeño que experimente un indivi- 
duo en el conjunto de sus ideas, sentimientos, etc., sobre un 
asunto, ha de ser—así me parece—en una cierta y deter- 
minada dirección y sentido psíquicos. 

En el intrincado campo de lo psíquico — y á partir de una 
determinada posición del individuo en un asunto — conciba- 
mos toda la infinidad de direcciones posibles que se distin- 
guen unas de otras por la orientación psíquica que cada una 
señale en el asunto. En relación á todas ellas, veamos el de- 
terminado cambio muy pequeño de posición del individuo, 
con su determinada dirección y sentido, que corresponden 
á su velocidad v en ese instante. 

Se puede notar que este movimiento será enteramente aje- 
no á algunas de aquellas direcciones, pero que— general- 
mente hablando —participará en algo de las demás direc- 
ciones: participará en mayor grado, naturalmente — de aque- 
llas que se aparten menos de la dirección de la velocidad. 
Se podría apreciar el cuánto de la velocidad v en una direc- 
ción dada D (véase la figura 2.%), concibiendo la v como 


(*) He de repetir aquí que me parece sumamente difícil — por no 
decir imposible —señalar hoy un procedimiento por virtud del cual 
sé pueda hallar, para cada individuo y en cada asunto, ese parámetro. 


— 359 — 


compuesta de una parte v¿ en la dirección D, y de otra v,, 
ajena por completo á esta dirección D. La componente v ¿es 
lo que se llama la velocidad v estimada en la dirección D. 
La representación esquemática de lo que decimos se vería 
figurando en ov (fig, 2.*) la velocidad en magnitud, direc- 
ción y sentido. Se ve que en algunas de estas direcciones 
la v no tiene componente alguna, pero que en cualquiera 
de las otras, en la D, por ejemplo, hay una componente Vyg 


gt RE 


de la velocidad v, si se concibe ésta como resultante de vq. 
y de otra v; situada en el plano BB” perpendicular á D, en 
el cual están representadas las direcciones por completo aje- 
nas á la D. 

Así se concibe simbolizada en;vy la velocidad estimada en 
la dirección D, porque expresa (por su: magnitud y su sen- 
tido) cuánto tiene la v, y en qué sentido de esa dirección D. 

Si se piensa—por ejemplo—en la posición o como sím- 
bolo de la que tiene un individuo en un asunto económico, 
y su estado es de movimiento en el asunto con una veloci- 
dad conocida v, cabe estimar ésta en aquellas direcciones 


O 


que no sean enteramente ajenas á la dirección del movi- 
miento. Si, por ejemplo, se supone que ese movimiento en 
en el asunto económico de que se trate se relaciona en algo 
con el cambio internacional de productos (dirección D), al 
estimar su velocidad v en esta dirección, se vería cuánto hay 
(en el movimiento elemental) de sentido librecambista ó pro- 
hibicionista, y esto se vería por la magnitud de v¿ y por su 
sentido. 

Consideremos otro ejemplo. Si tratando de un asunto del 
género político se considera en éste una dirección D—á par- 
tir de la posición o—, que simbdolice la participación del 
pueblo el asunto politico; y se supone que el movimiento 
del individuo es en una dirección política v, que no sea ajena 
por completo á la dirección D, se ve que la velocidad v, es- 
timada en la dirección D, nos indicará cuánto hay de senti- 
do democrático ó antidemocrático (que son los dos sentidos 
diametralmente opuestos 0D y 0D” en la dirección D) en el 
movimiento elemental de que se trata. 

Todo lo que decimos sobre la velocidad podria decirse 
sobre la aceleración de un movimiento en un instante, que se 
podría estimar también en una dirección dada D. Nos ayu- 
daríamos para esta concepción simbólica de las representa- 
ciones geométricas que usamos al definir anteriormente la 
aceleración total / en un instante, en magnitud, dirección y 
sentido. 


COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS, MOVIMIENTO RELATIVO 


Composición de dos movimientos.—En el estudio de los 
movimientos de modificación de los individuos, habremos 
de considerar á éstos más adelante como están en la reali- 
dad, es decir, formando parte siempre de una agrupación so- 
cial; con lo cual queremos significar que participan — como 


— 361 —- 


por vía de arrastre —del movimiento de conjunto de la agru- 
pación en el asunto social de que se trate, cualquiera que éste 
sea, puesto que supondremos que los individuos están liga- 
dos á ella. Este movimiento de conjunto de una agrupación 
es muy difícil de definir y precisar, tal como se da en la reali- 
dad, y por esto nos limitaremos al caso teórico de que fuera 
posible conocer en magnitud, dirección y sentido la velocidad 
de arrastre que corresponda en un instante dado á cada in- 
dividuo por el hecho de participar del movimiento de con- 
junto de la agrupación, en virtud de los enlaces que tenga 
en ella. Esta velocidad de arrastre no será en general la mis- 
ma en un instante dado para todos los individuos de la agru- 
pación, á no ser en casos muy especiales (*). 

Ahora bien; si concebimos que un individuo tenga en un 
instante dado una velocidad propia con relación á la agru- 
pación á que pertenece, esta velocidad no sería la real y 
efectiva del individuo, sino en el supuesto de que la agrupa- 
ción estuviera en reposo. Pero si suponemos que ésta á su 
vez se halla en movimiento, el individuo (á quien suponemos 
partícipe de este movimiento), tendrá, además de su veloci- 
dad propia relativa, otra velocidad de arrastre; y el movi- 
miento de modificación del individuo en el asunto será —en 
el instante que se considera — el que corresponda á la ve- 
locidad resultante de las dos, y que se representaría en la 
dirección y con el sentido de la diagonal del paralelógramo 
formado con las magnitudes, direcciones y sentidos de las 
dos velocidades componentes. Además, la magnitud de la 

. 


(*) En un asunto religioso de importancia se dará á veces (no 
siempre) el caso de que todos los que formen parte de la colectividad 
social constituida por los individuos de una misma confesión religio- 
sa, reciban de la colectividad nna misma, idéntica velocidad de 
arrastre para un determinado movimiento en aquel asunto. Entonces 
se podría decir zon toda propiedad que esa es la velocidad de la co- 
lectividad, y el movimiento de ésta se podría representar perfecta- 
mente por el de simple traslación de un sólido invariable de los que 
estudia la Mecánica racional. 


q 


velocidad resultante estará representada (con arreglo á es- 
cala) por la longitud de la diagonal. — Es evidente que la 
velocidad real y efectiva se acercará más á la que en mag- 
nitud predomine entre las dos componentes. 

La operación de determinar por la regla del paralelógramo, 
la velocida absoluta como resultante de la relativa y la de 
arrastre, es la que suele llamarse composición de velocidades. 

El problema de la determinación de la velocidad relativa 
es el inverso, á saber: conocida la velocidad real y efectiva 
que el individuo en un instante dado tiene en su movimien- 
to absoluto en un asunto — digámoslo así, — y conocida 
también su velocidad de arrastre en el asunto, por su enlace 
con la agrupación de que forma parte, hallar la velocidad 
que podría decirse tiene con relación á la agrupación, es de- 
ci1, su velocidad relativa. — Este problema se llama de la 
descomposición, y qneda resuelto evidentemente, llevándolo 
al de la composición de la velocidad absoluta con una igual 
y opuesta á la de arrastre, para reducir al reposo á la agru- 
pación, y que no quede (de la velocidad efectiva) más que 
la velocidad relativamente á la agrupación. 

Para evitar confusiones en que muy á menudo se incurre, 
conviene llamar la atención (como lo hace Bour en su exce- 
lente Tratado de Mecánica racional) sobre las frases ante- 
riores. Nótese bien que un individuo, en un instante dado, 
no puede tener varias velocidades distintas, en su determi- 
nado movimiento en un asunto, porque eso es inconcebible. 
No tiene ni puede tener, en el instante considerado. más que 
una única velocidad real y efectiva; y es la que hemos lla- 
mado velocidad absoluta (para darle un nombre) como si 
pudiera ser contemplada desde algún punto de vista abso- 
lutamente fijo (+). 


(*) Se sabe que esto del punto de vista absolutamente fijo es una 
mera concepción abstracta sin realidad; pero este modo de pensar en 
un punto de referencia absolutamente fijo, es útil al pensamiento pu- 
ramente especulativo. 


De 2 


A O a LD 


= 808 


Si esta misma velocidad efectiva del individuo no es mi- 
rada aisladamente, sino en relación con la agrupación que 
está toda ella en movimiento, puede concebirse al individuo 
de que tratamos como teniendo una velocidad relativa, pero 
ésta no es más que la misma velocidad absoluta contenipla- 
da desde un punto de vista que fuera arrastrado por la agru- 
pación en su movimiento de conjunto. Quizá podría decirse 
también que la velocidad de arrastre que hemos dicho que 
tiene el individuo, no es más que la misma velocidad abso- 
luto de la cual imaginamos que se descuente (si vale la fra- 
se) lo que hubiera en ella de individual é independiente del 
movimiento de la agrupación; es decir, mirando la velocidad 
absoluta desde un punto de vista colocado idealmente en 
el interior de un individuo que conservara su movimiento 
propio individual, y se sustrajera al movimiento de la agru- 
pación (*). 

Antes de pasar á la composición de muchos movimientos, 
presentemos algún ejemplo de lo dicho sobre la composición 
de dos. Pensemos en la agrupación social más sencilla, que 
es la familia, como la vemos hoy en nuestras sociedades, y 
consideremos un individuo de ella en un asunto religioso — 
por ejemplo. — En un instante dado, el individuo que consi- 
deramos está en una cierta determinada posición en ese 
asunto. Dejando aparte las diversas influencias que hayan 
tendido anteriormente á modificar su posición religiosa, ejer- 
ciendo su acción como fuerzas en. muy varias direcciones y 
sentidos, y con varias intensidades (**), supongamos el hecho 
escueto de que el individuo, en el instante en que lo vemos, 
tenga una velocidad propia, individual, suya, de movimiento 
en ese asunto religioso, y que sea conocida en magnitud, 
dirección y sentido, venga de donde vinere. Si además supo- 


(+) Esta concepción es algún tanto violenta. Quizá Bour tiene 
razón al decir que bajo ningún pretexto se puede (en ningún caso) 
considerar el movimiento de arrastre como perteneciendo al punto. 

(**) Esta cuestión es de Dinámica, de que ahora no tratamos. 


REV. ACAD. DE Ciencias, —X.— Noviembre, 1911. 24. 


— 364 — 


nemos que la familia á que pertenece (por causas que aquí 
tampoco nos interesan), se halla en ese mismo instante en 
estado de movimiento de modificación religiosa en el asunto, 
y admitimos que sea conocida en magnitud, dirección y sen- 
tido también, la velocidad de arrastre para ese individuo de 
la familia vemos que, en dirección y sentido, así como en 
magnitud, la velocidad efectiva en ese instante del movi- 
miento de modificación religiosa del individuo, será la re- 
sultante de las dos componentes, y se representaría geomé- 
tricamente por la diagonal del paralelógramo que se cons- 
truyera sobre las representaciones geométricas de las dos 
velocidades conocidas (*). 

Composición de varios movimientos.— Para tratar el caso 
en que la agrupación primera (la familia, por ejemplo) for- 
me parte á su vez de una segunda agrupación más com- 
prensiva (el municipio en que vive, por ejemplo) y que 
aquella primera agrupación participe del movimiento de 
conjunto de la segunda, hemos de partir del supuesto de 
que (así como antes suponíamos que era conocida la velo- 
cidad de arrastre para el individuy por el enlace con su 
familia) sea también conocida en el mismo instante la se- 
gunda velocidad de arrastre (la del municipio, por ejemplo), 
para el mísmo individuo en el mismo asunto. Es claro que 
al participar la familia —como por vía de arrastre — (en este 
asunto) del movimiento del pueblo, de éste participará en 

general el individuo que pertenece á la familia (**). | 


(*) Claro es que si se considera un individuo de tal manera des- 
ligado de su familia (por lo que toca á su posición en este asunto) 
que la velocidad de arrastre fuera para él nula, no habría entonces 
composición de velocidades, pues se trataría de un individuo absolu- 

"tamente libre de las sugestiones de la agrupación familiar en este 
asunto. 

(**) No nos incumbe á nosotros entrar aquí á examinar si para 
cada individuo —en la generalidad de los asuntos de carácter so - 

. cial — esas dos velocidades de arrastre, á saber: la que proviene de 
la familia y la que proviene del pueblo, tienen direcciones y sentidos 


g 
"| 
le 
y 
Ar 
Ñ 


-- 365 — 


La regla de composición de velocidades será siempre la 


del paralelógramo, porque después de compuesta la propia 


individual (relativa á la familia) con la primera de arrastre, la 
resultante habrá de ser tratada como una velocidad relativa 
con respecto al municipio, para componerla á su vez con la 
segunda de arrastre (la del municipio), que hemos supuesto 
conocida también. La resultante de esta segunda composición 
será la velocidad efectiva del individuo en el asunto.—en 
magnitud, dirección y sentido. 

Con toda generalidad podemos decir: que si el munici- 
pio participa del movimiento de conjunto que pueda tener 
la provincia ó región á que pertenece; y ésta á su vez del 
movimienio de la nación, y ésta del movimiento de su raza; 
y, finalmante, su raza del movimiento total de la humanidad; 
cada individuo tendrá en un instante dado (para cada asun- 
to) una velocidad en su movimiento de modificación que es- 
tará determinada por la resultante de su velocidad propia 
individual y de todas las simultáneas de arrastre que hemos 
enumerado. Es claro que alguna de estas componentes no 
existiría si el enlace ó la conexión correspondiente no exis- 
tiera; como, por ejemplo, si un individuo y su familia estu- 
vieran completamente separados de la corriente de movi- 


que se separen poco ó mucho la una de la otra. Hay quienes creen 
que — generalmente hablando — hay antagonismo; es decir, que (en 
la misma dirección) es frecuente que los sentidos sean diametralmente 
opuestos. Esto nada interesa en la Cinemática pura y abstracta de 
que aquí tratamos. 

Ya dijimos al principio que en la Cinemática se hace siempre abs- 
tracción completa de las fuerzas que producen los movimientos, pero 
en una Cinemática aplicada sería muy interesante el examen y de- 
terminación de los movimientos que (proviniendo de los intereses, 
concordantes ó discordantes, de las simpatías ó antipatías, etc.) de- 
terminan las velocidades de arrastre de los individuo. en una ú otra 
dirección y sentido. 

Dentro de una nación — por ejemplo — habrían de ser considera- 
das las familias, los municipios y las regiones — para esa considera- 


-ción cinemática. 


6 


miento del municipio en que vive, ó una nación estuviera 
aislada del movimiento general de las de su raza, etc. 

Si ponemos la atención en un asunto económico — un 
asunto de agricultura, por ejempto — y escojemos un indivi- 
duo que en un instante dado dedique á este asunto su acti- 
vidad, y pensamos en lo que hemos llamado su posición en 
el asunto en ese instaníe, diríamos primeramente que está 
en reposo, si no está en vías de introducir modificación de 
ninguna especie en su modo de llevar ese asunto como agri- 
cultor, y no hace más que conservar la posición heredada ó 
adquirida anteriormente. Si, por el contrario, suponemos 
que está animado de una velocidad propia de modificación 
en determinada dirección y sentido, y que ese agricultor no 
está aislado, sino que forma parte de una corporación agra- 
ria, y que ésta tiene un movimiento general de modificación 
en el asunto de que tratamos, el individuo recibirá, como 
partícipe de este movimiento de la corporación, una primera 
velocidad de arrastre. ! 

Si á su vez la Corporación participara de un movimiento 
general de la región ó del país, que se relacione con aquella 
especie de modificación, el individuo recibiría una tercera 
componente de velocidad; y la resultante de las tres veloci- 
dades dichas sería en el instante que consideramos la velo- 
cidad real y efectiva del individuo, y ella señalaría la direc- 
ción y el sentido de su movimiento efectivo de modifica- 
ción. 

Parece innecesario decir que sería dificilísima, por no de- 
cir imposible, la determinación de cada una de las velocida- 
des componentes que se requieren como datos para aplicar 
el procedimiento expuesto de composición que habría de 
conducirnos á la velocidad resultante para cada individuo. 
Es primeramente difícil conocer con precisión la dirección, 
sentido y magnitud de la velocidad propia individual, relati- 
vamente á la primera agrupación social á que pertenece; 
pero la dificultad es mucho mayor para las demás compo- 


o 


A 


nentes, que son velocidades de arrastre del individuo por las 
distintas agrupaciones sociales más y más comprensivas que 
envuelven, por decirlo así, al individuo. Y son mucho más 
difíciles de determinar con precisión estas componentes, 
porque habría que conocer, no ya una dirección y sentido 
general de velocidad como dirección media con su magnitud 
media, sino la que particularmente correspondiera al indivi- 
duo de que se trate. Se comprende que esta última varíe de 
un individuo á otro, según su enlace (para el asunto) con la 
familia, con el Municipio y la región, etc., para ser arrastrado 
en una ú otra dirección y sentido, y con más ó menos inten- 
sidad. 

Entraría por mucho en estas determinaciones un compli- 
cadisimo, y casi inextricable, conjunto de circunstancias de 
carácter psíquico social (*). 


ADVERTENCIA. Tengo ahora conocimiento de un libro del Pro- 
fesor SP. C. Haret, de Bucarest, titulado Mecánica social, y pu- 
blicado á fines de 1910. Veo que ese trabajo es enteramente distinto 
del mío, aunque en ambos se aplique á los individuos y á las agru- 
paciones sociales los Principios y Teoremas de la Mecánica racio— 
nal; porque se hace la aplicación desde puntos de vista diferentes 


(*) A los sociólogos corresponde el estudio de estas difíciles cues- 
tiones sobre las velocidades de arrastre y las velocidades propias 
individuales, según sean los tipos de las agrupaciones sociales, y 
según sean las circunstancias en que se encuentren. Con el tema de 
la composición de velocidades, guardan cierta conexión las observa- 
ciones del Profesor Durkheim acerca de la debilitación progresiva de 
la conciencia común ó colectiva, por la cual, las velocidades propías 
individuales van predominando más y más. 

Las velocidades propias individuales dependen sin duda de todo lo 
que hay en el interior de cada individuo, en lo que denominaremos 
más adelante su medio interno; pero esta consideración es de orden 
dinámico, y tratarem. s de ella más adelante. 


— 308 — 


y con muy diverso criterio, como podrá apreciar quien leyere uno 
y Otro trabajo. Mi estudio es predominantemente psicológico (como 
base de lo social), y además puramente abstracto y teórico. Mientras 
que Mr. Haret aspira en el suyo á hacer una Mecánica social aplicada 
(al menos como primera aproximación), habiendo sido la aplicación 
á la Política el móvil que le ha impulsado á hacer su trabajo. 

Así, en toda la segunda mitad del libro, se trata de cosas que no 
tienen analogía alguna con lo tratado por mí en estos Apuntes; y 
termina con reflexiones sobre la marcha de la civilización. 

En la Mecánica social propiamente dicha, veo que Mr. Haret ha- 
bía estudiado ya alguna de las cuestiones que yo he abordado en 
este trabajo; pero lo había hecho de manera muy diferente. Es de 
notar, sin embargo, que yo haya llegado —aunque por distinto ca- 
mino—á un modo de extender el principio de la inercia que en al- 
gún punto coincide con el de Mr. Haret; y que yo haya llegado 
también á concepciones algo análogas á las suyas sobre la noción 
de masa, para poder mirar ésta como constante. 


(Continuará). 


| 
| 
i 
| 


— 369 — 


XV!I.—Cráneos araucanos del Museo antropológico 
Naciona]. 


Por Luis DE Hoyos SÁINZ 


La gran familia étnica de los araucanos, es clasificada por 
los antropólogos de muy diverso modo, en las subdivisiones 
de los pueblos sudamericanos; pues mientras Quatrefages y 
el Sr. Antón forman con ellos los patagones y extinguidos 
charruas, la raza pampense, Siemiradzki, Virchow, Deniker 
y otros, constituyen un tronco de la gran raza andina, de 


“origen centroamericano y en relación directa con los ataca- 


meños, afirmación que podremos estudiar en otra ocasión 
por haber medido varios cráneos de esta tribu, procedentes 
de la «Expedición al Pacífico» de los naturalistas españoles 
en 1862 al 66: optamos nosotros,-—rectificando por conocer 
mejor este punto, nuestra opinión del libro Clasificaciones, 
prehistoria y razas americanas, 2.* edición del 1900,—por 
el último modo de ver, aunque no tiene en este caso con- 
creto gran valor la diferencia, porque los cráneos que anali- 
zamos proceden de modo indubitable de la región de los 
araucanos chilenos. Es, además, para nosotros indudable, 
que los araucanos pampenses no son más que una adapta- 
ción al medio y á la vida de la estepa, de emigrantes de la 
cordillera. 

Los dos ejemplares que estudiamos, son representantes de 
la raza considerada como la originaria de esta gran zona, que 
Ehrenreich (*) estima como el tronco de todos los america- 


($) Dr. Paul Ehrenreich. —Die Ethnographie Sudamerikáas un Be- 
giundes XX Yahrhunders usw. Arch. f. Anhr. Neue Folge 151I, pági- 
na 61, 1905. 


— 310 — 


nos del grupo sud, y de los que han salido los transandinos 
á mezclarse con los puelches. El interés de su estudio está 
en que los trabajos craneométricos de araucanos, están ba- 
sados principalmente en ejemplares de las razas derivadas ó 
de los territorios argentinos, ya que las excelentes publica- 
ciones de Guevara en los «Anales de la Universidad de San- 
tiago de Chile», así como de Medina (*), Lenz y Polakows- 
ki, son estudios etnográficos, y el de Zampa (**), sobre tres 
individuos vivos, no tiene utilidad para nosotros. 

Masculino el uno, femenino el otro, son, sin embargo, 
- estos dos cráneos de una semejanza tal, que pueden descri- 
birse conjuntamente en lo que á su morfología y arquitectura 
craneal atañe, y que sólo en la natural proporción de los ca- 
racteres métricos de ejemplares de los dos sexos difieren 
algo, aunque conservando casi en todo las mismas relacio- * 
nes: Idéntico es no sólo el aspecto, sino la conservación y 
estado como procedentes del mismo yacimiento. 

Son ambos pequeños, globulosos, de líneas redondeadas 
y finas, verdaderamente afeminados, y contrastando, por 
ello, con el prejuicio de pertenecer á una raza fuerte, indo- 
mable y guerrera, que justificó el nombre que se daban de 
moluchos ó guerreros, venciendo á nuestro célebre Valdivia 
y mereciendo ser llevados á la epopeya por Ercilla. 

Esta primer impresión se afirma con los datos de capaci- 
dad y las medidas de los principales diámetros y curvas 
craneanos, que son los siguientes: 


(*) Medina.—Los aborigenes de Chile. Santiago, 1882. 

Lenz. R.—Estudios araucanos. An. de la Un, de Santiago de Chi- 
le, 1895-1897, ati como Introducción á los estudios araucanos, con un 
apéndice biblográfico. Valparaíso, 1892, 

Polakowski.—Geschichte der Eroberung Chiles. Zeits fiir Erder- 
kunder XX!!, y del mismo autor. Die eutigen Araukaner. Globus, 
tom. 74 del 1898. 

(**)  Zampa. R.—Fueghini ed Araucani. Arch. per l'Antropo- 
logía XXII, pg. 362, 1892, 


A 


dd dd dt is 


Ls mi as 


A 


A A A ÓS 


—- 311 — 
Capacidad... 5120.20 MERISTOES OI2IS Sicme 
Diámetro: A. P. Mx. .... 164 » 166 >» mm. 
Diámetro transverso..... 137 >» LL 
> Verticales 129 » MAS 
Curva horizontal...... . 480 » 470 » >» 
yo transversals so: 410 >» 396 > » 
»  antero-posterior. . 334 » 348 » » 
da 


Demuestran las cifras de la capacidad craneal obtenidas 
por el procedimiento clásico de Broca, y las del módulo ó 
semisuma de los tres diámetros cefálicos, que si el azar no 
ha presentado estos valores individuales reducidos para la 
representación de la raza, es ésta de pequeño volumen ence- 
fálico, pues tanto en la nomenclatura francesa como en la 
alemana corresponden á los grupos inferiores y se observa 
en ellos la justa reducción que el sexo femenino presenta 
respecto al otro. Además, esta capacidad es aún algo supe- 
rior á la de 1313 cm.*, que es la media general obtenida por 
nosotros en las series de cráneos de los Andes medidas en 
el Museum d'Histoire Naturelle, de París, y en el Labarato- 
rio de Antropología del Museo de Ciencias Naturales, de 
Madrid, con los cuales nos parece lógico comparar, como 
contraste, los valores de estos ejemplares, ya que las afini- 
dades étnicas se han de traducir en analogías métricas. La 
diferencia de 2 unidades en el módulo á favor de las series 
peruanas nos da idea, teniendo en cuenta su menor volu- 
men real, del aumento de la braquicefalia en estos arau- 
canos. 

Los valores absolutos de las curvas craneales siguen el 
mismo incremento, pues exceden en 15, en 25 y en 8 mm. á 
los medios de los sujetos andinos, cosa verdaderamente de 
notar, porque se consideraba esta raza como inferior á las 


— 312 — 


andinas puras, y no es ciertamente esta la deducción que 
podemos hacer con estos datos. 

Los indices cefálicos fijan la característica de cada cráneo, 
y por el cefálico verdadero hallamos una extrema braquice- 
falia en el hombre, que tiene 83,5, cifra casi igual á la que 
para esta raza da Virchow (*) y correspondientes ambas á 
las de Tenkate, que de 300 cráneos halló 96 cuyo índice 
pasa de 80, y á los resultados de Latcham, que en los crá- 
neos por él medidos y en los de los Sres. Guevara y Medi- 
na halló el 52 por 100 en los grupos braquicéfalos. Tiene 
la mujer una mesaticefalia que sólo á mezcla ó á una varia- 
ción individual puede atribuirse, pues reduce su índice á 
76,1, por efecto del alargamiento antero-posterior, que ex- 
cede al del hombre, á pesar de su menor tamaño total (fo- 
tografías 1 y II). Comparados con los procedentes de la cos- 
ta y la cordillera, resultan una unidad menos braquicéfalos. 
que aquéllos y cuatro más que éstos, siendo de notar que 
tienen menores diámetros á pesar de su mayor volumen real. 
Son más braquicéfalos que los medidos por varios autores 
y recopilados por Siemiradizki 6 Deniker, como araucanos 
chilenos, y que los dados á conocer por La Vaulx y Tenka- 
te, como de la rama pampense. 
: El índice vertical hace verdaderamente hipsicéfalo al crá- 
neo masculino con 78,6 y deja como ortocéfalo al femenino, 
aunque son más elevados que los del Pacífico, y, sobre todo, 
que los de la Cordillera; el vérfico-fransversal invierte sus 
valores respecto á las razas afines y á los sexos, pues es de 
94 y 953, valores ambos del grupo medio, que se esplican 
más por la gran anchura del cráneo que por su aplastamien- 
to que no existe, ya que su diametro vertical basio-bregmá- 
tico se eleva por un particular y característico abombamien- 
to del occipital baxilar, que sirve de plano de sustentación 
al cráneo, quedando las apofisis mastoideas altas por no ser 


(*) Virchow. R.—Crania Ethnica Americana. Berlín, 1892. 


I.—Hombre araucano, 


Plano vertical alveolo-o| MM.—Hombre araucano, Norma basal ó inferior. 


Plano vertical auditivo-alveolar. 


| 


izontal +Mujer araucana, Norma lateral. 


[.—Hombre araucano, Norma superior ó vertical. 11.—Hombre araucano, Norma facial ó anterior. 


I1I1.—Hombre araucano, Norma basal ó inferior. 
Plano vertical alveolo-occipital ó de sustentación. Plano horizontal alveolo-condileo. 


Plano vertical auditivo-alveolar. 


; : CAE -ma lateral. 
1V,—Hombre araucano, Norma lateral. V.—Mujer araucana, o S SS ssvehelosa 
Plano horizontal de sustentación alveolo-condileo. Plano horizontal alveolar y Occip E 


z - a AS Y PAS Y PR A] 


A 


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A 


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e 


Me 
ye 


— 3. == 


tampoco muy fuertes ni grandes, como puede verse en las 
fotografías laterales. 

El análisis parcial de la curva media naso- opzsitica, como 
se ve en las dos fotografías laterales, permite afirmar, en pri- 
mer término, que la dolicocefalia femenina es parietal y occi- 
pital, reduciéndose notablemente la región frontal en todas 
sus medidas, cosa análoga á lo observado por nosotros en 
la explicación de la relativa dolicocefalía de los cráneos de 
la región audina sobre los de la costa, y que tiene su última 
comprobación en la reducción del segmento preauricular del 
cráneo femenino. 

Las proyecciones que tomando por base el plano de sus- 
tentación y por origen el basio, dividen al cráneo en anteriot 
ó facial y posterior, demuestran el alargamiento palatino y 
alveolar, pues en el cráneo masculino son, respectivamente, 
de 102 y 90 mm., lo contrario que en el femenino, cuyo pre- 
dominio es, como en todo, occipital ó posterior, teniendo por 
indice basilar 53,6 y 62,3 respectivamente. 

Los más típicos de los indices que relacionan los diversos 
valores cefálicos son los que expresan el estrechamiento an- 
terior, dado como característico de esta raza, y que si en la 
norma superior ó vertical no resaltan inmediatamente más 
que por el estrechamiento de la hemiclipse anterior, en las 
relaciones métricas más exactas y menos sujetas al error de 
observaciones, se determinan de un modo indudable, y has- 
ta exagerado, pues el índice fronto-cigomático es de 68,8 y 
67,1, valores ambos más bajos que los considerados como 
límite inferior de las razas en que se ha determinado, y el 
fronto-parietal tiene igual carácter de excepción en el cráneo 
masculino, ya que no pasa de 61,3, subiendo en el femenino 
solamente á 64; es decir, dos unidades del extremo inferior 
de los valores medios étnicos. 

Este carácter es correlativo del que Ten-Kate (*) de 


(*) Ten-Kate, Contribution á la Craniologie des araucans argen- 
tins, 1 vol. 8.?, 1893. La Plata. : 


— 374 — 


ra como típico de esta raza, que es abultamiento de las bol- 
sas temporales, bien manifiesto en estos cráneos por las fo- 
tografías de las normas superior y facial del masculino y la 
facial del femenino, si bien hay que esperar la solución por 
nuevas observaciones, ya que no se presentan estas particu- 
laridades en los cráneos estudiados por Latcham. 

Insiste en la plena confirmación del carácter tal vez más 
esencial de los araucanos, el valor del índice frontal, ya que 
su diámetro mínimo ó anterior es sólo de 77,7 centésimas 
del máximo ó posterior, siendo el valor medio de esta rela- 
ción en las diversas razas de 87. 

Como último elemento que á la craniometría afecta, están 
los datos relativos al agujero occipital (totografía IV), que 
indican la gran armonía de todos los caracteres, por sus índi- 
ces de 93,9 y 87, en relación también con la pureza braqui- 
céfala de ambos ejemplares; no siendo notables, ni el módu- 
lo que expresa el tamaño, ni el ángulo de Daubenton, que 
es de 19 y 18”, respectivamente, teniendo la forma redon- 
deada y de apariencia grande, con abultados y extensos 
cóndulos. 


Presenta la norma vertical (fotografía 11), una forma elíp- 
tica, Ó mejor ovoide, con el diámetro menor por delante, 
dejando ver unas arcadas cigomáticas del número 2, y los 
elementos todos del prognatismo facial, al que contribuyen 
de un modo verdaderamente gradual el plano orbitrario, los 
elementos de la nariz, y especialmente los maxilares y el 
borde alveolar, cosas todas más claras aún, en la norma 
lateral que marca una línea de igual inclinación, desde los 
incisivos á la inflexión de la curva frontal, que es muy ho- 
mogénea y continuada igualmente por la región lambdoidea 
y occipital, tras una marcada depresión del obelio que, 


— 319 — 


unida á la linea occipital, hace aparecer muy abultada la 
región occipito- cerebral. 

Evidentes son, por esta norma lateral, los caracteres que 
ha de presentar la facial, que es de aspecto rectangular 
con los maxilares altos, vueltos los pómulos y grande la 
fosa canina, destacándose toda ella sobre un abombamien- 
to de los parietales y de la frente, que hace conservar á la 
cara el carácter globuloso de toda la calavera, y que coin-. 
cide con la descripción de la cara hecha por Latcham (*). 

Los índices faciales corresponden á una marcada came- 
prosopia, verdaderamente extrema en el cráneo femenino, 
pues los valores, según la fórmula del Congreso de Mónaco, 
ó sea la de Kollmann, son de 56,5 y 48,3, muy análogas á 
las dadas por Latcham, de modo parecido á lo que ocurre en 
el índice según Wirchow, que es de 86,2. Por la fórmula de 
Broca, sirviéndonos de la altura ofrio-alveolar, los índices 
son de 71,3, en el hombre, y 62,3, en la mujer. Es de no- 
tar la igualdad del diámetro bicigomático er los dos sexos, 
que es de 122 mm., ó sea la media asignada al créneo feme- 
nino. según los últimos estudios de Mies y Tórok, y que 
no caracteriza ciertamente como ancha esta cara, precisa- 
mente por el escaso valor que aisladamente presentan las 
medidas absolutas. 

Pocas deducciones podemos hacer del estudio de la re- 
gión nasal, pues hállase muy estropeada en el cráneo mas- 
culino, y apuntaremos sólo que el índice en el femenino es 
de 51,1, Ó sea más platirrino que los estudiados por Odden- 
dorf, aunque persiste el carácter de su nariz estrecha y con- 
vexa, de forma acorazonada y de bordes finos y cortantes, 
como le presentan los antiguos peruanos, que en la serie 
por nosotros estudiada tienen valores de 48 y 43,6, res- 


(*) Latcham. B. Notes on the physical characteristics of the Aran- 
canos, Journal of the Anht, Inst. of Great Britain and Ireland XXXIV, 
1904, pág. 190, 


— 316. — 


pectivamente; en los procedentes de la «Expedición del 
Pacificio», en el Museo de Madrid y los del Museum de 
París. 

La órbita es uno de los más característicos elementos fa- 
ciales de esta raza, por su grandísimo tamaño, que reduce el 
diámetro interorbitario á 18 mm., siendo el biorbitario de 93 
en ambos ejemplares, y presentando un índice de 93,2 
el masculino, siendo, por tanto, hipsiconquio ó de órbita 
alta, y de 87 el femenino, en el que se atenúa este carácter, 
aunque persiste en el mismo grupo de la nomenclatura. 

La región palatina (fotografía IV) tiene una marcada for- 
ma elíptica, y es profunda de alta bóveda, presentando el 
prognatismo ya indicado, que se acentúa en el borde alveo- 
lar, del que salen oblicuos hacia afuera unos dientes com- 
pletos y sanos, usados en bisel agudo los caninos y los mo- 
lares del cráneo femenino, estando aún con los tubérculos 
verdaderamente cuspidados los del masculino, que es indu 
dablemente más joven, como lo prueba la falta de sinostosis 
en las suturas, ya osificadas en parte en la mujer. Estas su- 
turas son bastante complicadas, pues pertenecen al núm. 4 
-de la escala de Broca, salvo en la región coronal media y en 
la sagital anterior. Debe hacerse constar la presencia de un 
hueso ptérico suplementario ó vormiano en el cráneo fe- 
menino. 

En el grupo de los caracteres que atañen á la orientación 
natural del cráneo, daremos el valor del ángulo facial espi- 
-nal, que llega á 71” en el hombre y á 79” en la mujer, que 
-tiene el ángulo alveolar de €6P, cifra no muy baja, á pesar 
del marcado prognatismo que presenta el cráneo, lo cual se 
explica claramente por el abombamiento y saliente de la re- 
-gión frontal, que parece ganar en desarrollo anterior lo que 
la falta en el lateral. 


A e 


— 311 — 


Terminaremos anotando los valores relativos al análisis 
de los índices de curvatura Ó aplastamiento que, utilizando 
el craniómetro del Dr. Verneau, hemos obtenido en todos 
los cráneos americanos en busca de los datos de las defor- 
maciones, que tan importantes son en el estudio de la cra- 
nia americana, y especialmente de la región á que éstos per- 
tenecen. Los radios basilares tienen los valores siguientes, 
respectivamente, en el hombre y la mujer. 


Alveolar, 87.-Ofriaco, 108.-Vertical, 135.-Lambdoideo, 112.-Iniaco, 80. 
» TO 9M.-  » 127.- E IS O 


Cifras son éstas que comprueban por este final método la 
tendencia dolicoide de la mujer y su menor prognatismo, que 
en el radio incisivo Ó dentario, da 4 mm. sobre el valor al- 
veolar en el hombre. 

Los índices, deducidos por la fórmula 


cuerda < 100 
curva 


presentan la curiosa particularidad de ser iguales en las 
regiones frontal y parietal del cráneo masculino, por corres- 
ponder á valores idénticos en sus dos elementos; el valor 
de 71 hace notar un aplastamiento grande de los lóbulos 
frontales, contrastando con el de los occipitales que baja 
á 83, exagerando aún el desarrollo occipital, el cráneo feme- 
nino con 80,5, siendo casi igual en el parietal, y más desarro- 
llado en el frontal, en el cual se hace notar la escasa altura 
del ofrio de 80 y 70 mm., respectivamente, en los dos sexos, 
que son los valores más bajos de todas las series americanas 
por nosotros estudiadas. 

La falta de correlación de las cifras que damos con las de 
otros autores, confirman la verdadera necesidad de una re- 
visión de la craneología araucana, cuya variabilidad afirma 


IRSE RAN” 0 DAT A (np 
a: AN > US 
uN: 


Ten Kate (*), por las muchas modificaciones cefál 
desde los Huiliches á los Manzaneros, tiene esta 
raza, que para nosotros es verdaderamente la 
etnogénia del O. y S. de América meridional. 


Y en Kate.—Materiaux pour servir a L” Anthropolog des h 
diens de la Republique Argentine. Rev. del Museo 
tomo XI1, 1904. y 


pl 


| 1 ; 
149 dea 


de 


INDICE 


DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE NÚMERO 


PAGS. 


XII. —Conferencias sobre Física matemática. Teorías di- 
versas, por José Echegaray. Conferencia primera.. 283 

XIV. —Conferencias sobre Física matemática. Teorías di- 
versas, por José Echegaray. Conferencia segunda.. 301 

XV.-—La copelación, según antiguas recetas, por José Ro- | | i 
dripnez MOurelO. laa e O E 323 


XVI. —Apuntes sobre Mecánica social, por Antonio Pot- 


tuondo y. Barcelo coin ere Ue e Majo ISS 
XVII. —Cráneos araucanos del Museo Antropológico Nacio- 4 
nal, por Luis de Hoyos Sdllizin.. dán. : opa 309 
dl ON : ; 
: 8 


a 
dl 
pra E, 


La subscripción á esta REVvISsTA se hace por tomos completos, 
de 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos 
en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, calle de Val- 
verde, núm. 26, Madrid. y 

“Precio de este cuaderno, 1,50 pesetas. 


10 
3 
8 
E si 
d 

E 
a 


, ACADEMIA DE CIENCIAS 


Si 


A EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES . : 


TOMO X.—NÚM. 6. 


Diciembre de 1811, 


. e MADRID | 
ESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO Y EDITORIAL 


CALLE DE PONTEJOS, NÚM. 8. - y 
1911 DN 


ADVERTENCIA. 


Los originales para la Revista de la Academia 
se han de entregar completos, en la Secretaría de 
la Corporación, antes del día 20 de cada mes, 
pues de otro modo quedará su publicación para 
el mes siguiente. 


A po ME 


-XVIHM.— Conferencias sobre Fisica matemática. 
Teorias diversas. 


Por JosÉ ECHEGARAY. 


Conferencia tercera. 


SEÑORES: 


Esta conferencia, como la anterior, tiene por objeto: 

La teoría de la atracción newtoniana y la potencial corres- 
pondiente. 

Además ya saben mis alumnos que habíamos dividido en 
dos partes dicho estudio. Primero considerábamos el caso de 
varias masas M, M,, Ma, M;... M,, reconcentradas en puntos 
cuyas coordenadas conocíamos. Es decir, que este caso se 
refiere á la distribución discontinua de materia, y es el que 
por el momento nos ocupa. 

El segundo caso se refiere á la distribución continua de 
materia, ponderable todavia. 

Continuemos estudiando el primero de estos dos casos. 

Recordarán mis alumnos, que habíamos determinado las 
componentes X, Y, Z, de la atracción de las masas m,, MM», 
M6... M , sobre la restante de ellas m, y que dichas compo- 
nentes venían expresadas de este modo: 


ay Xx 
X=S'" fmm, == 
; r,? 
Di => y 
Y ==" MIN, AS 
Fi 
C1—2 
Z=S/" fmm ==, 
Fi 


Rruv. AcaAD. DE CieNcIAs.—X.— Diciembre, 1911, 23 


8d => 


en que había que sumar, como indica el signo S,”, expresio- 
nes de la misma forma que la que aparece explícitamente, y 
en las que el subíndice variaba de 1 á n. 

También dijimos, que en este caso, de atracción de masas 
ponderables, para que las fórmulas tuvieran la debida gene- 
ralidad y resultaran acordes los signos de los primeros y de 
los segundos miembros, debía cuidarse de restar de las co- 
ordenadas a, b, c, de las masas atrayentes, las coordenadas 
Xx, y, z de la masa atraída. 

Por último llamábamos la atención sobre esta circunstan- 
cia: que si las masas que atraen 1m,, Ma..... M, SON fijas y la 
masa m puede variar, las tres expresiones serán tres funcio- 
nes perfectamente determinadas de las variables x, y, 2, Co- 
ordenadas de dicha masa m. 

Con esto en rigor el problema queda completamente re- 
suelto: podemos determinar en todo sistema de masas dis- 
continuas, reconcentradas en puntos aislados unos de otros, 
el valor de la atracción y de sus componentes; problema 
tundamental ó mejor dicho datos necesarios para todo pro- 
blema de estática Ó de dinámica, según explicábamos en la 
conferencia anterior. 

Y con lo dicho hemos hecho un rápido resumen de aque- 
lla conferencia. 


Las tres fórmulas que determinan las componentes X, Y, Z 
de la atracción sobre cualquier masa m, quedan, pues, per- 
fectamente determinadas; mas gracias á una observación de 
Lagrange, la determinación de estas tres expresiones puede 
reducirse á la de una sola expresión analítica, y de aquí 
arranca el concepto de función de fuerzas, toda la teoría de 
la potencial y simplificaciones importantísimas para varios 
problemas de la Mecánica. 

En rigor ya esto lo hemos explicado en otros cursos; 


— 381 — 


ahora vamos á explicarlo en forma breve, pero sistemática. 

Y por lo demás, tan enlazados están los problemas de la 
Física Matemática, que para la claridad de nuestras explica- 
ciones, y, por decirlo así, para refrescar las ideas del lector, 
en tales repeticiones habremos de incurrir más de una vez, 
y casi siempre de propósito. 

Para simplificar lo-que-vamos á- exponer, de las expresio- 
nes anteriores tomemos sólo de cada una un término, el que 
corresponde á la atracción y á los componentes de esta atrac- 
ción para dos puntos m, m,, y tendremos 


Da PS 

X =fmm, == 
Fi 

b, —y 

Eee 1 

Y, =fmm, === 
: fi 

Ly MS 
Fi 


Se puede observar inmediatamente que estas tres expre- 
siones por su forma analítica, son las derivadas con relación 
á x la primera, con relación á y la segunda, y con relación 
á z la tercera, de una sola expresión. Es decir, de una sola 
función de x, y, z; á saber 


fm mn, 


») 


ó bien llamando U, á esta función 


 fmmj 
0, = Y, 
Vía; + (0, 9) + lc; — 2) 


puesto que r, es la distancia entre los puntos (4,, D,, C,) y 
(x, y, 2). 5h 


— 382 — 


Ahora bien, diferenciando con relación á x el valor de U.,. 
tendremos: 


e 
dU, dx 
AT) 
dx Ud rr? 
Pero 
dr d Va + (PH (AY 
dx dx 
2 (a, 3 + (0, yy + (0 2) ; 
y, por lo tanto, 
dU, CS 
— =fmm 
dx Ln Li 
a dU, 
Xx ===, 
dx 


Del mismo modo podíamos demostrar que 


Yol= dU, 
dy 

E 
dz 


En suma, la solución del problema de la atracción newto-= 
niana toma esta otra forma. Las tres componentes.X,, Y,, Z;, 
se expresan de este modo: 


— 383 -- 


siendo 


U, == q EA = ago o 


V (a, — x)? + (b, — y) + (c, = 2) á 


Así, pues, para calcular las expresadas componentes 
Xi, Y,, Z,, basta conocer la función, perfectamente determi- 
nada por otra parte, U,, y diferenciarla con relación á x, y, z 
según decíamos antes. 

Para atenernos á las notaciones más generalmente emplea- 
das, separaremos la constante f y la masa m atraída, y en la 
función U sólo comprenderemos la masa atrayente m,, en 
cuyo caso podemos decir que la atracción de una masa m; 
sobre la masa m es tal, que sus tres componentes X,, Y,, Z, 
son las derivadas de una función U,, de esta forma 


multiplicadas por mf. Es decir, en resumen: 


¿A dU, 
dx 


dy 

du 
£L; = mM 
1 ya da” 


siendo 


Si además, como hacen otros autores, tomamos la masa 
m atraída por unidad, y escogemos las unidades físicas de 
modo que se tenga f= 1, aún se simplificarán más las tór- 
mulas y el enunciado del teorema, porque tendremos: 


uy =P, 
fi 
x= PU y, LL abr. fs dy, 
dx dy dz 


Es decir, que las componentes de la atracción de una 
masa m, sobre una masa igual á la unidad, cuando f = 1 
son las derivadas con relación á x, y, z de una función per- 


. My . ra eacy c 
fectamente conocida ES diferenciaciones son inme- 


diatas. 


Lo que hemos dicho de la acción de m, sobre m, podría- 
mos repetir para la acción de la masa mm. del sistema, y para 
todas las demás hasta la última mm. 

Y sumando todas estas componentes, en la hipótesis para 
simplificar la escritura m=1 y f=1, resultaría 


dU. dU, dU, d(U, +0, + ..... + UU») 
A A A A AAA A A 
dx u dx mo + dx dx 
yo d(U, + Us +..... + U.,) 
dy 
yaa d(U, +0,+..... + U.,) 
dz ó 
y haciendo 
U= U, + U, + ..... + OU», 
que es 
y My 
Us a + E +... l- E 


tendremos por fin 


Resulta, pues, en términos generales, que en un sistema 
de masas ponderables m, M,, IM) ... My, las componentes de 
la atracción de todas las masas, menos una /n, sobre ésta, 
son las derivadas de una función única U, con relación 
DIG? 

No hay que hallar, pues, tres sumas S, sino una sola U, 
que es de la forma 


y que es, evidentemente, una función de x, y, z, puesto 
que 7, f, ... se expresan de este modo: 


rn =V(a, — 2 (0, — y) + (c, — 2), 
1, = Vía, + (0 — PE (6 2). 


Determinando, según esto, dicha expresión U, y diferen- 
ciándola con relación á x, y, z, tendremos las tres componen- 
tes de la atracción newtoniana que buscábamos. 

A esta función U de x, y, z, 5: le puede dar el nombre de 
función de fuerzas, porque es la función única de la cual 
dependen las componentes de la atracción de M,, Ma ..... 
sobre una masa cualquiera m del sistema. 

Hemos supuesto, para simplificar m=1,7=1. En cual- 


— 986. — 


quier momento podemos prescindir de estas hipótesis, resta- 
bleciendo el factor m f, en cuyo caso resultaría 


DELE, yaaa mp. DM EEN 
dx dy dz 


Este resultado de que en la atracción newtoniana las tres 
componentes X, Y, Z, son las derivadas parciales con rela- 
ción á x, y, z de una determinada función U, se obtiene en 
un caso mucho más general, á saber: cuando la acción (atrac- 
ción ó repulsión) de dos masas materiales m y m, es una 
función de la distancia de r, de ambas masas, aun cuando 
esta función no sea precisamente la relación inversa del 
cuadrado de las distancias. 


En este caso podremos escribir 
F, =fmm, f” (r,) 


en que F, es la acción entre m y m, y f” (r,) la ponemos 
bajo forma de una derivada para la comodidad del cálculo, 
sin que esto sea restringir la generalidad del problema en la 
práctica, porque en general, toda función de una variable r, 
puede considerarse como la derivada de otra función de r,. 

Más claro: si o (r,) es la función de la distancia, podre- 
mos escribir 


Fr) = f 9 (1) dr, 


y es claro que q (r,) podrá representarse en este caso 
por f'(r,). | 

Ahora bien; á las acciones atractivas ó repulsivas de la 
forma 


F,=fmm, f (r1) 


— 387 — 


:se les puede aplicar todo lo que hemos dicho para el caos 
particular en que 


E 
1.2 


di 


Y sin volver á repetir aquellos cálculos, y suponiendo, 
para simplificar, m=1,f=1, tendremos 
, 


X, =m,f (11) , 


e 
O o 


% Er == 2 
Z=mf (1) 2 
E 1 


Estas tres expresiones vemos que pueden obtenerse, d:- 
rivando la función única: 


UL == mÍFs): 


Comprobemos tal afirmación para X,, y tendremos sucesi- 
vamente: 


OEA SA > DA hn 

OS m, f' (r,) Aa 
Ln y O 
dad ma , su ins e) En , Aa —X 
A sl (r,) EA m, f (r,) de 


«que es precisamente el valor de X,. 

Demostrada esta propiedad para cada par de.masas 
m, m.,, la propiedad queda demostrada, en general, con 
“sólo sumar las componentes parciales. 


— UE — 


Es decir, que en el caso general, en que dado un sistema 
USAS TS AN , reconcentradas las masas en puntos A, 
Ago AD eps , la acción de cada dos masas es igual al produc- 
to de ellas y de una función de las distancias f” (r,), las 
componentes de las acciones de m,, Mo) ..... mM , SObre Mm, se- 
rán proporcionales á las derivadas con relación á x, y, z, de 
una función determinada U de estas cantidades. 

En el caso general tendremos 


dU ? 
A 
dE 
dU 
Y=mf== 
há 
Ze E 
dz 


siendo DE 
U= — Sm, f(r,) 


y en la hipótesis m=1, f=1 


PERE y ey0r Ea au 
dx d y dz 
E 


Siempre que esto sucede, á saber: cuando las componen- 
tes de una fuerza son las derivadas con relación á x, y, z de 
una cierta función U de estas variables (ó proporcionales á 
ellas), se dice que dichas fuerzas dependen de una función 
de fuerzas, que es esta función U. 

Detengámonos' algunos momentos en esta conclusión, y 
séannos permitidas algunas reflexiones, casi nos ALE Mena 
mos á decir de carácter filosófico. 


— 389 — 


El que se puedan obtener las componentes. de ciertas. 
fuerzas de la Naturaleza, tomando las derivadas con rela- 
ción á x, y, z, de una función determinada U (x, y, 2), pa- 
rece á primera vista que es una propiedad puramente analí- 
tica, que se prevé que procurará facilidades en el cálculo, 
pero sin importancia ni transcendencia para los fenómenos. 
de la Naturaleza. 

Que una fuerza tenga por componentes ciertas LEE 
¿en qué puede afectar al orden, á la armonía de los fenóme- 
nos naturales? 

Entre esta abstracción, esta curiosidad del cálculo, pudié- 
ramos decir, y la realidad palpitante de la Naturaleza, no: 
ocurre, á primera vista, que existan relaciones transcenden- 
tales. 

Y, sin embargo, no es así. Si no existiese esta relación: 
analítica para ninguna fuerza de la Naturaleza; sin ir más. 
lejos, si no existiese para las atracciones planetarias ó para 
la gravitación, el mundo sería para nosotros completamente 
distinto de lo que es ó de lo que nos parece. 

El cosmos se nos transformaría por completo, como á la 
orden del maquinista se transforma una decoración del. 
teatro. 

Se transformarían las leyes más fundamentales de la Els 
ca, y para no presentar más que un ejemplo, es evidente: 
que la multitud de mecánicos incipientes, que pretenden re- 
solver el problema del movimiento continuo, se convertirían 
en investigadores, serios y provechosos, que ninguna per- 
sona sensata podría rechazar y que invadirían con sus in- 
venciones, hoy condenadas al ridículo en la alta ciencia, 
Universidades y Academias, y en la práctica , toda la indus-- 
tria humana. 

Más para comprender estas afirmaciones y para darse 
cuenta de la transcendental importancia, que en la realidad 
tiene esta proposición, al parecer puramente analítica, que 
hemos señalado, es preciso que dando de mano á conside-- 


— 3900 — 


raciones filosóficas que luego han de explanarse, continue- 
mos estudiando la hipótesis en cuestión. 


Y la hipótesis es esta: Que las fuerzas atrayentes de un sis- 
tema ponderable tienen una función de fuerzas U (x y 2); 
6 de otro modo, que sus componentes son las derivadas 
de U con relación á x, y, z, suponiendo para simplificar 
m=1,f=1.. | 
: Tenemos, pues, 


Multiplicando sucesivamente por dx, dy, dz, y sumando, 
“se Obtiene (: 


¿Ue 


movsorapiarer Logs gy LE gas 
PENE AE , x dy dz 


Pero toda vez que los tres coeficientes del segundo miem- 
bro.son, por:hipótesis las tres derivadas parciales de U.con 
relación á x, y, z, es evidente que dicho segundo-miembro 
será la diferencial total de U', de donde resulta + 


Xdx + Ydy + Zdz=dU.. 


Es evidente aun, que siendo U una función de x, y, z, que 
además supondremos uniforme, tendrá un valor determina- 


— 391 —= 


do para cada punto del espacio; es decir, para cada sistema: 
de valores x, y, z. En la teoría de las funciones uniformes y 
multiformes no podemos entrat por el momento. 
Sea A (fig. 4.*) este punto en que suponemos colocada la. 
masa m= 1. 
Si el punto A” está infinitamente próximo al A, el valor: 


el A, 


Figura 4. 


de U, para este punto A” diferirá de U precisamente en el: 
valor de la diferencial total 4 U, sieado, 


ABS RBA ad, ANO: = dz: 


Por otra parte, es evidente que el primer miembro repre- 
senta la suma de los trabajos de las tres componentes X, Y, Z 
de la fuerza F, ó sea de la acción sobre la masa m situada 
en A por las masas M,, M,, Mz ..... del resto del sistema, si- 
tuadas en A,, Az, Az ..... 

Y tenemos esta consecuencia importante: 


— 392 — 


¿Sila masa m situada en A recorre el camino infinitamente 
pequeño A A”, el trabajo que las demás masas del sistema 
ejercen sobre m estará representado por dU. 

Esta función de fuerzas U que hasta ahora no tenía más 
¿que una significación puramente analítica, tiene ya una síg- 
.nificación mecánica de suma importancia. Mide por sus in- 
crementos, y por lo tanto, por sus diferencias, por sus varia- 
ciones totales mejor dicho, el trabajo que las masas Mm,, Ma... 
que suponemos, fijas ejercerían sobre la masa m móvil, ya 
“sea este movimiento expontáneo, ya sea obligado, y en bre- 
ve explicaremos el sentido de estas dos palabras. 

Por ahora tenemos las dos consecuencias siguientes: una 
que se refiere á un camino infinitamente pequeño AA'; otra- 
.que se refiere á un camino finito de la masa m, camino que 
representaremos por A A* A”. 

Trabajo que el sistema /9,, M; ..... ejerce sobre m al pasar 
de Aá A' = dU. 

Trabajo que ejerce al pasar de A á A” = U, — U,. 

Siendo U, el valor de U en A y U, el valor de U en 4”. 

. Y notemos, antes de pasar adelante, que para estas afir- 
maciones no tenemos en cuenta más que diferencias de U, 
no el valor absoluto de esta función. 

De modo, que lo mismo se aplican dichas consecuencias 
á U que á U + C, siendo C una constante arbitraria. 

Sobre esto volveremos á insistir más adelante. . 

Para abreviar, representemos el trabajo que ejerce el sis- 
tema Mi; Ma ve. sobre m al pasar esta masa de A á A' por 
la notación 7, ,,, con lo cual la primera de las dos ecuacio- 
nes anteriores puede escribirse de este modo: 


FAUD 
AL' 


en que ya hemos dicho que dU representa lo que varía la 
función de fuerzas U al pasar del punto A al punto A”. 
Pero aquí pueden ocurrir dos casos: 


o A e 


A 


— 393 — 


1.2 Que el trabajo T, y por lo tanto, dU, sean positivos. 

Si por ejemplo el punto m cede á la acción de los puntos 
¡M,, M2, Mg ..... EXpontáneamente y describe A A',ó aunque 
sea guiado al describir este camino, si el vector F forma un 
ángulo agudo con la recta AA”, es evidente que el trabajo 
T será positivo. 

El sistema, al haber actuado sobre si ¡ mismo, mejor dicho, 
sobre el punto móvil m, que se hallaba en A, mientras los 
demás puntos los suponemos fijos; el sistema, repetimos, 
ha desarrollado trabajo, ha creado un trabajo positivo T. Y 
otro tanto podemos decir de todos los elementos de la cur- 
va A A” si la hipótesis subsiste. 

2.0 Pero puede presentarse otro segundo caso, y es que 
T sea negativa, es decir, siendo Aa” el camino recorrido, que 
tengamos 

TIA O) 
AQ 


en cuyo caso 
qu 0: 


Esto sucederá si el ángulo del vector F con Aa”,es obtuso. 

En este caso el trabajo será negativo. 

Claro es que este caso no se presentará obedeciendo m á 
la acción de F; será necesario que artificialmente, es decir, 
empleando una fuerza exterior, hayamos obligado al punto 
má pasar de Aáa”. 

Si esta fuerza exterior cesase y dejáramos á la fuerza-vec- 
tor ejercer su acción, el punto m volvería de a” á A, y se 
desarrollaría un trabajo positivo, debido á las acciones de las 
masas M;,, Moa..... SODT8 M. 

Sucede aquí lo mismo que cuando se estira un isis Al 
cesar la acción del estiramiento el resoite se contrae, des- 
arrollando un trabajo igual al trabajo exterior, que fué nece- 
cesario emplear para estirarlo. 

Y aquí prescindimos de las velocidades que adquiera la 
masa /m. Suponemos que estos movimientos se efectúan con 


— 394 — 


tal lentitud, que las fuerzas vivas son despreciables, como- 
explicábamos ya en conferencias de años anteriores. Claro- 
es que si guíamos á m en su marcha, la resistencia ó fuerza- 
normal de la guía desarrolla un trabajo nulo, porque el ca- 
mino y la fuerza son normales, con lo cual subsisten las con-- 
secuencias anteriores. 


En resumen: en estos movimientos, infinitamente peque-- 
ños del punto m pueden, como hemos dicho, ocurrir dos- 
casos: | 

1: Que el trabajo desarrollado sobre m sea positivo. 

2.2 Que sea negativo, en cuyo caso habremos tenido que- 
aplicar un trabajo exterior. 

Y aquí ocurre que podría emplearse un cambio de notacio-- 
nes, que parece insignificante, que sin embargo sería muy 
cómodo para el enunciado de los teoremas, y que, por decirlo . 
así, da nombre á la teoría que vamos á explicar. 

En vez de la función de fuerzas U supongamos que se.em- 
plea una función de x, y, z, que llamaremos V igual en va- - 
lor numérico pero de signo contrario; es decir 


V(x, y, 2) =- O ES y, 2d 


Ó abreviadamente 
V=-=— O. 


. 


A esta función Ves á la que podríamos dar propiamente - 
el nombre de función potencial, por la razón que explicare-- 
mos en breve. 

Autores hay también, muchos, la generalidad, que dan 
este nombre á la función U; y esto importa poco sabiendo: 
lo que una y otra función significan, y que además para 
cada valor de x, y, z, Ó sea para cada posición de m el va=- - 


e 


— 393 — 


lor numérico de ambas es el mismo y sólo difieren en el 
signo. 

Por lo que hemos explicado antes, se ve que cuando U 
crece, esto significa que las fuerzas del sistema ejercen sobre 
m en movimiento un trabajo positivo. 

Por el contrario, cuando U decrece y es negativa, el tra- 
bajo ejercido sobre m es negativo y podrá emplearse en for- 
ma de trabajo positivo, al permitir que m vuelva á su pri- 
mera posición, de modo que es aumentar la energía en [ses 
tencia del sistema. 

En rigor es un recuerdo de la clasificación aristotélica, que 
dividía la fuerza en potencia y en acto. 

Es lo mismo que cuando Se separa una masa del suelo 
elevándola á cierta altura: la gravedad desarrolla un trabajo 
negativo, y el hecho de colocar la masa á mayor altura es 
crear una energía potencial que se desasrollará al dejar caer 
la masa elevada. 

En este caso, al subir, la variación de U'es negativa; pero 
si representamos por V la potencia de que es capaz dicha 
masa, la variación de esta función V será positiva. 


Si alejamos hacia el infinito la masa m, la función poten- 
cial (aceptamos el nombre) 


m, Mo Ma 
U=—=t—=h... — 
ia po 
tenderá hacia o, porque todas las distancias 7,, f» ..... de ná 


los puntos fijos, tenderán hacia infinito y podremos decir que 
la función U significa el trabajo que habria que emplear para 
alejar la masa m desde su posición inicial en el sistema hasta 
el infinito: Esto en valor numérico. 


Ruv. Acap, Ciencias.—X.— Diciembre, 1911. 26 


— 3906 — 


En cuanto al signo claro es que sería negativo. 

Pero si abandonásemos el punto m en lo infinito y le de- 
járamos volver lentamente á la posición inicial, el trabajo 
desarrollado sería igual á U y sería positivo. Y podríamos 
decir que era la potencial correspondiente á la posición de 
que se trata. 

Pero en rigor ésta no sería una potencia disponible, sino 
una potencia empleada ó gastada, si vale la palabra. 

Todo esto ya lo explicamos minuciosamente en las confe- 
rencias de uno de los cursos precedentes, y sólo reco! dare- 
mos que en estos movimientos del punto m hay que tener 
en cuenta dos circunstancias. 

Primero: que los movimientos son muy lentos para no 
tener en cuenta la fuerza viva. 

Segundo: que el punto m puede moverse apoyando sobre 
una guía ideal en la que no exista rozamiento y en la que /a 
presión necesaria, para mantener al punto m sobre dicha 
guía, no ejercerá trabajo ninguno, puesto que siendo dicha 
presión perpendicular al camino recorrido, por ser la nor- 
mal á la curva, el trabajo será nulo, toda vez que es nulo el 
coseno del ángulo que forman ambas líneas. 

Y antes de terminar esta conferencia justifiquemos ciertas 
apreciaciones filosóficas que hicimos al principio. 

Decíamos, que siendo X, Y, Z las derivadas de una fun- 
ción U de x, y, z el trabajo 


Xdx + Y dy + Zdz, 


que sobre m desarrollan las fuerzas atractivas, que ejercen 
M,, Maz ....., €S precisamente igual á d U, es decir 


Xdx 4- Ydy + Zdz = dU. 


Sean ahora (fig. 5) P, y P, dos posiciones de la masa Im. 
Llamemos U, el valor de U para la posición P, y U, el 


— 397 — 


valor de la misma función U correspsndiente á la posi- 
ción P,. 


Claro es que para obtener estos dos valores de U basta 
sustituir en 


Figura 5. 


en vez de /,, fa ..... las distancias de P, á m,, m,..... con lo 
cual tendremos el valor U,. Y después en la misma función 
U en vez de dichas distancias r,, Fz..... las del punto P, á 
las mismas masas M,, Ma ..... COn lo cual obtendremos el va- 
lor U,,. 

Además, para fijar las ideas, supongamos que U, es mayor 
en valor numérico que U,, lo cual es natural en la figura por- 
que las distancias á las masas atrayentes desde P, supone- 
“mos que son menores que desde P,: admitimos que /2,, 
la aos estén á la derecha. 


= 0 


- Supongamos ahora que entre P, y P, se traza una cur- 
va P, A P,, que es la que va á recorrer el punto m en las 
condiciones que antes indicábamos. A saber, que esta curva 
es como una guia ideal sin rozamiento, de suerte que su 
acción sobre el punto m será siempre normal y su trabajo 
nulo, y que la velocidad puede suponerse infinitamente pe- 
queña y la fuerza viva despreciable, para lo cual basta intro- 
ducir una fuerza resistente que vaya conteniendo á la masa m 
sin otro efecto que destruir su velocidad. 

Al pasar m de P, á P,, por la curva P, A P,, las ma- 
SAS MSM o... desarrollarán un trabajo, como antes indicá- 
bamos, representado por 


Py : U, 
sb (Xdx + Ydy -- 243 = |, dU—= UU, Us 
Po 0 


en que U, sólo dependerá de las coordenadas X¿, Yo, 2, del 
punto P,; y asimismo U, sólo dependerá de las coordena- 
das x,, J,, 2, del punto P,. Expresándolo asi tendremos: 


Po 
Trabajo sobre pap | AUN LS 
) Po 
=0 O, +. D, a U (Xi, Yi 21) A U (Xo, Yo» Zo). 


Supongamos ahora que se traza otra curva P, B P,, y 
que se hace pasar al punto m de P, á ¿a a esta ES 
curva. 

Repitiendo lo dieta anteriormente tendremos 


Trabajo sobre P, BP, = U (x,, Y1, 21) — U(%, Yo» 2) | 


- Y como el segundo miembro es igual al de la toto an- 
terior, porque se trata de la misma función uniforme U, to- 
mando los mismos valores para las mismas coordenadas de 
los puntos extremos, resulta que los pS miembros. 
también serán iguales, es decir 


— 399 — 


Trabajo sobre P, A P, = trabajo sobre P, B P;. 


De modo que cuando pasa la masa m bajo la acción de las 
demás masas /n,, MM, ..... del sistema, de una posición P, á una 
posición P,, el trabajo desarrollado sobre m es independien- 
te del camino que siga, y sólo depende de la posición de los 
puntos extremos. 

El mismo trabajo desarrollan entre P, y P, las masas del 
sistema /1;, Ma ..... á lo largo de la curva A, que á lo largo 
de la curva B, que á lo largo de otra curva cualquiera por 
caprichosa que pueda ser en su curso; con tal que una los 
mismos dos puntos P, y P,: y esta propiedad es importan- 
tísima y caracteriza en cierto modo la naturaleza mecánica 
del sistema formado por las masas /11, M,, Ma ..... 

Porque en efecto, supongamos que la masa m bajo la ac- 
ción de las atracciones m,, MM, ....., Y guiada sin rozamiento 
ni velocidad por la curva Py A P,, pasa de P, á P,: se des- 
arrollará un trabajo representado por las fórmulas anteriores 
y que para abreviar designaremos por 7. 

Supongamos ahora que se obliga á la masa m á volver 
desde P, al punto de partida P, aplicando un trabajo exte- 
rior T”, que compense y venza en cada momento el trabajo 
de las fuerzas atractivas desarrollado por m,, Ma..... á lo lar- 
go de dicha curva P, B P,, siempre en las dos condiciones 
indicadas: ni rozamiento ni creación de fuerza viva. 

El sistema volverá á su posición primitiva puesto que 7/1, 
MURGA: están fijos y m ha vuelto á Po. 

Si hacemos ahora el balance del trabajo desarrollado T, 
en la curva Á, y del que hemos tenido que emplear en la 
curva B, veremos que la diferencia es nula, es decir, 7 = 7”; 
puesto que en la hipótesis que consideramos el trabajo de 
las masas M,, Mo..... es el mismo para todas las curvas que 
van de P, á P,, y, por lo tanto, para las dos curvas A, B. 

De otro modo: el trabajo creado en A es igual al consu- 
mido en B. 


— 400 — 


Trabajo que es preciso consumir por compensar la resis- 
tencia que las atracciones de m,, Mm, ..... oponen en la cur- 
va B á que la masa m vuelva al punto de partida. 

De donde resulta esta consecuencia práctica é importan- 
tísima: Que al describir la masa m cualquier contorno ce- 
rrado P, A, P, B Po, ni se crea trabajo ni se pierde, la suma 
de los trabajos positivos y negativos es igual á cero. 

El sistema (1M, M,, Ma ..... m +) ni es creador de trabajo ni 
es destructor de trabajo tampoco. Es conservador de trabajo; 
como vulgarmente se dice, de fuerza. 

No sería lo mismo si al pasar m de P, á P, en unos cami- 
nos desarrollasen las atracciones de m,, m, ..... un trabajo su- 
perior ó inferior al que en otros caminos desarrollaran; por 
ejemplo, si T fuese mayor que 7”, porque entonces reco- 
rriendo m la curva A se habría creado el trabajo T y hacién- 
dola volver nosotros, consumiendo un trabajo T” por la 
curva B, habíamos consumido en B menos trabajo que el que 
se había creado en A. El sistema es, pues, creador de traba- 
jo, escogiendo determinado camino para su cíclo, puesto que 
T— T' es una cantidad positiva. 

Por el contrario, si el punto m recorre primero expon- 
táneamente, por la acción de las atracciones de mm, mo . ... la 
curva B se habrá creado un trabajo 7” y si la hacemos vol- 
ver por el camino A tendremos que consumir un trabajo T, 
y, por lo tanto, al volver el sistema á su posición se habrá 
destruído cierta cantidad de trabajo, T — T”. 

Este sistema sería creador ó destructor de trabajo, según 
los caminos recorridos. 

¿Los sistemas de la Naturaleza Ó los que imitando á la 
Naturaleza pueda crear el hombre, á cuál de estos dos tipos 
pertenecen? 

Si por ahora prescindimos del problema de las resisten- 
cias pasivas y del problema de la degradación de la energía; 
si consideramos una mecánica ideal que se ajuste, sin em- 
bargo, todo lo posible á los grandes fenómenos astronómí- 


— 401 — 


cos Ó á las grandes leyes de las atracciones y las repulsio- 
nes; si suponemos, en suma, que es ley fundamental de la 
Naturaleza en sistemas cerrados en que pueden despreciarse 
influencias exteriores, la ley de la conservación de la ener- 
gía, claro es que los fenómenos naturales obedecen al primer 
tipo: al de la conservación de la energía. 

Y vemos, lo anunciamos antes, que en una ó en otra 
hipótesis las consecuencias son radicalmente distintas. Al 
pasar de una hipótesis á otra el mundo se transforma. 

O conserva invariable su energía, ó la ve aumentar ó dis - 
minuir en cada momento, según la curva que describa cada 
uno de los puntos de un sistema material. 

Así, en la segunda hipótesis, el ser humano puede au- 
mentar la energía de la Naturaleza, escogiendo con inteli- 
gencia las curvas A, B, de nuestra figura. 

O puede anular para siempre ciertas cantidades de ener- 
gía, si escoge el contorno A, B, torpemente, ó con inten- 
ción torcida. | 

En la primera hipótesis la Naturaleza ha puesto á salvo 
las energías que contiene de la torpeza ó de la mala inten- 
ción de los seres libres, ó más ó menos libres. 

En el segundo caso y entre ciertos límites, el Universo 
está en manos de una raza de nihilistas cada vez más inte- 
ligente y poderosa. 

Y aun cabe otra hipótesis que hoy aceptan muchos, y es 
que estas leyes de la Naturaleza, que nosotros creemos eter- 
nas, son próximamente constantes en grandes periodos cós- 
micos, pero que de unos á otros pueden variar, sin que la 
raza humana sospeche nunca, ni la forma, ni el sentido de 
estas variaciones. 

La ley hoy conocida, si se nos permite la imagen, es el 
círculo osculador de una curva eterna; acaso calculan los sa- 
bios el radio, pero ignoran el resto infinito de la curva. 


— 402 — 


De todas maneras se ve desde luego, que si el sistema es 
conservador de energía, á este gran resultado cósmico, apro- 
ximado, ó exacto, ó lo que fuere, se llega por aquella hipó- 
tesis modesta y al parecer sólo de carácter analítico que 
formulábamos al principio: la hipótesis de la función de 
fuerzas. 

Y podemos convencernos de ello, retrocediendo paso á 
paso en la serie lógica de las consecuencias que hemos ve- 
nido deduciendo. 

El sistema es conservador, si el trabajo que corresponde á 
la línea A es igual al que corresponde á la línea B. 

Pero estos dos trabajos han resultado iguales, porque dU 
era una diferencial exacta y la integral no dependía más que 
de las coordenadas de los puntos extremos. 

Y á su yez dU era una diferencial exacta, porque X, Y, Z, 
eran las derivadas con relación á x, y, z, de una función de 
fuerzas ó de una función potencial. 

Y aquí vemos cómo la inteligencia humana enlaza por 
manera verdaderamente admirable la realidad del cosmos y 
de sus fenómenos con las creaciones más abstractas y al pa- 
recer menos reales del espíritu creador del matemático. 

No será esta la última vez que insistamos en estos pro- 
blemas en parte físicos, pero en gran parte filosóficos, dicho 
sea con licencia de la ciencia positiva. 


— 403 — 


XIX.— Conferencias sobre Fisica matemática. 


Teorias diversas. 


POR JOSÉ 'ECHEGARANM. 


Conferencia cuarta. 


SEÑORES: 


En el estudio que hemos comenzado de las atracciones 
newtonianas, y para masas distintas mM;,, Mo ....., constitu- 
yendo un sistema discontinuo, demostramos, que si las 
atracciones eran funciones de las distancias, y, por lo tanto, 
como caso particular en la hipótesis de Newton, las tres 
componentes de las atracciones de todas las masas menos 
una sobre ésta, eran las derivadas de una función fU de 
Xx, y, z, con relación á estas variables. 

Y vimos, que las consecuencias de esta hipótesis, pura- 
mente analítica, eran verdaderamente transcendentales y que 
definían, por decirlo de este modo, un Universo conserva- 
dor de la energía, entre otros infinitos universos que la ima- 
ginación concibe ó cree concebir. 

Mas para llegar á estas conclusiones, prescindíamos de 
las resistencias pasivas, del problema de la dispersión ó de- 
gradación de la energía y de otra porción de problemas, ya 
de Filosofía, ya de Crítica científica, que nos irán saliendo 
al encuentro en la serie de nuestros trabajos. 

Por lo pronto, limitemonos á las hipótesis más sencillas 
en el estudio de este problema de Mecánica ideal, que es en 
rigor la Mecánica clásica del pasado siglo. 


— 404 — 


La función U, cuyas derivadas, multiplicadas por la 
constante mf eran iguales á las tres componentes X, Y, Z,. 
de la atracción sobre la masa m, es la que se designaba con: 
el nombre de potencial, y el producto f U con el de fun- 
ción de fuerzas, de modo que 


Generalmente, para el caso de masas ponderables, que es 
el que estamos tratando, casi todos los autores dan á esta 
función U, como hemos dicho, el nombre de votencial. 

Por razones que en parte hemos desarrollado, y que com- 
pletaremos al aplicar esta teoría á las acciones eléctricas, 
creemos que el nombre sería más propio para la función 
—U, 6, mejor dicho, para C—U, siendo C una constante 
que definiremos en otra ocasión. 

Mas por ahora, estas observaciones tienen poca impor- 
tancia, y nos limitaremos á la definición que ya dimos en la 
conferencia precedente. 

En resumen, y para fijar las ideas: 

U (x, y, z) es la potencial del sistema (M;,, M> .....) 

También puede decirse que es el trabajo que desarrollan 
(m;,, Ma .....) sobre la masa m=1, cuando f=1, para traer 
m=l1 del vo al punto x, y, z. 

fU (x, y, z) es este trabajo, cuando f tiene un valor, se- 
gún las unidades elegidas, distinto de 1. 

fmU(x, y, z) es la función de fuerzas que da X, Y, Z, 
para m. 

Algunos autores distinguen V=— U como la verdadera 
potencial. 

Adoptando la denominación más usual. 


m 


Di me = 


A 


Fi 


— 405 — 


será la potencial del sistema con relación al punto m; es de-- 
cir, la potencial de 1mm,, Ma ..... respecto á m, Ó, si se quiere, 
al punto que /m ocupa y cuyas coordenadas son Xx, y, Z. 
Claro es que U es una función de x, y, z, y que las 
coordenadas de los demás puntos a, b, c....., son cantidades 
fijas y determinadas. 

Esto se ve desde luego, con sólo poner, en vez de f,, fa ..... 
sus valores, dando siempre al radical el signo positivo. 

En efecto; resulta 


My 


( Ba Motion TN NN AA O Ba 
V (a, 92 + (0, y)? + (c, — 2) 


M,) Mr 


A _ _ a 
Vía. — + (0, —y Ec, —2y Vía, — + (07) + (012) 


donde vemos que 
úl = U (x, y, Z, Ai, b,, C1 OD Un; Dm Ch): 


Ó abreviadamente 
U 5 U (x, y, 2jk 


Con tal que se recuerde la significación de r,, fa....., la 
primera expresión de todas éstas es la más cómoda, y aun 
se puede expresar en forma más breve, empleando el sig- 
no $: 


variando dentro de S los subíndices de 1 á n. 

Dijimos que esta expresión representa la suma de los tra- 
bajos de todas las fuerzas atractivas que ejercen 1,, Mo ... Mp 
sobre la masa m=1, siendo f=1 para traerla desde el infi- 
nito hasta la posición que ocupa definida por las coordena- 
das X, y, 2. 


' 


— 406 — 


Este trabajo total es el que llamamos votencial, y, dicho 
sea de paso, volvemos á repetir que no nos parece correcto 
el nombre. Porque lo natural es quese dé la denominación 
de potencial de un sistema al trabajo ó energía que puede to- 
davía desarrollar, no al que ha desarrollado y consumido, 
por decirlo de este modo. 

De todas manetas, si U, representa el trabajo hasta la po- 
sición P, y U, el trabajo que ha desarrollado el sistema 
hasta la posición P,, es claro que cuando el sistema se en- 
cuentre en P, hasta llegar á la posición P, podrá desarrollar 
un trabajo ó energía U, — U,, esencialmente positivo. Y este 
sí que es un trabajo verdaderamente potencial, porque en el 
P, está en potencia, no en acto, como decían los aristotélicos. 

De suerte que si tomamos la posición P, como una posi- 
ción fija de referencia, por ejemplo, el suelo, para los objetos 
superiores; si representamos U, por una constante C, yá P, 
le damos su valor general en función de x, y, %, la expre- 
sión anterior será idéntica á la que antes indicábamos C—V, 
Ó si se quiere VM= C—U. 


Y 


Por ahora sigamos llamando potencial á la función U. 

Venimos estudiando la atracción de todas las masas del 
sistema sobre una de ellas mm. 

Suponemos que ésta puede variar de posición, y por eso 
designamos sus coordenadas por x, y, Z. 

En la Mecánica clásica ni las masas ponderables ni las 
masas eléctricas Óó magnéticas ejercían acción sobre el espa- 
cio como tal espacio. 

Sobre el espacio geométrico ni la materia ni ninguna subs- 
tancia material puede ejercer acción, porque sería ejercer 
acción sobre la Nada, privilegio reservado al misterio de las 
religiones. : 


Ye 


— 407 — 


Pero ya hemos dicho en otras conferencias de años prece- 
dentes, que este modo de ver ha cambiado por completo, que: 
al espacio abstracto se han substituído campos llenos de éter 
ó formados por dieléctricos. En suma, la materia lo llena todo. 
bajo diversas formas, sea materia ponderable, sea éter con- 
tinuo, sean sistemas de electrones, sea lo que fuere, que todo- 
esto ya lo discutiremos más adelante, si llegamos á tiempo. 

Pero en este problema de las atracciones newtonianas, que 
va siendo problema histórico, aunque con estos problemas. 
históricos á cada paso se encuentran las teorías modernas, 
y por eso hay que conocerlos y hay que estudiarlos. y por 
eso, para estudiarlos, estamos abriendo á cada instante estos. 
enormes paréntesis; en este problema de las atracciones 
newtonianas, repetimos, donde no hay materia no hay atrac- 
ción, y las masas m, m, ..... sólo ejercen sus acciones, entra 
sí, desde luego, y además sobre la masa m, que hemos ele-- 
sido como término de comparación. 

Y por eso todavía hacemos variar la masa m, colocándola 
en distintas posiciones, para ver cómo varían las acciones 
que las demás masas ejercen sobre ella. 

Así pues si tomamos en el espacio un punto A, en que no- 
esté colocada ninguna de las masas, no decimos: ¿cuál será 
la acción de las masas m,, m, sobre el punto A? sino que 
diremos: Si el punto m viniera á colocarse en A, ¿cuál sería 
la acción sobre él de las demás masas del sistema? 

A esta misma idea se le puede dar otra forma. 

Se pueden estudiar las propiedades mecánicas del sistema 
paseando, por decirlo de este modo, una masa de prueba 
m= 1, por todo el espacio en que el sistema /MM,, Ma ..... se 
encuentra. 

En estas lucubraciones se ve en cierto modo la tendencia 
á pasar del espacio vacio de la vieja mecánica á los campos. 
materiales de la ciencia moderna. 


+ 


— 408 — 


Para cada posición de m, es decir, para cada sistema de 
valores de x, y, z corresponde un valor U de la potencial, 
lo cual da, en cierto modo, un sentido mecánico á los pun- 
tos del espacio geométrico. 

Se puede preguntar: Si en el pnnto x, y, z se colocase una 
masa m, Ó si se quiere una masa 1, ¿cuál sería la potencial 
de esta masa para el sistema que se considera? 

Y la potencial claro es que sería U (x, y, 2). 

Pero economizando palabras, sobreentendiendo que hay 
que colocar sobre el punto x, y, z una masa para que la pre- 
gunta tenga sentido, bien se puede preguntar en forma elíp- 
tica: ¿cuál es la potencial para el punto x, y, z? 

Y la contestación es la misma: U(x, y, z) si la masa es 1. 

Igualemos la función U á una constante cualquiera C. 

La ecuación 


UE E) =10 


considerando á x, y, z como variables, representará respecto 
á los tres ejes coordenados trirrectangulares x, y, z, una su- 
perficie que gozará de esta propiedad fundamental: Que si 
en cualquier punto de esta superficie colocásemos una masa 
igual á 1, la potencial debida al sistema m, Mm, ..... sería cons- 
tante é igual á C. 

Esta superficie se llama por esta razón superficie equipo- 
tencial, que es decir abreviadamente, que todos sus puntos 
tienen la misma potencial C. 

O de otro modo: para traer desde el infinito una masa 1 
á cualquier punto de la superficie, el sistema de masas m, 
Moria desarrolla exactamente el mismo trabajo. 

Esto hemos representado en la figura 6. 

mM,, My, Mz . ... Constituyen un sistema de masas ponde- 
tables fijas. 

m, la masa restante del sistema, que la estamos haciendo 
recorrer el espacio para estudiar las acciones que sobre ella 
ejercen las expresadas masaS /M,, Ma ..... Y aquí se pueden 


— 409 — 


tomar dos puntos de vista que en el fondo son idénticos. 
OM) My MAI forman el sistema, y estudiamos las ac- 
ciones de todas las masas /m, Mm, ..... menos una sobre la res 
tante m, que ocupa diversas posiciones; 
O solamente M,, Ma, ..... forman el sistema y la masa m 
es, por decirlo así, una masa de prueba, como los planos de 
prueba de la electricidad. 


Figura 6. 


Y decíamos antes: Si C (fig. 6) es una superficie definida 
por la ecuación 


U ed 27) CE 


y suponemos que Á es un punto cualquiera del infinito, en 
que esta m, el mismo trabajo tendrán que desarrollar, ó me- 
Jor dicho, desarrollarán las masas mm, m, ....., al venir m desde 
el infinito A á cualquier punto a, b,c, ..... de la superficie 
-S, sea cual fuere el camino que recorra. C (siendo m=1, 
f= 1) será el trabajo desarrollado al venir de A á a; y Cal 
venir de Aáb;óde Aác y así sucesivamente. 


— 410 — 


Todos los puntos a, b, c..... de la superficie C, corres- 
ponden al mismo trabajo Ó á la misma potencial C. 

Pero C, en la ecuación anterior, es completamente arbi- 
traria, y si le damos una serie de valores C, C”, C” ..... ten- 
dremos una serie de superficies equipotenciales, cuyas ecua- 
ciones serán 


Serie de superficies continua ó discontinua, y que si es con- 
tinua porque C varía por la ley de continuidad, dividirán al 
espacio en zonas ó capas comprendida cada una entre dos 
superficies equipotenciales infinitamente próximas. 

Claro es que hasta aquí, en la vieja Mecánica, estas super- 
perficies equipotenciales sólo tenían una significación geomé- 
trica ó analítica; en rigor, no tenían existencia: para que la 
propiedad mecánica, que señalamos, tuviera realidad era pre- 
ciso pasear, si la palabra vale, la masa de prueba m por cada 
una de las superficies, y sólo en el punto y en el instante en 
que m estaba colocado, la potencial y las atracciones tenían 
realidad para dicho punto. 

Para los demás puntos era todo esto una concepción abs- 
tracta. 

Ya veremos como estos conceptos de la Mecánica clásica 
van tomando realidad física, hasta llegar á su plenitud en 
las teorías modernas. 

Se sabe por analítica que si una superficie C (fig. 7) tiene: 
por ecuación 

U Qx, y, 2) Es es 


los cosenos de los ángulos que forma con los tres ejes una 
normal á dicha superficie, en un punto cualquiera a, son: 
proporcionales á 


— 411 — 


Y du du 
aby 1 AySibitda 


De modo que la normal aN á la superficie C en el punto 
a, formará con los ejes ángulos cuyos cosenos serán pro- 
porcionales á las tres derivadas anteriores. 

Pero hemos demostrado, que si C es una superficie equi- 
potencial correspondiente al sistema m,, Ma .. .., y coloca- 


A 


Figura 7. 


mos en a una masa 1, la acción F del sistema m,, Mm, ..... 
sobre la masa colocada en a tiene por componentes 


dy du du 
de. .dyóbiida! 


luego es evidente que F y N coinciden en dirección; y tene- 
mos esta propiedad del sistema: Que todos los esfuerzos ó 
atracciones del sistema en cuestión, M,, M, ....., Serán nor- 
males á la superficie equipotencial que pasa por el punto que 
se considere. 


REV. ACAD. DE CIENCIAS. —X.—Diciembre, Igrr. 27 


a — 


Así la fuerza, ó como se dice en términos modernos, el 
vector-fuerza F correspondiente al punto a, será la normal, 
en este punto a á la superficie C; y esta es una propiedad 
de todos los puntos del espacio para un sistema determina- 
OA OS de masas ponderables que suponemos fijas. 

Así, pues, si consideramos las infinitas superficies equí- 
potenciales ECO 10”.. 2. y por todos losipúntosia bienes 
AO, E... a,b”, c” ....., trazamos normales, con la mag- 
nitud que les corresponda, este infinito número de normales 
representará el campo de atracciones, Ó de fuerzas, Ó de vec- 
tores que corresponden al sistema M;,, Ma, My ou... 

De aquí la idea de campo de fuerzas Ó campo de vecto- 
res que hoy está tan en uso. 

Lo que hay es, que en la Mecánica clásica, en los tiem- 
pos de su dominio absoluto, y aun en el período de transi- 
ción, estos campos de vectores y estas superficies equipoten- 
ciales eran concepciones puramente abstractas, eran concep- 
tos matemáticos; ni las atracciones, ni los vectores, ni las 
superficies equipotenciales tenían realidad física. 

Donde no existe una masa sólo existía una posibilidad de 
acción física, para cuando existiese. 

Todo lo demás era algo así como una ilusión, algo de lo 
que sucede en las paletas de los ventiladores. Por la rapidez 
del movimiento, fingen una hoja metálica circular que no 
existe; lo que existe es la paleta, en posición determinada, 
cuando por esa posición pasa. 

Un punto debemos aclarar todavia. 

Hemos dicho (fig. 7) que F y N coinciden en dirección, 
pero hay que fijar el sentido. 

Admitamos que las constantes C, C”, C”, van creciendo, 
pues supondremos que el sentido de la normal y de la fuer- 
za F es el de la potencial creciente; por ejemplo, en la figu- 
ra 6, desde a hacia a”. En la figura 7 el que marca la fle- 
cha de F. 


— 413 = 


Hemos definido las superficies equipotenciales; hemos de- 
finido asimismo el campo de fuerzas atractivas ó vectores, y 
ahora vamos á definir otro concepto más: El de /íneas de 
fuerza. 

Sea (fig. 8) una superficie equipotencial C, y á cierta dis- 
tancia otra segunda equipotencial C”. 

De una á otra podemos imaginar una serie de líneas a a”, 
bb',cc'... que sean normales á todo el sistema de superficies 


Figura $. 


equipotenciales, comprendidas entre C y C”; por ejemplo, 
la C,, así como á las anteriores y posteriores. 

Para decirlo brevemente: un sistema de líneas, que serán 
en número infinito, que corten normalmente á todo el siste- 
ma de superficies equipotenciales, 

Asi, por ejemplo, si tomamos en C, el punto n, la línea a a” 
cortará en n normalmente á C,, asimismo la línea bb” cor- 
tará normalmente en ná C,, y así en general. 

Pero el vector del punto n corta también normalmente á C,, 
luego este vector F, ó fuerza atractiva del sistema M,, Ms... 


— 414 — 


será evidentemente tangente á la línea aa”; y lo mismo di- 
remos para n' y para todos los puntos de la superficie C,, así 
como para todos los puntos de cualquier otra superficie equi- 
potencial. : 

“Este sistema de líneas aa”, bb', cc'... normales á todas 
las superficies equipotenciales C, C,, C'..., se llama sistema 
de líneas de fuerza, y gozan dichas líneas de esta propiedad: 
Que la tangente en cualquier punto n de cualquier línea de 
fuerza marca la dirección del vector en este punto, es decir, 
de la fuerza atractiva que sobre ese punto ejercería el siste- 
ma m;,, moa..., si en dicho punto colocásemos una masa ¡n 
igual á la unidad. 

Podemos decir, según esto, que las líneas de fuerza son 
las envolventes de los vectores F que expresan las atrac- 
ciones. 

Podemos también decir, que representan los vectores del 
campo ordenados Ó agrupados en formas de líneas envol- 
ventes. 

Todos estos conceptos de superficies equipotenciales, 
campos de fuerzas ó vectores de atracción y líneas de fuerza, 
que hasta aquí son conceptos geométricos y abstractos, han 
ido tomando consistencia, por decirlo de este modo, y mate- 
rializándose en la moderna física; sobre todo en las aplica- 
ciones de la teoría de la potencial á los flúidos eléctricos y 
magnéticos. Citemos por anticipación las líneas de fuerza de 
Faraday que hasta se asemejaban á algo así como á cor- 
dones elásticos. Ed. 

Citemos asimismo las hojas ó superficies eléctricas mate- 
rializando en cierto modo las superficies potenciales.. 

Y en esta evolución ó desarrollo de la ciencia se pasa por 
tres grados, sin afirmar que el tercero sea el último y defini- 
tivo, que nada hay definitivo en la ciencia como no hay nada 
definitivo ni en la evolución del pensamiento, ni en la evo- 
lución (del cosmos observada y estudiada por la inteligencia 
humana. 


A 


Y estos tres grados son los siguientes: 

1.2. El espacio es el vacio absoluto, es el espacio geomé- 
trico; y nada más. 

Así, por ejemplo, las masas /1,, Ma ..... actúan á distancia 
sobre la masa Mm. 

2.” El espacio geométrico entra en juego y se ordena, por 
ejemplo, en superficies equipotenciales, en campo de vecto- 
res, en líneas de fuerza; pero todos estos son todavía con- 
ceptos a>stractos, sin realidad física. 

Para que adquieran realidad en un punto, por un instante 
al menos, ya como elemento de superficie, ya como elemento 
de línea, ya como punto de aplicación de un vector, es pre- 
ciso que por ese punto pase la masa de prueba 1. 

Las masas del sistema /1,, Ma ..... sólo pueden hacer pre- 
sa, si vale la palabra, en otra masa como ellas, es decir, en 
otra masa ponderable, no en el vacio. 

Pero, si todavia la ciencia, en este momento de su desa- 
rrollo, no cree en la realidad de ninguno de estos conceptos, 
asegura que las cosas pasan como si todos estos conceptos 
fueran reales. 

Es una especie de simbolismo cómodo y provisional. 

3.” Mas la inteligencia humana tiende á creer que es real 
todo lo que le agrada, todo lo que representa, por decirlo 
de este modo, comodidad y economía de esfuerzos intelec- 
fuales. 

Y así, en este tercer período del desarrollo de la ciencia, 
el espacio entra en juego como realidad física y cuando se 
pasa de las masas ponderables á los flúidos eléctricos y 
magnéticos, casi pudiéramos decir, que la masa de prueba rn, 
-ponderable, eléctrica, magnética, ya se descomponga en iones, 
ya en electrones, tiende á estar presente en todos los instan- 
tes y en todos los puntos del espacio. 

Pero este conjunto de teorías modernísimas me propongo 
«y deseo que sean materia de otras conferencias en otros 
Cursos... 


— 416 — 


r 


Por el pronto volvamos á nuestro objeto, á la Física clá- 
sica, á la teoría de la potencial newtoniana, á las masas 
ponderables y á las masas discontinuas. 


Otros dos conceptos más hemos de agregar á los concep- 
tos anteriores. El de tubos de fuerza y el de flujo de fuerzas. 
Empecemos por el de tubos de fuerza, concepto bien sen- 
cillo, que se relaciona con algo de lo que dijimos en el curso 


Figura 9. 


anterior, y que es una consecuencia inmediata de las líneas 
de fuerza. | 

Sea C (fig. 9) una superficie equipotencial, y tracemos en 
ella una línea cerrada ab sumamente pequeña. 

Por todos los puntos de dicho contorno ab, hagamos 
pasar las líneas de fuerza correspondiente aa”, bb” ..... 


— 417 — 


Formaremos de este modo una especie de tubo, cuyas ge- 
neratrices serán todas ellas líneas de fuerza. 

A esta superficie tubular se le da el nombre de fubo de 
fuerza. 

Y es evidente, ó la demostración es tan sencilla que no 
vale la pena de darla, que cada tubo de fuerza cortará nor- 
malmente á todas las superficies equipotenciales: sus gene- 
ratrices gozan, por definición, de esta propiedad. 

Así, en la figura, el tubo ab ab” ..... corta normalmente, 
según la curva a” b”, á otra superficie equipotencial cual- 
quiera, C”. 

En rigor esto es substituir la línea de fuerza sencilla, ó el 
cordón de fuerza de Faraday, por un tubo infinitamente es- 
trecho. 

Otro concepto más que añadir á los conceptos anteriores, 
á la superficie equipotencial, al campo de fuerzas Ó vectores 
y á las líneas de fuerza. 

Y el tubo de fuerza recorrerá el mismo ciclo que antes 
señalábamos para los demás conceptos del mismo orden: 
pura abstracción geométrica; hipótesis, ó mejor dicho repre- 
sentación cómoda para el estudio del fenómeno mecánico; y, 
por fin, realidad física. Hasta que nuevas evoluciones de la 
ciencia conviertan estas realidades en creaciones de la ima- 
ginación y pretendan substituirlas por nuevas creaciones, al 
parecer más consistentes, ó hasta que se nieguen en abso- 
luto, y volvamos á lo abstracto, ó hasta que se vuelva al he- 
cho físico y á la pura fórmula matemática, que será renegar 
de la Física matemática. 

Mas nótese que así como hay atrevimientos positivos, hay 
atrevimientos negativos; y quizá pertenezca á esta clase el atre- 
vimiento que consista en negar en absoluto toda sombra de 
realidad á las creaciones abstractas de la inteligencia humana. 

Este atrevimiento negativo se llama execpticimo. 


ES 
* * 


-— 418 — 


Pasemos ya á calcular el flujo de las fuerzas á través de 
una superficie. 

Claro es que podemos suponer una superficie infinitamente 
pequeña, porque si fuera finita no habría más que descom- 
ponerla en. elementos, calcular el flujo correspondiente á 
cada elemento y sumar ó integrar todos estos flujos elemen- 
tales. 

Sea (fig. 10) un elemento de superficie A B infinitamente 


A SS 
SS 


Figura 10. 


pequeño, que pasa por el punto o y cuyas coordenadas 
sean X, y, Z. : 

Si colocásemos en el punto o una masa ponderable igual 
á 1 el sistema de masas M,, Ma, Mag ..... que siempre conside- 
ramos, ejercerían sobre esta masa 1 una fuerza que podemos 
representar por el vector o F; pero si en vez de esto sobre 
cada área infinitamente pequeña d w en que podemos consi- 
derar dividida A B, colocásemos una masa igual á1 X du, 
la fuerza que pasase por este elemento, sería 


du.F, 


E 


que es suponer que la unidad de masa se aplica á la unidad 
de área, y tendríamos un conjunto de vectores paralelos 
áF, que llenarían un cilindro AB B' A”, cuyas bases para- 
-_lelas suponemos proyectadas en A B y A” B' y formado por 
rectas paralelas é iguales á o F. 

El conjunto de estas fuerzas es lo que llamamos el flujo á 
través de la superficie A B, y lo representaremos por el ex- 
presado volumen. 

EStaecit: 


flujo á través de AB = volumen ABB'A”. 


Claro es que este concepto, como todos los anteriores, en 
un principio fué puramente abstracto; pues no existiendo ma- 
sas ponderables en A B, mal podían existir las fuerzas F. 

Pero buscando analogías y tendiendo á materializar las 
fuerzas F y sus efectos, se dijo: Si por la superficie A B pa- 
sase un líquido incomprensible, formado por filetes paralelos 
á la dirección AA”, ó sea á oF con la velocidad v="F, ó sea 
que v tenga el mismo valor numérico que F, en la unidad de 
tiempo pasaría un volumen de líquido representado precisa- 
mente por el volumen ABB*A”, volumen que sería igual á 


área AB ><0F a 


siendo oF, la proyección de oF sobre la normal á AB. 
Llamando Q al área AB y asemejando este volumen al 
flujo de la fuerza F, tendremos abreviadamente 


flujo AB=0 <F+,. 


Hagamos ahora pasar por el punto o la superficie equipo- 
tencial C, y proyectemos sobre ella el área AB en ab, re- 
presentando ésta por w. 

Tenemos evidentemente 


EJECOS RO) "E COS (A 01d) 


— 420 — 


por lo tanto, 
lujo AB=2-.F .cos(A0a); 
pero 

w=U9cos(A0a), 


luego 
flujo AB=w - F. 


Es declr, que esto que hemos llamado flujo á través de una 
superficie, de la fuerza F que produciría sobre la unidad de 
masa el sistema 11, Ma ..... se puede expresar de dos modos: 

1. Por el producto del área Q por la proyección de la 
fuerza F, que es F,,, sobre la normal á la superficie AB. 

2.” Por el producto de la fuerza F por la proyección del 
área sobre la superficie equipotencial que pasa por 0. 

Que en el fondo es reproducir un teorema elemental de 
geometría y expresar el volumen del mismo cilindro de dos 
maneras distintas: Proyectando la generatriz sobre la norma 
á la base, Ó proyectando la base sobre el plano normal á la 
generatriz. 

Claro es, que este concepto de flujo de fuerza, por el pron- 
to no tiene ninguna significación física; pero es de una gran 
comodidad en las teorías eléctricas, y los físicos se han ido 
acostumbrando, sobre todo, desde las hipótesis de Faraday 
á ir dando sentido de realidad á todas estas abstracciones, 
que pudiéramos decir que corresponden á un período de 
transición entre la vieja Mecánica de la acción á distancia 
y de las fuerzas instantáneas, á las teorías modernas. 


De la aplicación de esta teoría del flujo de fuerzas en que 
se considera á la fuerza abstracta como algo material que 
pasa y circula, ó como los cordones elásticos de Faraday, ó 


== AE 


como los tubos de fuerza, ó como filetes de un flúido incom- 
prensible, se deducen tres teoremas importantes, que por 
ahora vamos á definir en el caso de la potencial newtoniana 
de masas ponderables; pero que aplicaremos más adelante, 
al estudiar sistemáticamente la electroestática. 

Y estos teoremas son los siguientes: 

Primer teorema.—Supongamos una superficie cerrada $ 


Figura il. 


(figura 11), y consideremos exteriormente á dicha superficie: 
una masa ponderable mm, . 

Vamos á demostrar, que el flujo total de fuerzas que pro- 
ceden de 1m,, sobre toda la superficie S, es igual á cero. Pero 
aunque sea repitiendo lo que tantas veczs hemos dicho, ex- 
pliquemos el sentido de este teorema. 

Claro es, que sobre una superficie puramente geométri- 
ca S, una masa ponderable m,, no puede producir acción 
ninguna, ni engendrar fuerzas, ni determinar flujos de fuer- 
zas, y en este sentido el teorema ni tendría ninguna signifi- 
cación física, ni tendría objeto alguno. Y, sin embargo, el 


— 422 — 


teorema es importante y tiene importantísimas aplicaciones 
prácticas. 

Para darle sentido y realidad desde el punto de vísta de 
la ciencia clásica, es preciso suponer que la definición encie- 
rra un concepto condicional; cuando se habla de fuerzas que 
proceden de la masa m,,es preciso entender-que se habla de 
fuerzas que se producirían por la acción de dicha masa m,, 
si en la superficie se colocara una masa ponderable igual á 1 
sobre cada unidad de superficie, lo mismo que hemos dicho 
al explicar el concepto de flujo de fuerzas. 

Y aún necesitamos otra aclaración. 

Es necesario especificar si el flujo es hacia el interior Ó 
hacia el exterior de la superficie. Es decir, si aquellos filetes 
líquidos, á que asemejábamos la fuerza F, penetran ó salen 
del espacio que la superficie encierra. 

Y esta imagen material del teorema abstracto da, desde 
luego, una demostración, ó mejor dicho, una intuición del 
teorema. 

Porque si esta especie de emanación de fuerzas se mate- 
rializa en un líquido, que va á m,, Óó mejor dicho, que en mm, 
se absorbe, puesto que hablamos de atracciones, es claro que 
en el espacio que S comprende, y siendo el líquido incom- 
presible, entrará tanto líquido como salga; y si á los filetes 
que entran se les da el signo + y á los filetes que salen el 
sieno —, claro es todavía que la suma algebráica de unos y 
otros, Ó dicho de otra manera, que el flujo del líquido á tra- 
vés de todo el volumen, tendrá que ser ¿gual á cero: tanto lí- 
quido entrará como saldrá. 

Pero sin acudir á esta imagen ó semejanza, la demostra- 
ción es bien sencilla. 

- Supongamos que parten de m, un número infinito de co- 
nos de abertura infinitamente estrecha. Sea uno de ellos 
mm, A B: lo que de él digamos, podriamos decir de otro cual- 
quiera; por ejemplo, m, D... 
- Elcono m,AB a un área de entiada del flujo 


— 423 — 


A B; y decimos que A B corresponde á un tlujo de entrada, 
porque todas las atracciones de m,, en los diferentes pun- 
tos de A B son próximamente iguales y paralelas á la atrac- 
ción AF. 

Este mismo cono determinará un área de salida a b; y es 
área de salida del flujo, porque las acciones, sobre todo los 
puntos de dicha área, son próximamente iguales y paralelas 
áaf. 

Y vamos á demostrar desde luego que el flujo de entrada 
es igual al flujo de salida, con lo cual la suma algebráica de 
ambos será igual á cero. 

En efecto: tracemos desde m,, con los radios m, A ym, 0, 
dos porciones de dos esferas concéntricas A C, ac. 

Como el cono es de abertura infinitamente pequeña, po- 
drán considerarse á las porciones esféricas AC y ac como 
áreas planas normales á m, A 6 á cualquier otra generatriz 
del cono. 

Es decir, que podemos considerar al área AC como la 
proyección del área AB sobre el plano AC normal á F. Así 
que, según lo demostrado en esta misma conferencia, el 
flujo de entrada por A B será el producto de la proyección 
de AB sobre un plano normal á F, por la fuerza ó vector F, 
es decir, 

flujo (AB) =área AC - F 


cantidad positiva, puesto que es el flujo de entrada. 
Por consideraciones análogas podemos establecer desde 
luego 
flujo (ab) = área ab - f 


cantidad negativa si la anterior es positiva, puesto que es 
flujo de salida. 
Y el flujo correspondiente al cono será 


área AC -F—áreaac - f. 


— 424 — 


Pero llamando w á la abertura del cono y llamando R y r 
:á las distancias m, A y m, a, tendremos 


área AC = w R?; área ac =0r? 
p) 


y además las fuerzas F y f, suponiendo, igual á k el coeti- 
ciente, serán, según la ley newtoniana 


Sustituyendo estos cuatro valores en la expresión del flujo 
correspondiente al cono, tendremos por fin 


km; y km; 


y Aa cd 
R? p2 


= wvkm, — km, =0; 


«con lo cual queda demostrada la proposición; es decir, que 
el flujo correspondiente al cono elemental es nulo. Y como 
lo mismo podemos decir de otro cono cualquiera m;, D ..... y 
todos ellos agotan el espacio comprendido en $, resulta que 
el flúido total es igual á cero. 

Si la fuerza, en vez de ser atractiva, fuera repulsiva, las 
consideraciones serían idénticas. 


Este primer teorema puede generalizarse para un número 
«cualquiera de masas ponderables 1,, Ma ..... 

Es decir, que el flujo de un sistema de masas /M,, Ma ..... 
exteriores todas al espacio comprendido en una superficie 
cerrada S, es nulo. 

Esto resulta imediatamente de la superposición de flujos 
.que constituyen el flujo total. Si el flujo de ,m, es nulo, y el 


— 425 — 


de m, y el de 1; ..... la suma de todos ellos también seré 
igual á cero. 

Más claro todavía: 

Supongamos en la superficie S un área elemental Q y la 
normal N. 

Supongamos que para dicha área el vector-fuerza corres- 
pondiente á m,, es decir, la atracción que ejercería si por 
unidad área se colocase una masa uno, fuese F,Q. 

Que asimismo el vector-fuerza de la masa Fm, fuese Fa 2, 

Y basta con estas dos masas, porque lo que de su con- 
junto digamos, diríamos de un número cualquiera de masas. 

Según lo que hemos demostrado en esta misma conteren- 
cia, puede obtenerse el flujo multiplicando el área por la 
proyección de la fuerza sobre la normal á dicha área; luego 
sobre el área Q 


flujo de m, =Q - F,cos(F,N) 
flujo de m, =2 . F, cos (F,N) 
Y 
flujo m, + flujo m, =Q. [F, cos (F,N) + F, cos (F,N)]. 
Pero si F es la resultante de F, y de F,, como se sabe, 


que la proyección de la resultante es igual á la suma de las 
proyecciones de las componentes, se tendrá 


Fcos(FN) =F, cos(F,¡N) +F,cos(F,N) 


luego 


flujo (m,) + flujo (m,) = Q Fcos(FN). 


Mas el segundo miembro es el flujo de la acción F total 
de m, y de m, sobre los puntos de la superficie Q, luego 


flujo (m,) + flujo (mo) = flujo (m, + mo). 


— 423 — 


Es decir, que el flujo del sistema es igual á la suma de los. 
flujos de cada masa aislada, y como estos son todos nulos, 
nulo será el segundo miembro. 

Así, pues, el teorema primero queda generalizado para un 
número cualquiera de masas exteriores al espacio. que com- 
prende una superficie cerrada $. 

Y se prevee desde luego, que podrá generalizarse para las. 
masas eléctricas positivas Ó negativas dando á cada masa el 
signo que le corresponda. 

Aun podemos establecer otra generalización. 

En la figura 11 hemos supuesto, que una recta que par- 


Figura 1. 


tiese de 1, sólo encontraba á la superficie en dos pun- 
tos a, A. 

Y ahora agregamos: importa poco que la corte en un nú- 
mero cualquiera de puntos, con tal que áste sea par, á fin de 
que puedan distribuirse en grupos de á dos, y que pueda 
aplicarse el teorema del cono elemental á cada dos pares de 
superficies infinitamente pequeñas de entrada y de salida. 

Esto sucede, por ejemplo, en la figura 12. 

Una recta que parta de m, puede cortar á la superficie S, 
por ejemplo, en cuatro puntos A, a, A”, a”, porque el teore- 
rema se aplica sin dificultad á las superficies AB, ab y 
A'B', ab”. 

Obsérvese que en la parte superior de la figura los puntos 
de intersección no son más que dos. 


— 427 — 


Los casos particulares que pueden presentarse son tan 
sencillos que no insistiremos más sobre este punto. 

Pasemos al segundo de los teoremas que anunciamos y 
que viene á ser un complemento del primero. 


Segundo teorema ó teorema de Gauss. — También en éste 
se considera ina superficie cerrada, figura 13, y una masa 
m., que en cierto modo irradia todo alrededor fuerzas atrac- 


FS 


Figura 13. 


tivas. Pero esta masa ponderable m, en vez de ser exterior 
á la superficie S es interior como se marca en la figura. 

El teorema puede decirse que en su origen fué puramente 
abstracto lo mismo que en el caso precedente, y que des- 
pués se fué materializando. 

De todas maneras, al hablar de flujos, que pasan por ele- 
mentos de la superficie, ha de entenderse, al menos por el 


REV. ÁCAD. DE CIENCIAS. —X.— Diciembre 1911. 28 


— 428 — 


pronto, que no actúan materialmente sobre la superficie, si 
no que actuarían cuando en cada unidad de superficie se 
colocase una masa ponderable igual también á la unidad. 

Con todas las salvedades, pues, y todas las explicaciones 
que hemos dado respecto al primer teorema, podemos enun- 
ciar este teorema segundo ó teorema de Gauss, de este 
modo: 

Dada una superficie S cerrada, y en el interior de ella una 
masa ponderable rn, el ilujo de fuerza á través de la super- 
ficie, procedente de dicha masa será igual á 


47m; 


y consideraremos como positivo dicho flujo, porque es flujo 
que entra en el espacio cerrado por $. 

Y en efecto; la fuerza ejercida por m, sobre una masa 
igual á la unidad colocada sobre la superficie, actuará, como 
F, del exterior al interior, lo cual demuestra que el flujo es 
positivo, si convenimos en dar el signo +- á todo flujo que 
penetre en el espacio de que se trata; porque no ha de olvi- 
darse que se trata de atracciones. 

Y la demostración del teorema es bien sencilla. 

Sea AB un elemento infinitamente pequeño de la super- 
ficie S; consideremos un cono que tenga por vértice Mm, y 
por directriz el contorno de AB, y calculemos el flujo co- 
rrespondiente á dicho cono. 

Tracemos ahora dos esferas, una de radio m,A=R, la 
cual cortará el cono, según un área infinitamente pequeña 
AC, que, conforme á lo que antes explicábamos, puede 
considerarse como la proyección del área A B sobre el plano 
tangente á la esfera en A, que se confundirá sensiblemente 
con AC. | 

La segunda esfera la trazaremos también desde m,, como 
centro, con un radio igual á la unidad, y esta esfera e cor- 
tará al cono m, AB, según un área infinitamente peque- 


— 429 — 


ña ac, que será la medida de dicho cono y que designare- 
mos por du. 

Hemos demostrado que el flujo, según A B, es igual a! 
flujo de la fuerza correspondiente F sobre el área A C, luego 
tendremos 


flujo en el cono m, AB= área AC - F; 


pero 
área AC=d0 - R? 
Y 
F= km; 
R? 


Y sustituyendo estos últimos valores en el valor del flujo, 


m 


flujo en el cono m,AB = du - R? - o = km; do. 


Para otro cono cualquiera, cuyo vértice esté en m,, y que 
se apoye sobre otro elemento de la superficie, por ejemplo, 
sobre D, tendremos una expresión análoga 


km, dw' 


siendo du” la abertura de este cono medida en la esfera e. 
Descomponiendo el espacio que comprende S en infinitos 

conos análogos á los anteriores, y sumando todos estos flu- 

Jos parciales, como los conos agotan el espacio de que se 

trata, y abarcan toda la superficie S, obtendremos el flujo 

total, y resultará: 

flujo á través de 


S=km,de +km,dv +.....=km,(de +de' +.....) 


Pero la suma de las áreas comprendidas en el paréntesis 
del segundo miembro, representan precisamente la superfi- 


— 430 — 


cie de la esfera e, que, como su radio es 1, tiene por va- 
lor 47. 
Luego el flujo de que se trata será 


flujo (S)=km,- 47 


con lo cual queda demostrado el terema de Gauss. 

Si suponemos k=1, el flujo en una superficie cerrada, 
que comprende una masa ponderable m,, toma la forma 
sencillísima 

47m, 


Este teorema, lo mismo que el anterior, puede generali- 
zarse para un número cualquiera de masas MM, Ma ....., COM- 
prendidas en S; porque hemos demostrado por el teorema 
de la proyección de una resultante de varias fuerzas, que el 
flujo del conjunto es igual á la suma de los flujos parciales. 
Luego si en el interior de S existen las masas M,, Ma .....,, 
suponiendo siempre k=1, tendremos 


flujo (S) =4x (m, + m, .....). 


Representando para abreviar la suma de todas las ma- 
SAS M,, Ma oa... por M tendremos el teorema de Gauss gene- 
ralizado. Si en el interior de una superficie S existen distri- 
buídas de cualquier modo varias masas, cuya suma es igual 
á M, el flujo total será 


flujo (S)=4* M. 


Todavía puede generalizarse este teorema, como hicimos 
con el anterior, suponiendo que existan masas que determi- 
nen repulsiones en vez de atracciones sobre las masas de 
prueba colocadas en la superficie $. 


— 431 — 


Esto sucede precisamente con las masas eléctricas. Las 
positivas determinan sobre la masa eléctrica + 1 una repul- 
sión, y por lo tanto un flujo negativo, y por el contrario las 
negativas una atracción á la cual acompaña un flojo positivo 

Pero todo lo dicho se aplica sin dificultad á este caso con 
esta modificación, que se desprende de lo expuesto: 

Que el flujo de una masa eléctrica total 


M= mi + Ma + ..... 
será 
flujo (S) =— 47M, 


En QUe Ml, , Ma ..... tendrán los signos que le correspondan y 
el signo M resultará de la suma algebráica anterior. 

Si M es positiva el flujo será negativo, como debe ser, 
puesto que dos masas eléctricas de igual signo se rechazan. 

Si M es negativo el flujo será positivo, 

Pasemos al tercer teorema. 


Tercer teorema.—Es un teorema de transicción entre los 
dos teoremas anteriores, y se refiere al caso en que una 
masa m, está precisamente sobre la superficie $. 

En este caso, si una masa mm, está colocada en A (fig. 14) 
sobre la superficie S, y el plano tangente en A está bien 
definido, considerando como antes una serie de conos ele- 
mentales A B C y la esfera de radio 1, que llamaremos e, es 
evidente que al sumar los flujos de todos estos conos, cuya 
suma dará el flujo total á través de $, las áreas bc, que 
miden cada uno de dichos conos elementales, no sumarán 
más que la superficie E e E” de media esfera, la que está á 
la izquierda del plano tangente £; porque al otro lado ni hay 
superficie, ni fuerzas atractivas, ni flujo de fuerzas. 


— 432 — 


Y como el área de media esfera es 2 x, el flujo tendrá por 
valor del exterior al interior 
flujo (S) = 2xm. 


Generalizando el teorema para muchas masas pondera- 


Figura 14. 


PIES VI, Mi distribuidas sobre la superficie S, y llaman- 
do Má la suma de todas ellas resultará : 


flujo (S) = 27M, 


siempre en la hipótesis k=1. 

También este tercer teorema se generaliza y del mismo 
modo que los anteriores para las masas eléctricas. 

Así veremos, al estudiar la electroestática, que en esta 
rama de la Física son fundamentales los tres teoremas que 
acabamos de explicar, y sobre los que algo diremos todavía 
en la conferencia próxima. 


— 433 = 


XX.—A puntes sobre Mecánica social. 


POR ANTONIO PORTUONDO Y BARCELÓ. 


. (Continuación.) 


ES PA TITC XA "YA DIEN AU NTTOLA 


1,? PARTE: EQUILIBRIO Y MOVIMIENTO 
DE LOS INDIVIDUOS 


Antes de estudiar el equilibrio y el movimiento de las 
agrupaciones sociales, hemos de estudiar en esta 1.* Parte 
(como preliminar indispensable), el equilibrio y el movi- 
miento de los individuos y elementos sociales que las cons- 
tituyen, imitando en esto —como en todo — el procedimien- 
to que se emplea en la Mecánica racional. 

Véamos antes los primeros jalones de esta Ciencia. 

EL PUNTO MATERÍAL. Para la exposición newtoniana, se 
requiere la noción abstracta del punto material, que no es la 
partícula física. 

- Por el marcado caracter matemático de la Mecánica racio- 
nal (no decimos de la Mecánica en general) los elementos 
que, enlazados entre sí, constituyen los sistemas, no son ni 
pueden ser las moléculas, los átomos, los electrones, ni 
cualesquiera otras partículas que los físicos establezcan como 
constitutivas de los cuerpos de la Naturaleza, y sobre las 
cuales versan hoy, (6 puedan versar el día de mañana) las 
teorías físicas y químicas. En la Mecánica racional pura y 
abstracta, que es la que nosotros necesitamos para nuestras 
especulaciones de Mecánica social, no se consideran estas 
partículas que admiten la Física y la Química, sino que se 


— 434 — 


trata del punto material, significando con estas dos palabras 
unidas, que se trata del punto matemático de la Geometría, 
al cual se le atribuye la condición abstracta de material, es 
decir, que se le dota de una masa, como coeficiente de capa- 
cidad para el movimiento en el espacio. 

Por esto las Teorías de la Mecánica racional no están—á 
mi entender — pendientes de los descubrimientos físicos y 
químicos, del mismo modo que puedan estar las Teorías físi- 
cas y químicas. A mi modo de ver, la evolución que se ha 
operado (y que incesantemente se opera) en los conceptos 
matemáticos, así de la Geometría como del Análisis, trans- 
cienden directamente á la Mecánica racional, y determinan 
la evolución de esta ciencia; mientras que la evolución en 
los conceptos físicos y químicos que transcienden muy di- 
rectamente á la Mecánica aplicada (por ser ésta una rama 
de las ciencas físicas), no puede influir sobre las leyes pu- 
ras de la Mecánica racional. Tal como ésta ha quedado 
construída después de Galileo y de Newton, con su arma- 
zón científica, podrá ser ensanchada y desenvuelta, como lo 
es incesantemente; podrá ser expuesta de diferentes modos 
por exigencias del espíritu filosófico Ó por conveniencias 
de las ciencias que la necesitan; pero siempre será cierto 
que sí se admiten como Postulados los Principios fundamen- 
tales, todas las leyes de la Mecánica racional se imponen 
lógicameute á la razón, sin que dependan de los descubri- 
mientos físicos ó químicos, porque esas leyes son formula- 
das con el lenguaje matemático, y para nosotros nada más. 
Hasta hoy la Naturaleza se ha correspondido muy bien con 
esas leyes teóricas; pero si por virtud de observaciones per- 
Tectamente hechas, y con todo género de garantías, esa Co- 
rrespondencia se rompiera algún día, y los físicos hubieran 
de 1epudiar Teoremas demostrados por la Mecánica racional 
de hoy, ésta —aunque subsistiendo como edificio lógico, di- 
gamos así— no sería ya de utilidad para las ciencias físicas. 
En tal supuesto conflicto, habria que revisar los Principios 


— 4353 — 


fundamentales, y me parece que el nuevo Newton que repa- 
rara el defecto en los cimientos, y construyera una nueva 
Mecánica racional utilizable por los físicos, habría de modi- 
ficar los Postulados, pensando siempre en el dato puro y 
abstracto del punto material. 

Recordemos brevemente lo ocurrido en los últimos años 
en qne han surgido descubrimientos que en el campo de la 
Física y de la Química han producido tan honda y legitima 
emoción. Después de los descubrimientos de los rayos X, de 
los rayos de urano, de los de torio y del gran poder radio- 
activo de muchos minerales, se logró finalmente obtener 
(aunque en cantidad pequeñísima) el radio que emite rayos 
luminosos y calorificos con propiedades asombrosas, para 
la explicación de las cuales se ha supuesto que son de tres 
clases <, $, y (con diferente modo de ser) que se han reco- 
nocido por la conductibilidad eléctrica que producen en el 
aire, lo cual no nos interesa aquí. La enorme cantidad de 
energía representadada por el calor que emite incesantemen- 
te un gramo de radio (100 calorías-gramo en una hora) le 
deja, al parecer, sin alteración alguna, ó al menos sin alte- 
ración que sea apreciable por los más finos y delicados ins- 
trumentos y procedimientos de observación. ¿Rompe este 
descubrimiento la correspondencia de la Naturaleza con el 
Teorema de la Conservación de la energía, y hay que repu- 
diar este Teorema de la Mecánica? 

Así fué planteada por algunos en los primeros momentos 
la cuestión que surgía con tan emocionante descubrimiento 
físico. Pero es tal la fe en la ley mecánica, no considerada 
como pendiente de ningún descubrimiento particular físico 
Ó químico, que se desechó bien pronto toda duda sobre el 
Teorema de la Mecánica, y se dedicaron con ahínco los in- 
vestigadores á examinar si habría algún proceso natural, 
antes desconocido, por virtud del cual quedaran en libertad 
cantidades de energía que fueran muchos millones de veces 
mayores que las que aparecían en los procesos*conocidos» 


— 436 — 


y que explicara cómo es producida la energía que expide 
sin cesar el radio. Estas investigaciones han conducido á una 
nueva concepción acerca de la constitución de los cuerpos 
materiales. | 

Se sabía por la Química cómo las moleculas de los cuer- 
pos estaban constituidas por átomos de los cuerpos elemen- 
tales; y se conocian y se medían las cantidades de energía 
que iban envueltas en ese proceso de composición molecu- 
lar, al dividir —ó mejor dicho — descomponer la molécula en 
sus átomos. Pero en los átomos de los cuerpos elementales. 
se acababa todo; eran indescomponibles, eran irreductibles; 
habían sido sido infructuosas cuantas tentativas se habían 
hecho pára dividir los átomos, y aunque se habían visto co- 
nexiones entre unos y otros cuerpos elementales por sus 
respectivos pesos atómicos, no se había podido pasar del 
átomo. Ahora se cree ya que, probablemente, hay partículas. 
mucho más pequeñas que los átomos, y que éstos se com- 
ponen de esas partículas, no siendo, por tanto, indivisibles, 
como se pensaba. 

Se tiene hoy por demostrado, según afirman, que cada 
una de esas partículas es mil veces menor que el átomo del 
hidrógeno (que es el menor de todos), y que lleva cada una 
la misma cantidad de electricidad negativa que la que lleva 
un átomo de hidrógeno al salir del agua por descomposición 
de ésta. Esa partícula cargada con esta cantidad de electrici- 
dad negativa es el electrón. Decimos que se tiene por demos- 
trado, porque diferentes investigadores, por procedimientos. 
muy diversos, han coincidido, han llegado (según se dice) 
á ese mismo valor para el electrón. Así, pues, en cualquier 
cuerpo se puede llegar hasta el electrón—.es decir, la milé- 
sima parte de un átomo de hidrógeno. — Ya se puede conce- 
bir que por el diferente número de electrones, por el diverso 
modo de agrupación de éstos y por sus velocidades, se di- 
ferencien, unos de otros, los átomos de los diversos cuerpos. 
considerados como elementales. 


— 437 — 


Prescindiendo de las hipótesis que han hecho algunos físi-- 
cos sobre la base de los electrones y los iones (electro-posi- 
tivos), lo que ya se puede concebir desde luego es: que la 
descomposición del átomo de un cuerpo elemental, como el 
radio — por ejemplo —, deje en libertad una enorme canti- 
dad de energía, muy superior á la que conocíamos por la 
descomposición de la molécula en sus átomos. Así también 
es concebible ya, que un cuerpo elemental pueda transfor- 
marse en otro al cambiar su peso atómico por pérdida de: 
electrones. Esto parece haberse comprobado en las expe- 
riencias hechas con la emanación del radio, por las cuales. 
se ha obtenido el helio. 

De toda esta digresión (salvando las inexactitudes en que 
podamos haber incurrido), resulta que, por virtud de descu- 
brimientos físicos y químicos, se ha penetrado más y más en 
la constitución íntima de los cuerpos materiales, llegando á 
partículas físicas mas y más pequeñas. Y hay que pensar en 
la imposibilidad de poner límite alguno á lo que las investi- 
gaciones futuras puedan sugerir en orden á la pequeñez de 
las partículas que hayan de mirarse como en las entrañas de: 
los cuerpos materiales; nada impide concebir que pueda lle- 
garse á partículas que sean muchos millones de veces me- 
nores que los electrones de hoy, sin limite alguno. La Física 
y lá Química, y con ellas la Mecánica de los cuerpos mate- 
riales, estarán siempre pendientes de evoluciones futuras 
por ese motivo; pero la Mecánica racional no está en el mis- 
mo caso —á mi entender — toda vez que establece sus teo- 
rías sobre la entidad abstracta del punto material (que sólo- 
está en nuestra mente), y á él no pueden llegar, ni en nada 
pueden afectarla, los descubrimientos físicos, por lo mismo- 
que está sólo en nuestra mente, fuera de la realidad física.. 


— 38 — 


PRINCIPIOS FUNDAMENTALES 
DE LA MECÁNICA RACIONAL 


Vimos en los Preliminares que: 

Del primer principio—ó sea el de la inercia del punto ma- 
terial —se infiere la existencia de alguna causa exterior al 
punto, si se observa algún cambio en el estado de reposo ó 
«de movimiento de éste. La causa se llama fuerza (*). 

Del segundo principio se deduce que el cambio de movi- 
miento producido por una fuerza se realiza en la dirección y 
en el sentido en que ella actúe. Esa dirección y sentido del 
cambio de movimiento, es lo que en la Cinemática hemos 
llamado dirección y sentido de la aceleración total J. Y se 
admite que la magnitud de esta / es proporcional á la fuerza 
motriz F (+*). 

Invirtiendo, se dice que la fuerza motriz F — mirada como 
“una acción externa sobre el punto material que le hace cam- 
biar su estado de reposo ó de movimiento — es proporcio- 
nal (para un punto dado) á la aceleración / que este recibe 
(F= m J).—La fuerza se ve como un vector localizado en 
la posición que ocupa el punto. 

El coeficiente de proporcionalidad m, afecto á cada punto 
material, se llama su masa. 

De este segundo principio se deduce el teorema del para- 
Jlelógramo para la composición de dos fuerzas que actúen si- 


(**) Claro es que no cabe hacer observaciones sobre el punto ma- 
terial que es una abstracción. Se aplica á él lo que pudiera observar 
se en un cuerpo material. No se olvide que estos Principios de la 
Mecánica son para nosotros simples Postulados. 

(+*) La ley de la inercia puede ser mirada, no cómo un prímer 
Principio, sino como un caso particular de este segundo Principio, 
puesto que si no hay fuerza, no hay aceleración; es decir, no hay 
cambio alguno en la velocidad, y ésta subsistirá, por consiguiente, 
«en magnitud, dirección y sentido. 


— 439 — 


multáneamente sobre un mismo punto, basándose en la: 
composición cinemática de las aceleraciones correspondien- 
tes, y en virtud de la independencia de los efectos de las. 
fuerzas. 

Si se llama cantidad de movimiento de un punto de masa 
m en un instante, á un vector localizado en la posición que: 
ocupa el punto, y que-—con la misma dirección y el mismo: 
sentido de la velocidad —tenga por magnitud la de ésta mul- 
tiplicada por el coeficiente m, y se recuerda lo que sabemos. 
sobre la aceleración total /, se ve la fuerza motriz m_J como- 
produciendo (por una simple multiplicación) el incremento 
total (vectorial) muy pequeño mJ><% que experimentará la 
cantidad de movimiento mv en el intervalo muy pequeño de- 
tiempo 4 (*). Se podría decir, en vista de esto, que la fuerza 
es la derivada total geométrica (respecto al tiempo) del vec-- 
tor que representa la cantidad de movimiento; así como en- 
Cinemática se podía decir que la aceleración total es la de- 
rivada total geométrica del vector que representa la velo-- 
cidad. 

El tercer principio que aceptamos fué el de la igualdad de- 
la acción y la reacción; es decir, que siempre que un- 
punto material recibe una acción que emana de otro punto 
material, éste á su vez experimenta—como emanando del: 
primero —una reacción igual y directamente opuesta á la. 
acción (**). 

Los tres principios, que hemos recordado por segunda 
vez, no se imponen por sí mismos, ni son demostrables, ni: 
pueden comprobarse por la experiencia. Aunque se han he-- 


(*) El producto de la fuerza F= mJ por el intervalo muy pequeño - 
tiempo 0 en que actúa, es lo qne se llama impulsión elemental de la 
fuerza. 

(+) Este tercer Postulado es el conocido particularmente con el 
nombre de Principio de Newton, porque los dos primeros habían sido- 
ya previstos por Galileo, aunque éste se limitó al estudio de la caída: 


de los cuerpos por la acción de la gravedad. 


— 440 — 


cho objeciones contra ellos, y descansan sobre nociones 
que son metafísicas, los admitiremos como si fueran incon- 
testables. Es muy de lamentar tal deficiencia en los cimientos 
de la Mecánica racional, que hasta hoy ha ostentado como 
timbre científico el hecho de que la observación y la expe- 
riencia hayan confirmado siempre todos sus Teoremas (*). 


ADAPTACIÓN Á LA MECÁNICA SOCIAL 


El propósito de aplicar á los individuos y á las agrupa- 
ciones sociales, y refiriéndonos á un determinádo asunto, los 
teoremas de la Dinámica de los puntos materiales y de los 
sistemas materiales, nos pone en el caso de justificar prime- 
ramente la asimilación que haremos del individuo — como 
entidad ideal y abstracta —al punto material para concebir 
los movimientos de modificación de aquél (en un asunto) 
.como los movimientos de éste en el espacio; y de admitir 
después para ese individuo abstracto y símple que conciba- 
mos, los tres Postulados. 

Sin esta justificación previa no tendría valor alguno cuan- 
to dijéramos, porque sería un simple cambio de palabras. 


(*) El hecho es que, partiendo Newton de ideas metafísicas sobre 
«espacio, tiempo y movimiento absolutos (ideas sin realidad), pudo 
constituir, sin embargo, una Ciencia como la Mecánica racional, 
-exuberante de verdades comprobadas y verificadas después por la 
observación y la experiencia; es decir, de resultados que no se re- 
sienten de la falsedad en la base. 

Este hecho histórico es muy digno de meditación, no para la reha- 
«bilitación de los procedimientos metafísicos (definitivamente muer- 
tos para las ciencias positivas), sino para tratar de explicar el hecho 
de un modo positivo; es decir, para ver cómo ha podido producirse, 
-6, dicho de otro modo, cómo se ha eliminade lo qne había de irreal 
en el punto de partida. Tal investigación sería grandemente instruc- 
tiva, porque algo análogo ocurre en los puntos de partida de todas 
«las Ciencias. 


== 411 — 


Veamos lo primero. 

Si se admitiera con algunos fisiólogos y psicólogos, que 
en el individuo vivo (como conjunto de células vivas enla- 
zadas entre sí mediante el organismo todo del cuerpo del 
animal) aparece la unidad de la conciencia individual con su 
psiquis, como una sintesis; pensando que las células vivas 
son de suyo conscientes, y que del conjunto orgánico ar- 
mónico de las células, con sus psiquis celulares, brota la 
psiquis individual; es claro que para una Mecánica social 
aplicada á la realidad, habría que considerar la célula viva, 
con su psiquis celular, como la partícula, y el individuo ani- 
mal debería de ser mirado como una verdadera colectividad 
Ó agrupación. Pero ya hemos dicho que serían enormes las 
dificultades con que se tropezaría al intentar el estudio de la 
Mecánica social aplicada, que no era ese nuestro intento; y 
añadimos ahora que las dificultades serían inmensamente 
mayores, si con arreglo á aquella concepción psico-fisioló- 
gica se descendiera hasta la célula. 

Nosotros intentamos permanecer encerrados en el campo 
estricto de la Mecánica racional, y necesitamos primeramen- 
te concebir lo análogo á la posición del punto materíal en el 
“espacio. 

Aunque no sepamos cómo hacer la medición por un pará- 
metro, concebimos, sin embargo, la posición de cada indi- 
viduo en un asunto dado; pero seria inconcebible para nos- 
otros la posición de cada célula consciente en un asunto, 
porque al fundirse todas las células en la conciencia indivi- 
dual, ellas no nos aparecerían ya, y no nos sería posible 
.asignarles posición, en el sentido que damos á esta palabra. 
Sea lo que fuere de todo esto, el individuo que nosotros 
concebimos, uno é indivisible, y que asimilamos al punto ma- 
terial, quedará (como éste en la Mecánica racional) siendo 
una entidad que esté solo en nuestra mente, fuera de la reali- 
dad física y fisiológica, por lo cual no pueden afectarle los 
nuevos descubrimientos que en el campo de la Fisiología y 


— 442 — 


Psicología se hagan en el porvenir en orden á la constitu- 
ción del individuo como organismo viviente, y en orden á 
la aparición de la conciencia y la evolución de la psiquis in-= 
dividual. 

El sociólogo Lilienfeld basa todo su sistema de Sociología 
en la realidad del organismo social, en el cual son para él 
verdaderas células sociales los individuos. Para este escritor 
las acciones psíquicas que se ejercen de individuo á indivi- 
duo en el interior de una agrupación social, son perfecta- 
mente comparables á las acciones físico-fisiológicas que en 
el interior del cuerpo de un animal se ejercen de célula á cé- 
lula. Nosotros no entramos en este terreno porque nos he- 
mos de limitar al estudio de los efectos mecánicos. 

Quizá lo que Lilienfeld denomina substancia social inter- 
celular desempeña un papel que tiene alguna analogía con 
lo que nosotros denominamos enlaces entre los individuos y 
elementos de una agrupación. Los grados de tensión á que 
estén sometidos en cada instante los enlaces de la agrupa- 
ción, podrían quizás guardar cierta correspondencia con el 
estado en que se encuentre esa substancia intercelular que 
media (según Lilienfeld) entre todos los individuos y ele- 
mentos de una Sociedad dada. 

La asimilación que nosotros haremos del individuo. al 
punto material —para nuestro peculiar modo de ver sus mo-= 
vimientos en un asunto como los de un punto en el espacio — 
nos permitirá relacionar dichos movimientos con las impul- 
siones que el individuo reciba, si se pueden adaptar á la 
Mecánica social los tres principios fundamentales. Aunque 
el ser humano individual no es una abstracción, podemos 
concebir en él un ente abstracto ó ente de razón, al cual de- 
nominamos ¿individuo para nuestra Mecánica social pura (**). 


(*) Quizá esta concepción nuestra del individuo abstracto y sim- 
ple sea, en cierto modo, comparable al alma á qúe se refiere el pro- 
fesor Ebbinghans en su Psicología. Según Wunadt, el alma debe de 
ser definida al empezar el estudio de la Psicología científica como «el 


— 443 — 


Los individuos en una agrupación social —lo mismo que los 
puntos materialas en un sistema—no son contiguos, como lo 
_son las células en los cuerpos vivos. 


Veamos ahora la adaptación á la Mecánica social de los 
tres Postulados. 

Primer Postulado.—Para admitir que el individuo por sí 
mismo permanecería en su estado de reposo ó de movimien- 
to en un asunto (siguiendo este movimiento como uniforme y 
de dirección constante), si no fuera compelido á cambiar ese 
estado; y deducir lógicamente, de este Principio de la iner- 
cia, que cuando se observe un cambio, existe alguna causa 
exterior, es de todo punto inexcusable explicar lo que que- 
remos significar. 

Ante todo, parece innecesario repetir que al hablar del in- 
dividuo nos referimos á un ente psíquico abstracto é ideal. 

La calidad de inerte que le atribuiremos consiste: en que 
su tendencia natural es á conservar su posición psíquica en 
cada asunto, si está en reposo; ó á conservar su velocidad 
en el asunto (tal como la tenga) sin alteración alguna, si- 
guiendo un movimiento uniforme de dirección constante. 
Cuando decimos que al observar un cambio en el estado del 
individuo en el asunto, es lógico inferir la existencia de al- 
guna causa exterior al individuo, hablamos de éste como del 
ente psíquico abstracto y simple respecto del cual conside- 
ramos como exterior, no sólo todo lo que está en la Natura- 


sujeto (en el sentido lógico) al cual unimos como predicados todos 
los hechos de la observación interna». En estos hechos el fenómeno 
muy esencial es la unificación dentro de la multiplicidad. 

Se ve que para estos psicólogos no hay necesidad de hacer hipóte- 
sis alguna inicial sobre la existencia ó no existencia de un ser ó de 
una substancia independiente de la materia. 


Rey. Acap, CiencIias.—X.— Diciembre, 1911. 20 


— 444 — 


leza fuera del concreto individuo natural con su propio cuet- 
po, sino también todo lo que—aun siendo interior á este úl- 
timo — desempeña, sin embargo, el papel de exterior res- 
pecto al ente psíquico abstracto y simple para el asunto que 
consideremos. 

Y así como un hecho físico de la Naturaleza que sea ex- 
terior al cuerpo del individuo, ó un acto de otro individuo, es 
un hecho exterior que puede influir sobre el individuo que 
consideramos, y ejercer una acción mecánica-psíquica (que 
sea una fuerza) para cambiar su estado en el asunto, admi- 
timos asimismo que los apetitos que brotan de su propio or- 
ganismo en su funcionamiento fisiológico normal, como el 
hambre, la sed, el apetito genésico, etc., ó bien una altera- 
ción cualquiera en sus órganos (cerebro, corazón, higado, 
sistema nervioso, etc.), aunque ocurriendo todo ello en el in- 
terior del organismo del individuo natural, puede ejercer, y 
ejerce, una acción psíquica sobre el individuo abstracto y' 
simple de que hablamos; y podemos mirarla como exterior 
al ente de 1azón que llamamos el individuo. 

Este se distingue para nosotros del cuerpo, y es como ex- 
terior á éste (*). Y más aun: como nuestro estudio de las 
posiciones del individuo ha de ser siempre sobre el supuesto 
de un determinado asunto; podremos mirar como exterior al 
individuo en el asunto, todo aquello que, aun siendo psíqui- 
co suyo, corresponda á otros órdenes cualesquiera de asun- 
tos, y sean por tanto, para nuestra consideración, como ex- 
teriores al individuo en el asunto. Del orden general psiqui- 
co individual emanan influencias que indudablemente ejer- 
cen acción para cambiar el estado del individuo en el asunto. 

La adaptación á la Mecánica social del Postulado de la 


(+) No pretendemos entrar en las cuestiones que se plantean los 
psicólogos. Nos limitamos á explicar los que nosotros ueremos sig- 
nificar al decir que admitimos la ley de la inercia, para el individno 
en un asunto. 


— 445 — 


inercia, tal como la presentamos, deberá de ser vista como 
un último avance en la generalización de esa ley, puesto 
que ya los fisiólogos habían dado el primer paso. El emi- 
nente fisiólogo Mr. A. Dastre dice que aunque la opinión 
vulgar desconoce la generalización de la ley de la inercia, 
para los cuerpos vivos, y no la aplica sino á la materia 
bruta, se debe de pensar que la materia viva no posee por 
sí misma espontaneidad real, y que se requieren los excitan- 
tes (de su vitalidad) que provienen del medio ambiente. Por 
esto el mecanismo vital sería un mecanismo inerte si nada 
del medio viniera á provocarle á la acción. Es decir, que la 
ley de la inercia no es solamente aplicable á los cuerpos 
brutos, sino también á los vivos, cuya apareníe exvontanel- 
dad no es más que una ilusión desmentida por toda la fisio- 
logía; ó en otros términos: que las manifestaciones vitales 
son réplicas (por la irritabilidad) á un estímulo, esto es, ac- 
tos provocados, y no actos espontáneos. 

Las fuerzas sociales por excelencia que actúan sobre cada 
individuo ó elemento de una agrupación son: 

1.2 Las que emanan de otros individuos ó elementos, ya 
sean de la misma agrupación (interiores), Ó ya sean de fue- 
ra de ella (exteriores). Revisten formas variadísimas é innu- 
merables. Se puede decir en general, que todo lo de un indi- 
viduo ó elemento social que excite la psiquis del individuo 
ó elemento que se considere, es para éste un estímulo ó pre- 
sión sugestiva, es decir, una fuerza en el asunto, toda vez 
que el individuo ó elemento considerado puede adquirir, 
mediante aquella influencia estimulante, un nuevo conoci- 
miento ó puede modificar los que tenía, ó bien puede des- 
pertarse en él un sentimiento nuevo, Ó pueden modificarse 
otros, ó bien puede templarse ó aflojarse su voluntad, etcé- 
tera. Todo ello vendría á ser un cambio en la posición del 
individuo ó elemento en el asunto, y podría alcanzarse por 
imitación (como dice Tarde), ó de cualquier otro modo. El 
escritor Demarest Lloyd considera que la más poderosa de 


— 446 — 


las fuerzas sociales naturales es la simpatía humana, que en 
su más amplio sentido es inagotable, y es la llamada á pro- 
vocar los más altos grados de perfeccionamiento en el por- 
venir de las sociedades humanas. Todas las fuerzas de que 
hablamos ahora surgen del contacto del hombre con el hom- 
bre, y en ellas aparece muy claramente el principio de la 
igualdad de la acción y la reacción de que hablaremos des- 
pués (+). 

2. Además de esas fuerzas habrá de ser considerado 
cada individuo ó elemento de una agrupación como someti- 
do en el asunto de que se trate á una fuerza que represente 
la acción social, que es (como dice Durkheim), la coerción 
de la agrupación toda sobre la psiquis de cada individuo, y 
no puede considerarse como emanando sólo de un particular 
elemento ó individuo de la agrupación. Habremos de supo- 
ner que esta fuerza sea también conocida en magnitud, di- 
rección y sentido (**). 


(*) El distinguido escritor D. Adolfo Posada, con el sentido inten- 
samente altruista que le caracteriza, al considerar los fenómenos de 
cooperación y de sacrificio como emanaciones de un principio supe- 
rior de simpatía expansiva, habla del amor, del cariño, del mutuo 
auxilio, del sacrificio, etc., como de sugestiones que tienden á unir 
las almas; y por eso añade: «Si es cierto que la Naturaleza se nos 
revela al pronto como un inmenso teatro de luchas implacables, el 
examen reflexivo acaso nos la presenta como centro fecundo de 
amor y de simpatía». 

(E%) Sobre los efectos y las causas dice Hume que: 

«Si examinamos la producción de los efectos por sus causas halla- 
mos que en nuestra concepción de esta relación no podemos pasar 
más allá de la simple observación de que hay un enlace constante que 
inclina al espiritu — por una transición —á concluir lo uno de lo 
otro. Pero los hombres están muy dispuestos á creer que en el domi- 
nio de la Naturaleza material hay algo como una relación necesaria 
de causa ó efecto... Están, por otra parte, algo inclinados á suponer 
que hay alguna diferencia entre los efectos que resultan de una fuer- 
za material y los que provienen del pensamiento y de la inteligencia.» 

Y añade Hume estas expresivas palabras: 

«Pero sí estamos bien convencidos de que respecto de cualquiera 


— 447 — 


Segundo Postulado.—Lo admitimos para la Dinámica del 
individuo abstracto y simple. Y asi diremos que todo cam- 
bio en el movimiento de modificación producido por una 
fuerza psíquica que influya sobre un individuo en movimien- 
to, se realiza en la dirección y en el sentido en que la fuerza 
actúe. Es la dirección y el sentido de la aceleración total /. 
La magnitud de ésta es proporcional á la de la fuerza mo- 
triz F. Inversamente se diría que la intensidad F es propor - 
cional á la magnitud de /(F=mJ) para un determinado 
individuo en un asunto dado. Este coeficiente de proporcio- 
nalidad m aparece, pues, en la Dinámica social, dándonos 
también la noción de masa como coeficiente de capacidad 
del individuo para el género de modificación que constituya 
el movimiento (*). Habrá de ser afectado cada individuo de 
una masa diferente, según el asunto de que se trate. Será de 
masa muy grande, si requiere la aplicación de una fuerza 
muy grande para adquirir una aceleración dada / en un asun- 
to; y podrá ser ese mismo individuo de masa muy pequeña 
para otro asunto. 

Por el principio de Galileo se pasa al teorema del parale- 
lógramo para la composición simbólica de dos fuerzas so- 
ciales que actúen simultáneamente sobre un individuo, apo- 


causalidad no sabemos sino que hay un enlace constante, y, por ende, 
la inferencia de nuestro espíritu de lo uno á lo otro; y si encontramos 
que estas dos circunstancias son universalmente admitidas para 
nuestras acciones voluntarias estaremos dispuestos á aceptar que la 
misma necesidad es común á todas las causas.» 

(*) Si fuera posible someter á cada individuo -en un asunto dado 
—á la experiencia necesaria para determinar la aceleración / de su 
cambio de movimiento en el asunto, por la acción de una fuerza psí- 
quica F conocida (que se pudiera medir) se deduciria experimental- 
mente así su masa m = + para ese asunto. Si inversamente se co- 
nociera la masa del individuo, una fuerza que sobre él actuara se me- 
diría por el producto de la masa, por la aceleración que aquella le im- 
primiera; ó bien podría medirse una fuerza por otra que la equilibra- 
ra, actuando simultáneamente sobre el mismo individuo. 


— 448 — 


yándose en la composición cinemática de las aceleraciones 
correspondientes á dichas fuerzas. Tanto las fuerzas como 
las aceleraciones son aquí cantidades vectoriales psíquicas, 
representables por vectores espaciales que las simbolicen. 

Se puede repetir en la Dinámica del individuo, que por la 
impulsión elemental de la fuerza F en el intervalo muy 
pequeño de tiempo % (F.4= m]7J.), se mide el incremento 
total muy pequeño de la cantidad de movimiento mov, toda 
vez que si (por Cinemática) /0 da (en magnitud, dirección 
y sentido) el incremento total muy pequeño de v; m.J% dará 
el de mov. 

Podría hacerse una objeción importantísima contra la 
adaptación del principio de Galileo á la Mecánica social, y 
es la siguiente: 

Si el cambio en el movimiento de modificación de un in- 
dividuo se realiza en la dirección y en el sentido en que ac- 
túa la fuerza, y la magnitud de la aceleración es proporcional 
á la de la fuerza (F = mJ), no parece natural que el coeti- 
ciente de proporcionalidad rm sea constante para un individuo 
dado, moviéndose en un asunto, cualquiera que sea la espe- 
cie de fuerza psíquica que actúe sobre él, puesto que la ob- 
servación y la experiencia muestran, al contrario, que cada 
individuo se mueve ó se modifica por unas especies de in- 
fluencias psíquicas más fácilmente que por otras (menor 
coeficiente m). Así á un individuo dado se le mueve muy 
fácilmente, ó se le lleva muy fácilmente á modificarse (es decir, 
á cambiar su estado en un asunto) por influencias sentimen- 
tales, por ejemplo, y por el contrario se le modifica muy 
poco con reflexiones que obren por intermedio de la razón, 
y menos aún por meras sensaciones que afecten casi exclu- 
sivamente á su sensibilidad. Siendo esto así, ¿cómo admitir 
que el coeficiente m sea el mismo para la acción de esas dis- 
tintas especies de fuerzas psíquicas sobre dicho individuo? 

Para contestar esta objeción—que aparece muy grave — 
debo de recordar, ante todo, que así como los tres Postula- 


O 


dos en la Mecánica racional se admiten sólo para el punto 
material, así en la Mecánica social proponemos que se ad- 
mitan sólo para el individuo abstracto y simple que hemos 
concebido como absolutamente ¿nerfe, y que concebimos, 
además, como absolutamente indiferente para recibir las ac- 
ciones de las fuerzas psíquicas de cualquiera especie que 
sean, y cualquiera que sea el estado de movimiento en que 
se halle. El fenómeno que observamos en la experiencia so- 
bre la mayor ó menor capacidad de un individuo dado para 
obedecer, en su vida práctica, á la acción de una ú otra es- 
pecie de fuerza psíquica, es un fenómeno de observación 
empírica hecha sobre ese individuo concreto y complejo. En 
la realidad de ese fenómeno pueden intervenir é intervienen 
procesos psicológicos complicados por virtud de los cuales 
una influencia sentimental exterior — por ejemplo — provoca 
la acción de otras fuerzas psíquicas que, brotando del inte- 
rior del individuo natural y concreto (ocultas para el obser- 
vador), refuerzan el efecto sobre el individuo abstracto y 
simple de la sola influencia sentimental exterior que el ob- 
servador podría apreciar desde fuera. Asimismo, y en virtud 
de los procesos psicológicos á que nos referimos, una refle- 
xión (aun siendo de gran valor) puede producir en ese indi- 
viduo poco efecto, porque se componga esa fuerza intelec- 
tiva con otras ocultas (interiores al individuo natural) que 
contrarresten su efecto, es decir, el efecto de la que actúa 
desde fuera. Todas son siempre exteriores al individuo abs- 
tracto y simple. Además, y como ya dijimos en los Prelimi- 
nares, todas las fuerzas han de obrar real y efectivamente 
para su acción psíquica, porque si así no fuera, serían como 
nulas para la Mecánica. 

De esta suerte—y tomándolas todas en consideración para 
la estimación de una resultante — podrían ser pensadas las 
componentes (6 la resultante) como actuando sobre el indi- 
viduo abstracto y simple dotado de una masa que sea un 
coeficiente constante de capacidad para modificación en el 


= 280. = 


asunto, cualquiera que sea la naturaleza especifica de las 
fuerzas. 

Las explicaciones que acabamos de dar se basan en lo que 
la Psicología nos enseña sobre las varias especies de fuerzas 
psiquicas. Cada una de ellas es acompañada Ó provoca y 
queda asociada á otras muchas de diferentes especies (*). 

Todas tienen ante nuestra consideración igual título para 
actuar sobre el individuo abstracto y simple que conce- 
bimos en cada hombre, lo cual no obsta, sin embargo, para 
que en el análisis psicológico se encuentre que las fuerzas 
que provienen de las ideas no producen las impulsiones 
dinámicas de un modo directo, porque estas impulsiones vie- 
nen directamente de los deseos, es decir, de sentimientos. 
Pero al fin y al cabo las ideas ejercen su acción, aunque sea 
por intermedio de los sentimientos que las acompañen, y por 
eso nosotros las consideramos como fuerzas, cuando obran 
efectivamente. 

Todas las fuerzas serán — para nuestras especulaciones 
dinámicas — cantidades vectoriales psíquicas con sus tres 
atributos, y admitiremos su composición por suma vectorial. 
En esta suma aparecen como fundidas ya todas las acciones 
de fuera y de dentro del límite U de Mach. 

TERCER PRINCIPIO (llamado de Newton).—Ya dijimos en 
los Preliminares que en lo psíquico admitiremos también el 
Principio de que /a reacción es igual y contraria á la acción, 
significando con esto que siempre que un individuo reciba 
una acción psíquica para cambiarle su estado de reposo ó 


(*) En el cerebro del hombre hay innumerables vías de comunica- 
ción que hacen posibles las acciones recíprocas entre las diversas 
impulsiones. 

Dice el Dr. Hóffding en su Tratado de Psicología. que «al pensar 
que cada excitación produce en las células una descarga de energía 
potencial, y que el resultado de esta descarga en cada célula puede 
combinarse en el cerebro con los resultados en muchos millones de 
otras células, se siente uno acometido de una especie de vértigo ante 
la idea de todas las combinaciones que son posibles.» 


-- 451 -- 


de movimiento, él ejerce á su vez—por reacción—otra igual 
y directamente opuesta, que se aplica al punto de donde di- 
mane la acción. Claro es que siendo también esta reacción 
de naturaleza psíquica sólo puede ser estimada como una 
fuerza en la Mecánica social, cuando se aplique á otro indi- 
viduo ó elemento social individualizado (*). 

La acción que reciba un individuo (ó elemento) como pro- 
viniendo de la agrupación en su totalidad, es decir, la acción 
social, originará (como todas) la reacción del individuo, que 
será igual y directamente opuesta á la acción recibida; pero 
como habría de aplicarse á la Sociedad en masa (como se 
dice vulgarmente), su efecto sería insensible, por la enormi- 
dad de esta masa con relación á la del simple individuo que 
consideramos. 

Lo que se llama fuerza de inercia, no es otra cosa que la 
reacción que emana de un individuo cuando es solicitado 
por una fuerza F; y por el Principio de Newton se vé, que 
la fuerza de inercia será de sentido contrario á F, y su mag- 
nitud se medirá, como la de ésta, por el producto de la 
masa n por la aceleración /. 


Por todo lo que acabamos de decir sobre la adaptación á 
la Mecánica social de los Principios de la Mecánica racional, 
se ha visto que el cambio de movimiento de un individuo 
libre en un asunto, aparece para nosotros determinado por 


(*) Si fuera posible determinar experimentalmente las aceleracio- 
nes ] y J' que dos individuos sufrirían por la acción y reacción recí- 
procas (de igual intensidad) entre ellos, se podría conocer entonces 


la relación ña de las masas (en el asunto) de esos dos individuos, 
m 


porque sería igual á la relación inversa de sus aceleraciones respec- 


tivas P . 
Y 


— 452 — 


la fuerza psíquica motriz, y por la masa para el asunto del 
individuo sobre el cual actúe; lo mismo que el cambio de 
movimiento de un punto material libre en el espacio, apare- 
ce determinado por la fuerza física motriz, y por la masa del 
punto sobre el cual actúa. 

Eso que hemos establecido para seguir nuestras especu- 
laciones mecánicas, es, en el fondo, análogo á lo que se dice 
cuando se afirma que los actos en general de un individuo se 
producen necesariamente por la acción de la resultante de 
los motivos (como fuerza motriz) sobre el carácter del indi- 
viduo á quien solicitan. Me parece que el ente abstracto y 
simple, que aqui hemos llamado el individuo, no debe de ser 
concebido como causa de su propio cambio de estado de 
movimiento, sin intervención de fuerza psíquica alguna; así 
como no puede ser concebido. actuando sin motivos. Y pa- 
rece indudable que el acto que un hombre libre realiza por 
su voluntad, es necesariamente en la dirección y el sentido 
del motivo más poderoso para él, es decir que su voluntad 
se orienta en esa dirección y sentido, ó mejor dicho, en la 
dirección y en el sentido de la resultante de todos los moti- 
vos, cada uno de los cuales tendrá la intensidad que le atri- 
buya el carácter del hombre mismo. Para mí es inconcebible 
la libertad de indiferencia de que hablan algunos, porque 
pienso en la verdad de Pero-Grullo de que un individuo no 
puede dejar de querer lo que quiere. 

Si pensamos en dos individuos sometidos á la influencia 
de los mismos motivos que, objetivamente considerados» 
sean idénticos; y suponemos que los dos individuos no orien- 
tan su voluntad en la misma dirección ni con igual intensi- 
dad, vemos esto como debido á la diferencia de sus caracte- 
res, la cual hace que la relación de cada motivo al carácter 
no sea la misma en los dos individuos. Si se admite que el 
carácter sea uno é invariable en cada individuo (para el 
asunto que se considere), se ve que cada uno de los motivos 
se convierte en una fuerza de intensidad determinada para 


de NE 


dicho individuo, y así queda determinada su voluntad por la 
resultante de los motivos como fuerza motriz, la cual es dife- 
rente en uno y otro individuo, tanto en dirección y sentido 
como en magnitud. Por esto el carácter es factor tan indis- 
pensable para la dinámica del individuo, como lo son las 
circunstancias en que se encuentre colocado, toda vez que 
las intensidades de los diversos motivos que actúen como 
fuerzas —ó si se quiere la fuerza de los motivos —están en 
íntima conexión con el carácter del individuo. 

Con profundo sentido dice Maudsley que: «Podríamos 
predecir con certeza la manera de obrar de un individuo en 
cireunstancias dadas, si pudiéramos penetrar en los replie- 
gues más ocultos de su carácter, y conocer todos los pertiles 
de éste, tanto heredados como adquiridos. El desconocimien- 
to de todos esos datos es lo que nos impide prever los hechos 
futuros.» Y añade que «el carácter de un individuo sólo po- 
demos deducirlo del conocimiento de los actos que ha cum- 
plido en su vida, y de las circunstancias concomitantes; por- 
que los unos y las otras muestran lo que ese individuo ha 
querido y lo que no ha querido, es decir, muestran su ca- 
rácter». 

Conviene advertir — como lo han advertido muchos — 
que si admitimos que el carácter es algo inherente al hombre 
mismo, é invariable en cada asunto, aunque varíen sus cono- 
cimientos, sus ideas, sus sentimientos, etc., es decir—aunque 
varíe su posición en el asunto, —ello no obsta para que estas 
variaciones ejerzan grande influjo en la determinación de su 
voluntad, porque habrá motivos que puedan aparecer y ejer- 
cer su acción sobre el individuo cuando él se halle en la 
nueva posición psíquica, aunque el carácter se haya conser- 
vado como una constante del individuo para el asunto que 
se considere. Por estas nuevas fuerzas, la orientación de la 
voluntad, y la intensidad de ésta, pueden ser muy diferentes 
en una y otra ocasión, aunque las circunstancias exteriores 
sean las mismas, y sea el mismo el carácter. 


Hemos hablado del individuo libre en el mismo sentido en 
que se habla en la Mecánica racional del punto material 
libre. Así como esta libertad se refiere á la no existencia de 
impedimentos para que el punto material pueda obedecer á 
la acción combinada de las fuerzas exteriores que le solici- 
ten, las cuales, necesariamente, producirán el cambio corres- 
pondiente del estado de movimiento, ó producirán el equili- 
brio; así también la libertad del individuo consiste (para 
nosotros) en la ausencia de impedimentos para que pueda 
obedecer á la acción compuesta de los motivos ó fuerzas 
exteriores que le soliciten, los cuales producirán, necesaria- 
mente, ó un cambio en su estado de movimiento ó bien el 
equilibrio, según los casos. 

El sentido que damos á fa palabra Libertad fué pertecta- 
mente definido por Hume: «¿Qué entendemos por la pala- 
bra libertad cuando la aplicamos á las acciones voluntarias? 
Seguramente no entendemos que las acciones tengan tan 
poco enlace con los motivos, las inclinaciones y las circuns- 
tancias, que no haya cierto grado de uniformidad en la su- 
cesión de los dos términos, y que sea imposible inferir de la 
presencia de lo uno la existencia de lo otro; porque todo eso 
es cuestión de hecho perfectamente indudable. — Por libertad 
no podemos, pues, entender sino el poder de obrar ó de no 
obrar según las determinaciones de la voluntad; es decir: que 
si decidimos permanecer en reposo, podemos; que si decidi- 
mos movernos, podemos. —Y esta libertad hipotética es 
universalmente reconocida á todo hombre que no esté pri- 
sionero ó cargado de cadenas. No hay sobre esto discusión 
posible (*).» 


(*) Para conciliar la necesidad rigurosa con una libertad moral 
metafísica (de la cual dimane el sentimiento de nuestra responsabili- 
dad) se recurre á la distinción de Kant entre el carácter empírico y el 
inteligible. El primero es el que se revela (como hemos visto) al en- 
trar en juego los motivos que actúan como fuerzas; y como sólo de 
un modo empírico—es decir, por la experiencia y con ocasión de 


— 455 — 


No creo necesario insistir, porque lo hemos hecho ya de- 
masiado, en que lo llamado por nosotros movimiento del in- 
dividuo en un asunto, es heterogéneo con el movimiento del 
punto material en en el espacio que se estudia en la Mecá- 
nica racional. En rigor, ni siquiera puede ser mirado el se- 
egundo como representación del primero, sino como un mero 
símbolo. En estos Apuntes nos dejaremos guiar siempre por 
la Mecánica racional, pero entendiendo bien que el lenguaje 
de ésta será para nosotros puramente simbólico. Téngase 
por hecha de una vez para todas esta advertencia. 

(Continuará ) 


nuestros propios actos y los actos de los demás—es que se revela y 
se reconoce el carácter, de aquí el llamarlo empírico. En cuanto al 
carácter inteligible (para mí ininteligible) como cosa en sí (noume- 
no), ageno al espacio y al tiempo, no sujeto á la ley de casualidad, y 
que sirve como de substratum al fenómeno, sin ser visible en el mun- 
do de la experiencia, no podemos tomarlo en cuenta para especula- 
ciones positivas, dejando esas lucubraciones á los metafísicos, puesto 
que ellos creen poder elevarse á esas realidades misteriosas. 


— 456 — 


XXI.— La Asimetriía de les Tripletes de Zeeman. 


POR MANUEL MARTÍNEZ-Risco Y MACÍAS. 


INTRODUOCIÓN 


Tienen actualmente excepcional interés las investigaciones 
experimentales relativas á los tripletes asimétricos, porque 
comparando sus resultados con los obtenidos teóricamente 
por Voigt, ha de llegarse á conocer el grado de exactitud 
de las hipótesis de que este físico parte para explicar el fe- 
nómeno de Zeeman. 

Sabidas son las aplicaciones que del mismo se hacen hoy 
en la formación de series de rayas espectrales y en los tra- 
bajos de Astronomía Física, y no es, por tanto, necesario 
encarecer la importancia del estudio de la descomposición 
magnética de las rayas espectrales. 

En esta Memoria nos proponemos dar á conocer los re- 
sultados de un trabajo, encaminado principalmente á encon- 
trar la ley de la asimetría de posición del triplete 5.791 u. A, 
del mercurio. Realizamos este estudio en el Natuurkundig 
Laboratorium de Amsterdam, bajo la sabia dirección del 
Profesor Zeeman. : 

De los primeros trabajos que este físico realizó acerca del 
triplete 5.791 u. A, resulta que su componente mediana ex- 
perimenta un desplazamiento directamente proporcional á la 
intensidad del campo magnético actuante. En cambio, según 
las últimas investigaciones de Zeeman, el desplazamiento de 
la componente mediana de dicho triplete varía como el cua- 
drado de la intensidad del campo magnético. Tal discordan- 


M. RISCO. La asimetria de los tripletes de Zeeman 


. NN 


% h 
% » 
A A? 


€ o 
10005888. ES 
(000000 0 ME DAA, 


a 
E 


En A. anillos de la raya 5791 u. A, sobre ésta. 

En aA?, > de la componente mediana del triplete 5791 u. A, sobre la raya espectral original 
B » del triplete central del nonete 5461 u. A. 

(es > de la raya 5461 u. A. 

C?, coincidencia de anillos del triplete central del nonete 5461 u. A. 


Pototipia de Hauser y Menet.—Madrid 


ABRA 


A ÓR 
FAURA 


A 


RNA 


— 457 


cia de resultados, aunque puede tener por causa la diversi- 
dad de condiciones experimentales, nos movió á emprender 
el presente estudio. 

- Antes de comenzar, debo manifestar mi profundo agrade- 
cimiento al Profesor Zeeman, por sus doctas enseñanzas, y 
á la Junta para Ampliación de Estudios é Investigaciones 
Científicas, por haberme proporcionado medios para des- 
arrollar este trabajo. 


EL FENÓMENO DE ZEEMAN 


Varias medidas que Zeeman realizó acerca del fenómeno de 
Kerr, indujéronle á pensar que un campo magnético podría 
modificar la luz emitida por una llama, y fueron causa de 
algunos trabajos que, con resultado negativo, llevó á cabo 
dicho sabio hacia el año 1892. Zeeman confiesa que no ha- 
bría vuelto tan pronto á ocuparse en tal género de expe- 
rimentos, de no haber leído, en 1894, un pasaje de Max- 
well (*), relatando los trabajos que Faraday (**) hizo 
en 1862, sin resultado positivo, con objeto de buscar la re- 
lación que entre el magnetismo y la luz pudiera existir. «Si 
un Faraday — díjose Zeeman(***) — a songé d la possibilité 
de cette relation, il n' était peut-étre pas inutile de reprendre 
experience, en profitant des moyens actuels de [analyse 
spectrale.» Pensándolo así, emprendió de nuevo sus traba- 
jos, en el Laboratorio de Física de la Universidad de Leyden, 
llegando esta vez á resultados interesantísimos. 


(*)  Maxwell.- Collected Works 11, pág. 790. 

(**) Véase la biografía de Faraday por Bence Jones (1, pági- 
na 449, 1870.) Véase también A. Cotfon.—Le phénoméne de Zee- 
man Il, pág. 32, 1899. 

(E) P. Zeeman.—De l'influence d'un champ magnétique sur la 
lumiére emise par un corps. (Traducción de las «Verslagen» de la 
Academia de Ciencias de Amsterdam, Octubre, Noviembre, 1896.) 


— 458 — 


Para analizar la luz emitida por el foco luminoso, valíase 
Zeeman de una red cóncava de Rowland, de 14.438 trazos 
por pulgada inglesa y de 10 pies de radio. Producia Zeeman 
el campo magnético por medio de un electroimán Ruhmkorff, 
de dimensiones medias, excitado por una corriente que fre- 
cuentemente llegaba á 27 amperios. 

Zeeman vió, en primer término, que las rayas D, produci- 
das por la llama de un mechero de Bunsen, en la que previa- 
mente se había introducido un trozo de amianto impregnado 
de cloruro sódico, ensanchábanse al dar la corriente en el 
electroimán, entre cuyos polos paraboloidales la citada llama 
estaba situada. En el momento de la ruptura del circuito, Jas 
rayas D recuperaban su primitiva anchura. 

La raya roja del litio presentó fenómenos completamente 
análogos. 

Estos hechos, por sí solos, no bastan, sin embargo, para 
afirmar que existe una acción directa del magnetismo sobre 
la emisión de la luz; porque la deformación que la llama 
experimenta al establecer el campo, supone un cambio de 
temperatura acaso suficiente para producir el ensanchamien- 
to de las rayas espectrales. 

Teniéndolo en cuenta, Zeeman emprendió una serie de ex- 
perimentos, cuyos resultados hacen muy improbable el que 
una variación de la temperatura del foco luminoso sea la 
causa del fenómeno observado, é inducen, por tanto, á creer 
en la existencia de una acción específica del magnetismo 
sobre la emisión de la luz. Recordaré aquí, que estos expe- 
rimentos mostraron que las rayas de absorción producidas 
por el vapor de sodio que un tubo situado entre las piezas 
polares del electroimán contenía, adquieren un ensancha- 
miento al crear el campo (*). 

Realmente, la existencia de un cambio magnético en el 


(*) Para detalles, véase P. Zeeman.—De l influence d'un champ 
magnétique sur la lumiére emise par un corps, pág. 2. 


— 459 — 


periodo de las vibraciones, que es lo que constituye el tenó- 
meno de Zeeman, sólo quedó probada después del descubri- 
miento de la polarización circular de los bordes de la raya 
ensanchada. Lorentz, al tratar de explicar, dentro de su teoría 
electromagnética, los hechos observados por Zeeman, habíase 


visto obligado á admitir tal circunstancia del fenómeno; y 
dando cuenta á este sabio de las consecuencias á que llega- 


“ba, movióle á examinar, desde el punto de vista de la pola- 


rización, las rayas espectrales modificadas. Los resultados 
que Zeeman obtuvo, concuerdan completamente con las con- 
secuencias de Lorentz, lo que constituye una prueba elo- 
cuentísima en favor de la teoría electromagnética. 

Permitasenos ahora exponer sucintamente la teoría ele- 
mental del fenómeno de Zeeman (*). 

Actualmente, según es sabido, admítese que la luz es un 
fenómeno originado por la vibración de cargas eléctricas 
contenidas en los átomos ó moléculas de los cuerpos ponde- 
rables. 

Para desarrollar la teoría elemental del fenómeno de 
Zeeman, H. A. Lorentz, dando á esta hipótesis la forma más 
simple posible, supone que cada molécula radiante contiene 
un sólo electrón, y que una vez separado éste de su posición 
de equilibrio, es atraido hacia ella por una fuerza elástica 
proporcional al desplazamiento é independiente de su direc- 
ción. Las componentes de esta fuerza, tomadas en un siste- 
ma de ejes cuyo origen sea la posición de equilibrio, pue- 
den, pues, representarse por 


1 ii e 


siendo x, y, z las coordenadas del punto ocupado por el 
electrón y designando por f una constante, que depende de 
las propiedades del átomo ó molécula radiante. 


(*) Véase H. A. Lorentz The theory of electrons (UL, pági- 
na 98, 1909». 


Ruv. Acap. DE Cinxcias.—X.— Diciembre, 1911, 30 


— 460 — 


De lo dicho dedúcese que, cuando no existe campo mag- 
nético exterior alguno, las ecuaciones del movimiento del 
electrón, cuya masa designaremos por 7/1, son: 


d?x 
== — 20 
di? Í | 
d? y 
m == 1 
de TY, (1) 
d?z 
= — $2 
d1? ! 


que tienen por solución general 


BOS (Y £:+-) 
m 

y = bcos (Y Er+ ) : (2) 
m 

z =d COS (Y Le++) 
m / 


d, b, d, %, p, Y 


donde 


son constantes arbitrarias. 
Las ecuaciones (2) permiten afirmar que los movimientos 
vibratorios en que puede descomponerse la vibración del 


electrón, ya sean rectilíneos, circulares ó elípticos, tienen 
todos por frecuencia (*) 


E 
mM 


(+) Designamos por frecuencia el número de vibraciones que se 
efectúan en un tiempo 2 r. 


— 461 — 


Supongamos ahora establecido un campo magnético ho- 
mogéneo de intensidad A y cuyas líneas de fuerza tengan la 
dirección del eje Z. 

- En este caso, además de la fuerza elástica, deberemos te- 
ner en cuenta otra que actúa también sobre el electrón; por- 
que sabido es que si una partícula electrizada se mueve con 
velocidad u en un campo magnético de intensidad HA, obra 
sobre ella una fuerza representada por la expresión 


e 
C 


ah. 


Puede, pues, afirmarse que el campo magnético modifica 
el movimiento del electrón, y que después de la transforma- 
ción, tiene éste por ecuaciones, en el sistema de cuordena- 
das adoptado, 


dex o Pa 
ASA A (3) 
md Ebo cojyl Mco (8) 

dt? C dt 

dez 

NT 6) 


La última de estas ecuaciones forma parte también del sis- 
tema (1). Esto prueba que el campo magnético 1o ejerce 
modificación alguna sobre las vibraciones realizadas en la 
dirección del eje Z. : 

El sistema formado por las ecuaciones (3) y (4), admite 
como soluciones particulares 


x=, COS (1, f +41), y =— a, Sen (1, 1 +41) (6) 


x= a, cos (n,t + as), y=a,sen(n,t+ as) (7) 


— 462 — 
estando definidas las frecuencias n, y n, por las relaciones 


al eH, 


n;? 1, = My? (8) 
me 

Ny? + ee Ny = Ny (9) 
mec 


y siendo 4,, 0), %,, a, constantes arbitrarias. 
La solución general del sistema (3)-(4)-(5) es, pues, 


x=  ,c0s(n,f-+a,) + a,cos (n, t + a,) (10) 
y = — a,sen(n, £ + a) + a,sen(n,t+a,) (11) 
ea COS 0) (12) 


Dedúcese de aquí que el movimiento que el electrón rea- 
liza en el campo magnético, puede considerarse descom- 
puesto en tres movimientos vibratorios: uno rectilíneo, defi- 
nido por la ecuación (12), y dos circulares, representados por. 
los pares de ecuaciones (6) y (7). Quiere esto decir que un 
foco luminoso que en ausencia de campo magnético pro- 
duzca una raya espectral única, emitirá tres clases de luz 
monocromática, con polarización peculiar, si está situado en 
un campo magnético. 

Examinando en este caso, con un espectroscopio potente, 
la luz que el foco emite, obtendrase, pues, en general, un 
espectro formado por tres rayas, que se denomina triplete. 
Y digo en general, porque sabido es que si se efectúa la 
observación en la dirección de las líneas de fuerza, se verán 
solamente dos rayas (doblete). 

Las rayas de un triplete producido por luz emitida perpen- 
dicularmente á las líneas de fuerza, estarán rectilineamente 
polarizadas. A la raya mediana, de frecuencia n,, le corres- 
ponden vibraciones dirigidas según dichas líneas, y las ra- 
yas laterales tendrán por plano de polarización uno paralelo 
á las líneas de fuerza y á la dirección visual. Aparecen las 
rayas laterales rectilíneamente polarizadas; porque, no sien- 


— 463 — 


do nuestra retina impresionable por vibraciones longitudina- 
les, los movimientos circulares (6) y (7) producirán en nos- 
otros el mismo efecto fisiológico que los rectilíneos definidos, 
cuando el eje x coincide con la dirección visual, por las 
ecuaciones 


y =— a, sen (1, £ + 9) 
y=  a,sen(n,t-+ a). 


Cuando se observa el fenómeno en la dirección de las lí- 
neas de fuerza, sólo son visibles las rayas laterales; porque 
á la raya central correspóndele entonces vibraciones longi- 
tudinales. Las rayas del doblete aparecerán polarizadas cir- 
cularmente y en sentidos contrarios. 

Si la raya espectral original no es suficientemente fina, Ó 
el campo magnético suficientemente intenso, las componen- 
tes del triplete resultan parcialmente superpuestas, siendo 
ésta la causa del ensanchamiento que Zeeman observó en 
las rayas espectrales, al hacer sus primeras investigaciones 
acerca de la influencia del magnetismo sobre la emisión de 
la luz. 

Los bordes de la raya espectral ensanchada, que debe ser 
considerada como un triplete incipiente, Ó al menos como un 
triplete especial, estarán polarizados del mismo modo que 
las componentes exteriores de un triplete normal. La región 
central de la citada raya, emitirá, ó luz polarizada Ó luz 
natural; en el primer caso, entre los bordes de la raya y Su 
región central, existen dos zonas que emiten luz natural. 
Estas son las formas de transición que Zeeman, que fué 
quien las observó y explicó (*), distingue respectivamente 

“con los nombres de triplete a y triplete b. 

Examinado sin nicol el triplete a, presenta un aspecto mty 

análogo al de un doblete; porque, por ser resultantes de la 


(5) ALP, Zeeman.—Sur des doublets et des triplets, produits dans le 
spectre par des forces magnétiques extérieures. - 1897. 


— 464y — 


superposición de dos componentes, las regiones que emiten 
luz natural tienen mayor brillo que la región central y ésta 
parece obscura por contraste. 

A los dobletes corresponde, como forma de transición 
única, una raya espectral ensarnchada, cuyos bordes están 
polarizados circularmente, y cuya región central emite luz 
natural. 

Zeeman, utilizando una red de Rowland de seis pies de 
radio y de 14.438 trazos por pulgada inglesa, y observando 
en el espectro de segundo orden, logró ver, en 1897, el do- 
blete y el triplete a de la raya 480 yu del Cd. De las formas 
de transición, la denominada triplete a es la que exige, para 
ser observada, campo magnético más intenso. 

Continuando sus investigaciones, Zeeman descubrió el 
triplete normal de la citada raya del Cd. Con anterioridad á 
estos trabajos de Zeeman, Egoroff y Georgiewsky habían 
demostrado que el campo magnético modifica la raya 480 p.p.. 

El descubrimiento del triplete normal fué seguido de una 
serie numerosísima de trabajos acerca de la descomposición 
magnética de las rayas espectrales. Preston, Cornu y otros 
físicos dieron pronto á conocer otros tripletes, mediante ob- 
servaciones concordantes por completo con la teoría de Lo- 
rentz; pero, en cambio, descubrieron rayas espectrales que, 
en virtud del fenómeno de Zeeman y para observaciones 
efectuadas perpendicularmente al campo, descompónense, 
contra lo previsto por dicha teoría, en cuatro, seis, nueve Ó 
más componentes (cuadruplete, sextete, nonete, etc.) 

Paso ahora á ocuparme detalladamente en una de las con- 
secuencias á que se llega en la teoría elemental de Lorentz, 
por ser de importancia grande para el trabajo que desarrollo. 

De experimentos realizados, dedúcese que las frecuencias 
n., y n,, correspondientes á las rayas laterales de un triplete, 


difieren muy poco de la frecuencia n, de la raya mediana; 


eH, . 
, que figura en las re- 
C 


por consiguiente, el coeficiente 


A A A A e A A 


SA A A SA O A A A 


— 4659 — 


laciones (8) y (9), debe ser muy pequeño comparado con no, 
y podemos establecer: 


H 
1, =Mo + ¿Be A LES - (13) 
2mc 2mc 
ó tambien 
kl =hk= Ei hi= ke ea e (14) 
4rmc? Armc? 


siendo A,, Ao, 42 las longitudes de onda de las tres com- 
ponentes. 

Los tripletes predichos por la teoría de Lorentz son, pues, 
figuras simétricas, y tienen por eje de simetría la raya espec- 
tral original. Además, tales tripletes son simétricos desde el 
punto de vista de la intensidad luminosa; porque, según es 
fácil hacer ver, las componentes laterales tienen intensida- 
des iguales entre sí. 

Como hemos dicho, las primeras medidas conducían to- 
das á resultados completamente concordantes con la teoría 
y, por tanto, á tripletes simétricos; pero de trabajos que 
Zeeman (*), Jack y Gmelin (**) realizaron, en 1908, resulta 
que la componente mediana del triplete 5791 u. A. del Hg 
cambia de longitud de onda al variar de intensidad el 
campo magnético actuante, ocupando siempre las compo- 
nentes laterales posiciones simétricas respecto de la raya 
inicial. | 

Esta asimetría, no sólo es inexplicable dentro de la teoría 
elemental expuesta, sino que también lo es en la teoría ge- 


(*) P. Zeeman.—Magnetic resolution of spectral lines and magne- 
tic force.—1907. 
P. Zeeman.—New observations concerning asymmetrical tri- 
plets.—1908. 
P. Zeeman.—Changement de longueur d'onde de la raie mé- 
diane d'un triplet dans un champ magnétique.—1909, 
(+) Véase Voigf.—Magneto-optik, pág. 178. 


— 466 — 


neral que Lorentz dió (*) y que conduce á admitir la des- 
composición compleja de rayas espectrales. 

Voigt ha dado una explicación posible del desplazamiento 
de la componente mediana (**). Nos ocuparemos de la teo- 
ría de Voigt en el capítulo V de esta Memoria. Como vere- 
mos, nuestros resultados experimentales concuerdan en pat- 
te con los de esta teoría. 

Conviene hacer notar que la asimetría es circunstancia 
que puede presentarse en el caso más general del fenómeno 
de Zeeman. Dufour, por ejemplo, ha publicado reciente- 
mente un trabajo (***), del que resulta que varias de las ra- 
yas del Cr., una vez descompuestas en la forma compleja 
que les es propia, muestran asimetrías de ambas clases: asi- 
metrías de posición y asimetrías de intensidad. 

Lo dicho basta para afirmar que la descomposición mag- 
nética de las rayas espectrales es un fenómeno muy com- 
plicado; pero para hacer resaltar ésto aún más, me permi- 
tiré recordar. aquí que de una de las últimas investigaciones 
de Zeeman, realizada, mediante el efecto inverso, en colabo- 
ción con el Dr. Winawer (****), resulta que, de acuerdo con 
las recientes predicciones de Lorentz (*****>, en el caso en 
que la dirección de observación forma un cierto ángulo con 
las líneas de fuerza, y siendo éstas y aquélla horizontales, 
los ejes de las elipses de vibración de las componentes exte- 
riores de los seudo tripletes D, y D,, del Na, están inclina- 
dos respecto de la vertical, y las vibraciones de las compo- 


(*) Véase Rapports sur la physique de 1900.— (Congrés interna- 
tional de physique), HI, pág. 1. 

(**)  Voigt—Magneto-und elektrooptik, p. 261. 

(++)  Dufour.—Journal de Physique (Serie 4.?,t. IX, Abril 1910). 

(E)  P. Zeeman y B. Winawer.—La décomposition magnétique 
des raies d'absorption et son rapport avec le spectre des taches so- 
laires.—1911. 


(eee)  H. A. Lorentz. — Archives Néerlandaises des Sciences 
Exactes et Naturelles.—(Serie 2.?, t. XV, 429, 1910). 


— 467 — 


nentes medianas son rectilíneas, aunque no horizontales, Ó 
elípticas, sin eje horizontal. 

Todo hace comprender lo difícil que es el formular una 
teoría que permita prever cuantas circunstancias pueden pre- 
sentarse en el fenómeno de Zeeman. 

Para terminar este capítulo, réstame sólo recordar que, 
en virtud de la expresión 


; (15) 


que se deduce fácilmente de las fórmulas (14), puede en- 
contrarse, para cada raya espectral, el valor de la rela- 
ción de la carga á la masa del electrón móvil, con sólo medir 
la intensidad del campo magnético actuante y la diferen- 
cia Al entre las longitudes de onda de las rayas laterales 
del triplete correspondiente. Ya antes del descubrimiento 
del primer doblete, Zeeman, fundándose en que, según 
sus medidas, el ensanchamiento de las rayas del sodio es 
de 1/40 de la distancia que las separa, en un campo mag- 
nético de intensidad 104, fijó en 10” el orden de magnitud 


e , , : 
de —, suponiendo expresada e en unidades electromagné- 
m 


ticas C. G.S. Esta cifra parecía ser demasiado elevada; pero 
hoy está comprobada por otras medidas, como, por ejemplo, 
las realizadas con los iones que constituyen los rayos cató- 
dicos. 

Cabe ahora preguntarse ¿son ¡iones positivos ó iones ne- 
gativos los que, moviéndose, producen la luz? La experien- 
cia ha demostrado que, en un doblete, la componente co- 
rrespondiente á las vibraciones circulares sinistrorsum está 
situada hacia el violeta; por tanto, n,>>n, y e <o. Los 
iones móviles son, pues, negativos, ó, por lo menos, á los 
iones negativos corresponden las órbitas mayores. 


— 468 — 


II 


EL MÉTODO DE ESPECTROSCOPIA INTERFERENCIAL DE 
FABRY Y PEROT 


De la exposición que en el capitulo 1 hemos hecho del fe- 
nómeno de Zeeman, dedúcese que éste sólo puede ser ob- 
servado y estudiado con aparatos espectroscópicos cuyo 
poder de resolución sea grande. Las medidas relativas á la 
asimetría de posición de los tripletes son de las que presen- 
tan mayor dificultad; porque el desplazamiento de la com- 
ponente mediana es siempre extraordinariamente pequeño: 
0,04 u. A., aproximadamente, en un campo de 30.000 Gauss 
para la del triplete 5791 u. A. 

Para realizar los estudios de asimetría de tripletes á que 
esta tesis se refiere, me valí del espectroscopio interferencial 
ó patrón de Fabry y Perot. Zeeman fué quien demostró la 
utilidad del patrón en las investigaciones relativas á su fe- 
nómeno, y á dicho sabio débense también los primeros tra- 
bajos que acerca de los tripletes asimétricos se realizaron con 
este aparato. 

Debo, al comenzar este capítulo, ocuparme del modo de 
formación y de las propiedades de los anillos de interferen- 
cia del aparato de Fabry Perot; pero siendo tales anillos 
una modificación de los originados entre dos superficies pla- 
nas y paralelas, más que conveniente, creo indispensable el 
recordar aquí la teoría de semejante clase de franjas. 


Franjas de las láminaz paralelas. 


Sean KL y K'L', MN y M'N,, superficies, todas planas 
y paralelas entre sí, que limitan dos láminas de vidrio. 

Un rayo de luz monocromática, S A, que incida con án- 
gulo í sobre la superficie K L, se refleja parcialmente al lle- 
gar á C, originando dos rayos: uno que camina según CD, 


— 469. — 


sufre en D una reflexión parcial y emerge según P* R”, y 
otro cuya marcha es C PR (tig. 1.*) 


, 


K KM M 


—— 


Pigura 1.? 


q 'Denominando e á la distancia que separa las dos láminas 
de vidrio, n al índice del medio interpuesto y r al ángulo de 
refracción en este medio, la diferencia de marcha geométri- 
ca entre las ondas correspondientes á los dos rayos emergen - 


LESA 
A= 2necosr. (16) 
En efecto, 
AMD CAR DEyAP Gee ¿UE pp gp 
Cos. r 
= adds — 2ne tg rsenr =2ne cosf., 
COS f 


Cuando r ó í sea tal que 


A=2necosr= ki, 


— 470 — 


siendo k un número entero cualquiera y A la longitud de 
onda, los rayos emergentes interferirán de un modo concor- 
dante, y habrá interferencia discordante si 


A 
Dido 


A=(2k +1) 


Iluminando con luz monocromática emitida por un foco 
puntual el aparato constituído por las láminas paralelas, se 
obtendrá, pues, un sistema de franjas localizado en el inti- 
nito. Pueden, según esto, observarse las franjas, directa- 
mente ó por medio de una lente, sobre el plano focal princi- 
pal de otra lente convergente. | 

Cuando el eje óptico de la lente objetiva, y por tanto el 
del anteojo astronómico que ésta y la primera forman, es pet- 
pendicular á las superficies que separan las láminas de vi- 
drio, las franjas son circulares y tienen todas por centro el 
punto 0, en que el eje óptico corta al plano focal. 

A cada punto de éste corresponde, evidentemente, un sólo 
valor de A, que será el mismo para posiciones distintas del 
punto luminoso. En lugar de un foco puntual, puede, pues, 
emplearse un foco extenso para producir, con limpieza pet- 
fecta, el sistema de franjas (*). 

Es evidente, además, que de la posición de las franjas 
que da una luz simple podrá deducirse su longitud de onda. 

Hasta aquí, he supuesto que la luz incidente es monocro- 
mática. Voy á decir ahora, en dos palabras, lo que en otro 
caso sucede. 

El fenómeno que un aparato interferencial cualquiera pro- 
duce con luz compuesta, es simple superposición de los que 
originaría, separadamente, con cada una de las luces mono- 
cromáticas componentes, porque, como se sabe, los movi- 


(+) Véase J. Macé de Lépinay.—Franges d'interférence, capítu- 
lo TIL. 


g 
SN 
: 
S 
3 L 
y 
y 
1 


E A EJ IZ NO 


A A 


a” A E A iS 


— 411 — 


mientos vibratorios de períodos diferentes no pueden in- 
terferir. 

Si las radiaciones incidentes son lo suficientemente pró- 
ximas para que el ojo no pueda distinguir entre ellas dife- 
rencia alguna de color, la intensidad luminosa en cada pun- 
to del sistema de franjas será la suma de las intensidades 
que corresponderían al mismo punto en los sistemas de fran- 
jas dados por las luces monocromáticas componentes. El 
cálculo permite demostrar que, en este caso, la intensidad 
luminosa varía en función de Á según una sinusoide cuyos 
mínin:os dependen de A. La visibilidad de las franjas, que va- 
ría esencialmente con la constitución de la luz incidente, cam- 
biará, pues, con A. 

El método de espectroscopia interferencial de Michelson 
se funda precisamente en el estudio de los cambios que ex- 
perimenta la visibilidad del sistema de franjas al variar e. 

Realmente, para desarrollar de un modo compieto la teo- 
ría de las franjas de las láminas paralelas, debiera tenerse 
en cuenta la influencia de todas las ondas transmitidas pre- 
vio un número par de reflexiones parciales del rayo lumi- 
noso sobre las superficies K" L” y MN; pero, á causa del 
poco poder reflector del vidrio, los movimientos vibratorios 
que corresponden á las ondas que han sufrido más de dos 
reflexiones parciales, tienen amplitud muy pequeña, y pode- 
mos, por tanto, considerar simplemente los dos primeros 
rayos de cada serie. 


Fundamentos del método Je espectroscopia interferencial 
de Fabry y Perot. 


El patrón de Fabry y Perot consiste en un sistema de dos 
láminas paralelas con superficies reflectoras semi-plateadas. 
El gran poder reflector de éstas hace que la intensidad dis- 
minuya muy lentamente en el sistema que forman las infini- 
tas ondas luminosas dadas por una onda plana cualquiera. 


— 4 — 


Las ondas de cada sistema son todas planas, paralelas y 
equidistantes. 

De lo dicho dedúcese que, á diferencia de lo que ocurri- 
ría si las superficies reflectoras no estuviesen plateadas, en 
el estudio teórico de las interferencias producidas por el pa- 
trón de Fabry y Perot, será preciso tomar en consideración 
todas las ondas luminosas emergentes. 

Los anillos de Fabry y Perot prodúcense, pues, por un 
mecanismo completamente análogo al de formación de los 
espectros de diverso orden de una red de difracción. Esto 
basta para explicar el gran poder de resolución del patrón 
de Fabry y Perot: cada anillo es asimilable á una raya es- 
pectral, ó, mejor dicho, á un espectro. 

Insistiremos algo acerca de este punto importantísimo. 

La diferencia de marcha entre dos ondas consecutivas 
cualesquiera de una serie es constante. Cuando esta diferen- 
cia, que llamaremos Á, sea igual á un número entero de lon- 
situdes de onda, todas las ondas de la serie interferirán de 


cc ile 
un modo concordante. Por el contrario, si m7 difiere, aun- 


que.sea en poco, de un número entero, á cada onda podrá 
buscársele otra, dentro de su serie, que esté en discordancia 
completa con ella. Los anillos luminosos que produce el in- 
terferómetro de Fabry y Perot serán, pues, muy brillantes y 
estrechos, y estarán separados por anillos muy obscuros y 
muy anchos (*). Dos anillos luminosos del mismo orden 
sólo se superpondrán, pues, parcialmente cuando las luces 
monocromáticas de que proceden difieran muy poco en lon- 
gitud de onda. 

Como los resultados de este trabajo dan idea clara del 
poder de resolución del patrón, no nos detendremos en 


(+) Véase en Annales de Chimie et de Physique, 7.? serie, t. XI 
dec. 1897, un trabajo de Fabry y Perot en que se da á conocer la 
forma de la curva que relaciona la diferencia de marcha con la inten- 
sidad, para una lámina isótropa de caras semi-plateadas. 


19 


= 43 —= 


cálculos numéricos que, por otra parte, pueden verse en uno 
de los trabajos de Fabry y Perot (*). 

Conviene advertir, antes de pasar adelante, que, con el 
plateado de las superficies reflectoras, no cambian de posi- 
ción, aunque sí de aspecto, los anillos producidos por el 
sistema de láminas. 

Vamos ahora á deducir varias fórmulas importantísimas 
en nuestro trabajo. Aunque partiremos de una relación apli- 
cable, no sólo al patrón de Fabry y Perot, sino también al 
aparato que constituyen dos láminas paralelas no plateadas, 
la mayor parte de las fórmulas que obtengamos no tendrán 
aplicación práctica en este último caso, por tratarse de un 
aparato de poco poder de resolución. 

La fórmula fundamental, ya demostrada (**), es 


A = 2ne cos r, 


siendo e el espesor del patrón, n el índice del medio que se- 
para las dos láminas y r el ángulo de refracción en este me- 
dio cuando la diferencia de marcha entre dos rayos emer- 
gentes consecutivos es A (***), 

Sin=1,r=i, y la fórmula anterior se convierte en la 
siguiente: 


28 COSié A UT) 


Ahora bien; como siempre se observan los anillos de menor 
radio , que corresponden á valores muy pequeños de í, po- 
demos admitir que 


A = 2e — el?. 


(*) Fabry et Perot.—Théorie et applications d' une nouvelle mé- 
thode de spectroscopie interférentielle.— Annales de Chimie et de 
Physique, 7.e serie, t. XvI, Jan. 1899, 

(+) Véase la página 469. 

(++) Las pérdidas de fase por reflexión sobre la plata darían lu- 

gar á un término correctivo despreciable. 


— 474 — 


Para un anillo luminoso cualquiera A=kA, siendo k un 
número entero, que llamaremos orden de interferencia del 
anillo. El ángulo de incidencia, ¿¿, correspondiente á un ani- 
llo de orden k, hállase definido por la relación . 


ki=2e — ely (18) 


si es pequeño el radio, rz, del anillo. Esto, como ya hemos 
dicho, es lo que en la práctica sucede. 

Llamando f á la distancia focal de la lente empleada para 
recoger el sistema de anillos, 


2 
(eN eee LE : (19) 


De esta relación, ó de la relación (17), dedúcense las con- 
clusiones siguientes: 

1.2 De dos anillos de una misma luz monocromática, tie- 
ne mayor radio aquel cuyo orden de interferencia es menor. 

2. Toda variación de longitud de onda se traducirá en 
un cambio en los diámetros de los anillos. Si la longitud de 
onda aumenta, el diámetro de cada anillo disminuye. Cuan- 
do, por el contrario, la longitud de onda disminuye, los ani- 
llos se agrandan. 

3. Si aumenta el espesor del patrón, los anillos se 
agrandan, y los anillos disminuyen de diámetro si disminuye 
el espesor del patrón. 


(Continuará.) 


INDICE 


DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE NÚMERO 


PAGS. 


XVIII. —Conferencias sobre Física matemática. Teorías di- 
versas, por José Echegaray. Conferencia tercera.. 379 
XIX. —Conferencias sobre Física matemática. Teorías di- 
versas, por José Echegaray. Conterencia cuarta... 403 E 
XX. -—Apuntes sobre Mecánica social, por Antonio Por= 
Auondo.y Barceló: co la sai 433 
XXI. —La asimetría de los tripletes de Zeeman, por Manuel 


Martinez-Risco y MacÍaS......00ooooo.. cata a 007 


La subscripción á esta RevIsTa se hace por tomos completos, : 4 
de 500 4 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos | 
en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, calle de Val- 
verde, núm. 26, Madrid. 

Precio de este cuaderno, 1,50 pesetas. 


'AL ACADEMIA DE CIENCIAS 


EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES ' 
l DE E ON 
MADRID e ; q. 
TOMO X.-NÚM. 7. | ES 
Enero de 1912, de 13 


Ñ MADRID z 
ESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO Y EDITORIAL 


CALLE DE PONTEJOS, NÚM. 8. 
1912 : g l 


ADVERTENCIA 


Los originales para la Revista de la Academia 
se han de entregar completos, en la Secretaría de 
la Corporación, antes del día 20 de cada mes, 
pues de otro modo quedará su publicación para 
el mes siguiente. 


e 
A 


CO y (a E 


XXI. — Conferencias sobre Fisica matemática. 
Teorías diversas. 


Por JosÉ ECHEGARAY. 


Conferencia quinta. 


SEÑORES: 


En la última conferencia explicamos tres teoremas funda- 
mentales, relativos al flujo de fuerza, de diversas masas dis- 
continuas, por una superficie cerrada. 

Cada teorema se refería á un caso distinto, según estaban 
las masas fuera del volumen, en el interior ó sobre la su- 
perficie misma. 

Nos fijamos, principalmente, en el caso de masas ponde- 
rables, es decir, de fuerzas atractivas; pero dijimos que los 
tres teoremas se aplicaban en términos casi idénticos al 
de masas eléctricas, en el cual, las fuerzas podían ser de 
atracción Ó de repulsión, según los signos de cada una de 
las masas; y llamamos muy principalmente la atención sobre 
esta circunstancia: Que los tres teoremas de que se trata, en 
la Física antigua, son teoremas puramente abstractos, y por 
decirlo así, hipotéticos. Cuando hablábamos de fuerzas hipo- 
téticas, eran estas fuerzas ideales, ó si se quiere puramente 
simbólicas para todos los puntos del espacio en que no exis- 
tían masas reales. 

Y otro tanto puede decirse respecto al flujo de dichas 
fuerzas. Para que las fuerzas y el flujo de fuerzas pasen de 
ser una abstracción puramente matemática, á ser una realidad 


Rev. AcAD. DE Ciencias.—X.— Enero, 1912. 31 


LA 


física, es preciso que en cada punto de los que se consideren, 
se coloque una masa igual á 1, que llamábamos masa de 
prueba. 

Pero agregábamos, que todos estos conceptos, que en la 
Física antigua y aun en el período de transicción, eran pura- 
mente abstractos, tomaban realidad física en las teorías mo- 
dernas, á partir de las hipótesis de Faraday, de las teorías de 
Maxwell y de la campaña, si vale la palabra, contra las accio- 
nes á distancia de la Astronomía y de la Mecánica clásica. 


Para terminar el estudio de las atracciones y de la poten- 
cial en el caso de masas ponderables discontinuas, sólo nos 
falta tratar de un punto ó de un problema, que es la genera- 
lización de otro problema ya estudiado en las conferencias 


precedentes. 
Hemos considerado en ellas un sistema de masas ponde- 
rables 711, 1/14, Ma, «coo. sujetas á atracciones mutuas, expresa- 


das estas atracciones por la ley newtoniana. 

Hemos supuesto fijas las masas M,, Ma ..... y haciendo va- 
riar la posición de la masa restante m, hemos determinado 
las componentes de la atracción, que sobre la masa mm ejer- 
cían las otras masas, expresando dichas componentes por 
medio de las derivadas de la potencial. 

Precisamente, con este motívo, estudiamos este concepto 
de potencial, que es de importancia suma en toda la Física 
moderna y que hasta ha entrado en el lenguaje vulgar por las 
múltiples aplicaciones de las corrientes eléctricas á diferen- 
tes servicios de la vida práctica. 

Definimos, pues, lo que significaba la palabra potencial, 
aplicada á la acción de las masas 1, , Mo ..... sobre la masa Mm; 
y decíamos, siguiendo la definición de casi todos los autores: 


— 417 — 


La potencial del sistema fijo m,, ma ..... sobre m en P,, es el 
trabajo que dicho sistema ejecutaría sobre la masa mm, si esta 
masa, con velocidades infinitamente pequeñas, viniera por 


«cualquier línea desde lo infinito á la posición P,. 


El valor de dicho trabajo, vimos que estaba definido por 


la expresión 


Dice le a Si ) 


Pi Po 


O si la masa 1: fuese igual á la unidad, por el paréntesis 


tan sólo, 


Más otros autores, y á veces, los mismos que emplean la 
anterior definición, usan esta otra: La potencial del siste- 
MAT Mii sobre m, en la posición P,, es el trabajo ex- 
terior que necesitaríamos aplicar para transportur m desde 
P, al infinito, en presencia y bajo la acción de la masa m,, 
m,....; advirtiendo que siempre en el movimiento la veloci- 


dad ha de ser infinitamente pequeña, de modo que, en cada 


instante, el trabajo exterior sólo diferirá en cantidades infi- 
nitamente pequeñas del trabajo de las atracciones; ó sea en 
la cantidad puramente precisa para vencerlas, é ir alejando 
la masa m, lentamente, hasta el infinito. 

En ambas definiciones, es claro que el trabajo desarroila- 
do es el mismo y el mismo el valor numérico de la poten- 
cial; pero en rigor ambas definiciones no sen idénticas en 
absoluto: el uno es trabajo espontáneo y consumido; el otro 
es trabajo que se aplica y acumula. 

Así, pues, como ya explicábamos en la conferencia pre- 


«cedente, la masa m, donde tiene una potencial representada 


por la expresión anterior no es en P,, sino en el infinito, con 
relación á Po. 

Cuando está en el infinito es cuando se puede decir que 
el resorte está estirado y en disposición de desarrollar un 
trabajo. 


— 4718 — 


Cuando ha llegado á P,, este trabajo está ya consumido ó- 
gastado. 

Pero, en fin, estas no son distinciones fundamentales, ni 
que trastornen la teoría, con tal que en cada caso se preci- 
se el sentido de la palabra potencial. 

Y continuemos ahora la generalización del problema, tras 
esta digresión que es un recuerdo de lo que ya expusimos 
en la conferencia precedente y aun en las conferencias de 
Otros Cursos. 


El problema vamos á generalizarlo de este modo. 

Hasta aquí hemos supuesto, que sólo la masa m podía 
moverse bajo la acción de las atracciones de las restantes. 

Ahora vamos á suponer, que pueden moverse todas las 
masas bajo sus mutuas atracciones, siempre con velocidades 
infinitamente pequeñas, para no complicar este problema de 
los trabajos desarrollados con el problema de las fuerzas. 
vivas. 

Se moverán, pues, todas las masas, pero muy lentamente; 
y hasta podremos fijar las curvas á lo largo de las que se 
han de mover, excluyendo, en absoluto, todo rozamiento y 
toda resistencia pasiva. 

Para que cualquier masa se mueva sobre cualquier curva, 
basta introducir ciertas fuerzas de presión normales á dicha 
curva, toda vez que el trabajo de estas fuerzas de presión 
será nulo, por ser normales al elemento recorrido. 

En rigor, tales hipótesis equivalen á introducir enlances 
que no impidan el movimiento, ni alteren los trabajos de las 
fuerzas de atracción. 

Todo esto es elemental, pero conviene consignarlo explí- 
citamente para evitar á los alumnos dudas y confusiones. 

Y admitiendo que todas las masas pueden moverse simul- 


— 419 — 


táneamente, si es preciso, no hay para qué hacer una distin- 
ción especial de la masa mn. 

En adelante prescindiremos de ella, y consideraremos un 
sistema formado por las masas m,, Mo..... Ma, Sujetas á atrac- 
ciones mutuas según la ley newtoniana. 

En todo sistema de puntos materiales /11,, M,,..... OCUpan- 
do posiciones determinadas, y constituyendo, en cierto 
modo, una figura geométrica, por lo cual á dicho sistema en 
tal posición se le puede llamar abreviadamente configura- 
ción de los expresados puntos; cuando, además, están some- 
tidos á fuerzas interiores y recíprocas, que en nuestro caso 
serán fuerzas obedeciendo á la ley newtoniana; hay una can- 
tidad importantísima que considerar, que afecta al sistema y 
que depende de su configuración, de modo que si ésta varía, 
varía la cantidad de que se trata. 

Y esta cantidad es la que se llama potencial del sistema, 
correspondiente á tal configuración. 

En rigor, esta cantidad, esta función, porque si depende 
de la configuración, depende de las coordenadas de todos 
los puntos, no es otra cosa que lo que llamábamos potencial 
en las conferencias anteriores. 

Es aquel mismo concepto, pero generalizado. 

Allí la configuración era fija para todos los puntos, menos 
uno, el de la masa m. Y sólo porque éste variaba de posi- 
ción, la configuración variaba. 

Ya recordarán mis alumnos que la potencial dependía y 
era función, por lo tanto, de las coordenadas x, y, z del 
punto, ó sea de la posición que ocupaba la masa /n. 

Ahora vamos á suponer, que todos los puntos pueden va- 
riar, en las condiciones antes explicadas, y la configuración 
dependerá de todos ellos. 

Lo cual conduce á dar á este concepto de potencial un sen- 
tido más amplio que hasta aquí. ; 

Ni es ésta en rigor la primera vez que tratamos del con- 
cepto de potencial generalizado, porque en el tercer curso 


— 480 — 


de esta asignatura, al explicar la teoría de la elasticidad por 
el método de Poincaré, tratamos ya de la potencial, y preci- 
samente de este concepto partimos. 

Concepto importantísimo, repetimos, en todas las teorías 
modernas, porque la potencial expresa trabajo y expresa 
energía, y este concepto de la energía es hoy preponderante 
en la ciencia, y hay obras modernas muy importantes, que 
en este concepto de la energía pretenden fundar, no sólo la 
Mecánica, sino toda la Física y aun la explicación de todos 
los fenómenos del cosmos. 

Limitémonos nosotros á estos conceptos puramente mecá- 
nicos, íntimamente enlazados entre sí, y tan enlazados, que 
casi coinciden: La función de fuerzas, la potencial y la ener- 
gía en general, bajo sus dos formas mecánicas ya clásicas, 
energia actual y energía votencial. Conceptos muy claros, 
por más que en ellos muerda á veces la crítica, al menos con 
la claridad relativa, que á la inteligencia humana le es dado: 
alcanzar. 


Sea, pues, un sistema de masas ponderables (11,, Ma, My.....) 
que también podrán ser, generalizando esta teoría, masas 
eléctricas Ó magnéticas. 

Supongamos que á la configuración geométrica que repre- 
sentan, se la designa, para abreviar, por la letra C. 

En tal sistema, á tal configuración, corresponde una po- 
tencial que será un número y lo designaremos por P. 

Veremos bien pronto, que este número P designa un 
trabajo mecánico. 

Si la configuración varía y se convierte en otra distinta C” 
la potencial variará, tomará otro valor P”. 

De modo que generalizando el concepto de función po- 
díamos decir que Pes función de C. 


— 481 — 


Y vamos ahora á definir esta palabra potencial para un 
sistema de varios puntos. 

Para fijar las ideas supongamos que las masas M1;,, Ma..... 
son masas ponderables y que dos á dos se atraen según la 
ley newtoniana. 

Dice Mr. Appell en su gran tratado de Mecánica racional 
lo que traducimos literalmente: 

«La energía potencial de varios puntos en cierta contigu- 
ración, es el trabajo total que producirían las fuerzas atracti- 
vas si los puntos en cuestión infinitamente distantes unos 
de otros al principio, vinieran á ocupar las posiciones que 
les corresponde en la configuración considerada. » 

Y agrega á continuación: 

«Se puede decir, por lo tanto, que esta energía potencial 
es el trabajo de las fuerzas exteriores, que sería preciso que 
actuasen sobre el sistema de puntos en la configuración con- 
siderada, para separar estos puntos y llevarlos en reposo á 
distancias infinitas unos de otros.» 

Pues aquí volvemos á una observación que ya hemos he- 
cho al tratar de la potencial de un solo punto perteneciente 
á un sistema. 

En el fondo y, apurando los términos, ambas definiciones 
no son absolutamente equivalentes; porque si bien es cierto 
que el valor numérico del trabajo es el mismo en ambos ca- 
sos, ya se dejen venir los puntos del infinito á la configura- 
ción C, ya se deshaga esta configuración alejando los puntos 
á distancias infinitas unos de otros, ambos trabajos, como hi- 
cimos observar en otra ocasión análoga, tienen signos con- 
trarios. No es lo mismo estirar un resorte, que una vez estira- 
do dejarlo que vuelva á la primitiva posición, por más que si 
no hay pérdida ambas energías sean numéricamente iguales. 

De todas maneras esta observación, en el fondo, no tiene 
ninguna transcendencia. 

De las dos definiciones precedentes tomemos la primera 
y fijemos bien su sentido. 


— 482 — 


Dado el sistema de puntos m,, Ma, Mz..... imaginemos 
que, desde el infinito y á distancias infinitas unos de otros, 
obedeciendo á sus atracciones mutuas, caminan con veloci- 
dades infinitamente pequeñas y vienen á constituir la confi- 
guración C. 

Las tuerzas atractivas habrán desarrollado sobre cada 
punto determinado trabajo. 

La suma de todos estos trabajos es lo que llamamos po- 
tencial del sistema, ó si se quiere, energía potencial del sis - 
tema, correspondiente á la configuración C. 

Es el trabajo que le ha costado al sistema, la energía que 
ha necesitado gastar, para atraerse á sí mismo desde el in- 
finito, hasta formar la figura C. 

Podíamos decir que es el trabajo de formación del sistema. 

Y para destruirlo es claro que necesitaríamos un trabajo 
idéntico, que quedará almacenado, si vale la palabra, en di- 
cho sistema. 

Decimos es claro, y sin embargo, no es tan claro, ni tan 
evidente, y á no ser por las hipótesis que hemos establecido 
y porque se trata de casos en que existe la función de fuer= 
zas, esto que acabamos de afirmar, que es tan claro, no sólo 
sería obscuro, sino que sería absolutamente falso. 

Fijemos las ideas y aclaremos los conceptos. 

Cualquier punto A de la configuración cuando pasa á un 
punto A” del infinito, sea cual fuere el camino que siga, de- 
terminará el mismo trabajo de las fuerzas del sistema, si 
quedan inmóviles los demás puntos; porque existe, como 
hemos supuesto, una función de fuerzas. 

Y es más: al volver desde el punto A” al punto A, sea cual 
fuere este camino de vuelta, el trabajo desarrollado desde 4” 
asta Á será hnuméricamente igual y de signo contrario al 
desarrollado desde A á A”. 

Y como esto es aplicable á todos los puntos de la configu- 
ración, la duda que antes indicábamos queda desvanecida. 

Por otra parte el valor de la potencial es único, con tal 


— 483 - 


que en el infinito las masas m,, mo..... estén á infinita dis- 
tancia unas de otras, como vamos á ver inmediatamente cal- 
culando dicho valor de la potencial. 

Podemos hacer este cálculo ya partiendo de las compo- 
nentes, ya de las fuerzas mismas; este es el sistema que aho- 
ra seguiremos. 

Basta para ello combinar los puntos dos á dos y alejarlos 
á una distancia infinita. Y sumar los trabajos correspondien- 
tes, para cada par, á todas estas deformaciones. 

Consideremos las masas m, y mo, que en la configuración 
primitiva suponemos que están á la distancia r;». 

La fuerza atractiva que estas masas ejercen sabemos 
«que es 


Si la distancia crece en una cantidad infinitamente peque- 
ña de dr;,», el trabajo desarrollado será evidentemente 


Km,m 
— —=— dro. 


Porque la fuerza se ejerce siempre en la dirección de la 
«distancia; la proyección del camino que recorre Mm;,, Supo- 
niendo 72, fijo, es precisamente la diferencial de la distancia 
y el trabajo es resistente, por lo cual le damos el signo me- 
nos. Es decir, la fuerza actua en sentido contrario del cami- 
no recorrido. 

El trabajo total hasta el infinito será, 


00 00 
m,m Mm, Mo, M, Ma, m, mM 
il ==> 2d KT) a a aa 
ñ 


. “19 Fis Pe o Fiz 


== => 14 mM1M>3 
deLo 


-- 484 — 


De este modo hemos alejado á la masa m, hasta el infi- 
nito, quedando todas las demás fijas, y hemos determina- 
do el trabajo dos sobre ella ejeres la masa mo», y sólo la 
masa Mo. 

Considerando ahora las masas m, y mz podríamos repe- 
tir el cálculo anterior, obteniendo una expresión de la misma 
forma que la precedente; y repitiendo esto para todas las de- 
más masas tendríamos, como ya hemos visto en otras con= 
ferencias (y prescindiendo del signo—), para el trabajo re- 
sistente sobre m., al pasar al infinito 

K My Km, 


— 


Fi Pi3 Pin 


Ya hemos transportado la masa m, al infinito; no hay que 
contar con ella porque está á una distancia infinita de las. 
masas restantes, y éstas, por definición, aun ai llegar al infi- 
nito, han de quedar á distancia infinita de m,. 

El sistema queda reducido á m, Ma ..... M,; pues aleje- 
mos ma hacia el infinito, y tendremos un resultado análogo 
al precedente para el trabajo sobre m, en el sistema Mo... 
m, al pasar al oo: 


Pa Tascmgia. esraje 02 Pela 
EE fas! fin 
De este modo tendremos en el infinito las dos masas 
m,, mM, y no habrá que contar con ellas, al estudiar las accio- 
nes de las demás masas. : Dd 
Continuando de este modo hasta las últimas masas . 


Mna-1> Ma 


habremos obtenido una serie de expresiones de.la forma 
mM; M; 
Pi 


K 


— 485. — 


en que estarán combinadas las masas, dos á dos, pero sim 
repetición, de todos los modos posibles. 

En suma, el trabajo resistente que han desarrollado las 
atracciones cuando todas las masas se han transportado al 
infinito y á distancias infinitas unas de otras, ó si se quiere 
el trabajo exterior y positivo que ha sido necesario emplear 
para esta dispersión, será de la forma 

SE 
Fij 
en que hay que combinar las masas y las distancias, como: 
antes hemos explicado. 

Este valor único es el que se llama potencial del sistema; 
es decir, el trabajo necesario para deshacerlo, aparte del sig- 
no; ó el trabajo que desarrolla al constituirse desde el in- 
finito.. 


A esta potencial, ó energía potencial del sistema, se le pue- 
de dar otra forma. 

Se puede alejar la masa m, hasta el infinito Ó suponer que 
viene desde el infinito hasta el punto que le corresponde en 
la configuración, y aparte del signo, hemos visto que el tra- 
bajo desarrollado será 


Km (1 Esiti a +A 


Pa Pa Fr 


Ó abreviadamente, 


Km, V, 


Ma mM 
llamando V, al paréntesis “q e E que sabemos: 


2 Fo 


— 486 — 


que es la potencial del sistema para el punto m, cuando 
m, y K son iguales á la unidad. 

Del mismo modo, si volvemos á colocar m, en su posición 
y alejamos m,, el trabajo desarrollado será, con notaciones 
análogas á la precedente, 


K. ma! Mos 


es decir, que si V, se refería á todas las masas menos m,, Va 
se referirá á todas las masas memos ¡m,. 

Repitiendo lo mismo para Mm; ..... y sumando, obten- 
dremos 


S"EKm; V; 


Esta expresión se compone de elementos idénticos á la pri- 


mera que obtuvimos para la potencial, es decir pibe 00? 
Pij 
pero en la primera expresión combinábamos cada subíndice 
con los que le seguían, y nada más; y aquí combinamos cada 
“subíndice con todos los restantes, con lo cual duplicamos los 
términos. Por ejemplo, en la primera fórmula teníamos 


K m;, Ma 


y en la última Km, my y LK my my 


Pia Pio 21 


«que son iguales y se duplican. 

De suerte que esta última expresión es doble de la prime- 
ra, y podremos escribir: 

Potencial total del sistema: 


m;m;j O A : 
O =p Ss m,V;. 


Ambas fórmulas expresan, como hemos dicho, el trabajo 
que han desarrollado todas las atracciones del sistema desde 


— ER 


una dispersión infinita de todas ellas hasta la configuración: 
que tienen. 

O también significan en valor numérico igual al anterior, 
el trabajo que habría que emplear para dispersar el sistema. 


De los tres teoremas que explicamos en la conferencia: 
precedente, se pueden deducir muchas consecuencias im- 
portantes. 

1. Dada una configuración C,, esta configuración ó sis- 
tema tendrá, en un punto cualquiera del espacio, una poten- 
cial determinada, que se expresará por una función U (x, y, 2) 
cuya forma ya conocemos, pues se sabe que es la suma de 


AR mM; a p 
términos PRO en que las r son funciones de x, y, 2, dá 
1 


saber: 


Es, por lo tanto, una función algebráica perfectamente de- 
terminada, para cada punto del espacio, exceptuando para 
los puntos en que están colocadas /M,, Ma..... Mn» 

Para éstos, como la r correspondiente se reduce á cero, la 
expresión se hace infinita. 

Será, pues U una función con n infinitos. 

Dicha función potencial, ó potencial del sistema, podrá 
ordenarse en superficies de nivel para las que la potencial 
tendrá el mismo valor, y que se llamarán superficies equi- 
potenciales. Su expresión será evidentemente 


— 488 — 


siendo C una constante, que variará de una superficie de 
nivel á otra. 

En rigor esto es repetir lo dicho para el sistema m, m;, 
m>... Sólo que ahora prescindimos de /m, y consideramos 
únicamente el campo y una masa ideal de prueba. 

Hemos visto, además, que en un punto cualquiera del es- 
pacio la atracción del sistema, sobre dicho punto, tiene la 
dirección de la normal á la superficie equipotencial que pasa 
por él, y va de la superficie de menor potencial á la de mayor 


potencial. 


E 


a e o | 
S 


Figura 15. 


Más claro. Imaginemos un sistema M,, Ma, Mz..... de pun- 
tos ponderables, y tomemos un punto A del espacio (figu- 
ra 15). 

- Para obtener la atracción, sobre este punto A, del sistema 
M,, Mo, Mz......, NO hay más que trazar por el punto A la su- 
peficie equipotencial C que le corresponde. 

Para lo cual, sustituyendo en 


U(x,y,2)=C 


= M6) —= 


por x, y, z, las coordenadas de A, quedará determinada la 
constante C, la ecuación de la superficie y la superficie 
misma. | 

Teniendo la superficie C, trazaremos la normal A N en el 
punto A, y esta será la dirección de la fuerza que buscamos. 

En efecto, la fuerza F, atracción sobre A del sistema 
m,, M>..... coincide en dirección con la N. 

Pero no solamente las superficies equipotenciales detet- 
minan la dirección de la fuerza Fen cada punto, sino su in- 
tensidad, y de aquí resulta el signiente teorema. 

Si C y C' son dos superficies equipotenciales infinitamen- 
te próximas, y representamos los valores de las constantes 
por Uan y U p, el valor de F será: 


des Uan 
AB 


Que en el límite, y suponiendo que 4 B es igual á ds será 


es decir, la derivada de la potencial en el sentido de la nor- 
mal AN para el punto A que se considera. 

Esta fórmula se demuestra inmediatamente. 

Sabemos que las tres componentes de la fuerza F para el 
punto A, suponiendo como siempre, que la masa de prueba 
es igual á 1 y suponiendo que el coeficiente numérico de la 
atracción es también 1, son 


Luego no habrá más que proyectar estas tres componen- 
tes sobre la normal AN. 


— 490 — 


Pero si las tres componentes de AB = ds se representan 
por dx, dy, dz, que son los incrementos de las coordena- 
das de A al pasar á B, tendremos que los cosenos de direc- 
ción serán 

E di 
das se 


y el valor de F 
dU dU dU 
dx dy + — 
dU dx, dUdy ¡dUdz_ dx" ' dy 
CSS ISA AS ds 


en que el numerador es la diferencial de U al pasar de A á 
B; si abreviadamente se expresa por 4U, queda demostrada 
la fórmula 


atracción del sistema (mm, mo.....) =F ===. 


Por fin, la fuerza F actúa en el sentido de la menor poten* 
cial C á la mayor C”. 

Pero no olvidemos lo que tantas veces hemos explicado, 
á saber; que para todos estos teoremas se supone, al deter- 
minar, por ejemplo, la potencial en un punto, ó la atracción 
en él, que en dicho punto hay que colocar una masa igual 
á la unidad para que el teorema tenga un sentido real y po- 
sitivo. 

En rigor, no debería decirse: la potencial del sistema mm, 
Mo, Maz..... en A es U, sino más bien: la potenciel del siste- 
O US en A sería U si agregásemos al sistema en 
dicho punto A una masa de prueba igual á 1. 

2. La fórmula anterior de F podemos generalizarla y 
podemos determinar en todo punto A la proyección de F 
sobre cualquier dirección AD, y vendremos á parar á una 
fórmula análoga á la precedente. 


— 491 — 


En etecto, sea AF la atracción del sistema sobre el punto A. 
Sea AD una recta cualquiera. 
Bajemos la perpendicular FF” sobre AD; y AF” 6 abre- 


viadamente F” será la componente que buscamos. 
Así 


E Eo NE O 


AB' 


AUS O 
ds  AB' AB 


pero F 2 ON lnesoF"= 
ds 


Así la componente buscada se obtiene dividiendo el in- 
cremento dU de la potencial al pasar de la superficie Cá C' 
por la distancia A B” entre las dos superficies potenciales, 
contada dicha distancia sobre la recta AD.Si llamamos á 
esta distancia ds”, tendremos AB'=ds' y 


dU 
ds 


¡7 = 


Resulta de aquí, que la componente F' se obtiene, lo mis- 
mo que la fuerza F, tomando la derivada de U en el sentido 
de la recta AD. 

Cuando se trata de la fuerza F la variable es s y se cuen- 
ta sobre N; cuando es la componente F' la variable es s” y 
se cuenta sobre D. 

Por lo demás, el incremento de U siempre es el mismo 
entre dos puntos cualesquiera de las dos superficies poten- 
ciales. 

3." Hemos definido -el tubo de fuerzas y la definición era 
ésta. 

Sea C (figura 16) una superficie equipotencial corres- 
pondiente á un sistema de masas ponderables m,, Ma, 


REV. ACAD. DE CiuNcias,—X.—Enero, 1912. 39 


— 492 — 


- Consideremos en esta superficie un área cerrada ab, que 
para fijar las ideas supondremos infinitamente pequeña. 

Por cada punto del contorno ab. ..... hagamos pasar una 
línea de fuerza, que ya sabemos que será normal á todas las 
superficies equipotenciales. 

El conjunto de estas líneas de fuerza constituye la figura 
que se llama tubo de fuerza. 

Limitemos este tubo de fuerza que, por su naturaleza, es 
indefinido por dos superficies equipotenciales C, C” y al es- 


Figura 16. 


pacio cerrado por el tubo y por las dos áreas extremas, área 
ab, que representaremos por du, y área a” b” que designa- 
remos por du”, podemos aplicarle los tres teoremas que he- 
mos demostrado en la conferencia anterior. 

Supongamos que en el interior de este segmento de tubo 
de fuerzas, no existe ninguna de las masas m; pues en este 
caso, el flujo de dichas masas sobre la superficie total del 
segmento de tubo sabemos que será nulo. 

Ahora bien, dicho flujo se compondrá del flujo sobre el 
área ab, que en la figura suponemos que es flujo entrante; 


— 493 — 


del flujo sobre a' b' que será saliente, dado que la potencial 

va creciendo de Cá C' y que la fuerza atractiva no cambia 

de sentido; y, por último, del flujo sobre la superficie lateral. 
Tendremos, pues, según dicho teorema 


flujo (ab) + flujo (a* b”) + flujo (superficie lateral) = 0. 


Pero como las fuerzas F y F” que determina el sistema mm, 
Mito MAS sobre las áreas infinitamente pequeñas ab, a' D', 
son normales á dichas áreas, los flujos se obtendrán multi- 
plicando el área por la fuerza y tendremos 


flujo (ab) = F do 
flujo (ab) =F' do”. 


Y además, como la superficie lateral está formada por 
líneas de fuerza y en estas líneas la tangente, en cualquier 
punto d, es precisamente la fuerza atractiva F”, el flujo será 
nulo para el elemento correspondiente al punto d, puesto 
que la proyección de F” sobre la normal en d á la superficie 
del tubo, será igual á cero. 

Luego 


flujo (superficie lateral) = 0. 


Y sustituyendo esos tres valores del flujo en la ecuación 
general, tendremos: 


Fdo =— Erdo+=0; 
de donde 
Fdo =F' du”. 


Es decir, que el producto del área por la fuerza será igual 
á lo largo del tubo, en todas las superficies equipontenciales, 
puesto que dejando C fija, podemos variar C”. 

Y aquí ocurre una imagen material, que da realidad en 
cierto modo al teorema abstracto que hemos demostrado. 


— 494 — 


Si el tubo fuese una cañería, si por ella circulase un líqui- 
do incomprensible, y F, F ..... fuesen las velocidades del mo- 
vimiento en cada sección, la ecuación anterior significaría 
que por cada sección pasa la misma cantidad de líquido, lo 
cual evidentemente debe suceder, si el líquido es incom- 
presible. 

4.*% Vamos á demostrar que la potencial U satisface á 
una ecuación diferencial de segundo orden que aparece cons- 
tantemente en la Física Matemática y á que se da el nombre 
de ecuación de Laplace. 

La forma de esta ecuación es la siguiente: 


eN) AZnOl GEN) 
eE dy? dz? 


= 0, 


A esta ecuación satisface la potencial U de cualquier sis- 
tema de masas ponderables, y ya veremos que eléctricas Ó 
magnéticas, en espacio libre. 

Es una propiedad muy general, curiosísima y fecunda. 

Porque, fíjense bien mis alumnos: el teorema que vamos 
á demostrar dice, que sea cual fuese el sistema de masas. 
ponderables /1,, Ma..... el valor de éstas y su distribución 
geométrica, la potencial U del sistema, tal como la hemos 
definido, satisface á una ecuación diferencial de la forma in- 
dicada. Es decir, que diferenciando 


u= (A y a ] 


Fx Po 


u 


es decir 


Mi 


Y == ( ————————=—— + 
V (a, —xy 0 E) 


Moa da 
V (a, +(0:—y? + (02)? ) 


— 4953 — 


dos veces con relación á x, dos veces con relación á y y dos 
veces con relación á z, y sustituyendo en la ecuacion de La- 
place, ésta se reduce á una identidad. 

La ecuación de Laplace, como las ecuaciones diferenciales 
en general, tienen muchas integrales particulares, por mejor 
decir, muchos grupos de integrales particulares; pues bien, 
uno de estos grupos, que comprende infinitos casos parti- 
culares todavía, es precisumente el de las potenciales new- 
tonianas. 

La ecuación de Laplace expresa una propiedad diferencial 
de un sinnúmero de funciones x, y, z, es un carácter común 
á multitud de familias, si vale la palabra, y uno de estos gru- 
pos ó familias es precisamente el de la potencial de un sis- 
tema de masas ponderables, cuyas atracciones obedecen á 
la ley de Newton en espacios libres; y ya explicaremos esta 
restricción. 

Y aún es más general el carácter indicado, porque se aplica 
á la electricidad y al magnetismo, es decir, lo mismo á las 
atracciones que á las repulsiones; lo mismo á las masas 
ponderables que á las masas eléctricas ó magnéticas. 

La demostración no puede ser más sencilla; se reduce á 
una comprobación algebráica. 

En primer lugar, observemos que todos los términos de U 
son de la forma 


m m 
”» 


Va Oy PH (0—2) 


y observemos además, que si dos ó más términos satisfacen 
aisladamente á la ecuación de Laplace, la suma satisfará 
también. 

Porque en efecto, si U, y U, son dos soluciones particu- 
lares de la ecuación de Laplace, la suma U, + U, satisfará 
también á dicha ecuación. 


— 496 — 


Y la comprobación es inmediata. Puesto que U, es solu- 
ción de la ecuaciónn diferencial, y también U,, tendremos: 


d?0, AO, DA Ó, 

A o o a 0 
dx? E d y? in dz? 
AOL d? U, + d? O, BO 


asa dy? dz? 


y sumando y reuniendo las derivadas relativas á la misma 
variable, 


INOUAOS)E AOA USUSNOA 0 00) 
A E EA EIA 
als? dy? es 


= 0 


Luego U, + U, satisface á la ecuación diferencial. 
Tomemos ahora un solo término del valor diferencial de 


la potencial. En general 7? en razón á que todos son de este 


tipo. 

Si éste satisface á la ecuación de Laplace, todos en parti- 
cular y la suma en la potencial, satisfarán á dicha ecuación. 
La comprobación respecto á este término es bien fácil. 

E m 

Diferenciando dos veces 7 

tante m, que entrará como factor en los tres términos de la 
ecuación, tendremos para las derivadas primeras: 


ó prescindiendo de la cons- 


1 1 AUR) 
d— d nn. -———_ (A Ss 
E _V(a—x) (0 y) E (02)? E O as 
dec dx 2 
dl 
o: 05 
7 A 
e 
r c—I 


— 497 — 


y para las derivadas segundas: 


1 Le paso 
d? A ap E 
EN ro —r343(a—x)?r 
TETAS fó en ró 
ES O iS A 
e MES, 
A Re >) 
ES 


y sustituyendo estas tres derivadas segundas en la ecuación 
de Laplace: 


1 1 1 
de r so es Ñ ye E r E O e A 
dx? dy? UA ds 
—r34-3(b=y)r , —r?+3(c— 2)*r 
pa 


cuyo segundo miembro se reduce á 
— 312 4 3r ((a — + (09? +00) 
E 


O a A IA 


ÍS 
1 Se 
Resulta, pues, comprobado que — es una solución de la 
ñ 


ecuación de Laplace. 


26  M > z 
También lo será — y la suma de un número cualquiera 
r 


de términos análogos á éste, puesto que hemos visto que los 
valores de m, a, b, c, no influyen en el resultado. 


— 498 — 


En suma, la potencial de un sistema discontinuo cualquie- 
ra de masas ponderables, sea cual fuere su valor y sea cual 
fuere su distribución, es una función de x, y, z, que satista- 
ce en todo el espacio libre, es decir, exterior á las masas, á la 
ecuación de Laplace. 

Para estos puntos, claro es que la potencial es infinita, 
puesto que r se reduce á cero. 


Como hemos indicado varias veces, toda la teoría de la 
potencial newtoniana se aplica á la electricidad y al magne- 
tismo, en términos análogos á los de las masas ponderables, 
en razón á que la ley de las atracciones ó repulsiones es siem- 
pre la ley newtoniana, la de la relación inversa del cuadrado 
de la distancia. : 

La teoría general, es por lo tanto, independiente de los sig- 
nos de m; mas para que no quede ninguna duda, terminare- 
mos esta conferencia aplicando la teoría de la función de 
fuerzas, que en el fondo es la teoría de la potencial, á dos 
masas eléctrieas. 

La primera, que es la que hemos llamado masa de prueba, 
supondremos que es una masa eléctrica positiva. 

La segunda, la masa que atrae ó rechaza, m,, podrá tener 
signo positivo ó negativo y examinaremos ambos casos. 

En la figura 17 hemos representado la masa eléctrica posi- 
tiva m,, formando parte del sistema m,, Ma ..... y la masa de 
prueba positiva m, que bien puede ser igual á la unidad, pero 
que es indiferente que lo sea Ó no, ó mejor dicho, que como 
unidad se considere. 

Recordando que electricidades del mismo nombre se re- 
chazan, se ve que la acción de m, sobre m, tendrá la direc- 
ción del vector F, que consideraremos como esencialmente 


— 499 — 


positivo, por ser un vector, ó si se quiere, la parte escalar del 
vector. 
Su valor según la ley newtoniana será: 


min, 
f? 


F=k 


en que k es un coeficiente numérico distinto, naturalmente, 
del coeficiente que empleamos para las masas ponderables. 


z 


vo 
E 


Ñ 

= 

3 
MN 


3 


ii ii 


Figura 17. 


Llamando X, Y, Z las componentes de F, y en la hipótesis 
que representa la figura, 


Tí Ñ r 
a AE a (=p) 
f? 7 r? 
py e o a DET (e 
f? a ¡pe 


Ponemos el signo menos porque las componentes de FF 
son negativas y todos los demás factores son positivos. 


— 500 — 


Ahora bien; es evidente que los segundos miembros resul- 
tan de derivar una expresión única 
mim; 

” 


— k 


con relación á x, y, z, como se ve desde luego: por ejemplo 
respecto X, 


mi, 1 dr 
Eco: ¿E RE 
d — = — 1 MM A Cc 0N 
dx ES ES a 
kmm, dr  kmm, —2(a—x) kmim, 
A O 


que es precisamente el valor de dicha componente X. 
De modo que, representado por V la función de fuerzas, 
mm; 


— k tendremos: 
F 
A A 
dx dy dy 


Si continuásemos llamando á V potencial del sistema, po- 
dría decirse que las componentes de la fuerza, son las deri- 


vadas de la potencial. 


Si la potencial fuese una función U= k igual nu- 


méricamente á V, pero de signo contrario, en este caso 


NO Z y an 


dx dy” da 


En rigor, como las masas /m, y m, se rechazan', rechazando 
mm, 


m., á m hasta el infinito ejercerá un trabajo k positi- 


vo que podremos aprovechar, que podría aprovecharse en 


— 501 — 


cualquier empresa; de modo que la expresión anterior repre- 
senta la potencia disponible del sistema. 


ES 
ES 


Supongamos por fin (fig. 18) que la masa m, del sistema 
E UCA UI sea una masa eléctrica negativa. 
Como la masa de prueba m suponemos que es positiva 


ed 
e 


có d | 
+m : 


mM; 
9 
, 
Ú 
1 
1 
1 


I 

¡ 

' 

1 pa 
GA 
JSEDE 
: 

, 
Figura 18, 


siempre, la acción F, de m, sobre m, será una fuerza atrac- 
tiva, según hemos representado en la figura, y las tres com- 
ponentes de F deberán ser positivas. 

Tendremos, pues, 


e A A A 
re r fr? 
y ai) 
fr? 
== AL a ia y), 


— 502 — 


y en efecto, estas tres componetes son positivas porque k, 
m,r y A—X, b—y, C—Z Son cantidades positivas. 

Pero m, es una masa negativa y dándole el signo que le 
corresponda, como el signo negativo afecta á toda la expre- 
sión, los valores X, Y, Z, serán positivos, según debían 
ser. 

Claro es que X, Y, Z, se demostrará, que son las deriva- 
das de una función de fuerzas lo mismo que en el caso an- 
terior. 

Por último, es evidente que este signo —, puede supo- 
nerse que está comprendido en la constante k, en cuyo caso 
el signo aparente sería positivo como para las masas ponde- 
rables y la constante k sería negativa. 

Con lo dicho terminamos estas ligeras nociones sobre la 
potencial en el caso de masas discontínuas. 

En la conferencia próxima repetiremos, porque esta es la 
palabra, toda la teoría anterior con aplicación á sistemas 
contínuos. 

Pero además de repetir, algo más tendremos que exponer. 


OS 


XXII.—Conferencias sobre Física Matemática. 
Teorias diversas. 


Por JosÉ ECHEGARAY 


Conferencia sexta. 


SEÑORES: 


Terminamos la conferencia anterior con el estudio pura- 
mente elemental de las atracciones y de la potencial de un 
sistema de puntos discontinuos, ó mejor dicho, de las masas 
ponderables que en ellos suponíamos. 

Realmente el problema era de extraordinaria sencillez, 
puesto que la atracción de cada punto, sobre cualquier masa 
m, en posición conocida, estaba perfectamente determinada 
por la ley newtoniana. Y lo mismo podemos decir de sus 
componentes. Si son varios los puntos del sistema, la fuerza 
y las componentes de cada uno de ellos se determinaban 
del mismo modo. 

El problema era sencillísimo; las incógnitas estaban expre- 
sadas directamente en función de los datos. 

Y, sin embargo, aún lo simplificamos más observando que 
las tres componentes pueden expresarse por las tres deriva- 
das de la función potencial. 

En vez de tres incógnitas teníamos una sola, que era U, 
y en función de ésta se expresaban IVA ZA 

Pero es que ya no se trataba de resolver un problema pat- 
ticular, sino de expresar la ley general de las atracciones en 


— 504 — 


todo el espacio, y esta ley resultaba del estudio de U como 
cion ds 7) 

La función U, á que dábamos el nombre de potencial, era 
ya importante desde este punto de vista: simplificaba el pro- 
blema de las atracciones, reduciendo las tres incógnitas 
X, Y, Z á una sola función U, y daba, en cierto modo, la 
ley de veriación en todo el espacio cuando por todo el espa- 
cio paseábamos la masa de prueba 1. 

Mas este nuevo concepto de potencial, que ya tenía una 
importancia grande en la Física clásica, adquiere transcen- 
dental importancia en la Física moderna, en que el concepto 
de energía va sobreponiéndose al concepto de fuerza. Y esto 
se comprende, porque después de todo, la potencial repre- 
senta un trabajo, que es una de las formas de la energía. 

Este concepto de potencial, generalizado para todo el sis- 
tema, nos determina el trabajo que ha sido necesario des- 
arrollar para su formación desde el infinito, Ó el que habría 
que desarrollar para destruirlo por dispersión absoluta, y 
también el que podría poner á nuestra disposición en cual- 
quier trabajo industrial hasta la configuración que corres- 
ponde al equilibrio estable; de modo que la potencial es algo 
que da idea del valor mecánico del sistema. 

Por eso, en todos los problemas de la Física moderna la 
potencial de un sistema es su nota característica. 

Todo esto se refiere al caso de las masas discontinuas 
Mi, Mo, Mz, ..... y ahora debemos pasar, como ya se indicó 
al principio de estas conferencias, al caso de las masas con- 
tinuas, resolviendo para este nuevo caso todos los proble- 
mas que hemos resuelto para el primero. | 


El problema de lo continuo ó de lo discontinuo es un pro- 
blema capital de la Física. 
Y aún lo es de las Matemáticas puras, en las que pode- 


— 505 — 


mos señalar, por ejemplo, y en contraposición, la teoría de 
los números enteros y la teoría de las funciones continuas. 

Y la continuidad, así en la ciencia pura como en la Física, 
tiene sus dificultades y tiene sus ventajas. 

Me explicaré. 

La teoría de los números, por ejemplo, precisamente por 
el carácter de discontinuidad presenta grandes dificultades, y 
así se da gran importancia á los trabajos de aquellos mate- 
máticos que han logrado, más ó menos, reducir los proble- 
mas de la discontinuidad 4 problemas de funciones con- 
tinuas. 

Porque en las expresiones discontinuas la ley no se ve, 
por decirlo así, de una vez; la ley camina á saltos. Por el 
contrario, de una vez se dibuja, dentro de su continuidad, 
en la teoría de las funciones. 

En cambio, en la teoría de la continuidad nos encontramos 
á cada momento, casi me atrevería á decir con dos misterios, 
por lo menos, con dos estinges rebeldes á la interpretación. 
Lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande. 

Y esto nos va á suceder precisamente al generalizar la 
teoria de la potencial á los sistemas continuos, y más tarde 
de masas eléctricas y magnéticas. 

Bien fácil ha sido el estudio de la potencial en los sistemas 
discontinuos para todo el espacio, salvo: para los puntos en 
que están colocadas las masas, puntos que ya constituyen, 
por decirlo de este modo, discontinuidades por valores in- 
finitos. 

Parece que la generalización de la teoría de la potencial 
para las masas continuas no ha de ofrecer dificultad, y que 
todo ha de quedar reducido á la sustitución de integrales á 
sumas finitas. 

Tenemos, por ejemplo, tres masas discontinuas M,, Mo, 
M2, pues para la potencial en cualquier punto, ó para las 
componentes de la atracción en el mismo, tendremos una 
suma de tres términos. 


= 000 —= 


Tenemos en este nuevo caso, por ejemplo, una esfera re- 
llena de materia continua, en que la densidad es conocida 
para cada punto de dicha esfera; pues el cálculo de las com- 
ponentes de la atracción ó de la potencial en cualquier punto 
exterior del espacio, en teoría no debe ser mucho más difí- 
cil que en el ejemplo precedente. 

Descompondremos la esfera en elementos infinitamente 
pequeños. 

Cada uno será una masa conocida y de coordenadas co- 
nocidas también. 

Luego en este caso no tendremos tres términos compren- 
didos en una suma; pero tendremos infinitos términos com- 
prendidos en una integral. 

La solución es análoga en uno y en otro caso. 

En el primero, es una suma de un número finito de térmi- 
nos; en el segundo, es una suma de un número infinito de 
sumandos, que no es otra cosa que una integral. 

Parece, pues, que teóricamente el caso de la continuidad 
no ha de ser más difícil que el de la discontinuidad, y, sin 
embargo, lo es. Y la dificultad se presenta cuando el punto 
es interior á la esfera de nuesto ejemplo, ó, en general, á 
la masa continua de materia para la que deseamos calcular 
la potencial. 

Porque en el sistema discontinuo todo punto que se elija 
es exterior al sistema, como no coincida con uno de los pun- 
tos atrayentes. 

Y en el sistema continuo, si el punto es interior á dicha 
masa continua, coincidirá con uno de los elementos, la dis- 
tancia entre el punto y el elemento será nula, y como r entra 
en el denominador del elemento diferencial, el elemento de la 
integral será infinito ó aparecerá como infinito, que esto ya 
lo veremos. 

Y de todas maneras la solución del problema no será in- 
mediata y habrá que estudiar este caso detenidamente. 

Entremos, pues, á estudiar el problema de las atracciones 


— 507 — 


y de la potencial para las masas continuas de materia pon- 
derable, sin perjuicio de generalizar los resultados para la 
electricidad y el magnetismo. 


Atracciones y potencial para las masas ponderables conti- 
nuas.—Sea (fig. 19) una masa continua comprendida en una 
superficie cerrada S, y vamos á determinar, como hicimos 
para las masas discontinuas, las componentes de la atrac- 
ción que dicha masa ejerce sobre un punto cualquiera P, 
así como la potecial que corresponde á dicho punto. 

Y repitamos otra vez, que para que estas denominaciones 
atracción y potencial tengan un sentido de realidad, es preciso 
que consideremos en un punto P una masa ponderable igual 
á 1, y esta condición debe suponerse satisfecha al hablar de 
un punto cualquiera del espacio; porque de otro modo tc- 
-dos estos serían conceptos vacíos, mejor dicho, cantidades 
completamente nulas; en un punto del vacío, ni hay atrac- 
ción, ni componentes, ni potencial. 

Pudiéramos decir en la terminología escolástica, que dada 
la presercia de la masa ponderable encerrada en S, en cual- 
quier punto existen tales conceptos, en potencia pero no en 
acto. 

Para que el acto exista, es preciso colocar en el punto en 
cuestión una masa ponderable, por ejemplo, m = 1. 

Y dicho esto como última repetición, no es ya preciso ín- 
sistir sobre ello á cada momento de nuestras explicaciones. 

Vamos á descomponer el problema en dos partes, Ó mejor 
dicho, en dos problemas. 

1.2 Que el punto P sea exterior, como en la fig 19, á la 
masa ponderable que comprende $. 

2. Que el punto sea interior. 

Punto exterior. 


REV. ACAD. DE CIENCIAS, — XI. —Enero, Ig12. 33 


— 508 — 


Este es el caso que representa la figura, y es sumamente 
sencillo. Se reduce casi palabra por palabra al caso de las 
masas discontinuas; porque en efecto, si el punto P no coin- 
cide con ninguna de ellas, poco importa que estén muy 
próximas ó muy lejanas ó que estén en contacto unas con 
otras, apareciendo en forma continua. 

Las fórmulas serán las mismas con sólo sustituir las inte- 
orales á las sumas. 

En efecto, descompongamos la masa comprendida en S 
en paralelepipedos A infinitamente pequeños, por planos pa- 
ralelos á los planos coordenados. 

La atracción de la masa situada en A, que representamos 
por dm, sobre el punto P en que imaginaremos la masa 1, 
siendo r la distancia AP, a, b, c, las coordenadas de dm y f 
el coeficiente de atracción, será, como sabemos, llamado dF 
á dicha fuerza y dX, d Y, dZ, á sus componenentes, que por 
ser la masa dm infinitamente pequeña, serán cantidades in- 
fiínitamente pequeñas también, y por eso aplicamos el signo 
diferencial á las componentes y á la fuerza; serán, repetimos, 
tales cantidades las siguientes: 


laa 
SR pierda pd (Cc -- 2) 
4 DEI 


La masa dm es igual evidentemente al producto de la 
densidad p por el volumen del paralelepipedo infinitamente 
pequeño, cuyo centro es A. 

Es decir, 


di="w da da'biae: 


— 509 — 


La densidad p será distinta, en general, para cada punto; 
de modo que será una función de a, b,c: 


O= pl, 0. 2), 


Suponemos que esta función es continua, finita y bien 
determinada, que son las condiciones propias del problema 
de las atracciones como problema real. 

Como hemos expresado las componentes de la atracción 
debida al punto A, expresaremos las de todos los demás 
puntos del volumen comprendido en $, y las componentes 
totales ya no serán una suma de términos análogos al ante- 
rior, pero en número finito, sino que serán integrales triples, 
extendida á toda la masa ponderable que comprende S. 

Tendremos, pues, para el caso en que el punto P es ex- 
terior á la masa atrayente 


e y Hadbde q y 
a vol [FS 
da db de 
A Ce 
vol vé? 
2= ff / pee CPE cone 
9 vol [pa 


Fijémonos un momento en estos tres valores, y tomemos 
por ejemplo el de X. 
Como p es una función de a ,b, c, y 


E 


también lo es, el segundo miembro será una integral triple, 
perfectamente determinada, en que las variables son a, b, c, 
y habrá que efectuar tres cuadraturas: una con relción á a, 
otra con relación á b, y á continuación, y sobre el resultado, 
otra con relación á c, por los métodos que enseña el cálculo 
integral. 


— 510 — 


El subíndice vol indica que esta triple integración ha de 
abarcar todo el volumen que comprende la superficie $. 

Efectuada la triple integral, el segundo miembro será una 
función de x, y, z, que en estas integraciones son constan- 
tes, porque siempre se refieren al punto P, que no cambia. 

Por último, como el punto P es exterior, nunca las tres 
coordenadas x, y, z, pueden todas ellas y al mismo tiempo, 
ó mejor dicho, á la vez, ser iguales á a, b, c, que se refieren 
en todos los elementos de la integración á puntos interio- 
res á S. 

Y como á la vez no se puede tener 


M0 
D= 
D= Z, 


nunca r puede ser igual á cero; luego ningún elemento de la 
integración puede ser infinito. 

En suma, la integral triple, que representa el valor de X, 
será una cantidad finita y bien determinada, que nos dará 
la componente X de la atracción, que ejerce sobre el pun- 
to P, en que suponemos la masa 1, toda la masa ponderable 
comprendida en S. 

Otro tanto podemos repetir respecto á las componentes 
EZ 

El problema de la atracción queda, por lo tanto, resuelto 
para los puntos exteriores á la masa atrayente; pero al pro- 
blema de las atracciones va unido el de la potencial; prime- 
ro, porque simplifica aquél, y además, porque constituye 
por sí una teoría importantísima, y en la ciencia actual más 
aún, por sus enlaces con la teoría de la energía, que se halla 
tan en moda. 

A primera vista, parece que para determinar la potencial 
del sistema, basta repetir los razonamientos anteriores. 

La potencial de la masa d m, con relación al punto P, será 


— 511 — 


evidentemente, como ya hemos demostrado en otras conte- 
rencias, 


d m 
” 2) 
Ó bien 
oda db de 
e 


y por lo tanto, la potencial de toda la masa comprendida en 
S, parece que será una integral triple, como lo eran X, Y, Z. 
Es decir, llamando Uá la potencial para el punto P 


A oda db de 
vol F 


Integral perfectamente definida, para la cual podemos re- 
petir las explicaciones anteriores, y que, una vez efectuadas 
las integraciones, será una función de X, y, Z, que repre- 
sentará la potencial en el punto P. 

En efecto, así es; pero la demostración no es inmediata, 
por más que sea sencillísima. 

Y no es evidente, como para el cálculo de X, Y, Z, pot- 
que si la suma de los componentes de los diferentes ele- 
mentos de una masa sobre un punto exterior es la compo- 
nente de la masa total, aunque el número de términos sea 
infinito; en cambio, la potencial de una suma no es evidente 
que sea la suma de las potenciales cuando es infinito el nú- 
mero de términos. 


u=ff pda db de 
vol Ñ 


será una integral perfectamente determinada, pero no pode- 
mos asegurar que sea la potencial de la masa para el pun- 
to P, si no demostramos que la diferencial de U, con relación 


— 512 — 


á x, es X; que la diferencial de U, con relación á y, es Y, 
y que la diferencial de U, con relación á z, es Z. 

Esta es la propiedad caracteristica de la potencial ó de la 
función de fuerzas, y esto es lo que vamos á comprobar 
ahora. 

Diferenciemos, por ejemplo, U' con relación á x, y ten- 


dremos: 
e f e pdadb dc 
dE dEl, a L ió 


dx dx 


y este segundo miembro debe ser precisamente el valor 
de X. Al pronto parece que esto es evidente, porque dife- 
renciando dentro de las integrales, tendremos 


yá ppt 


1 E 
SPA eS o da do de = ff. odadpac A 
dx vol dx yol Fe 
=p ff odadbde EE, 
vol pe 


que es, en efecto, el valor de X; pero es que el signo dife- 
rencial no siempre puede pasar del exterior al interior en las 
integrales. La diferenciación bajo el signo integral tiene sus 
reglas, y es preciso ver si en este caso puede diferenciarse 
directamente bajo el signo integral. 

Puede, en efecto, en este caso efectuarse dicha diferen- 
ciación, con lo cual la demostración es correcta, y la expre- 
sión de U que hemos escrito, expresa realmente la potencial 
del sistema continuo sobre un punto cualquiera exterior. 

Tenemos, pues, para este caso resueltos los dos proble- 
mas: el de las componentes de la atracción y el de la poten- 
cial, y todas las consecuencias que dedujimos serán legíti- 
mas y podemos reproducirlas con sólo enumerarlas. 


== Dia. 


Las componentes de la atracción de la masa contenida en 
S sobre un punto P quedan determinadas. 

Estas tres componentes son las derivadas con relación á 
Xx, y, z de la integral U, que representa la potencial, supo- 
niendo f= 1 y si no con relación á FU. 

Cada punto exterior tendrá una potencial determinada, 

La masa.encerrada en S ó cualquier otra masa continua, 
determinará una serie de superficies equipotenciales en el 
espacio que le rodea. 

Determinará asimismo una serie de líneas de fuerza, que 
cortarán normalmente al sistema de superficies equipoten- 
ciales. 

Dicho sistema de líneas de fuerza podrán agruparse en 
tubos de fuerza, normales todos ellos á las superficies de 
igual potencial. 

En cada punto del espacio, la fuerza atrayente de la masa 
continua que consideramos, será tangente á la línea de fuer- 
za que pasa por dicho punto, y, por lo tanto, normal á la 
superficie equipotencial. 

Dicha fuerza atrayente actuará en el sentido de la menor 
á la mayor potencial, y su intensidad será igual á la deriva- 
da de la potencial tomada con relación á la normal, á la ex- 
presada superficie equipotencial. 

Asimismo, la componente de la fuerza atractiva en cual- 
quier dirección, será la derivada de la potencial en la direc- 
ción de que se trata. 

Los teoremas relativos al flujo de fuerzas en superficies 
cerradas, mejor dicho, los dos primeros teoremas subsisten 
íntegros para este caso. Es decir, el flujo por una superficie 
cerrada exterior á la masa continua es nulo, y el flujo á tra- 
vés de la superficie que la envuelve por completo, es igual 
á 4 M, siendo M la masa atrayente. 

Claro es que el tercer teorema tomado al pie de la letra 
no tiene aplicación, porque un volumen no puede distribuir- 
se sobre una superficie. 


— 514 — 


Por último, subsisten íntegros los teoremas relativos á los 
tubos de fuerza exteriores, á la masa atrayente y á la ecua- 
ción de Laplace, como luego veremos. 

No hemos hecho, en lo que precede, otra cosa que repetir 
palabra por palabra todos los teoremas relativos á atraccio- 
nes y potenciales para las masas discontinuas. 

Podríamos pasar ya, probablemente pasaremos en la con- 
ferencia próxima, al caso en que el punto P está en el inte- 
rior de la masa atrayente. 


Pero antes, para completar estas explicaciones y salva: 
toda duda que á mis alumnos pueda ocurrir, he de volver á 
un punto que tiene importancia, no sólo para este proble- 
ma, sino para otros análogos. 

Vamos á recordar para ello, muy á la ligera, un problema 
de cálculo integral. 

Para demostrar que U, expresada por la integral triple 
que antes obtuvimos, es realmente una potencial de la masa 
continua encerrada en S, decíamos que era preciso y era 
suficiente demostrar que las derivadas de U con relación á 
x, y, z, eran precisamente las componentes X, Y, Z, de la 
atracción en cualquier punto P. 

Y á primera vista la demostración era inmediata, porque 
para diferenciar, por ejemplo, la integral triple con relación 
á Xx, y, z, bastaba pasar la diferenciación al interior de la in- 
tegral triple, y en este caso no había más, toda vez que 


. . . . 1 r 
S, a, b, c, son distintas de x, que diferenciar — pues sólo 
r 


en r entran las variables de la diferenciación x, por ejemplo, 
si se trata de X; y, z, cuando se trate de Y, Z. 


Pero la diferencial de —, por ejemplo, con relación á x, 
ñ 


— 515 -- 


A-— Xx ; 
sabemos que es ON lo cual, como decíamos, la de- 
Í 


mostración es inmediata. 

- Mas para que sea legítima tal demostración, es preciso 
que lo sea la diferenciación bajo el signo integral, y preci- 
samente este es el problema de cálculo integral que voy á 
recordar á mis alumnos, aunque ya de antemano deben sa- 
berlo. 

De todas maneras, el recuerdo no creo que sea completa- 
mente inútil. 
Supongamos que se da la integral 


4= [Tuna 


en que x es la variable de la integración, « un parámetro; 
y para considerar el caso más sencillo, a, b, serán dos 
constantes. 

Claro es que, efectuada la operación, la x desaparecerá, y 
el segundo miembro no contendrá más que a, a, b. 

Si a, b, son constantes, y, por lo tanto, independientes 
de «, podemos afirmar que A es una función de a. Es decir, 
que la ecuación anterior puede escribirse explícitamente en 
esta forma: 


A (a) = 7 NOS 


Y ahora se presenta este problema: Obtener la derivada 
de A con relación á a. 
Ea ó abreviadamente de ; 
(04 a 


Es decir 


Claro es, que habiendo efectuado la integración y habien- 
do obtenido la forma de A en función de «, es decir, A (2), 
no habría más que aplicar los métodos generales de diferen- 
ciación. 


dA (a) E 


da 


— 516 — 


Pero no es este el caso, que se conoce con el nombre de 
diferenciación bajo el signo integral; el problema es obtener 
la derivada de A con relación á « sin efectuar la integración. 
Es decir, obtener una forma analítica de esta derivada. 

Es un caso particular de otro problema mucho más gene- 
ral, que planteábamos en las conferencias del curso prece- 
dente, á saber: resolver problemas y efectuar transforma- 
cienes y descubrir propiedades de funciones definidas por 
ecuaciones diferenciales, sin efectuar las integraciones, par- 
tiendo sólo de las ecuaciones diferenciales mismas. 

Pues aquí se nos presenta este problema: hallar la deriva- 
da de A con relación á a sin efectuar la integración del se- 
gundo miembro. 

Y esto, á primera vista, parece muy sencillo. 

Una integral es una suma de un número infinito de térmi- 
nos, que tienden á cero y crecen en número, según cierta ley; 
y cuando la integral tiene realidad matemática el límite de 
dicha suma está perfectamente determinado. 

Pues descompongamos el segundo miembro en sus ele- 
mentos, que para abreviar representaremos esquemática- 
mente por los subíndices O, 1, 2, 3....., suponiendo, como 
siempre, que dx es un infinitamente pequeño, idéntico para 
todos los términos, y tendremos 


A(a) =[f (a, x)lo dx + [f (0, x)], dx + [f (0, x)], dx + couo. 


El segundo miembro es una suma, y todos sus términos 
son funciones de 2; y como la derivada de una suma es la 
suma de las derivadas de los diferentes sumandos, tendre- 
mos, al parecer evidentemente, 

du da 


La x, claro es, que varía de un elemento á otro de la in- 
tegral, y tomará los valores a, a + dx, a + 2dxX...... b, que 


ren E) [a Ea lentes E) | dx + a za) La e. 


— 517 — 


es lo que hemos expresado abreviadamente y en forma sim- 
bólica por los subíndices. 

En cambio, si x varía de un elemento á otro de la inte- 
gral, a tiene el mismo valor para todos ellos, porque es un 
parámetro constante respecto á la integración. 

Volviendo á la forma de las integrales, puede escribirse 
el segundo miembro de este modo: 


dA (a) = |. d f(a, x) o 
da E da 


Luego el problema se resuelve pasando la diferenciación 
con relación á a dentro de la integral. Es decir, diferencian- 
do el coeficiente diferencial de la ecuación primitiva f (a, x) 
con relación á «, que es donde únicamente entra esta varia- 
ble de la diferenciación, toda vez que hemos supuesto que no 
entraba ni en a ni en b y que dxen la diferenciación con re- 
lación á « es una constante. 

Y ya tenemos el problema resuelto, como nos habíamos 
propuesto. Es decir, derivar A con relación á a sin efectuar 
la integración del segundo miembro. 

Claro es que esta derivada no se nos presenta bajo forma 
finita, sino bajo forma de una integral, que no se ha efectuado 


5 >b 
f A 6 bien f Pola x) dx. 
2 


Pero esto no importa, porque dicha integral está perfecta- 
mente definida, toda vez que conocemos la forma analítica 
del coeficiente diferencial f”¿ («, x), que se obtiene por una 
diferenciación con relación á « de la función conocida, pues- 
to que es un dato, f (2, x). 

Parece, pues, que al menos cuando los límites de la inte- 
eración son constantes, el problema se resuelve, como se 
dice vulgarmente, diferenciando bajo el signo integral. 

Y, sin embargo, si esto es exacto muchas veces, otras 


— 518 — 


muchas no lo es, y la demostración anterior no es, por lo 
tanto, absolutamente rigurosa. 

Vamos ahora á precisarla: 

Hemos visto que 


| O E x) Ja do | a+ [1] a 


y al pronto creíamos que esta ecuación era rigurosa, pot- 
que estamos acostumbrados á afirmar que la derivada de una 
suma es igual á la suma de las derivadas, lo cual es cierto 
cuando el número de sumandos es finito, pero no es eviden- 
te cuando es infinito el número de sumandos. 

Partamos, en efecto, de la ecuación 


A(a) =[f (2, x)], dx + [f (a, x)], dx + [f (a, x)]2 dx + e 


que es el desarrollo de la integral en suma y que tiene sen- 
tido riguroso, puesto que suponemos que la integral existe. 
Demos un incremento Au á la variable a. de la diferenciación 
y tendremos 


A(a+4a)=[f(a + Aa, x)]p dx + [f(a 4 Aa, x)], dx +... 
y restando de esta ecuación la anterior, obtendremos 
A(u+ Aa) — A(2) = [fa + Au, x) — F (a, x)], dx 


+ La + Au, x) — (a, x)), dx 
+ [fa + Ao, x) — f (9, x)], dx 


y dividiendo ambos por Aa 


A(a-+ Aa) —A (2) A —ÉÁ De 
Au Aa 0 
4 A Jas 


O 


Ya sabemos que en el segundo miembro sólo varía de un 
término á otro el valor de x, al cual se refieren precisamente 
los subíndices 0, 1, 2...... 

Pasemos ahora al límite, suponiendo Ax infinitamente pe- 
queña, y tendremos 


ó bien dividiendo el segundo miembro en dos grupos 


de + 20 ue (2) ee 


paola lala 


EN QUE YAA o en Isela: son cantidades infinitamente pe- 
queñas, que en el límite se reducirán á cero. 

Pasando, pues, al límite, el primer miembro será la deri- 
vada de A con relación á « y el primer grupo del segundo 
miembro podrá ponerse bajo la forma de integral. Así: 


3 
dA(a) _ / A e oo do 
du 7 du 


Si la suma del segundo miembro fuese una suma de un 
número finito de términos, dicha suma Ay 4-41 + Mo cc... en 
el límite sería igual á cero; pero como su número es infini- 
to, ya no es evidente que dicha suma tienda á anularse. 

Es preciso demostrar en todos los casos que (A, +A, + 
Mam.) dx tiende hacia cero á medida que tiende hacia 
cero Aa, 


— 520 — 


Ahora bien, si todas las 1 tienden hacia cero y la mayor 
de ellas tiende también hacia cero al mismo tiempo, ten- 
dremos 


siendo L el máximo valor de las cantídas 2, y entonces, 
si L (b—Aa) tiende hacia cero con A a, tendremos rigurosa- 
mente 


PACO he A 
o 
y se podrá diferenciar bajo el signo integral. 

Claro es que el problema es más complicado cuando la 
variable « de la diferenciación entra en los límites a, b. 

El estudio completo de este problema puede verse en 
cualquiera de los tratados modernos de cálculo integral. Re- 
cordemos, sin embargo, brevemente el caso en que el límite 
inferior es variable, y lo que de él digamos podremos decir 
del límite superior con sólo cambiar un signo. 


Nos proponemos diferenciar la integral. 
a 
a0= [1604 
b 


siendo b función de 2: b=04 (2). 

Sólo indicaremos las líneas generales de la demostración 
sin entrar en pormenores y sin repetir las consideraciones 
que quedan apuntadas para el caso en que los límites son 
constantes. 


— 521 — 


Demos un incremento á a en la ecuación 


a 
A(u)= f F(%, a) dx 
o (a) 
y tendremos 


a 
aurao= | f(x, a+ Au) dx 
o (au + Aa) 


y restando de esta ecuacion la anterior y dividiendo por Aa, 
según se hace siempre para diferencial, resultará 


a q 
de Fueranas— |] Fx, 0) dx 
A(a+ Ad) A(u) _ “¿(U4As) AO) 
Aa Aa 


Pasando al límite el primer miembro será evidentemente 

la derivada que buscamos A = A' (a). En el segundo 
(os 

miembro podremos substituir en vez de e (24 Ax) su valor 


o (2) + y (a) Aa, con lo cual la primera integral se convet- 


tirá en 
a q 

ól Fa aaar= | ax, a+ Aa) dx 
o (2 + 41) o (2) +0 (2) Aa 


y como el límite inferior es una suma, podremos descompo- 
ner la integral en la diferencia de dos integrales 


a o (2) + v' (a) Ax 


rc 


o() +0 (2) Aa o (2) o (2) 


— 522 — 


con lo cual la ecuación precedente se convertirá en 


A” (a) = límite 
9 (2) +9 (2) Am 


a a 
y sr trada— | Fix a+ apa |] f(x, x) da 
2 (a) 2 (2) 2 (2) 


_ A _  _ _—___ o. _»>>E____  __—__—_ _—_____ ---------=z-=-==-==>=->-v>3H=>==z>=AHA=---=AH--A.I A 


A” (a) = límite 

a o(a) + w” (2) Ax -3 
02 Ad f (ajax 1 : ON 

| (2) d di o 


Pero la primera parte del paréntesis corresponde eviden- 
temente al caso en que los límites no varían y en que se ha 
efectuado la diferenciación bajo el signo integral, en cuya hi- 
pótesis queda la derivada de f con relación á «., y tendremos 

9 (2) + e (2) Ax 


194 

a=/ An dx — límite IÑ Fx,a+Aa)dx. 
« a 

o (2) o (2) 


Vamos á simplificar el último término de la ecuación an- 
terior, que puede ponerse bajo esta forma 


o(a) + o (1) Ax 
E / (7 (x, a) + ES) E) sa) Ax: 
Au e) du 


De la segunda parte puede prescindirse, si suponemos 
que la derivada de f con relación á « es una cantidad finita, 
porque los límites de la integral sólo difieren en una canti- 
dad infinitamente pequeña, que es 9” (a)Aa, de modo que se 
integra entre dos valores de x, que difieren en un infinita- 
mente pequeño, y en rigor esto es diferenciar la cantidad 
que está bajo el signo integral para el valor g(«). 


— 523 — 


O de otro modo: se puede suponer, que el paréntesis es 
constante y sacarlo fuera de la integral por uno de dos valo- 
res 0 (a) prescindiendo de la última parte que es infinita- 
mente pequeña, puesto que contiene Á a, 

Tendremos, pues, 


e) +2 (sa : 
sun f dx $ (0), 2) lo 
? (2) 


o (a) + 0" (2) Au 
o (a) 


ó bien 
1 , 
a (2) 2) lo (1) + Y (a) Au — e (2)] 
que en el límite es 


(o (2), a) y” (a). 


Así, pues, tendremos para la derivada que buscamos 


o Tap 107 (o, 
9 (2) 


De modo que no hay más que restar, de la fórmula que co- 
rresponde al caso en que los límites son constantes, un tér- 
mino que representa el resultado de sustituir en la función f 
en vez de x el límite inferior multiplicando este resultado 
por la derivada del límite inferior con relación á a. 

Esta fórmula, que parece un tanto extraña, toma un senti- 
do clarísimo y es casi intuitiva si á la integral se le da una 
representación geométrica: la de un área; porque este térmi- 
no representa el rectángulo infinitamente pequeño que pier- 
de la integral por el incremento del límite inferior y” (a) Au 
que corresponde á la variación de «. 

En efecto, este rectángulo tiene por base esta última ex- 


Rev. AcaD, DE CreNCcIAaSs —X,—Enero, 1912. 34 


— 324 — 


presión y por altura el valor de f para dicho límite inferior. 
Mas estas son consideraciones elementales, que conoce- 
rán mis alumnos ó que recordarán desde luego por las indi- 
caciones que preceden. 
Un resultado análogo se obtiene cuando el límite supe- 
rior es variable. Entonces el área que representa la integral 


qa da, es de- 


aumenta en un rectángulo cuya base es da = 
a 


cir, el incremento que recibe a por el que ha recibido «; y en 
que la altura será la última ordenada del trapecio curvilíneo 


que representa el área, ósea el valor de f (x, o.) para x = 0. 


Resultará por lo tanto un término que agregar, f (a, a) _ da. 


2 


En resumen, si se quiere diferenciar 


A a= |, a) dx 


sizndo a y b funciones de a, tendremos 


a 
dAG) da =| pl Y) da dx +f(a, a) qu da —/J(b, a) 


El da 
do. ' do. di 


y la derivada será 


A A 
| 


Todo esto con las restricciones que indicamos al prin- 
cipio. 

Y terminado este pequeño paréntesis, que he creído nece- 
sario, por el carácter elemental de estas explicaciones, con- 
tinuemos nuestra tarea. 

Para terminar esta conferencia completaremos la compa- 


— 525 — 


ración entre el caso de masas discontinuas y el de masas 
continuas, cuando el punto P, para el cual hemos de calcu- 
lar las atracciones y la potencial, es exterior á dichas masas, 
extendiendo á este último caso la propiedad de la potencial 
U de las masas discontinuas de satisfacer á la ecuación de 
Laplace. 

Podemos afirmar que la potencial U de un sistema de 
varias masas discontinuas, cuando se trata de puntos exte- 
riores á todas ellas satisfacen á la ecuación de Laplace. 

En efecto, hemos obtenido para U la expresión siguiente: 


lll pda db de 
U= AS 
vol P 


en que a, b, c son las coordenadas de un elemento cualquie- 
ra A de la masa comprendida en $, r la distancia del punto 
A á un punto P exterior á S (fig. 19) y en que el subíndice 
vol significa que la integral ha de extenderse á todos los ele- 
mentos del volumen que abarca $. 


Figura 19, 


d? 


— 526 — 


Hemos dicho que p es la densidad de cada punto, y es, por 
lo tanto, una función finita y continua de a, b, c. 

Si en vez de una masa continua como la comprendida en 
S, fueran varias, la demostración, que vamos á dar, sería la 
misma, y aun, si se quiere, la integral triple con su subíndi- 
ce, puede aplicarse á un número cualquiera de cuerpos. 

Ahora bien, la ecuación de Laplace sabemos que tiene la 
forma 


PU, 4U, deu 
dx * dy2 "dz 


luego para demostrar que la potencial de nuestro caso sa- 
tisface á esta ecuación, no hay más que diferenciar dos ve- 
ces U, con relación á x, dos veces con relación á y, dos ve- 
ces con relación á z, sumar las tres derivadas segundas, y 
ver si resulta una identidad o = 0. 

Ahora bien: como el punto es exterior, los valores de r 
nunca se reducen á cero, luego ningún elemento de la inte- 
gral será infinito; todos serán finitos, y si suponemos, como 
sucede en este caso, que la diferenciación bajo el signo inte- 
oral es legítima, tendremos 


A oda dodo 
ax? 
9 1 == 
== ll nabaco 
dy? .) vol 
e 

lle pdadbde- 

E 


Ú 1 1 


y sumando 


9 DIO Pes Di DEE 
A E ff f, sdaaoas z Pe as 
e da dx2 * dy2 * dz 


DO 


Pero hemos demostrado que el paréntesis del segundo 
miembro es idénticamente nulo; luego serán nulos todos los 
elementos de la integral, y tendremos satisfecha la ecuación 
de Laplace: 

da ayy Ea U OO 


= 0) 
es pa dy? E dz? 


Definitivamente y en resumen, el caso de las masas con- 
tinuas, cuando se trata de puntos exteriores, coincide punto 
por punto en sus consecuencias, con el caso de las masas 
discontinuas, lo cual intuitivamente se ve, y parece que so- 
bran todas estas explicaciones y desarrollos. Para un punto 
exterior á las masas atrayentes, sean éstas grandes Ó peque- 
ñas, ocupen mucho ó poco espacio, son en rigor como ma- 
sas discontinuas. 


Para terminar de una vez esta conferencia, haremos algu- 
nas reflexiones sobre la ecuación de Laplace, que hemos en- 
contrado y encontraremos en muchos problemas, y á la cual 
satisface la potencial de un sistema de masas, siempre que 
las variables x, y, z sean las coordenadas de un punto exte- 
rior. 

Esta ecuación de Laplace es clásica en la Física matemá- 
tica. Aparece en multitud de teorías; por ejemplo, en la teo- 
ría de la elasticidad; en la atracción newtoniana, como aca- 
bamos de ver; en la hidrodinámica, en la teoría del calor, en 
la teoría de la electricidad y en la del magnetismo, marcan- 
do ciertas analogías matemáticas entre todas estas ramas de 
la ciencia física. 

Tal coincidencia no puede menos de llamar la atención, 
y es natural que se busque una explicación para ella. 

¿Será que en el fondo de los diferentes grupos de fenó- 


— 528 — 


menos, que aparecen en el mundo inorgánico, haya algo co- 
mún; una unidad superior; esa, á la cual aspira siempre la 
ciencia, buscándola en todas partes y procurando llegar á ella 
por una serie indefinida de hipótesis ? 

A esta unidad aspiran la mayor parte de los físicos, aun- 
que hay muchos, sobre todo en los tiempos modernos, que 
acaso la niegan resueltamente, ó la ponen en duda, ó la 
consideran inaccesible. 

Pero problema es éste que dejamos para más adelante. 

¿Será, por el contrario, esta coincidencia á que nos refe- 
rimos, puramente accidental, procediendo, por decirlo de 
este modo, de un grado idéntico en las aproximaciones del 
cálculo, y, por lo tanto, no dependiendo de los hechos en si, 
sino de la manera matemática de expresar sus leyes? 

Expliquémonos más claramente por medio de un ejemplo. 

Imaginemos una serie de fenómenos reunidos en un gru- 
po que, para abreviar la explicación, llamaremos G; supon- 
gamos que un parámetro f del fenómeno depende de otro 
parámetro físico «, y que, Ó bien por resultados experimen- 
tales, Ó por la aplicación de ciertas hipótesis, dicho pará- 
metro f resulta función lineal de «. 

Esidecií 


AE [1] 


siendo A y B dos constantes. 

Admitamos asimismo que en otra serie de fenómenos físi- 
cos, completamente distintos de los anteriores y que repre- 
sentaremos por G”, se verifica una cosa análoga, á saber: 
que este nuevo grupo de fenómenos contiene dos paráme- 
tros variables f” y a”, y que también la aplicación del méto- 
do experimental ó determinadas hipótesis dan como ley 


aproximada una función lineal 


E ala [2] 


— 529 — 


Pues aquí también pudiera causar cierta sorpresa la coin- 
cidencia de las fórmulas (1) y (2); y el que fuera propenso 
al optimismo pudiera admirar la armonía de la Naturaleza, 
al ver que en fenómenos tan distintos, como hemos supuesto, 
que eran G y G”, las leyes de ambos fenómenos expresadas 
por los parámetros P, « y P”, a” resultaban idénticas en su 
forma matemática. 

Y, sin embargo, esta coincidencia y esta armonía es pura- 
mente en este caso una coincidencia de aproximación numé- 
rica, por decirlo de este modo; como en dos curvas comple- 
tamente distintas las ecuaciones de dos elementos conside- 
rados como pequeñas líneas rectas son también funciones 
lineales de dx, dy. 

¿Pues no pudiera suceder, que el hecho de encontrar la 
ecuación de Laplace en multitud de teorías, dependa en 
cierto modo de una aplicación matemática idéntica al expre- 
sar U en función de x, y, z? 

No discutimos esta segunda explicación de coincidencia, 
que, en todo caso, es digna de un estudio detenido. 

¿Será, por último, debida esta concordancia, 6, mejor dí- 
cho, esta unidad de las fórmulas matemáticas aplicables á 
diversos fenómenos de la Naturaleza, en una identidad del 
procedimiento lógico, que emplea en los casos más diversos 
la inteligencia humana para expresar los fenómenos por re- 
laciones matemáticas? 

La verdad es, que la fórmula de Laplace puede interpre- 
tarse siempre como la expresión lógica y hasta de sentido 
común de la aplicación de este principio: que en un espacio 
cerrado, si penetra algo en cantidad igual á la que sale, la 
variación de este algo en el espacio de que se trata es 
nula. 

Y este algo puede ser flujo de fuerzas, ó cantidad de caló- 
rico, ó flujo eléctrico, ó líquido incomprensible. 

Por ejemplo; si consideramos un paralelepípedo intinita- 
mente pequeño y la cantidad que entra de ese algo, por la 


— 530 — 


cara perpendicular al eje de las x, depende de una derivada 
de una cierta expresión V con relación á x, á saber: 


aos 
Y dz 
Y la cantidad que sale por la cara opuesta tiene una ex- 


presión análoga 
dv A > 
a + dx)dydz 


dx ales 


la diferencia será 


deny 
y? 


[04 


EN 


Y del mismo modo, para las caras perpendiculares á los 
otros dos ejes 


A dx dydz, 
dy? 


ol 


d?Vv 
dz? 


[04 


dx dydz. 


De modo que la variación en el interior del paralelepípedo, 
de ese algo á que venimos refiriéndonos, será la suma de las 
tres expresiones anteriores; y si queremos expresar que la 
variación en el interior del paralelepípedo es nula, tendremos 


a pal ed dx dy dz + cd dxdydz=0 
ap dy? dz? 
Ó bien 


2 2 2 
dae de V ye d?Vv pl 
dx? dy? dz? 


que es precisamente la forma de la ecuación de Laplace. 


— OS 


Ya expusimos un razonamiento parecido en el curso ante- 
rior, al estudiar la fórmula de Green, y no será esta la última 
vez que insistamos sobre tales analogías y semejanzas entre 
las teorías matemáticas aplicables á diferentes órdenes de 
fenómenos fisicos. 

Pasemos definitivamente al estudio de las atracciones y 
potenciales en el caso de masas continuas y para puntos in- 
teriores á dichas masas. 


— 532 — 


XXIV.—Nota escrita con motivo de la venida á Madrid 
del Principe Alberto I de Mónaco. 


POR JOAQUÍN GONZÁLEZ HIDALGO. 


Designado por esta Corporación para dar la bienvenida 
á Su Alteza Serenísima el Príncipe Alberto I de Mónaco, y 
para poner en conocimiento de este ilustrado auditorio algu- 
nos de los hechos que han servido de fundamento á la alta re- 
putación científica que le está reconocida á S. A. en todas 
partes, daré principio á mi relato, que será breve y sencillo 
porque carezco de aquella inspiración, de aquellos conoci- 
mientos y de aquellas dotes oratorias que sólo son patrimo- 
nio de contadas y conocidas personalidades. 

Pero cumplo gustoso el acuerdo de la Academia y confío 
en obtener la indulgencia de mis oyentes. 

Es innegable que en todos los adelantos que ha ido veri- 
ficando la humanidad desde los tiempos antiguos, y espe- 
cialmente en las épocas más modernas, se ha necesitado el 
concurso de dos grandes factores para la realización de 
aquéllos, y éstos son las condiciones antropológicas y la in- 
fluencia del medio. Respecto á las primeras, es una verdad 
bien reconocida que no todos los seres de la especie huma- 
na que se van sucediendo en la superficie de nuestro globo 
tienen el mismo desarrollo en órganos semejantes, ni la 
misma intensidad funcional en cada uno de éstos, ni tam- 
poco vienen al mundo en iguales condiciones sociales, lo 
cual hace que su vida futura sea tranquila, ó más ó menos 
azarosa, y que durante ella tengan mayor 6 menor aptitud ó- 
ayuda para las artes manuales ó los estudios científicos. 

Las condiciones antropológicas serán inmejorables para 
esto último si el cerebro de los individuos se halla tan pode- 


— 533 — 


rosamente organizado que una gran memoria conserva en 
él todas las impresiones recibidas por sentidos también muy 
perfectos, y si un perspicaz entendimiento coordina á ma- 
ravilla todos los elementos de juicio que le han sido apor- 
tados sucesivamente. Mas no basta esto; es preciso también 
que una enérgica y persistente voluntad le impulse á la rea- 
lización de algún ideal que en él haya surgido y pueda ven- 
cer la influencia del medio, si éste es adverso, Ó en casos 
más favorables otras influencias mundanales ó poco cientí- 
ficas, que pudieran anular la más útil para sus fines. 

Dos ejemplos pueden presentarse, entre otros muchos, de 
estos seres privilegiados y de la influencia del medio: Edison 
y S. A. Serenísima. Hijo del pueblo el primero, escaso de re- 
cursos, con instrucción en un principio deficiente, su envi- 
diable cerebro logró vencer todos los obstáculos materiales 
y obtener la admiración del mundo científico por sus nota- 
bles descubrimientos. Descendiente de Príncipes S. A., con 
educación esmerada, dotado de bienes de fortuna, favo- 
recido, además, por naturaleza como lo fué Edison, tam- 
bién tuvo sus ideales, también los ha realizado y se ha ren- 
dido homenaje mundial á su nombre, como yo tengo gran 
satisfacción en hacerlo en este momento. 

La poderosa voluntad de ambos hombres de ciencia ha 
sido la causa determinante de los resultados científicos que 
han obtenido; en el primero, venciendo los obstáculos mate- 
riales; en el segundo, apartándole conscientemente de todo 
aquello que pudiera distraerle de los fines que se había pro- 
puesto conseguir. 

Vistos y juzgados estos y otros hombres científicos por los 
individuos de cultura limitada, son reputados como seres dis- 
traídos ó insociables, siendo precisamente esas particularida- 
des que se juzgan defectos los indicios de una concentración 
de su espíritu en la resolución de problemas más ó menos 
útiles á la sociedad, y que ésta en gran parte no llega á 
comprender, aun cuando luego disfrute de sus beneficios. 


— 534 — 


Los hombres inteligentes tienen, por regla general, afición 
á cualquier clase de estudios, rectitud de juicio, elevación 
de miras, espíritu altruista; y estas cualidades, no sólo re- 
dundan en provecho de sus semejantes, sino en el suyo pro- 
pio, puesto que así adquieren el privilegio de gozar de una 
Telicidad mayor y más duradera que los otros hombres, du- 
rante la mayor parte de su existencia. 

El trabajo intelectual influye de un modo notable en la du- 
ración de la vida; los sabios, escritores y hombres que Se 
distinguen por su inteligencia, llegan, por término medio, á 
una edad bastante avanzada. El ejercicio ordenado y cons- 
tante de las funciones cerebrales comunica mayor actividad 
al sistema nervioso periférico y éste á todos los órganos en 
que se distribuye, los cuales se fortifican más aún por el ré- 
gimen de vida tranquilo y sosegado que suelen seguir los 
hombres pensadores. Desempeña, además, un papel impor 
tante el dominio que tienen los individuos más inteligentes 
sobre algunas pasiones ó inclinaciones que son perjudiciales 
á la salud, y para evitar varias de las causas que ponen en - 
peligro la existencia. En las pérdidas de seres queridos y 
otras contrariedades inevitables de la vida, también se ami- 
nora su sufrimiento, recurriendo á sus libros, á sus colec- 
ciones, á sus investigaciones favoritas, y este alivio en el 
padecer contribuye igualmente á la conservación de su or- 
ganismo. Con sólo echar una ojeada á la publicación alema- 
na Nature Novitates, donde cada quince días aparece la ne- 
crología de los hombres de ciencia, es fácil notar que los más 
significados de éstos por sus estudios y publicaciones cientí- 
Ticas, suelen vivir hasta los ochenta y noventa años, habien- 
do algunos, como el químico francés Chevreul, que llegó á 
los ciento, y el naturalista alemán Philippi, fallecido á los 
noventa y seis, que conservaron hasta ese momento íntegras 
sus facultades intelectuales. Esta condición es casi constante 
en los hombres cientificos de mucha edad, por lo cual las na- 
ciones ilustradas los conservan en los puestos que desem- 


— 5359 — 


peñan, á pesar de sus años, porque no dejan de cumplir cor: 
sus obligaciones y de producir todavía notables trabajos por 
el caudal científico que han acumulado con una labor cons- 
tante. 

El influjo del medio le experimentan todavía de otra ma- 
nera que la puramente material los hombres nacidos para 
los estudios científicos. ¿Por qué tal individuo se dedica á 
las investigaciones químicas, por qué tal otro á los estudios. 
histológicos, por qué un tercero á la contemplación del mun- 
do sideral, y por qué otros muchos á los distintos ramos de 
las ciencias que se conocen en los tiempos presentes? Sin 
duda alguna, por la impresión recibida de hechos ú objetos. 
determinados que fijan su atención de un modo más ó menos 
permanente, ó por relaciones establecidas con personas que: 
ya están dedicadas á diversos estudios, y cómo asimilan gran 
parte de los conocimientos de éstas, agregando el producto 
más ó menos valioso de su propia inteligencia, queda esta- 
blecida de un modo lógico y natural la ley del progreso, 
merced á la cual contemplamos con asombro las maravillas 
científicas de la época actual, quedándonos el sentimiento 
de no conocer las que verán nuestros descendientes. 

Las ligeras consideraciones antes expuestas acerca de las. 
condiciones antropológicas y la influencia del medio en la 
producción cientifica y de las diversas aptitudes que pueden 
observarse en los hombres de ciencia, que han realizado de 
una ú otra manera el fin que se habían propuesto, me Servi- 
rán de guía para dar á los oyentes una idea de la inmensa 
labor ejecutada por S. A. durante un periodo de más de vein- 
tiséis años, con una constancia admirable y un altruismo de. 
que se ven pocos ejemplos. 

Ni es lisonja ni causará extrañeza alguna que vuelva á re- 
petir aquí lo pródiga que fué la naturaleza con S. A. el Prín- 
cipe respecto á sus facultades intelectuales, pues esto es ya 
una verdad demostrada por hechos que luego citaré, ni tam- 
poco de que su posición socíal ha sido de las más favorables. 


— 536 — 


para todo aquello en que ha ocupado su inteligencia. El rum- 
ba que ésta siguió cuando ya el organismo había terminado 
su crecimiento, fué determinado sin duda por las circunstan- 
cias en que se desarrolló la juventud del Príncipe. Sí recorda- 
mos su residencia á orillas del mar, sus instructivos viajes, 
sus relaciones con diversos naturalistas, los años que navegó 
en la marina de guerra española y su conocimiento de las 
exploraciones verificadas por los buques Porcupine y otros 
en el Atlántico y el Mediterráneo y por el Challenger, alrede- 
dor del mundo, juzgaremos muy natural que esta preparación, 
casi involuntaria, ha sido sin embargo la que le decidió por 
la clase de estudios á que se ha dedicado desde entonces. 

Resuelto ya á ir completando el conocimiento de las ma- 
ravillas y misterios de los mares, puso manos á la obra, habi- 
litando el buque Airondelle para sus primeras expediciones, 
y con la experiencia en ellas adquirida, mandó construir otro 
más adecuado para el objeto, que denominó Princesa Alicia, 
y más adelante otro mejor aún con el nombre de Princesa 
Alicia núm. IH. Sólo examinando y muy despacio el interior 
de estos buques, donde están acumulados aparatos y utensi- 
lios á cual más diversos para todo lo que se relaciona con 
esta clase de exploraciones, puede comprenderse hasta dón- 
de ha llegado su interés científico y su estudio, sirviéndose 
con éxito de todos los aparatos conocidos y perfeccionando 
muchos de ellos por una apreciación exacta de algunas defi- 
ciencias observadas durante su empleo. 

En sus repetidos viajes marítimos, que han sido más de 
veinte desde el año 1885 hasta el presente, todo ha sido pre- 
parado bajo su dirección, hasta en los menores detalles, vi- 
gilando y enterándose de las operaciones de sondeo y de 
dragado practicadas, al mismo tiempo que tomaba notas de 
lo que debía servirle para la publicación de la parte corres- 
pondiente á sus trabajos y de lo referente á los seres natu- 
rales recogidos que habían de ser descritos por especialistas 
«de su confianza. 


— 537 — 


Con los buques de su pertenencia exploró las aguas y los 
fondos del Atlántico en los sitios siguientes: desde Lorient á 
Terranova, Spitzberg, islas Amsterdam, Faroer y de los Da- 
neses, costa de Noruega, Golfo de Gascuña, desde Santan- 
der á Vigo, costa de Portugal, islas Berlengas, mar de Sar- 
gazos, islas Azores, de Madera y Cabo Verde, islas Canarias 
y estrecho de Gibraltar; y en el Mediterráneo, costas de Ma- 
rruecos, Argelia, Sicilia, Italia, de Valencia en España, é 
islas Baleares, de Córcega y de Cerdeña. | 

Las exploraciones verificadas lo han sido por medio de 
sondas, nasas, dragas, termómetros, totadores y otros apa- 
ratos que han servido para conocer con más exactitud los 
hechos siguientes: el relieve de una parte del fondo del At- 
tántico y del Mediterráneo, y, por lo tanto, las desigualda- 
des del mismo y los sitios en que la profundidad llega á su 
máximum, la dirección de las corrientes superficiales del 
Atlántico, la existencia y dirección de las corrientes profun- 
das, apreciadas por el análisis físico y químico de las aguas, 
cuando éstas han sido recogidas en series verticales en tres 
puntos del Océano dispuestos en triángulo, la temperatura 
de las aguas del mar en la superficie, en el fondo ó á dife- 
rentes alturas, tanto en el Océano como en el Mediterráneo 
ó en diferentes latitudes del Atlántico, la densidad y compo- 
sición de las mismas y su examen bacteriológico, la natu- 
raleza y composición de las muestras del terreno del fondo de 
los mares y la obtención de multitud de seres vivientes en 
el plankton, 6 á diferentes profundidades. También se han 
hecho observaciones meteorológicas á bordo, y se han reco- 
gido animales y plantas en los sitios donde se ha desem- 
barcado. 

El resultado de todas estas expediciones científicas ha sido 
la publicación de unas 500 noticias, artículos Ó memorias 
más ó menos extensas, debidas á S. A. el Príncipe ó á mu- 
chos hombres científicos de distintos países. Aquellas de que 
es autor S. A. son en número de 82, aparecidas desde 1885. 


— Y38 — 


hasta 1910, todas interesantes, y de las cuales citaré algunos. 
títulos: Corrientes del Atlántico. Corriente del Golfo de Mé-= 
jico. Dragados en el Golfo de Gascuña. Empleo de las nasas 
para recolección de animales en aguas profundas. Dinamó- 
metro y sondas empleadas en las expediciones del Hiron- 
delle. Nuevos aparatos empleados para la recolección de los. 
animales pelágicos y de los que viven á diferentes profun- 
didades. Lanzamiento de globos sondas en los Océanos. Cur- 
vas barométricas observadas á bordo del Hirondelle. Pro- 
yecto de observaciones meteorológicas en el Atlántico y 
creación de observatorios de esta índole en las islas. Viaje 
al Spitzberg. La pesca de la sardina en España. Alimenta- 
ción de los navegantes que han naufragado en alta mar. Des- 
arrollo de las tortugas. Empleo del aceite para calmar el 
oleaje del mar, etc., etc. 

Los restantes trabajos han sido hechos por un centenar 
de especialistas, á quienes ha facilitado S. A. los datos y las. 
colecciones de muestras y seres naturales, reunidas con su 
perseverante trabajo de tantos años. 

En varios de estos escritos se dan á conocer los caracte- 
res, manera de vivir y lugar donde se han encontrado mu- 
chas especies de peces, de cangrejos, conchas y caracoles de 
todas clases; cefalópodos, holoturias, medusas, erizos y es- 
trellas de mar; braquiópodos, esponjas, foraminiferos, etc., 
mencionándose igualmente las aves, insectos, miriápodos,. 
arácnidos y plantas recogidas en las islas Ó tierras visitadas. 

En otras memorias se trata del color de las aguas del mar; 
de la composición, densidad y alcalinidad de éstas, como 
también de su análisis bacteriológico; de los sedimentos del 
fondo del mar, de la naturaleza de las muestras sólidas arran- 
cadas del fondo por las sondas; de la existencia del arsénico 
en la composición del cuerpo de ciertas esponjas, y de otros 
varios asuntos que sería prolijo enumerar. 

Tan interesantes fueron las expediciones y las publicacio- 
nes de S. A., que al poco tiempo de iniciadas, en 1889, esta 


ME a 


misma Academia tuvo la honra de admitirle como miembro 
corresponsal, á propuesta de varios académicos, ya difuntos, 
y del que aún vive para reterirlo. 

Á este acto de reconocida justicia ha correspondido esplén- 
didamente S. A. el Príncipe, donando á la Academia todas 
las publicaciones de que antes se ha hecho mérito, y que 
también se imprimíeron á sus expensas, con todo lujo y con 
magníficas láminas que sirven para la mejor comprensión del 
texto. 

En la biblioteca de esta corporación pueden consultarlas 
todos los que tengan afición á esta clase de estudios, y como 
no es posible dar ahora una idea de su contenido por el mu- 
cho tiempo que en ello habría de emplear, me limito en este 
momento á la mención de algunos datos nuevos y curiosos 
dados á conocer en esos volúmenes. 

De los repetidos sondeos verificados por S. A. en el Atlán- 
tico y Mediterráneo con instrumentos apropósito para ave- 
riguar la profundidad en diversos sitios, como también la 
temperatura de las aguas, las corrientes de éstas y la natu- 
raleza ó estado del fondo de dichos mares, queda consigna- 
do en dichas publicaciones lo siguiente: 

1.2 Que la mayor profundidad alcanzada con la sonda 
en sus exploraciones ha sido la de 6.035 metros. 

2.2 Que al SO. de Fayal, en las Azores, hay un banco de 
215 kilómetros de circunferencia, con una profundidad mí- 
nima de 44 metros, muy abundante en pesca, al cual ha dado 
S. A. el nombre de Princesa Alicia; además, una depresión 
muy considerable del fondo del mar cerca de las mismas is- 
las, que denominó Fosa de la Hirondelle, en que la sonda 
llega á 3.075 metros, y otra mayor aún, Fosa de Mónaco, 
al SO. de Madera, con 5.530 metros de profundidad. 

3.2 Que en el fondo de los mares citados no hay agua 
inmóvil á 4? de temperatura, como antes se creía, sino di- 
versas temperaturas (según las corrientes observadas), bas- 
tante menores en el Atlántico que en el Mediterráneo, sien- 


Rev. Acap. vr Ciexcras.—X.—Enero, 1012, 35 


— 540 — 


do en éste generalmente de 23 á 26 grados en la superficie, 
y 13 en sitios más hondos, hasta la profundidad de 1.500 
brazas. 

4. Que el fondo del Océano está en buenas condiciones 
para la vida de los seres animales, mientras que el del Me- 
diterráneo está corrompido por la gran cantidad de materia- 
les que vierten en dicho mar el Nilo (desagiie del Africa 
Oriental) y varios ríos de Europa, notándose por eso la es- 
casez de seres vivos en las partes profundas del mismo. 

5. Que en el Estrecho de Gibraltar hay dos corrientes 
marinas en sentido inverso: una, superficial, del Atlántico al 
Mediterráneo, y otra, profunda, de éste al primero de dichos 
mares. Así, el agua de la superficie del mar, desde el Estrecho 
al Cabo de Gata, tiene la temperatura y densidad de las del 
Atlántico, que son menores que las del Mediterráneo, y la 
temperatura profunda del agua del Estrecho al salir del At- 
lántico es más considerable que la observada en el fondo del 
Océano, y más semejante á la del fondo del Mediterráneo. 

6. Que el análisis bacteriológico de las aguas del mar 
ha demostrado la existencia de gran número de microbios 
en las muestras recogidas en los puertos Ó cerca de las cos- 
tas, siendo escasos ó desapareciendo del todo á medida que 
se obtuvieron más lejos de éstas. 

7.2 Que las muestras del terreno del fondo del mar que 
rodea las islas Canarias, Cabo Verde y Madera son de natt:- 
raleza basáltica, y de piedra pómez las extraídas alrededor 
de las Azores. 

8. Que existe un miligramo de arsénico por cada kilo 
de materia seca de muchos espongiarios que viven en abun- 
dancia en el fondo del mar. 

Y 9. Que durante una de las expediciones, un temporal 
puso en peligro al buque explorador, comprobándose que 
tal vez debió su salvación al hecho de verter aceite poco á 
poco en las aguas del mar, lo cual disminuye la violencia del 
oleaje, según una op-nión antigua, recomendada por Fran- 


— 541 — 


klín en 1774, y con la cual están de acuerdo diversos nave- 
gantes. 

De la recolección de seres vivos á diferentes profundida- 

-des por medio de las nasas y las dragas, y, sobre todo, de 
los sitios más profundos, se ha confirmado más aún en las 
exploraciones de S. A. la existencia de la vida animal en 
esas regiones, con el descubrimiento de muchas nuevas es- 
pecies, además de las ya encontradas en la expedición del 
Porcupine. 

En parajes muy hondos y donde debe haber una obscuri- 
ridad completa, viven, sin embargo, animales provistos de 
ojos (como un calamar denominado Leachia cyclura y un 
pez nombrado Photostomias Guernei), los cuales pueden ver 
cerca de su cuerpo merced á unos aparatos luminosos que 
rodean el órgano de la visión en el primero, y que tiene el 
segundo debajo de las órbitas, y en dos series á lo largo de 
la línea ventral. Otras especies de los grandes fondos, como 
los cangrejos de los géneros Dorynchus y Munida, presen- 
tan ojos grandes y brillantes, á pesar de no estar dotados 
de aparatos luminosos como los seres mencionados. Y sin 
embargo, pueden servirse de sus órganos visuales, porque 
en los sitios donde viven hay muchos animales fosforescen- 
tes que iluminan las aguas de su alrededor. Entre ellos, me- 
recen citarse un erizo de mar, la Ophiacanta spinulosa, que 
da luces de un verde intenso, y una pluma de mar, la Pavo- 
nia quadrangularís, cuya tosforescencia es de un violeta 
pálido. 

Varios animales recogidos, y que difieren bastante de 
formas antes conocidas, son la Brisinga coronata, estrella 
de mar, de brazos muy largos y muy brillante cuando se la 
observa dentro del agua; unas esponjas que presentan gran 
número de espículas silíceas, ya muy largas y en disposición 
radiada como en la Tetilla longipilis, ya formando un fino 
enrejado, en que las espículas presentan cinco puntas, 
como en la Holtenia Carpenterí y otras. Examinando des- 


pacio lis memorias antes citadas, se encuentran todavía, 
en seres muy pequeños de diversos grupos, particularida- 
des de forma ó de organización, y por no ser muy difuso, 
terminaré esta ligera reseña mencionando tres especies de 
cangrejos y otras tres de calamares muy notables. Entre 
los primeros están el Nymphon abyssorum, cangrejo de cuet- 
po muy pequeño y extremidades muy largas, que le dan el 
aspecto de una araña; el Neolithodes Grimaldii, con el cuer- 
po y las extremidades erizadas de largas y puntiagudas es- 
pinas, y la Caprella spinossissima, á que se da el nombre 
vulgar de cangrejo esqueleto, porque realmente tiene ese pa- 
recido por su cuerpo largo y estrecho y la disposición de sus 
extremidades. De los Cefalópodos, los más curiosos son 
el Lepidoteuthis Grimaldii, con el cuerpo cubierto de esca- 
mas, como los peces; el Ctenopteris cyprinoides, que presen- 
ta dos aletas laterales grandes y con radios, como los pesca- 
dos, y el Grimalditeuthis Richardi, en que la parte inferior y 
terminal del cuerpo ofrece un apéndice estrecho, con una lá- 
mina en forma de corazón y muy trasluciente, tanto, que se 
puede leer al través de ella cualquier impreso. 

Con todo lo antes expuesto y á grandes rasgos, creo se 
ha comprendido hasta dónde llegó la pasión científica 
de S. A., el cual todavía ha traspasado esos límites con la 
creación de un edificio para conferencias científicas en Pa- 
rís, y la de un monumental palacio en Mónaco, con el título 
de Instituto Oceanográfico. En esta bien situada y preciosa 
construcción hay inmensas salas donde están expuestas con 
un gusto exquisito, á la vista del público, las colecciones 
referentes á Oceanografía y Zoología marina, y existen, 
además de una sala grandiosa para recepciones ó conferen- 
cias, numerosos y bien entendidos departamentos para la- 
boratorios, gabinetes de estudio, biblioteca, acuarios, etcé- 
tera, etc. 

La inauguración del Instituto Oceanográfico, verificada 
en 1010, y á la que asistí como delegado del Gobierno de 


— 543 — 


España y de esta Academia, fué un éxito inmenso para $. A. 
Altos dignatarios y Comisiones oficiales de diversos Esta- 
dos, centenares de profesores y naturalistas de todas las 
naciones, celebraron llenos de entusiasmo el servicio hecho 
á la ciencia por S. A., el cual ha dejado completa su obra 
con un espíritu eminentemente altruista, asignando una 
eran subvención en lo futuro para que las tareas por él em- 
prendidas sean continuadas en dicho Instituto por hombres 
científicos de todos los paises. 

Y con esto termino, felicitando sinceramente á S. A., y 
mostrándole á mi auditorio, con un elogio muy español y 
muy expresivo: Señores, he ahí una vida bien empleada. 


— 544 


XXV.—Apuntes sobre Mecánica social. 


POR ANTONIO PORTUONDO Y BARCELÓ. 


(Continuación.) 


LEYES DEL EQUILIBRIO Y DEL MOVIMIENTO 
DE UN INDIVIDUO 


Admitidos los Principios fundamentales, se pueden dedu- 
cir las leyes que rigen el equilibrio y el movimiento, cuan- 
do se considera por abstracción un solo individuo libre en 
un asunto y se conocen las fuerzas (relacionadas con el 
asunto) que actúan simultáneamente sobre él, unas ema- 
nando del interior del organismo del individuo natural y 
otras del exterior. 

EQUILIBRIO: Si un índividuo se halla libre y en reposo, 
teniendo una determinada posición en un asunto de carácter 
social, y es solicitado simultáneamente por varias fuerzas 
dadas en diversas direcciones y sentidos en el asunto, y con 
intensidades conocidas, cada una de las cuales tiende á mo- 
dificar la posición del individuo —sacándole del estado de 
reposo — para imprimirle un cierto movimiento con la velo- 
cidad que correspondiera á la intensidad de cada una de 
ellas, y en su dirección y sentido en el asunto de que se tra- 
te, es evidente —en virtud de su inercia y de la composición 
de las fuerzas —que (componiendo dos de las fuerzas y su 
resultante con una tercera, y asi sucesivamente) el efecto de 
todo el conjunto de fuerzas que actúan es equivalente al de 
la resultante final; por consiguiente, el efecto será nulo, y el 
individuo permanecerá en la misma posición que tiene, sin 
experimentar cambio alguno en el asunto — y como si se le 
hubiera dejado entregado á sí mismo —si aquélla resultante 


545 — 


final es nula, es decir, si en la representación simbólica, el 
llamado polígono representativo de las fuerzas es cerrado. 
Se dice entonces que el individuo libre está en equilibrio 
-bajo la acción de tales fuerzas; ó de otro modo: que las fuer- 
zas que actúan sobre el individuo se equilibran. Con este úl- 
timo modo de expresión se significa más claramente que — 
por sus direcciones y sentidos particulares en el asunto y 
por sus respectivas intensidades —las influencias están con- 
trarrestadas unas por otras. 

La ley, pues, del equilibrio del individuo libre aislado, es 
que el polígono representativo de las fuerzas sea cerrado, 
porque así como ésta es condición suficiente, es también ne- 
cesaria; es decir, que estando en equilibrio el individuo, ha- 
brá de cumplirse la condición necesariamente, pues de no 
ser cerrado el polígono, existiría una resultante final y á ella 
obedecería el individuo libre poniéndose en movimiento en 
la dirección y sentido de esta resultante. 

Si en vez de considerar al individuo libre en reposo le 
considerames en estado de movimiento, se dirá también que 
un grupo de fuerzas que sobre él actúa se equilibra, cuando 
el estado de movimiento no se altera; es decir, no se modifi- 
ca, sino que continúa como si ese grupo de fuerzas no exis- 
tiera. Del mismo modo que en el caso del reposo, las fuer- 
zas del grupo en equilibrio deberán de cumplir la condición 
necesaria y suficiente que acabamos de formular. 

Con esto queda dicho todo respecto al equilibrio de las 
fuerzas que actúen sobre un individuo libre. 

MOVIMIENTO: Para tratar en toda su generalidad el pro- 
blema del movimiento de un individuo libre bajo la acción 
de varias fuerzas dadas, fijemos primeramente la atención 
en los datos del problema. Estos son: 

1.2 El estado inicial del individuo en el asunto; es decir: 
la posición que tiene en el instante que consideramos como 
inicial para el estudio, y la velocidad que tiene en este ins- 
tante en magnitud, dirección y sentido. 


— 546 - 


2." La masa del individuo en el asunto. 

3.” Las varías fuerzas psíquicas que simultáneamente 
actúan sobre el individuo, conocidas por sus magnitudes, 
direcciones y sentidos en cada instante. No se olvide que las 
únicas acciones que han de ser consideradas son las que 
obran efectivamente sobre la psiquis del individuo, como di- 
jimos en los Preliminares. 

Siguiendo el procedimiento que se emplea en la Mecánica 
racional, el problema del movimiento se resuelve procurando 
determinar el cambio muy pequeño de movimiento que expe- 
rimentará el individuo en el asunto á partir de un cierto ins- 
tante y durante un intervalo de tiempo muy pequeño 6; es 
decir, el movimiento que se llama elemental, porque enlazan- 
do estos movimientos elementales por ley de continuidad 
en el tiempo y en el asunto, se tendría el movimiento real y 
efectivo de modificación del individuo en el asunto desde un 
instante cualquiera £, hasta otro instante cualquiera f,; es 
decir, durante un trascurso cualquiera de tiempo. 

Para determinar el movimiento elemental á partir de un ins- 
tante dado (instante inicial), se empieza por reemplazar el 
conjunto de las fuerzas, que son conocidas en ese instante 
(dato tercero); por una sola F que sea la resultante de todas 
ellas. 

Ya vista; sise aplica el segundo Principio fundamental, 
se deduce la aceleración total / del movimiento del individuo 
en ese instante, porque tendrá, en virtud de ese Principio, 
la misma dirección y el mismo sentido que F, y una magni- 
tud que se obtendrá dividiendo la intensidad de F por la 


masa m (dato segundo) del individuo en el asunto PE) 
m 


Determinada así en magnitud, dirección y sentido la acele- 
ración total / en el instante inicial, bastaría componer /.% con 
la velocidad inicial v, (dato primero) por Cinemática, y la 
resultante indicará —tanto en dirección y en sentido como 
en magnitud —cuál ha de ser la velocidad v” del individuo 


— 547 — 


al fin de un intervalo muy pequeño de tiempo 0, Habremos 
determinado así el cambio de movimiento producido por las 
fuerzas en ese intervalo de tiempo muy pequeño 6%. Es claro 
- que la posición del individuo, cuando haya de tener esa nue- 
va velocidad v”, se obtendría (según dijimos en la Cinemá- 
tica) añadiendo á la posición p , (dato primero ), el cambio ó 
modificación experimentado en el tiempo Ú— que tendrá la 
dirección y el sentido de v, y una magnitud que puede me- 
dirse aproximadamente por v,Ú. 

Cuando en la Mecánica racional se considera un punto 
material que no está en libertad absoluta de moverse en el 
espacio en cualquiera dirección y sentido, se dice que tiene 
enlaces. La naturaleza física de éstos, así como su disposición 
especial en cada caso, deben de ser estudiadas y tenidas en 
cuenta en la Mecánica aplicada; pero en la Mecánica racional 
se supone siempre que esas limitaciones para el movimiento 
se expresan y definen tan sólo por ecuaciones. Si el enlace 
es unilateral, se expresa por una desigualdad negativa. 

Para las especulaciones abstractas que intentamos en estos 
Apuntes sobre Mecánica social, basta que digamos que el in- 
dividuo tiene enlaces, cuando no está en libertad absoluta 
de modificar su posición —en un asunto —en cualquiera di- 
rección y sentido. 

Si se intentara hacer una Mecánica social aplicada, habría 
de procederse á un estudio minucioso de la disposición es- 
pecial de los enlaces en cada caso, porque tendría eso una 
importancia capital. A nosotros nos basta ahora concebir su 
existencia, y hacer intervenir los enlaces en los razonamientos. 

Así, después de haber dado las leyes del equilibrio y del 
movimiento de un individuo /ibre, debemos de añadir que si 
no está libre, sino sujeto á enlaces, se deberá de reemplazar 
éstos por fuerzas equivalentes antes de aplicar aquellas le- 
yes. Y se puede asegurar desde luego, que hay siempre en 
todo individuo un género de limitación al cual está ligado el 
ente abstracto y simple á quien llamamos nosotros el indivi- 


— 0148 


duo, es á saber: el enlace de éste con el ser orgánico de su 
propio cuerpo. Por eso hemos sobreentendido siempre (al 
considerar al individuo como mecánicamente libre) que este 
enlace ha sido reemplazado por las fuerzas psíquicas que le 
sean equivalentes, en cuanto al efecto psíquico mecánico. 

Se concibe que hay otros muchos géneros de enlaces 
psíquicos que deben de ser considerados en la Mecánica 
social. Provienen de las relaciones que medien entre el indi- 
viduo de que se trate, y otros individuos ó elementos socia- 
les. Estos enlaces son los que habremos de considerar al es- 
tudiar en la Segunda parte las agrupaciones sociales, desde 
nuestro punto de vista de la Mecánica. 

La solución que hemos dado al problema del movimiento 
de modificación de un individuo libre, planteado en toda su 
generalidad para el caso teórico de que la fuerza motriz F, 
resultante de todas las que actúen en cada instante, varíe de 
un instante al siguiente por ley de continuidad, conduce, natu- 
ralmente, á un movimiento del individuo, que—como suce- 
sión de movimientos elementales — es simbolizado por el 
movimiento de trayectoría curvilínea de un punto material (+). 

Ya dijiimos anteriormente que en la realidad del desen- 
volvimiento de la vida psíquica del individuo, las direcciones 


(*) Al plantear el problema general, é indicar cómo podría conce- 
birse—ya que no obtener - su solución, lo vemos como un problema 
delerminado. 

Decía John Stuart Mill: «dados los motivos que estén presentes en 
la mente de un individuo, y dados igualmente el carácter y la dispo- 
sición de ese individuo, se podría inferir con certeza su modo de 
obrar . 

Nosotros, al deducir el movimiento del individuo, hemos supuesto, 
dada la posición inicial y la masa del individuo, que parecen corres- 
ponder á lo que Stuart Mill quiere significar con la disposición y el 
carácter; y tambien dadas las varias fuerzas psíquicas que simultá- 
mente actúan sobre el individuo, que parecen corresponder á los 
motivos que estén presentes en su mente. En lo que Stuart Mill deno- 
mina el carácter y la disposición del individuo, van envueltas las 
fuerzas que nosotros concebimos como emanando del interior del 
propio organismo corporal. 


— 549 — 


en las cuales se operan sus cambios de posición en cada 
asunto —que son las direcciones de sus velocidades — no 
son generalmente variables de un instante al siguiente, sino 
á intervalos de tiempo de bastante duración para que el mo- 
vimiento en la realidad sea una sucesión de movimientos de 
dirección constante, cada uno de los cuales es de duración 
relativamente larga dentro de la longitud de la vida total. 

Para cada uno de esos movimientos parciales, suponemos 
que (si la velocidad inicial no es cero) adquiera la veloci- 
dad —al empezar—una orientación y un sentido que sean 
los mismos que los de la fuerza motriz FF que habrá de se- 
guir actuando ya en todo el tiempo de la duración de ese 
movimiento parcial. Esto requiere que, en el instante crítico 
del cambio de dirección en el movimiento del individuo, las 
fuerzas cambien de un doble modo: primero, para cambiar la 
dirección de la velocidad al terminar el movimiento anterior; 
y después, para que su resultante se coloque —por decirlo 
asi—en la dirección que ha de conservar ya pot algún 
tiempo. 

Pero como la teoría dinámica anteriormente expuesta es 
general, deberemos de aplicarla á cada uno de esos movi- 
mientos de dirección constante (representables por movi- 
mientos rectilíneos de un punto material) y diremos por tanto: 

1.2 Que si en uno de esos movimientos de dirección 
constante, todas las fuerzas que actúan incesantemente sobre 
el individuo, tuvieran una resultante F' que no sólo fuera 
constante en dirección y sentido, sino también en intensidad, 
la aceleración / en ese movimiento del individuo, habría de 


Es E : 
ser también de magnitud constante ( == ea es decit, 
m 


que su movimiento habría de ser uniformemente acelerado en 
ese transcurso de tiempo. Si el sentido de FF fuera el opues- 
to al sentido de la velocidad, el movimiento sería uniforme- 
mente retardado. 

2.2 Que si sólo fuera constante la dirección y el. sentido 


— 550 — 


de la resultante motriz F (que sean los mismos de la veloci 
dad), pero no lo fuera su intensidad (Jo cual ocurrirá frecuen- 
temente), el movimiento sería de aceleración variable /; y 
que su ley de variación se deduciría de la ley de varia- 
ción de la intensidad de la fuerza, que suponemos conocida 
( puesto que / = ml Conocida ya la J en cada instante, 
se sabe (por lo que dijimos en la Cinemática) que el cálcu- 
lo del incremento de /a magnitud de la velocidad en un 
cierto tiempo, se hace integrando los productos /.% que ex- 
presan aproximadamente los pequeños incrementos sucesi- 
vos de la velocidad en los intervalos pequeños de tiempo 0. 


Por todo lo expuesto, se ve que la posición psíquica que 
llegue á alcanzar al cabo de algún tiempo un individuo en 
un asunto dado de carácter social, podría determinarse me- 
cánicamente, si fuera posible conocer todas las variadísimas 
é innumerables influencias que-—como fuerzas — ejercen su 
acción sobre él, y que por modo muy complejo emanan tanto 
del interior del propio individuo natural, como de otros ín- 
dividuos Ó elementos sociales, y, por último, del ambiente 
natural y social en que esté colocado. 

Las leyes que hemos tomado de la Mecánica racional, pa- 
recen indicar que el plan ¿deal para la educación de cada in- 
dividuo, con el fin de que alcance (ó tienda á alcanzar) una 

cierta posición á que aspire, en un asunto dado, requeriría: 

1. Un conocimiento completo del temperamento nativo 
del individuo, que permitiera determinar las fuerzas que ha- 
brán de actuar sobre é/ (como ente abstracto ó simple), ema- 
nando de su propia individualidad natural (fisiológica y psí- 
quica), en relación con las sucesivas y variadas incidencias 
de su vida; 


-— 551 


2. Un conocimiento completo de todas las influencias 
que se habrán de ejercer como fuerzas sobre él, emanando 
de otros individuos y elementos sociales, y también del me- 
- dio ambiente educativo natural y social en que esté colocado; 

3.2 Una apreciación de su masa para el asunto; y 

4. Un conocimiento perfecto de la dirección y el sentido 
en que debe de moverse (ó modificarse la posición del indi- 
viduo), para llegar á alcanzar por el camino más corto la 
posición á que aspire. 

Con estos conocimientos y datos, el problema de la edu- 
cación consistiría en disponer del medio ambiente externo 
educativo (*) de tal modo, que las fuerzas varias que de él 
emanen, compuestas con las que emanen del propio indivi- 
duo den, en todos los instantes, una resultante F que mat- 
que constantemente la dirección y el sentido en que se quie- 
re ver realizado el movimiento de modificación del individuo 
en el asunto; y además, procurar que la intensidad F sea la 
mayor posible. Si se pudiera conseguir que esa resultante F 
de todo el conjunto de fuerzas, se conservara siempre con 
esa intensidad, y en la dirección y sentido que se desea, el 
movimiento (rectilíneo) del individuo sería uniformemente 
acelerado, según vimos: su aceleración / sería directamente 
proporcional á la intensidad de F, é inversamente propor- 
cional á la masa del individuo en el asunto (**). 


(*) En esto incluímos todo lo fisico y psíquico que esté fuera del 
individuo natural, fuera del límite U de Mach. 

(**) Hemos concebido siempre la masa de cada individuo en un 
asunto, como un coeficiente constante en el tiempo. Pero quizás de- 
bería de ser concebida como variable á compás de los cambios en la 
posición del individuo; porque parece que la posición misma debe de 
influir en la capacidad del individuo para su modificación. Quizás 
también puede decirse que, por sí sola, la edad del individuo influye 
en su masa, dotándole — á medida que aumenta, — de una menor 
capacidad de modificación, es decir, aumentando la masa del indivi- 
duo con su edad. Estos son puntos muy delicados y obscuros, respec- 
to de los cuales nos abstenemos de ahondar. En la Mecánica racio- 
nal la masa se miró siempre como un coeficiente constante, aunque 


50D 


Para terminar estas ligeras indicaciones que presentamos 
desde un punto de vista exclusivamente mecánico, diremos 
que sólo con ese ideal de perfección podrían evitarse los 
zlo-z0gs que frecuentemente ocurren en los movimientos de 
modificación de los individuos durante su vida, y que son 
producidos, á mi entender, por las fuerzas psíquicas que, 
influyendo como componentes sobre la dirección y el sentido 
de la resultante motriz F, cambian de vez en cuando la di- 
rección del movimiento, desviándole de aquella dirección 
que se deseaba. Mientras menos desviaciones y zig-zags 
haya, más nos acercaremos al ideal de perfección en la edu- 
cación, cualquiera que sea el fin de ésta; es decir, cualquie- 
ra que sea aquella posición á que deseamos tienda el indi- 
viduo, si no puede llegar á alcanzarla. 


OBSERVACIÓN. Ya hicimos notar que lo que bajo el nom- 
bre genérico de fuerza hemos considerado para la acción 
(estática Ó dinámica) sobre el individuo, puede ser de cual- 
quiera especie, y ejercer su influencia por la sensibilidad ó 
por el entendimiento ó por el sentimiento, etc. Todas esas 
varias especies han ¡tenido para nosotros el carácter común 
de fuerzas psíquicas, es decir, de causas de modificación de 


recientemente se haya afirmado en los fisicos, la idea de considerar 
la masa como aumentando al crecer enormemente la velocidad. 

Seguiremos considerando la masa como constante, y esto se po- 
dría, quizás, conciliar con las observaciones ó los reparos que aca- 
bamos de hacer, teniéndolos en cuenta al hacer la medición de las 
fuerzas psíquicas, el día que esto pudiera intentarse por la Psicolo- 
gía experimental. Bastaría, en efecto, que la intensidad de una fuer- 
za F se pudiera expresar (en medida) con arreglo á la edad y á la 
posición del individuo sobre quien actúa, para que su relación á la 
aceleración J fuera un coeficiente constante m. De esta suerte la masa 
quedaría como una constante del individuo para el asunto, y la difi- 
cultad iría á recaer sobre el problema de la Psicología referente á la 
medición de las fuerzas. 


=- 593 — 


movimiento psíquico, y á todas les hemos atribuido direc- 
ción, sentido é intensidad. Así como la Mecánica racional no 
se preocupa de la naturaleza especial de las fuerzas, á la 
Mecánica social pura no le interesa saber si las fuerzas psí- 
quicas, sobre las cuales versan sus especulaciones, son de 
una ú otra especie, siempre que se admita que unas y otras 
y todas, obedecen á los Principios generales que se han sen- 
tado como Postulados. 

Prescindimos completamente de algunas cuestiones que 
se plantean en la Psicologia, como, por ejemplo: si una fuer- 
za intelectiva para producir impulsión, ha de provocar antes 
en el individuo un estado de sentimiento (ó pasional) que 
sea el que realmente impulse al individuo. No podemos nos- 
otros penetrar aquí en estos procesos que corresponde es- 
tudiar á los psicólogos; pero sí debemos de observar que, 
si para la Mecánica de los cuerpos materiales las fuerzas que 
más se diferencian unas de otras por sus caracteres físicos, 
son tratadas por la Mecánica racional como cantidades del 
mismo género (en cuanto son consideradas como causas de 
modificación de movimiento), y se refieren á una misma uni- 
dad (la dina ó el kilogramo), sería necesario asimismo para 
la Mecánica social que las fuerzas psiquicas que más se di- 
ferencian unas de otras por su naturaleza especial y por sus 
caracteres, pudieran ser referidas á alguna unidad común, 
mediante los progresos de la Psicología. 

Esto que decimos respecto de las fuerzas psíquicas, deberá 
de aplicarse análogamente á los trabajos y á las otras iormas 
de energías psíquicas. Ya hablaremos de esto más adelante. 

No podemos entrar en disquisiciones acerca de la predo- 
minancia de lo intelectual sobre lo moral, para producir el 
movimiento progresivo de las sociedades. Parece que las 
fuerzas que sean puramente intelectivas, es decir, que estén 
desprovistas de todo elemento pasional, no se contrarrestan 
ni se contraponen unas á otras, del mismo modo que las 
fuerzas sentimentales. Por esto se alcanza en las sociedades 


= 


progresivas la acumulación de conocimientos y su difusión, 
y se obtiene en general un gran desarrollo para las fuerzas 
que provienen de la educación intelectual. Pero estas cues- 
tiones son ajenas á nuestro estudio, como lo es la noción 
misma de Progreso, si se da á esta palabra el sentido de 
mejoramiento en general. 


TEOREMAS SOBRE EL MOVIMIENTO 
DEL INDIVIDUO 


1.” —- TEOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS Ó DE LA ENERGÍA 


Si adoptamos en los asuntos sociales la antigua denomina- 
ción de fuerza viva, llamaremos aquí fuerza viva de un indi- 
viduo en un instante, el producto de la masa del individuo 
(en el asunto de que se trate) por el cuadrado de la magni- 
tud de su velocidad en ese instante (m. v?). Hoy se denomi- 
na energía cinética en un instante, la mitad de ese producto. 

Veamos la definición del trabajo elemental de una fuerza. 
Cuando un individuo realiza un cambio muy pequeño de po- 
sición, en un asunto, en una determinada dirección y sentido 
(la de su velocidad en ese instante), y lo hace estando bajo 
la acción de una fuerza cualquiera P, se dice que esta fuerza 
nace un trabajo elemental; se llama así el producto de la in- 
tensidad de la fuerza por el pequeño cambio de posición es- 
timado en la dirección de la fuerza. O bien, porque es ente- 
ramente lo mismo, y más apropiado á nuestro estudio: el 
producto de la intensidad de la fuerza estimada en la direc- 
ción de la velocidad, por el pequeño incremento del paráme- 
tro que define su posición. Se representaría en el movimiento 
elemental de un punto material por la expresión P. ds. cos q; 
siendo d s el camino elemental recorrido, y e el ángulo de 
la dirección y sentido de la fuerza P con la dirección y sen- 
tido del desplazamiento elemental ds = v. 0. — Se dice que 


-- 595 — 


el trabajo elemental de una fuerza es motor (positivo), cuan- 
do al estimar la fuerza en la dirección de la velocidad, apa- 
rece en el mismo sentido que ésta; cuando aparece en sen- 
tido contrario, se dice que el trabajo elemental es resistente 
(negativo). 

Se ve fácilmente — por la ley de la descomposición de 
fuerzas — que si el individuo ha estado bajo la acción de 
varias fuerzas, el trabajo elemental de la resultante F de és- 
tas, es igual á la suma algebraica de los trabajos elementa- 
les de las componentes. 

Para dejar establecido el Teorema de las fuerzas vivas (0 
de la energia), considérese esa resultante motriz F=M. J, 
que, estimada en la dirección del movimiento, da: 


COST COS pd 


Se ve que su trabajo elemental es el producto m J cos o. <v 6, 
ó bien mv x<J09cos a. Pero como / 0 cos a (según lo que vi- 
mos en Cinemática, al tratar de la aceleración total /) pue- 
de considerarse que expresa el incremento muy pequeño 
experimentado por la magnitud de la velocidad v, y produ- 
cido por la acción de la fuerza; si se representa por d v, se 
tiene que el trabajo elemental de F es igual á mv ><dv. 
Y como el producto v >< dv puede considerarse que es la 
mitad del incremento muy pequeño que haya experimenta- 


do v?, y se representa por d v?, se tiene en definitiva que: 


el trabajo elemental de F es igual á => d.(mv?). En esto con- 


siste el famoso Teorema de las fuerzas vivas, que (para el 
movimiento de un individuo durante un intervalo muy pe- 
queño de tiempo 0) podría enunciarse de este modo: 

La mitad del incremento muy pequeño (positivo, negativo 
ó nulo) que experimenta la fuerza viva del individuo, es 
igual á la suma algebraica de los trabajos elementales efecti- 


Rev. AcAD. DE CIENCIAS. —X.— Enero 1912. 36. 


— 556 — 


vos realizados por todas las fuerzas que hayan actuado si- 
multáneamente sobre el individuo en su movimiento elemental. 

O dicho de otro modo: 

El incremento muy pequeño (positivo, negativo ó nulo) de 
la energía cinética del individuo es igual á la suma alge- 
braica de los trabajos elementales realizados por todas las 
fuerzas que hayan actuado simultáneamente sobre el indivi- 
duo en su movimiento elemental. 

Este teorema indica claramente: 

1.2 Que si en un movimiento elemental del individuo 
predominan los trabajos elementales motores que realicen 
unas fuerzas sobre los trabajos elementales resistentes de 
otras, la energía cinética del individuo aumentará, puesto 
que su incremento será positivo; el movimiento se habrá 
acelerado porque habrá habido un aumento en la magnitud 
de la velocidad; 

2.” Que si predominan los trabajos elementales resisten- 
tes sobre los motores, la energía cinética del individuo dis- 
minuirá porque su incremento será negativo; habrá habido 
disminución en la magnitud de la velocidad; 

3.” Que sí hay compensación entre los trabajos elemen- 
tales motores y los resistentes de unas y otras fuerzas, la 
energía cinética del individuo no se alterará porque su incre- 
mento será nulo; no habrá habido, por tanto, alteración en 
la magnitud de la velocidad. 

Nótese que este teorema no afecta en nada al cambio de 
dirección de la velocidad; se refiere solamente al cambio de 
magnitud de la velocidad, puesto que esta magnitud es la 
que interviene en la energía cinética. Y nótese también que 
en este teorema no entra directamente el tiempo. 

Si del movimiento elemental queremos pasar al movimien-- 
to del individuo por ley de continuidad en el asunto durante 
un transcurso cualquiera de tiempo, basta aplicar el teorema 
á todos y cada uno de los movimientos elementales que se 
integran en el movimiento total y hacer la suma. 


a 


Se ve desde luego que el incremento numérico de la ener- 
gía cinética, desde un instante f, hasta otro instante cual- 
quiera f,, es la suma de todos los incrementos muy peque- 
ños (positivos, negativos Ó nulos) que haya ido recibiendo 
la energía cinética en todos los movimientos elementales su- 
cesivos. Y si llamamos trabajo total de una fuerza que haya 
actuado de un modo continuo sobre el individuo desde el 
instante f, hasta el instante f,, á la suma algebraica de los 
trabajos elementales (positivos, negativos ó nulos) que haya 
realizado la fuerza en todos los movimientos elementales su- 
cesivos, el Teorema para los transcursos cualesquiera de 
tiempo, se enunciará así: 

El incremento de la energía cinética del individuo desde un 
instante t, hasta otro posterior t,, es igual á la suma alge- 
braica de los trabajos totales (motores y resistentes) realiza- 
dos en ese transcurso de tiempo por todas las fuerzas que 
hayan estado actuando sobre él. 

Así vemos que la energía cinética del individuo en un 
asunto, será en el instante f, mayor, igual ó menor que la 
que tenía en el instante f,, según que el trabajo total hecho 
por las fuerzas haya sido motor, nulo ó resistente. Decir que 
el trabajo total haya sido nulo desde f, á £,, equivale á de- 
cir que los trabajos totales positivos ó motores de unas fuer- 
zas, hayan sido compensados por los negativos ó resisten- 
tes de otras. Y es evidente que si en todos y en cada uno 
de los instantes hubiera compensación de trabajos motores 
y resistentes, habría conservación de la energía cinética del 
individuo para todo su movimiento en el asunto; y este movi- 
miento habría de ser necesariamente uniforme. 


Tanto para el movimiento elemental como para el que se 
realiza en un transcurso cualquiera de tiempo, la expresión 
del teorema se simplifica, recordando que en cada instante 


— 558 — 


la suma algebraica de los trabajos elementales de todas las 
fuerzas, es igual al trabajo elemental de su resultante F en 
ese instante. 

Y así el teorema se enunciaria diciendo: 

1." Que en el movimiento elemental el incremento muy 
pequeño de la energía cinética es igual al trabajo elemental 
de la resultante motriz F. 

2... Que desde un instante t, hasta otro posterior t,, el 
incremento de la energía cinética es igual al trabajo total he- 
cho por las resultantes motrices F. 

Si pensamos atentamente en los efectos de la acción (sobre 
el individuo) de la resultante F en cada instante, se nota 
que produce un doble cambío en el estado de movimiento 
del individuo, á saber: un cambio en la dirección de la ve- 
locidad v que tenía, y otro cambio en la magnitud de esa 
velocidad 7. 

El cambio de la dirección en que venía dispuesto á seguir 
modificándose la posición del individuo, se produce por la 
influencia que sobre él ejerce la componente de la fuerza, 
según una dirección en el asunto, que sea enteramente aje- 
na á la dirección de v; ó, lo que es igual, por la influencia 
de la componente de esa naturaleza que tenga F. Mientras 
mayor sea esta componente de F, más acentuado será el 
cambio de dirección del movimiento del individuo. Y se com- 
prende que la componente de que hablamos influya sólo de 
este modo, porque se limita á llamar la atención del indivi- 
duo —si vale la frase —hacia una dirección totalmente ex- 
traña á la que él trae, á fin de desviarle de ésta, pero sin 
empujarle ni retenerle, es decir, sin ejercer influjo alguno 
sobre su energía cinética. Es claro que si el movimiento del 
individuo se realiza sucesivamente en direcciones constantes 
que tienen largos transcursos de tiempo de duración, lo que 
acabamos de decir sólo será aplicable en los instantes críti- 
cos del cambio de dirección. 

El cambio en la magnitud de la velocidad v, que trae el in- 


— 539 — 


dividuo, se produce por la componente FF, que tenga la fuer- 
za en la dirección misma de v, la que hemos llamado fuer- 
za F, estimada en la dirección de v. Se comprende que esta 
F, sea la que por modo muy directo influya sobre la magni- 
tud de v, ya empujando al individuo, ya reteniéndole, según 
que su aspiración sea acelerar ó retardar su movimiento. 
Para lo primero, el sentido de la fuerza F, habrá de ser el 
mismo de ésta; para lo segundo, el sentido contrario. En el 
primer caso, la componente de que hablamos aumentará la 
energía cinética del individuo; en el segundo caso, la dis- 
minuirá. 

Este segundo efecto de la resultante motriz FF, es decir, el 
cambio en la energía cinética del individuo será tanto más 
acentuado cuanto mayor sea el trabajo que haga la fuerza F, 
porque precisamente trabaja para eso, ya sea positivamente, 
ya negativamente. La que verdaderamente trabaja es la com- 
ponente F,, porque la primera componente que vimos intlu- 
yendo solamente para desviar al individuo de la dirección 
que traía, ejerce una influencia que no es de trabajo, puesto 
que, según la definición de esta palabra, su trabajo es nulo. 
Por esto se dice que el trabajo que hace la F,, es el de la F. 

Pero volviendo á lo que decíamos: si el cambio en la 
magnitud de la velocidad v, es debido al trabajo que haga 
la resultante F de todas las fuerzas, ¿qué ley relaciona este 
trabajo con el cambio de magnitud de v? A esta pregunta se 
ha contestado con el teorema de la energía, en el cual está 
formulada /a ley, á saber: que el trabajo hecho por la fuer- 
zo F es igual al incremento experimentado por la energía ci- 
nética. 

Sin insistir más en comentarios acerca de este feorema, 
diremos—para terminar—que en la vida social de cada indi- 
viduo las fuerzas que sobre él actúan—tanto emanando de 
su propio cuerpo como de otros individuos ó elementos y 
del medio ambiente—serán más eficaces para desviarle de la 
dirección en que esté dispuesto á moverse ó modificarse por 


— 160 — 


causas anteriores, cuanto más tiendan á indicarle direcciones 
ajenas á la suya. Pero que cuando se quiere entrenarlo—si 
así puede decirse—en su misma dirección y sentido, impri- 
miéndole mayor energía cinética, deberá procurarse, para 
la mayor eficiencia de las fuerzas que actualmente ejerzan 
acción, que éstas (todas ellas) tengan direcciones y sentidos 
que se acerquen mucho á la de su velocidad actual, porque 
así se trabajará más eficazmente. Y que (por la misma ra- 
zón) cuando se quiera quitarle energía cinética deberán de 
ejercerse las acciones todas, Ó bien en la misma dirección 
de su movimiento, pero en sentido diametralmente opuesto, 
Ó bien en direcciones que se separen poco de ella, pero 
siempre en sentido contrario. El trabajo que se haga en uno 
ú otro caso no es perdido, puesto que según el teorema es 
integramente recogido por el individuo en forma de aumen- 
to ó disminución de su energía cinética. Propiamente reco- 
sido será, en el caso de aumentar su energía cinética, por- 
que se haya hecho trabajo positivo. En el otro caso, el tra- 
bajo negativo que se haya consumido se encontrará integra- 
mente compensado por la energía cinética que se haya qui- 
tado al individuo. 

Parece innecesario añadir—como ya apuntamos en otra 
ocasión—que tratándose de fuerzas psíquicas y de estado 
psíquico del individuo en un asunto, todo lo dicho tendrá 
solamente aplicación cuando la acción de las fuerzas exte- 
riores sea recibida por el individuo real y efectivamente, pues 
si no llegan á él psíquicamente, si así puede decirse, no 
pueden ejercer influencia. Y para una Dinámica práctica se- 
ría indispensable —como dijimos anteriormente—el conoci- 
miento perfecto del temperamento fisiológico y del temple 
psíquico del individuo para descubrir cuáles serían en cada 
instante las fuerzas que brotarían del individuo mismo na- 
tural. Sólo así podría disponerse como convenga del medio 
ambiente con el fin á que se aspire respecto de la energía 
cinética. Las fuerzas que emanen de otros individuos y ele- 


— 561 — 


mentos sociales, así como del medio ambiente físico y social, 
podrían hacer—entre todas—un gran trabajo positivo —por 
ejemplo—y nosotros (por la observación) ver que se pro- 
-ducía, sin embargo, una disminución de energía cinética, Ó 
que se conservaba constante, no porque la ley dinámica de 
la energía deje de cumplirse, sino porque haya habido fuer- 
zas que, brotando del interior del individuo natural, hayan 
hecho un trabajo negativo preponderante sobre aquél ó igual 
á aquél. : 

Habría que tener muy en cuenta que las fuerzas que bro- 
tan del interior del individuo natural, no dependen tan sólo 
de su organismo fisiológico-psíquico, como de una entidad 
aislada, sino que, por el contrario, esas fuerzas serán unas 
ú otras, según sea el medio ambiente natural y social en 
que esté colocado, lo cual hace comprender la enorme com- 
plejidad y dificultad del problema general teórico (*). 


2.” —TEOREMAS SOBRE LAS CANTIDADES DE MOVIMIENTO 


Para poder formular estos teoremas, recordemos ante todo 
las dos definiciones siguientes: 


(+) En el teorema que hemos expuesto — y en los que siguen — se 
formulan propiedades generales, del movimiento de modificación del 
individuo bajo la acción de fuerzas psíquicas cualesquiera. Pero no 
hay modo de comprobar por la observación ó la experiencia la ver- 
dad de estas propiedades, porque carecemos hoy de procedimientos 
suficientemente aproximados para medir los trabajos de las fuerzas 
psíquicas por una parte, y la energía cinética del individuo por otra. 

La comprobación se puede hacer en la Mecánica de los sistemas 
materiales Bien entendido que no se hace ni puede hacerse sobre 
puntos materiales, que son puras abstracciones de la Mecánica racio- 
nal, sino sobre cuerpos; y para éstos son posibles aquellas medicio- 
nes con la aproximación propia de las observaciones y experiencias 
físicas. 

En la Mecánica social no podemos hoy aspirar más que á prestar 
nuestro asentimiento á las proposiciones que se formulen en el te- 
rreno de la pura especulación, como deducidas de los Principios fun- 
damentales. 


— 562 -— 


1.* Se llama cantidaa de movimiento en un instante, de 
un individuo en un asunto, el producto de su masa en el 
asunto por su velocidad en ese instante (m v). Pero conviene 
notar bien, desde ahora, que la velocidad se considera aquí 
con su magnitud, dirección y sentido, á diferencia de la fuer- 
za viva, en la cual no intervenía la velocidad más que por 
su magnitud. Por eso la cantidad de movimiento es, en Di- 
námica, una cantidad vectorial representada por un vector 
localizado en la posición que tiene el individuo en un ins- 
tante dado, lo mismo que la velocidad lo era en Cinemática. 
La magnitud del vector dinámico — cantidad de movimien- 
to, —es la magnitud del vector-velocidad, afectado de un 
coeficiente, que es la masa del individuo en el asunto: la 
dirección y el sentido son los mismos. 

2.” Se llama impulsión elemental de una fuerza F, el pro- 
ducto de la intensidad de la fuerza por el tiempo 6 muy pe- 
queño de su acción. A este producto F 0 se le atribuye la 
misma dirección y el mismo sentido de F, y así es también 
una cantidad vectorial representada por un vector (dinámi- 
co) localizado en la posición que el individuo tiene en el ins- 
tante en que la fuerza es F. 

Para ver el Teorema de las cantidades de movimiento, 
pensemos, desde luego, en la resultante motríz F de todas 
las fuerzas que, en un instante dado, actúan sobre el indivi- 
duo; y empecemos por notar que la ley formulada en el 
Teorema de la energía sólo se refería á la cantidad de ener- 
gía cinética que gana Ó pierde el individuo por el frabajo 
que hace la tuerza. Hemos hecho resaltar — en las explica- 
ciones dadas acerca de esa ley dinámica — que ese no es 
más que uno de los cambios producidos en el estado de mo- 
vimiento del individuo por la acción de la fuerza motriz F, 
y hemos dejado á un lado lo que se refería al cambio de di- 
rección de la velocidad. 

En el Teorema general que ahora vamos á formular sobre 
las cantidades de movimiento del individuo en relación con 


008 


las impulsiones de la fuerza motriz, se atiende —- como ve- 
remos — al cambio total que experimenta la velocidad por 
la acción de la fuerza. ; 

Se enuncia así: 

El incremento total muy pequeño que experimenta la can- 
tidad de movimiento del individuo es igual en magnilud, di- 
rección y sentido á la impulsión elemental de la resultante 
motriz F. (Véase la figura 3.*) 


EL 


En esta ley dinámica se ve el efecto total de la fuerza mo- 
triz F actuando sobre el individuo en un intervalo muy pe- 
queño de tiempo 60. Dice que su impulsión elemental en este 
intervalo (F 0) se refleja en el individuo por el cambio total 
(muy pequeño) de su cantidad de movimiento, la cual pasa 
de ser (en el instante £) una mv (en magnitud, dirección y 
sentido) con que el individuo viene por causas anteriores, á 
ser otra mv” (en el instante t + 0) que difiere en todo (mag- 


A 


nitud, dirección y sentido) de la m v — aunque muy poco.— 
Este cambio es exactamente igual á aquella impulsión ele- 
mental. 

Y se comprende bien que la fuerza motriz F afecte así al 
individuo, compeliéndole á cambiar simultáneamente la di- 
rección de su movimiento y la magnitud de su velocidad, 
mediante la impulsión que en su dirección (la de la fuerza) 
comunique al individuo, influyendo en éste en el intervalo 
de tiempo 0. 

No existe nada instantáneo en el Universo; y para mani- 
festarse un cambio en el estado de movimiento de modifi - 
cación del individuo, se requiere que la fuerza obre durante 
algún tiempo, aunque sea muy pequeño, para que haya una 
verdadera impulsión que produzca efecto (*). 

Si en vez de considerar la impulsión elemental de la fuer- 
za motriz F, se pensara sólo en la impulsión elemental de 
aquella componente F,, que vimos para medir el trabajo ele- 
mental, esta impulsión elemental sería igual al incremento 
sólo en magnitud, que experimentaría la cantidad de movi- 
miento desde el instante £ hasta el instante 2-0, lo cual nos 
conduce á este segundo teorema : 

El incremento muy pequeño que experimente la MAGNITUD 
de la cantidad de movimiento del individuo, es igual á la im- 
pulsión elemental F,0 de la resultante motriz F, estimada en 
la dirección de la velocidad. (Véase la fig. 4.*) 

Esta ley serviría —como sirvió el teorema de la energía—, 
si sólo nos preocupáramos de apreciar los cambios en la 
magnitud de la velocidad. Nos valíamos antes de los cam- 
bios producidos en la energía cinética por el trabajo de la 
fuerza F. Ahora nos valdríamos de los cambios producidos 
en la cantidad de movimiento por la impulsión de la F',, que 


(*) Lo que cabe estudiar son las leyes infinitesimales de decreci 
miento. Aquí, por ejemplo, habría, en rigor, que concebir € como una 
variable que decrece indefinidamente. No puedo detenerme ahora en 
estos rigorismos. 


— 565 — 


es la fuerza F, estimada en la dirección de la velocidad. 

Por uno ú otro teorema se llega á las mismas conclusio- 
nes, atendiendo al signo del trabajo en el uno, ó al sentido 
de la fuerza, estimada en la dirección de la velocidad, en 
el otro. 


ÍA A Y 


Volvamos al primer teorema general de las cantidades de 
movimiento. Para aplicarlo á un transcurso cualquiera de 
tiempo, basta verlo en todos y cada uno de los movimientos 
elementales que se integran por ley de continuidad en el 
movimiento total. Así, por composiciones sucesivas de las 
distintas impulsiones elementales F0 (fig. 3.2), con las su- 
cesivas y distintas cantidades de movimiento, se pasaría de 
un instante inicial f, á otro instante cualquiera posterior f,, y 
se obtendría la cantidad de movimiento mv, (en magnitud, 
dirección y sentido) en este último instante, si la fuerza— 
variable de un instante á otro—ha actuado de modo conti- 
nuo en ese transcurso de tiempo. 

Análogamente —aunque con mayor sencillez —aplicare- 
mos el segundo teorema al transcurso de tiempo desde el 
instante f, hasta otro instente cualquiera f,, para deducir la 
magnitud de la cantidad de movimiento mv, en este último 
instante, puesto que bastaría hacer la suma algebraica de los 
incrementos sucesivos (positivos ó negativos) de las magni- 
tudes de las cantidades de movimiento, en los sucesivos mo- 


— 566 — 


vimientos elementales. Cada uno de estos incrementos muy 
pequeños sería igual á la impulsión elemental de la resul- 
tante motriz, estimada en la dirección de la velocidad en 
cada instante, siempre sobre el supuesto de que las fuerzas 
actúan de modo continuo en todo el transcurso de tiempo 
que se considera. (Véase la fig. 3.*) 

Tanto el teorema de la energía como el segundo teorema 
sobre las cantidades de movimiento serían de muy fácil apli- 
cación en los movimientos parciales de dirección constante 
del individuo (rectilíneos), en que la resultante motriz F tie- 
ne constantemente la dirección misma del movimiento, si se 
supusiera que la intensidad de F fuera constante, porque: 

1.2 Para el teorema de la energía, el trabajo total hecho 
por F se mediría entonces simplemente por el producto de 
su intensidad F (constante) por el camino que hubiera reco- 
rrido el individuo en la dirección misma de la fuerza (*); y 
este producto expresaría el incremento de energía cinética, 
obtenido durante el movimiento parcial en esa dirección. 

2. Para el segundo teorema de las cantidades de movi- 
miento, la impulsión total de F se mediría simplemente por 
el producto de su intentidad F (constante) por el tiempo de 
su acción; y este producto expresaría el incremento de la 
cantidad de movimiento, obtenido en el movimiento parcial 
que se considera. 

Es claro que para que hubiera en este caso conservación 


de la energía cinética ( ia mov? | ó conservación de la canti- 


dad de movimiento (mv), se requeriría que la resultante F 
fuera constantemente nula; lo cual era evidente d priori, 
porque el movimiento sería, en virtud del Principio de la 
inercia, rectilíneo uniforme. 

Los individuos que en sus movimientos parciales en cada 


(*) Este camino recorrido se mediría por el incremento del pará- 
metro definidor de la posición. 


— 501 — 


dirección conservan una energía cinética constante-—ó una 
cantidad de movimiento constante—son aquéllos que por su 
temperamento fisiológico y su temple psíquico, resisten las 
fuerzas Ó solicitaciones exteriores ó interiores, que unas ve- 
ces tienden á apresurarle, otras á retardarle. Y para lograr 
la uniformidad en estos movimientos parciales de dirección 
constante, es decir, para que la resultante motriz F sea cons- 
tantemente nula, á pesar de aquellas solicitaciones que ema- 
nan del medio ambiente externo ó interno, han de brotar del 
interior del individuo natural (consciente ó inconscientemen- 
te) otras fuerzas que las contrarresten en todos y cada uno 
de los instantes. 


3.2--TEOREMA DE LA MENOR ACCIÓN 


Se llamará cantidad elemental de acción de un individuo en 
un intervalo muy pequeño 0 de tiempo, á partir de un ins- 
tante £, el producto de la magnitud de su cantidad de mo- 
vimiento en el instante £ (mv), por el pequeño cambio de 
posición operado en el intervalo 0, es decir, por el incre- 
mento muy pequeño del parámetro. Si se simboliza el mo- 
vimiento elemental del individuo por el de un punto material 
en el espacio, la expresión de la cantidad elemental de ac- 
ción es mv =< ds, siendo ds el desplazamiento muy pequeño 
realizado en el intervalo 0. 

Pudiendo ser mirado ds como igual á v0, se ve que la 
cantidad elemental de acción en este intervalo, á partir del 
instante £, se puede definir también, diciendo: que es el pro- 
ducto de la fuerza viva del individuo en ese instante mv? por 
el tiempo muy pequeño 60; es idénticamente lo mismo. Se 
llamará cantidad total de acción del individuo en un trans- 
curso cualquiera de tiempo T (desde un instante £, á otro £,), 
cuando pasa de una posición a á otra posición b, la suma Ó 
integral de las infinitas cantidades elementales de acción en- 


— 568 — 


tre esos dos instantes; en la representación por un punto ma- 
terial se escribiría así: 


eS É 
il mv - ds  Ó bien J mv? - dt. 
S, bo 


Aunque nos parece difícil adaptar á lo psíquico el supues- 
to en que descansa el teorema de la menor acción, diremos 
que si las fuerzas psíquicas que obran sobre un individuo 
fueran asimilables — por las leyes de su acción —á las fuer- 
zas que se consideran en los fenómenos de la Naturaleza, 
como las centrales newtonianas, Ó, más en general, como 
las fuerzas atractivas ó repulsivas, con intensidades que de- 
penden solamente de las posiciones, sin influir las velocida- 
des que tengan los puntos á que se apliquen, se podría 
adaptar este teorema de la menor acción al movimiento del 
individuo, y —prescindiendo del rigorismo infinitesimal— 
enunciarlo así: 

El movimiento efectivo que un individuo realizara reco- 
rriendo de un determinado modo su trayectoria (en sentido 
figurado), para pasar de una posición a (instante f,) á una 
posición b (instante f, ) en un asunto, sería tal, por sus cam- 
bios sucesivos y continuos de posición y de velocidad, que: 

La integral ó suma de todas sus cantidades elementales de 
acción, desde el instante f, hasta el f,, sería un mínimo (*) 
en el movimiento real y efectivo, con relación á todos los 
modos de moverse que podrían ser concebidos en otras tra- 
yectorias para alcanzar el mismo cambio ó modificación de 
posición, pasando de la primera posición a á la última b. 

O más brevemente: 

Que la cantidad total de acción de un individuo en su mo- 
vimiento real y efectivo, sería un mínimo con relación á los 


(*) Podría ser un mínimo ó un máximo. Decimos mínimo, porque 
suponemos que en la cuestión no sea admisible un máximo. 


— 5609 — 


otros movimientos, por los cuales pudiera pasar de su prime- 
ra posición á la última. 

Si este teorema fuera cierto para los asuntos sociales por 
estar las fuerzas sociales en el caso que hemos dicho, se de- 
duciría de él — como se deduce en la Mecánica racional — 
una consecuencia interesantísima, á saber: que si el paso de 
una posición a á otra b hubiera de hacerse necesariamente 
com movimiento uniforme de una velocidad v, siempre la 
misma en las diferentes trayectorias posibles, el individuo 
realizaría ese paso en su movimiento efectivo (si las fuerzas 
psíquicas naturales fueran como las físicas dichas) en el me- 
nor tiempo posible, y con el menor desarrollo posible, dentro 
de sus condiciones propias individuales y de las condiciones 
del medio ambiente. Efectivamente: 

1.2 La cantidad total de acción sería, en ese supuesto, 
el producto de la fuerza viva constante mv?* por el tiempo 
total T= f, — f, empleado; luego su mínimo corresponde- 
ría al mínimo de T'; 

2.” La cantidad total de acción sería también el producto 
de la cantidad de movimiento mv constante por el desarro- 
llo total S; luego su mínimo correspondería tambien al mí 
nimo de $. 


OBSERVACIÓN FINAL. — La teoria general expuesta sobre 
el equilibrio y el movimiento de un individuo, así como tam- 
bién todos los teoremas que hemos enunciado y comentado, 
son aplicables á lo que denominamos elemento social en los 
Preliminares. Suponíamos que la colección de individuos 
que lo constituye puede ser individualizada para el estudio 
mecánico, de tal suerte que en cada instante pueda conocer- 
se en magnitud, dirección y sentido su velocidad y su acele- 
ración total. Las fuerzas que pueden actuar sobre la colec- 
ción de individuos — como tal colección, — habrán de mi- 


A 


rarse como si actuaran sobre un individuo abstracto y simple 
que simbolizara al elemento social. Y de esta suerte las fuer- 
zas pueden emanar de otros individuos y de otros elemen- 
tos sociales de la misma agrupación, y también del ambiente 
ó medio social externo en que el elemento vive. Otras fuer- 
zas pueden emanar de su propio interior (es decir, de los 
individuos mismos que forman el elemento social), pero des- 
empeñando el papel de exterior, para aquel ente psíquico in- 
dividual que sirva de símbolo abstracto al elemento social. 


(Continuará). 


a 


Programa de premios para el concurso del año 1913. 


Artículo 1.2 La Real Academia de Ciencias Exactas, Fisi- 
cas y Naturales de Madrid, abre concurso público para ad- 
judicar tres premios á los autores de las Memorias que des- 
empeñen satisfactoriamente, á juicio de la misma Corpora- 
ción, los temas siguientes: 

1.2 «Deducción de una fórmula o de un sistema de fór- 
mulas ó, en sama, de una teoría matemática que suministre 
el medio de calcular á priori, con seguridad mayor que la 
consentida por los procedimientos en uso, la resistencia á la 
marcha que en aguas tranquilas encuentran las obras vivas 
de los buques.» 

Propuestas y aplicadas hoy fórmulas en gran número, 
muchas de ellas empíricas, para valuar la resistencia de los 
buques á la marcha, sería muy ventajoso disponer, al pro- 
yectar los buques, de expresiones analíticas, sólidamente 
cimentadas de las leyes á que obedece la antedicha resisten- 
cia, evitando así, en lo posible, incertidumbres enojosas y 
la necesidad del auxilio de los procedimientos delicados y 
hasta inseguros de la experimentación con modelos, á no 
ser como complementario recurso comprobatorio. 

Se desea que el aspirante al premio exponga una teoría 
que dé respuesta satisfactoria al tema enunciado, deducién- 
dola de los adelantos en las ciencias de pura especulación, 
de experimentos nuevos y de los trabajos en uno y otro te- 
rreno realizados hasta el día con más ó menos fortuna. 

2.2 «Estudio teórico ó experimental de cualquier fenóme- 
no electróptico ó magnetóptico.» 

3. «Memoria geognóstico-agrícola de alguna comarca 
de España, que no haya sido objeto de publicación anterior.» 

Art.2.2 Los premios que se ofrecen y adjudicarán, confor- 
me lo merezcan las Memorias presentadas, serán de tres cla- 


Rev. ÁCAD DE CIENCIAS -- X.—Enero, 1912. 37 


— 512 — 


ses: premio propiamente dicho, accesit y mención honorífica. 

Art. 3.” El premio consistirá en un diploma especial en 
que conste su adjudicación, una medalla de oro de 60 gra- 
mos de peso, exornada con el sello y lema de la Academia, 
que en sesión pública entregará el Sr. Presidente de la Cor- 
poración á quien le hubiere merecido y obtenido, Ó á perso- 
na que le represente; retribución pecunaria, al mismo autor 
ó concurrente premiado, de 1.500 pesetas; impresión, por 
cuenta de la Academia, en la colección de sus Memorias, 
de la que hubiere sido laureada, y entrega, cuando esto se 
verifique, de 100 ejemplares al autor. 

Art. 4.7 El premio se adjudicará á las memorias que no 
sólo se distingan por su relevante mérito científico, sino 
también por el orden y método de exposición de materias y 
redacción bastante esmerada, para que desde luego pueda 
procederse á su publicación. 

Art. 5.0 El accesif consistirá en diploma y medalla igua- 
les á los del premio y adjudicados del mismo modo, y en la 
impresión de la memoria, coleccionada con las de la Acade- 
mia, y entrega de los mismos 1060 ejemplares al autor. 

Art. 6.” El accesít se adjudicará á las memorias poco in- 
feriores en mérito á las premiadas y que versen sobre los 
mismos temas, Ó, á falta de térmimo superior con que com- 
pararlas, á las que reunan condiciones científicas y literarias 
aproximadas, á juicio de la Corporación, á las impuestas 
para la adjudicación ú obtención del premio. 

Art. 7. La mención honorífica se hará en un diploma 
especial, análogo á los de premio y accesit, que se entregará 
también en sesión pública al autor Óó concurrente agraciado 
Óó á persona que le represente. 

Art.8.” La mención honorífica se hará de aquellas memo- 
rias verdaderamente notables por algún concepto, pero que, 
por no estar exentas de lunares é imperfecciones, ni redac- 
tadas con el debido esmero y necesaria claridad para proce- . 
der inmediatamente á su publicación, por cuenta y bajo la 


— 913 — 


responsabilidad de la Academia, no se consideren dignas de 
premio ni de accesit. 

Art. 9. El concurso quedará abierto desde el día de la 

publicación de este programa en la Gaceta de Maarid, y ce- 

rrado en 31 de Diciembre de 1913 á las diez y siete horas; 
plazo hasta el cual se recibirán en la Secretaría de la Acade- 
mia, calle de Valverde, número 26, cuantas Memorias se 
presenten. 

Art. 10. Podrán optar al concurso todos los que presen- 
ten Memorias que satisfagan á las condiciones aquí estable- 
cidas, sean nacionales ó extranjeros, excepto los individuos 
numerarios de esta Corporación. 

Art. 11. Las Memorias habrán de estar escritas en cas- 
tellano ó latín. 

Art. 12. Las Memorias que se presenten optando al pre- 
mio se entregarán en la Secretaría de la Academia, dentro 
del plazo señalado en el anuncio de convocatoria al concur- 
so, y en pliegos cerrados, sin firma ni indicación del nombre 
del autor, pero con un lema perfectamente legible en el so- 
bre Ó cubierta que sirva para diferenciarlas unas de otras. 
El mismo lema de la Memoria deberá ponerse en el sobre 
de otro pliego, también cerrado, dentro del cual constará 
el nombre del autor y las señas de su domicilio Ó paradero. 

Art. 13. Delas Memorias y pliegos cerrados, el Secre- 
tario de la Academia dará, á las personas que los presenten 
y entreguen, un recibo en que consten el lema que los dis- 
tingue y el número de su presentación. 

Art. 14. Los pliegos señalados con los mismos lemas 
que las Memorias dignas de premio Ó accesit se abrirán en 
la sesión que se acuerde ó decida otorgar á sus autores una 
ú otra distinción y recompensa, y el Sr. Presidente procla- 
mará los nombres de los autores laureados en-aquellos plie- 
gos contenidos. 

Art. 15. Los pliegos señalados con los mismos lemas 
que las Memorias dienas de mención honorífica no se abri- 


974 


rán hasta que sus autores, conformándose con la decisión 
de la Academia, concedan su beneplácito para ello. Para ob- 
tenerle se publicarán en la Gaceta de Madrid los lemas de 
las Memorias en este último concepto premiadas, y, en el 
improrragable término de dos meses, los autores respectivos 
presentarán en Secretaría el recibo que de la misma depen- 
dencia obtuvieron como concurrentes al certamen, y otor- 
garán por escrito la venia que se les pide para dar publici- 
dad á sus nombres. Transcurridos los dos meses de plazo 
que para llenar esta formalidad se conceden sin que nadie 
se dé por aludido, la Academia entenderá que los autores de 
aquellas Memorias renuncian á la honrosa distinción que 
legítimamente les corresponde. 

Art. 16. Los pliegos que contengan los nombres de los 
autores no premiados ni con premio propiamente dicho, ni 
con accesit, ni con mención honorífica, se quemarán en la 
misma sesión en que la falta de mérito de las Memorias res- 
pectivas se hubiere declarado. Lo mismo se hará con los 
pliegos correspondientes á las Memorias agraciadas con 
mención honorífica cuando, en los dos meses de que trata la 
regla anterior, los autores no hubieren concedido permiso 
para abrirlos. 

Art. 17. Las Memorias originales, premiadas ó no pre- 
miadas, pertenecen á la Academia, y no se devolverán á sus 
autores. Lo que, por acuerdo especial de la Corporación 
podrá devolvérseles, con las conformalidades necesarias, 
serán los comprobantes del asunto en aquellas Memorias 
tratado, como modelos de la construcción, atlas Ó dibujos 
complicados de reproducción difícil, colecciones de objetos. 
naturales, etc. Presentando en Secretaría el resguardo que 
de la misma dependencia recibieron al depositar en ellas sus 
trabajos como concurrentes al certamen, obtendrán permiso 
los autores para sacar una copia de las Memorias que res: 
pectivamente les correspondan. 

Madrid 31 de Diciembre de 1911. 


e 


O 
RA EE 


INDICE 


DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE NÚMERO 


PÁGS. 

XXI. —Conferencias sobre Física matemática. Teorías di- 
versas, por José Echegaray. Conferencia quinta.. 475 

XXI!!. —Conferencias sobre Física matemática. Teorías di- 
versas, por José Echegaray. Conferencia sexta... 503 

XXIV.— Nota escrita con motivo de la venida á Madrid del 

Príncipe Alberto 1 de Mónaco, por Joaquín Gon- 
2UleZz HUnIDO: a IS o a 

XXV. —Apuntes sobre Mecánica social, por Antonio Por- 
. tuondo y Barceló (continuación). ....-.........-- 544 
Programa de premios para el concurso del año 1913..... .... 571 


La subscripción 4 esta REVvISTA se hace por tomos completos, 
de 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos 
en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, calle de Val-- 
verde, núm. 26, Madrid. 

Precio de este cuaderno, 1,50 pesetas. 


REAL ACADEMIA DE CIENCIAS 


EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES 


MADRID 


TOMO X.—-NÚM. 8. 


Pebrero de 1912, 


- ; zona Ins 


( 2 A 


A - MADRID . 
ESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO Y EDITORIAL 
CALLE DE PONTEJOS, NÚM. 8, ? 
1912 


ADVERTENCIA 


Los originales para la Revista de la Academia 
se han de entregar completos, en la Secretaría de 
la Corporación, antes del día 20 de cada mes, 
pues de otro modo quedará su publicación para 
el mes siguiente. EPA 


E 


XXVI. — Conferencias sobre Física Matemática. 
Teorias diversas. 


Por JosÉ ECHEGARAY. 


Conferencia séptima. 


SEÑORES: 


Continuando el estudio de las atracciones y de las poten- 
ciales newtonianas, debemos pasar al caso en que el punto 
para el que pretendemos buscar los componentes de la atrac- 
ción, así como la potencial, es interior á la masa ponderable 
continua que se considera. 

Esta cuestión es delicada, porque las integrales contienen 
un elemento que toma la forma infinita, real Ó aparentemente; 
que si fuera realmente infinita la integral no tendría sentido 
matemático, y menos para las aplicaciones prácticas. 

El análisis de este caso, es decir, el de una masa continua 
y un punto en su interior, puede tratarse de diferentes ma- 
neras, que todas ellas vienen á reducirse á un fondo común. 

Nosotros tomaremos por guía en esta conferencia la expo- 
sición y aun las notaciones del eminente matemático Mr. Ap- 
pell, en su Tratado de mecánica racional. 

Llamemos U, como Mr. Appell, á la potencial, y llamemos 
V al volumen de materia continua que consideremos. 

Dicho esto, sea (fig. 20) un volumen V de materia ponde- 
rable. Las componentes de su atracción y su potencial sobre 
cualquier punto exterior, ya las hemos determinado; y ahora 
vamos á considerar el caso en que dicho punto P es interior. 

El resto de las notaciones es el de siempre. 

Las coordenadas de P serán x, y, z; las coordenadas de 


REV. ACAD. DE CIENCIAS. — X.—Febrero, 1912. 38 


— 516 -- 


un punto cualquiera N del volumen de la masa serán a, b, c. 

Si por el punto P hacemos pasar tres ejes, x”, y”, 2”, para- 
lelos á x, y, z, las coordenadas de N, con relación á x”, y”, 2' 
serán evidentemente 


Pl =pl=a—x, 1M=nl=b—y, Nn' =Nn — nn =c—2Z. 


Las expresiones X, Y, Z, se formarán en este caso lo 
mismo que cuando el punto era exterior. 


N 


SN 


Figura 20. 


Porque, en efecto, sea N un punto material del volumen v. 
Su masa, llamando p á la densidad de este punto, y 07 á su 
volumen, será pd7; y si suponemos en P una masa igual á la 
unidad, la atracción de N, mejor dicho, de po7 sobre el punto 
P, 6 sea sobre la masa 1, será, según la ley newtoniana, re- 
presentando dicha atracción por 9F, 


l . por 


dar=T 
1? 


— 511 — 


y sus tres componentes paralelas á los ejes 


aa E RÁ E 
fe Í 
oT — 
EE 
2 r 


lo mismo que para el punto exterior; y para obtener las com- 
ponentes totales, no hay más que sumar todas estas compo- 
nentes parciales de los diferentes puntos N comprendidos 
en V. Es decir, integrar las tres expresiones anteriores, ex- 
tendiendo la integral á todo el volumen V, y tendremos 


eS ffy zoo 
ff teria 
0 fr re 


en que hemos puesto á las integrales el subíndice V, para 
expresar que la integración comprende todo este volumen. 
Es decir, todas las atracciones de todos los puntos N, com- 
prendidos en V sobre la masa 1 que está en P; y además, en 
vez de da, su valor da db, dc. 

Claro es que las integraciones se referirán, como á varia- 
bles, á las coordenadas a, b, c, del punto N. 

Y parece que este caso es igual al del punto exterior, al 
menos las fórmulas son las mismas, y, sin embargo, el caso 
es de todo punto distinto. 

Porque como el punto P es interior á la masa y la inte- 
gración comprende todos los puntos N, cuando considere- 
mos un punto N muy próximo áP, la distancia PN =r 


— 518 — 


será muy pequeña, y cuando N y P coincidan, tendremos 
r=0, y bajo cada integral triple un elemento 


Z 


C—X b— = 
== PU, pa por, f——= ¿9, 
(0) (0) 


que por ser el denominador o, será real ó aparentemente 
infinito, como antes decíamos. 

Lo cual no podía suceder siendo el Euro exterior; pues 
si P está fuera del volumen V, y N está siempre dentro, ja- 
más en los límites de la integración podrán coincidir. 

No sabemos, por lo tanto, si las fórmulas anteriores ex- 
presarán la atracción, sobre el punto P, de la masa compren- 
dida en V, ni sabemos si X, Y, Z, tendrán valores finitos y 
bien determinados. 

Otro tanto podemos repetir para lo que llamábamos la 
potencial, que evidentemente será de la forma 


ff 


Mas aun, con esta última expresión ocurren dos dudas; 
primera, si será una integral finita y bien determinada, por- 
que también en ella hay un elemento, para r=0 en que 
aparece la forma infinita; y en segundo lugar, y aun supo- 
niendo que [* sea una expresión determinada y finita, no 
sabemos a priori si será una verdadera potencial del sistema 
para puntos interiores, porque no sabemos si diferenciándo- 
la con relación á x, y, z, las tres derivadas coincidirán con 
las tres componentes. Es decir, si tendremos: 


a e yA a. 
dx dy 


Digamos de paso que hemos puesto esplicitamente /, por- 
que no la habíamos comprendido en U. Esta función U era 
la potencial, no la función de fuerza. 


= 519 — 


Pero estas diferencias en las notaciones no tienen impor- 
tancia de ningún género. 

Por el pronto, el problema es éste: las expresiones X, ya 
Z, U, ¿representan cantidades finitas y determinadas? 

Es decir, la forma infinita que resulta del hecho de anu- 
larse r en el denominador, ¿es una forma aparente no más? 

Como si tuviéramos, por ejemplo, 


JE 


r 


E , 
que para r =0 toma la forma — = 0; y en que, sin em- 
10) 


: z . . 12431 
bargo, si L tuviese este valor, L = r? + 3r, sería ————= 
PS 


= r-+ 3, y parar =0, tendríamos Pepo 3. 
r 


Tal duda es preciso estudiarla detenidamente; pero en 
éste, como en muchos otros problemas de matemáticas, antes 
de la demostración rigurosa, hay algo como una intuición de 
la demostración misma. 

Se ve, por ejemplo, que si es cierto que r entra en el de- 
nominador y tiende hacia O, en el numerador del elemento 
de integral que se considera, hay también un factor que 
tiende hacia cero: da. db. dc. 

Así es, que en los tres valores de X, Y, Z entra en el deno- 
minador r?, que podemos decir que es un infinitamente pe- 
queño de tercer orden; pero en el numerador también entran 
da. db. dc que constituyen otro infinitamente pequeño de 
tercer orden, y además a — x, b— y, C +- 2, que tienden á 
cero; y ocurre que acaso la relación sea finita y siendo finita 
pueda ser 0: y con más razón pueden aplicarse estas intui- 
ciones á la expresión de U. 

Todo esto no es una demostración rigurosa, pero es un 
presentimiento de la demostración, y más aún: es una guía 
para la demostración misma, lo cual le quita su carácter de 


— 580 — 


lucubración profunda ó sublime y la deja reducida á una 
argumentación de sentido común casi. 

Y ahora vamos á desarrollar la demostración á que veni- 
mos refiriéndonos. 

El artificio, por decirlo así, consiste en un cambio de 
coordenadas, por el cual en todos los factores de cada ele- 
mento diferencial se ponga en evidencia el factor r, que es 
el que se reduce á O, cuando el centro de un elemento del 
volumen viene á coincidir con el punto P de su interior, para 
cuyo punto queremos calcular las componentes de la atrac- 
ción y la potencial. 

A las coordenadas ordinarias a, b, c vamos á sustituir las 
coordenadas polares, que generalmente s